Fyzik´aln´ı praktikum 1. Mˇeˇren´ı – Kondenz´ator, mapov´an´ı elektrostatick´eho pole Tom´ aˇ s Odstrˇ cil, Tom´aˇs Markoviˇc Datum mˇeˇren´ı: 6.4. 2009, skupina: 9. v pondˇel´ı 13:30, klasifikace: Abstrakt V prvn´ı ˇc´ asti tohoto mˇeˇren´ı budeme zkoumat elektrick´e pole deskov´eho kondenz´ atoru a s´ılu jakou se desky pˇritahuj´ı. Pomoc´ı Wimshurstovy elektriky desky nabijeme a urˇc´ıme s´ılu mezi tˇesnˇe pˇred v´ ybojem. Na z´ akladˇe s´ıly, kterou se desky pˇritahuj´ı potom urˇc´ıme napˇet´ı pˇri v´ yboji v kulov´em jiskˇriˇsti a pokus´ıme se ovˇeˇrit teoretick´ y vztah pro jeho velikost. V druh´e ˇc´ asti promˇeˇr´ıme potenci´ al v okol´ı elektrod um´ıstˇen´ ych v elektrolitu.
´ Ukoly
1
´ ripomeˇ 1. DU:Pˇ nte si odvozen´ı kapacity deskov´eho kondenz´atoru. (v teorii) ´ 2. DU:Bezpeˇ cnostn´ı normy pˇripouˇstˇej´ı maxim´aln´ı n´aboj 50 µC na desk´ach kondenz´atoru. Stanovte jednu n´ahodnou geometrii deskov´eho kondenz´ atoru, kter´ y by pˇrekroˇcil tuto normu pˇri napˇet´ı 100 kV. 3. Zmˇeˇrte pˇritaˇzliv´e s´ıly mezi deskami kondenz´atoru pro r˚ uzn´e vzd´alenosti desek. N´aboj pˇriv´adˇejte aˇz do pr˚ urazu mezi deskami kondenz´ atoru. Napˇet´ı odhadnˇete z dielektrick´e pevnosti vzduchu. Namˇeˇren´e hodnoty silov´eho p˚ usoben´ı zmˇeˇren´e na vah´ ach porovnejte s teoretickou pˇredpovˇed´ı. 4. Zmˇeˇrte pˇritaˇzliv´e s´ıly mezi deskami kondenz´atoru pro tˇri r˚ uzn´e vzd´alenosti desek (dle distanc´ı). N´aboj pˇriv´adˇejte aˇz do pr˚ urazu na kulov´em jiskˇriˇsti Wimshurstovy elektriky. Ze silov´eho p˚ usoben´ı spoˇctˇete napˇet´ı a z teoretick´eho vztahu se pokuste urˇcit nezn´amou funkci f (s/D). Experiment´aln´ı data a nalezenou funkci zpracujte do grafu. 5. Zvolte si r˚ uzn´e konfigurace elektrod, nastavte na nich napˇet´ı cca 10 V a zmapujte potenci´al v s´ıti 16x14 bod˚ u.
2 2.1
Teorie Kapacita
Kapacita kondenz´ atoru C je definov´ ana vztahem jako Q = CU
(1)
Kde je U je napˇet´ı na kondenz´ atoru a Q je n´aboj. Pro v´ ypoˇcet napˇet´ı lze uˇz´ıt vztah: Z ⃗ 12 ⃗ · dl U = φ1 − φ2 = B
(2)
⃗ vyuˇz´ıt integr´aln´ıho tvaru Maxwellov´ Ve speci´aln´ıch jednoduch´ ych pˇr´ıpadech lze k v´ ypoˇctu E ych rovnic I ⃗ = Q/ε0 ⃗ · dS B
(3)
S
⃗ vˇsude kolm´e a dokonce i nab´ pokud se vybere takov´ a plocha S aby na ni bylo E yvalo konstantn´ı hodnoty tak se pˇredchoz´ı vztah zjednoduˇs´ı a elektrick´ a intenzita na ploˇse S bude d´ana vztahem ES = 1
Q ε0
(4)
Vzorec (2) lze pˇrepsat do tvaru Z
2
U =Q
f (G, ε0 )dl −→ C = R
1
1 f (G, ε0 )dl
(5)
f (G, ϵ0 ) je funkc´ı geometrie soustavy kondenz´atoru a vlastnost´ı prostˇredn´ı mezi elektrodami. Dvˇe nabit´e desky o ploˇse S, mezi kter´ ymi je homogenn´ı pole a mimo nˇe nen´ı ˇz´adn´e elektrick´e pole, se spoˇcte jednoduˇse. Jedna deska se obklop´ı kv´ adrem s rovnobˇeˇznou podstavou. Vˇsechny stˇeny kromˇe jedin´e postavy toho kv´adru jsou pak ⃗ rovnobˇeˇzn´e, nebo je na nich E ⃗ = 0. Takˇze E = Q a po dosazen´ı do vzorce (5) vyjde kapacita deskov´eho s E ε0 S kondenz´atoru ε0 S C= (6) d kde d je vzd´alenost mezi deskami. V pˇr´ıpadˇe re´aln´eho kondenz´atoru (obr. 1) je kapacita vlivem okrajov´ ych jev˚ u trochu vˇetˇs´ı, podle [2] se kapacita zvˇetˇs´ı pˇribliˇznˇe jako bychom za plochu S dosadili plochu, kterou by desky mˇely, kdybychom jejich rozmˇery zvˇetˇsili o 3/8 vzd´ alenosti d. Bezpeˇ cnostn´ı norma Pˇri napˇet´ı 100 kV a deskov´em kondenz´atoru o ploˇse S = 0, 02243 m2 (ten jsme pouˇzili v experimentu) je pˇrekroˇcen maxim´ aln´ı n´ aboj 50µC pˇri vzd´alenosti desek d < 0, 4 mm.
Obr´azek 1: Elektrick´e pole v okol´ı deskov´eho kondenz´atoru.
2.2
S´ıla mezi kondenz´ atory
Energie uloˇzen´a v kondenz´ atoru se urˇc´ı z pr´ ace nutn´e k jeho nabit´ı. Z
Z
Q
W =
U dq = 0
0
Q
q 1 Q2 1 dq = = CU 2 . C 2 C 2
(7)
S´ıla, kterou jsou k sobˇe desky pˇritahov´ any je rovna zmˇenˇe vnitˇrn´ı energie potˇrebn´e k odd´alen´ı o vzd´alenost dd F =
2.3
1 dC 1 U2 dW = U2 = ε0 2 S dd 2 dd 2 d
(8)
Kulov´ e jiskˇ riˇ stˇ e
Kulov´e jiskˇriˇstˇe je velmi jednoduch´e zaˇr´ızen´ı na mˇeˇren´a vysok´eho napˇet´ı. Jsou to dvˇe kovov´e koule pr˚ umˇeru D mezi kter´ ymi je mezera ˇs´ıˇrky s. Pro v´ ypoˇcet napˇet´ı pˇri pr˚ urazu lze pouˇz´ıt vzorce 0, 757 s )δ Up = 27, 75(1 + √ δD f
(9)
b · 273+20 ı hodnota vzduchu, p [torr] je atmosf´erick´ y tlak a t [ ] je teplota. Up je napˇet´ı pˇri pr˚ urazu, δ = 760 273+t je relativn´ Funkce f je z´avisl´ a na pomˇeru s/D, geometrick´e nepravidelnosti pole a dalˇs´ıch faktorech. Pro s/D = 0 je f = 1 a roste se zvˇetˇsuj´ıc´ım se s.
2
3
V´ ysledky mˇ eˇ ren´ı
3.1
S´ıly v kondenz´ atoru
V´ yboj v kondenz´ atoru Experiment jsme sestavili tak, ˇze jedna z desek kondenz´atoru byla zavˇeˇsen´a na vah´ach a druh´a ta spodn´ı byla pˇripevnˇen´ a na posuvn´ y mechanizmus, uumoˇzn ˇuj´ıc´ı pohyb ve svixl´em smˇeru. Obˇe byly pˇripojen´e k na tzv. Wimshurstovu elektriku. Potom jsme desky co moˇzn´a nejpˇresnˇeji vyv´aˇzili aby byly vodorovn´e a v´ahy nastavili na nulu. Vzd´ alenost d jsme urˇcovali tak, ˇze jsme ˇsuplerou zmˇeˇrili v´ yˇsku stojanu, kdyˇz se desky dot´ ykaly a potom od n´ı odeˇcetli v´ yˇsku stojanu v mˇeˇren´e poloze. Mˇeˇren´ı prob´ıhalo tak, ˇze jsme na desky dod´avali n´aboj, dokud mezi nima nepˇreskoˇcila jiskra a v ten okamˇzik jsme zaznamenali s´ılu, kterou se desky pˇritahovaly. Za pˇredpokladu, ˇze dielektrick´ a pevnost vzduchu je Ud = 30 kV/cm, po dosazen´ı do vzorce (8) vyjde konstantn´ı s´ıla rovn´a: 1 U 2 d2 1 1 U2 F = ε0 2 S = ε0 d 2 S = ε0 Ud2 S (10) 2 d 2 d 2 ´ Povrch desky je S = 0, 02243 m2 . Po dosazen´ı vyjde F = 0, 89 N. Udaje jsou v tabulce (1) a vynesen´e v grafu (2). Mˇeˇren´ı bylo dost obt´ıˇzn´e, protoˇze se desky nakl´anˇely a tˇesnˇe pˇred v´ ybojem staˇcilo dodat jen mal´ y n´ aboj a s´ıla ˇ sili v´ yraznˇe vzrostla. Nav´ıc pomoc´ı Wimshurstovy elektriky lze dod´avat n´aboj jenom o diskr´etn´ıch mnoˇzstv´ıch. Reˇ jsme to tak, ˇze jsme mˇeˇrili v´ıcekr´ at a brali tu nejvyˇsˇs´ı dosaˇzenou s´ılu. 1
0,8
Síla těsně před výbojem Teoretická hodnota
d [cm] 0,22 0,39 0,50 0,60 0,67 0,81 0,91 1,15 1,39 1,75
m [g] 4 9,6 15,5 27 32 39 43 51 52 46
F [N] 0,039 0,094 0,152 0,265 0,314 0,383 0,422 0,500 0,510 0,451
Tabulka 1: S´ıla pˇred pr˚ urazem kondenz´atoru
F [N]
0,6
0,4
0,2
0 0
0,5
1 d [cm]
1,5
2
Graf 2: S´ıla tˇesnˇe pˇred v´ ybojem, vynesen´a v z´avislosti na vzd´alenosti desek.
V´ yboj na kulov´ em jiskˇ riˇ sti Paralelnˇe k deskov´emu kondenz´atoru jsme pˇripojili kulov´e jiskˇriˇstˇe. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze kapacita dvou mal´ ych koul´ı je mnohem menˇs´ı neˇz kapacita dvou velk´ ych desek a proto ji zanedb´ame. S´ılu jsme odeˇcetli v okamˇzik v´ yboje na kulov´em jiskˇriˇsti. Mˇeˇren´ı bylo podstatnˇe jednoduˇsˇs´ı neˇz v pˇredchoz´ı u ´loze, protoˇze mezi deskami kondenz´ atoru uˇz nep˚ usobila takov´a s´ıla a nenakl´apˇely se. Nav´ıc tˇesnˇe pˇred v´ ybojem prot´ekal jiskˇriˇstˇem jiˇz znaˇcn´ y proud a plynul´ ym dod´ av´ an´ım n´ aboje jsme se mohli dostat velmi bl´ızko k pr˚ urazn´emu napˇet´ı. Pr˚ umˇer koul´ı kulov´eho jiskˇriˇstˇe vyˇsel roven D = 1, 45 cm. Tlak v m´ıstnosti byl p = 742 torr a teplota byla t = 24, 5 . Napˇet´ı je urˇcen´e ze s´ıly, jakou se desky pˇritahovaly a za vzorce (8). Hodnota funkce f se potom dopoˇcetla ze vzorce (9). V grafu (4) jsou vynesen´e napˇet´ı pr˚ urazu v z´avislosti na vzd´alenosti. Vypoˇcten´e hodnoty nezn´am´e funkce f jsou vynesen´e v grafu (3), splinou jsou data propojen´e jen pro snazˇs´ı orientaci.
3
1,5
1,4
f(s /D)
1,3 d= d= d= d=
1,2
0,79 1,58 2,38 3,14
cm cm cm cm
1,1
1
0
0,1
0,2
0,3 s /D [-]
0,4
0,5
0,6
Graf 3: Hodnoty funkce f v z´avislosti na doskoku s dˇelen´eho polomˇerem koul´ı D 35 d = 2,38 cm Ud = 39,9 +/d = 0,79 cm Ud = 39,7 +/d = 1,58 cm Ud = 31,9 +/d = 3,14 cm Ud = 30,4 +/-
30
U [kV]
25
20
1,5 1,9 2,4 1,3
15
10
5
0 0,1
0,2
0,3
0,4 0,5 s [cm]
0,6
0,7
0,8
Graf 4: Napˇet´ı pˇri pr˚ urazu pˇri r˚ uzn´em odskoku s a dielektrick´a pevnost vzduchu Ud
3.2
Mapov´ an´ı elektrick´ eho pole
Posledn´ım u ´kolem bylo mapovat potenci´ al pˇri r˚ uzn´e konfiguraci elektrod. Do Petriho misky jsme nalili pˇripraven´ y slan´e roztok a vloˇzili dvˇe elektrody. Napˇet´ı mezi nimi jsme volili 3 V, protoˇze pˇri vyˇsˇs´ım se straˇsnˇe rychle rozpouˇstˇely. Potom jsme digit´aln´ım multimetrem a pomoc´ı softwaru na poˇc´ıtaˇci promˇeˇrili napˇet´ı na mˇr´ıˇzce 16x14 bod˚ u. Jako prvn´ı konfiguraci obr.(5) jsme zvolili dvˇe dlouh´e rovnobˇeˇzn´e elektrody, v 2. mˇeˇren´ı obr.(6) jsme zvolili jednu bodovou elektrodu obklopenou kruhovou elektrodou a v posledn´ım mˇeˇren´ı obr.(7) jsme pouˇzili dvˇe bodov´e elektrody.
4
Obr´ azek 5: Rozloˇzen´ı potenci´alu mezi dvˇema ˇsirok´ ymi rovnobˇeˇzn´ ymi elektrodami
Obr´azek 6: Rozloˇzen´ı potenci´ alu mezi bodovou elektrodou a velkou prstencovou elektrodou
5
Obr´azek 7: Rozloˇzen´ı potenci´alu mezi dvˇema bodov´ ymi elektrodami
4 4.1 4.1.1
Diskuse S´ıly v kondenz´ atoru Pr˚ uraz mezi deskami kondenz´ atoru
V prvn´ı ˇc´asti t´eto u ´lohy byla n´ ami zmˇeˇren´ a napˇet´ı pˇri pr˚ urazu o v´ıce neˇz polovinu menˇs´ı neˇz teoretick´a hodnota. Nejsp´ıˇs za to m˚ uˇze nakl´ anˇen´ı volnˇe zavˇeˇsen´e desky kondenz´atoru. T´ım, ˇze se hranou pˇribl´ıˇz´ı ke spodn´ı desce, se v kondenz´atoru v´ yraznˇe zmˇen´ı elektrick´e pole a uˇz d´ale nen´ı homogenn´ı. Nav´ıc hrana m´a nejvˇetˇs´ı polomˇer kˇrivosti a ploˇsn´a hustota n´ aboje a tedy i intenzita elektrick´eho pole je u ´mˇern´a polomˇeru kˇrivosti. Proto tam vzniklo siln´e elektrick´e pole a nastal pr˚ uraz vzduchu dˇr´ıve, neˇz vych´azelo podle teorie. Pˇri vˇetˇs´ıch vzd´alenostech (graf 2) se deska kondenz´atoru uˇz tolik nenakl´ apˇela a v´ ysledky vych´azely bl´ıˇz teoretick´e hodnotˇe, pˇresto byly st´ale o 40% niˇzˇs´ı. 4.1.2
Pr˚ uraz na kulov´ em jiskˇ riˇ sti
V druh´e ˇc´asti jsme nech´ avali v´ yboj pˇreskakovat na kulov´em jiskˇriˇsti. Protoˇze jiskra nepˇreskakovala v kondez´atoru, nevznikaly tam takov´e s´ıly a desky se v nˇem jiˇz nenakl´apˇely. V grafu (3) ale nelze vypozorovat ˇz´ adnou z´akonitost pro funkci f . Vypad´a to, ˇze nez´avis´ı jen na s/D, ale i na vzd´alenosti d desek kondenz´ atoru. Ale potom je zvl´aˇstn´ı, ˇze to nem´a alespoˇ n monot´onn´ı z´avislost na d, tˇreba pro d = 0, 79 cm je kˇrivka v´ yˇs neˇz pro d = 2, 38 cm, ale zase n´ıˇz neˇz pro d = 3, 14 cm. Zaj´ımav´e je, ˇze v´ yˇska kˇrivky z´avis´ı na poˇrad´ı v jak´em jsme je mˇeˇrili a ˇc´ım pozdˇeji jsme ji mˇeˇrili, t´ım je v´ yˇs. Tak´e je zaj´ımav´e, ˇze pokud se vynese z´avislost dielektrick´e pevnosti vzduchu Ud = U/s na tom, kolik´at´e to mˇeˇren´a bylo (tedy pˇribliˇznˇe ˇcase), vyjde uvody, bud’ naˇse mˇeˇren´ı postupnˇe zvyˇsovalo ionizaci vzduchu t´emˇeˇr line´arn´ı z´ avislost (graf 8). Jsou dva moˇzn´e d˚ v m´ıstnosti a t´ım klesalo Ud a nebo se postupnˇe zvyˇsovala vlhkost vzduchu v praktiku a tak´e klesala dielektrick´a adnˇe nˇeco tak v´ yraznˇe ovlivnilo Ud , ˇze nejde urˇcit spr´avn´ y tvar p˚ uvodn´ı funkce f . pevnost vzduchu [3]. Kaˇzdop´
6
46 1. 2. 3. 4.
44 42
sada, sada, sada, sada,
d d d d
= = = =
2,38 0,39 1,58 3,14
cm cm cm cm
Ud [V]
40 38 36 34 32 30 0
5
10 15 číslo měření
20
25
Graf 8: Dielektrick´ a pevnost vzduchu Ud podle toho kolik´at´e to bylo mˇeˇren´ı
4.2
Mapov´ an´ı elektrostatick´ eho pole
Pr˚ ubˇeh potenci´alu v okol´ı elektrod odpov´ıd´ a pˇredpokl´adan´ ym hodnot´am, mezi rovnobˇeˇzn´ ymi elektrodami je pˇribliˇznˇe line´arn´ı a bodov´ ych elektrod je φ ∼ 1/r.
5
Z´ avˇ er
Napˇet´ı v kondenz´atoru pˇri jeho pr˚ urazu neodpov´ıdaj´ı teoretick´e pˇredpovˇedi. Chyba je v tom, ˇze tˇesnˇe pˇred v´ ybojem nebyl splnˇen poˇzadavek homogenn´ıho pole mezi deskami kondenz´atoru. Pomoc´ı kulov´eho jiskˇriˇstˇe lze urˇcit napˇet´ı podstatnˇe pˇresnˇeji, ale ve vzorci (9) nen´ı zahrnut vliv vlhkosti vzduchu, pˇr´ıpadnˇe jeho ionizace. Takˇze se n´am nepodaˇrilo urˇcit pr˚ ubˇeh funkce f . Potenci´ al v okol´ı elektrod vyˇsel podle oˇcek´av´an´ı.
Literatura [1] Zad´an´ı 1. u ´lohy - http://praktika.fjfi.cvut.cz/Kondenzator [cit. 7-4-2009] [2] R.P.Feynman, Feynmanovy pˇredn´ aˇsky z fyziky 2/3, Fragment 2006, str. 115 [3] Wikipedia - Dielectric strength - http://en.wikipedia.org/wiki/Dielectric_strength [cit. 18-4-2009]
7
