Dalam bagian ini kita akan mendapatkan beberapa hasil yang memungkinkan kita untuk mengevaluasi batas tertentu urutan bilangan real. Hasil ini akan memperluas koleksi kami urutan konvergen agak luas. Webegin dengan membentuk satu harta pening dari urutan konvergen yang akan diperlukan dalam bagian ini dan kemudian. 3.2.1 Deinisi Urutan X = (xn) dari bilangan real dikatakan dibatasi jika ada ada bilangan real M> 0 sedemikian rupa sehingga IXnI ::: M untuk semua N. ne Dengan demikian, urutan (xn) dibatasi jika dan hanya jika himpunan {xn: ne N} dari nilai-nilainya adalah dibatasi subset dari JR. 3.2.2 Teorema Sebuah barisan konvergen dari bilangan real dibatasi. Buki. Misalkan lim (xn) = x dan membiarkan e: = 1. Maka terdapat sejumlah alami K = K (1) sedemikian rupa sehingga IXn - x I <1 untuk semua n :::: K. Jika kita menerapkan Inequality Segiiga dengan n> K kita memperoleh . Jika kita mengatur M: = sup {Ixtl, Ix21, ..., IxK_tl, 1 + bel}, Q.E.D. Kita sekarang akan memeriksa bagaimana proses batas berinteraksi dengan operasi-operasi penjumlahan, maka berikut bahwa IXnI <M untuk semua n E N. pengurangan, perkalian, dan pembagian urutan. Jika X = (xn) dan Y = (Yn) adalah urutan bilangan real, maka kita mendeinisikan jumlah mereka menjadi urutan X + Y: = (xn + Yn) ' Perbedaan mereka menjadi urutan X - Y:. = (xn-yn), dan produk mereka menjadi urutan X. Y: = (xnyn) Jika e E JR, kita mendeinisikan beberapa bye X menjadi urutan eX: = (exn). Akhirnya, jika Z = (zn) adalah urutan bilangan real dengan zn i = ° untuk semua EN n, maka kita mendeinisikan hasil bagi X dan Z menjadi urutan X / Z: = (xn / zn). Misalnya, jika X dan Y adalah urutan maka kita harus X: = (. 2,4,6, ... 2n, "), X
+ Y= ( Y. ! ! ! ... ! .. . ( ) -. 1 '2' 3 ', n', ) l '2' 3 ', n', X_Y= ~ ~ 19 ... 2N2 + 1 .. . ! ~ 17 ... 2N2 - 1 .. . ( ) l '2' 3 ', n', X . Y = (2,2,2, ..., 2, ...), 3X = (6, 12, 18, ..., 6n, ...), X / Y = (2,8,18, ..., 2n, ".). Kami mencatat bahwa jika Z adalah urutan .2 Z: = (0,2,0,,,, 1 + (_1) n, "..), maka kita dapat mendeinisikan X + Z, X - Z dan X. Z, tapi X / Z idak dideinisikan karena beberapa hal Z adalah nol. . Kami sekarang menunjukkan bahwa urutan yang diperoleh dengan menerapkan operasi ini untuk konvergen urutan menimbulkan urutan baru yang batas dapat diprediksi. 3.2.3 Teorema (a) Misalkan X = (Xn) dan Y = (Yn) menjadi urutan bilangan real yang
konvergen ke x dan Y, masing-masing, dan membiarkan e E JR.Then urutan X + Y, X - Y, X. Y, dan eX konvergen ke x + Y, x - y, xy, dan mantan, masing-masing. (B) Jika X = (xn) konvergen ke x dan Z = (zn) adalah urutan non zero bilangan real yang konvergen ke Z dan jika Z i = 0, maka urutan quoient X / Z convergesto x / z. Buki. (A) Untuk menunjukkan bahwa lim (xn + Yn) = X + Y, kita perlu memperkirakan besarnya Saya (xn + Yn) - (x + y) l. Untuk melakukan ini kita menggunakan Keimpangan Segiiga 2.2.3 untuk memperoleh Saya (xn + Yn) - (x + y) 1 = I (xn - x) + (Yn - y) 1 :::: IXn-xl + IYn-yi. Dengan hipotesis, jika e> 0 terdapat sejumlah alami K1 sehingga jika n :::: 'Kl kemudian IXn-x I < E12, juga terdapat sejumlah alami K2 sehingga jika n :::: maka K2 'IYn - Il <E12. Karenanya jika K (e): = sup {KI 'K2}, berikut bahwa jika n :::: K (e) kemudian Saya (xn + Yn) - (x + y) 1 :::: IXn - xl + IYn-il <E +!! E = e. Sejak e> 0 adalah sewenang-wenang, kita menyimpulkan bahwa X + Y = (xn + Yn) konvergen ke x + y. Justru argumen yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa X - Y = (xn - Yn) konvergen untuk x - Y. Untuk menunjukkan X itu. Y = (xnYn) konvergen ke xy, kita membuat perkiraan IXnYn-xyl = (xnYn - xny) + (xny - xy)! 1 :::: IX / Yn - y) 1 + I (xn-x) yl = IxnllYn - il + IXn - xllyl. Menurut Teorema 3.2.2 terdapat M1 bilangan real> 0 sedemikian rupa sehingga IXnI :::: M1for semua n EN dan kami menetapkan M: = sup {MI 'lyl). Oleh karena itu kita memiliki perkiraan ! IXnYn-xYI :::: M Yn - il + Mlxn-xl. Dari konvergensi X dan Y, kita menyimpulkan bahwa jika e> 0 diberikan, maka terdapat alam nomor K 1and K2 sehingga jika n :::: K 1then IXn - X I <e12M, dan jika n :::: K2then IYn
- Il <e12M. Nowlet K (e) = sup {K2 KI '}, kemudian, jika n :::: K (e) kita menyimpulkan bahwa IXnYn-xYI :::: MIYn - il + Mlxn - xl <M (eI2M) + M (eI2M) = e. Sincee> 0 adalah sewenang-wenang, ini membukikan bahwa X urutan. Y = (xnyn) konvergen ke xy. Fakta bahwa eX = (cxn) konvergen terhadap mantan dapat dibukikan dengan cara yang sama, tetapi juga dapat disimpulkan dengan mengambil Y menjadi urutan konstanta (c, c, c, ...). Weleave rincian untuk pembaca. (B) Kita selanjutnya menunjukkan bahwa jika Z = (zn) adalah urutan angka nol non yang menyatu ke batas z non nol, maka urutan (l / zn) dari resiprokal konvergen ke I / z. Pertama mari ex:! = Izi sehingga mantan> O.Since lim (zn) = z, terdapat Kl nomor alam sehingga jika n :::: Kl kemudian IZn-zi <ex.It berikut dari Corollary 2.2.4 (a) Keimpangan Segiiga yang -Ex ::::-Izn - zi :::: IZnI - Izi untuk n dari mana :::: K l 'maka itu! Izi = Izi - ex :::: IZnI untuk n :::: 'Kl Oleh karena itu saya / lzn! :::: 2/1z1 untuk n :::: Kl sehingga kita memiliki perkiraan 1 11 1 Saya z - zn Saya 1 - Iz-zl zn z - ZNZ - IZnz! n 2 :::: Izl21z - znl untuk semua n :::: Kl ' Sekarang, jika e> 0 diberikan, terdapat sejumlah alami K2 sehingga jika n :::: K2 kemudian IZn-zl <ElzI2.! Oleh karena itu, jika followsthat K (e) = sup {Kl 'K2}, maka Saya ~-~ zn z Sejak e> 0 adalah sewenang-wenang, maka yang
Please download full document at www.DOCFOC.com Thanks
