i
r
. .
GRUP DAN SEMIGRUP
Pada Bab 2 ini kita akan menambahkan beberapa aksiorpa untuk mendapatkan Sistem Aljabar yang lebih khusus, yakni Sistem Aljabar Grup.
DERNISI GRUP Definisi2,1 (Grup) Misalkan G adalah suatu himpunan tidak hampa dengan sebuah operasi binar. Maka G disebut suatu Grup jika tiga aksioma berikut terpenuhi: [GI] Hukum Asosjatif, yakni, untuk sembarang a, b, c pada G, berlaku (ab)c
= a(bc)
[G2] Elemen Identitas, yakni, terdapat suatu elemen e pada G sedemikian sehingga
ae=ea=a untuk sembarang elemen a pada G [G3] Invers, yakni, untuk masing-masing a pada G, terdapat suatu elemen a-I (invers dari a) pada G, sedemikian sehingga
Penambahan aksioma ([G2] dan [G3] mengubah Semigrup menjadi suatu Grup.
Definisi 2.2 (Grup Abel) Suatu Gmp G dikatakan Grup Abel atau Grup Abelian, atau Grup Komutatif, jika hukum komutatif berlaku: yakni, jika ab=ba untuk setiap a, beG.
22
Bila operasi binar dinyatakan hanya dengan blank seperti diatas, maka Grop G dikatakan Grup aditif. Pada Gmp aditif ini, elemen identitas dinyatakan dengan 0 dan disebut elemen nol atau elemen zero. lovers dari elemen a dinyatakan dengan -a dan disebut negatif dari a. Dalam hal A dan B adaJah subset dari G, kita dapat mendefmisikan 2 operasi AB, dan A+B yang kita tulis
AB = {ab: ae A, be B} atau A+B = {a+b: a e A, b e B} Sekarang kita definisikan order dari suatu Grop, dan Grop hingga.
Definisi 2.3 Order) Order dari Gmp G adalah banyaknya elemen Grop G, dinyatakan dengan 101.
Definisi 2.4 (Grup Hingga) G adalah suatu Grup Hingga, jika order dari 0 hingga.
CONTOH GRUP Contoh 2.1 Himpunan integer Z, himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan real R, dan himpunan bilangan kompleks C masing-masingMaIah Grop Abel di bawah operasi penjumlahan.
Contoh 2.2 Himpunan integer positif N tidak membentuk suatu Grup di bawah penjumlahan, karena, sebagai contoh 01eN.
23
Contoh 2.3 Himpunan bilangan rasional tidak nol Q\{O}membentuk Grup Abel di bawah perkalian. Oi sini bilangan rasional I adalah elemen identitas dan q/p adalah invers multiplikatif dari bilangan rasional p/q.
Contoh 2.4 Pal)dang S adalah himpunan matriks n x n dengan elemen rasional, di bawah operasi perkalian matriks. Meskipun perkalian matriks adalah asosiatif dan perkalian matriks mempunyai elemen identitas I (d~nganelemen rasional), S bukanlah suatu Grup, karena invers tidak selalu ada.
Contoh 2.5 Sementara itu himpunan G dari matriks nonsingular n x n membentuk Grup di bawah perkalian matriks. Elemen identitasnyaadalahmatriks identitas I, dan inversdari A adalah matriks invers A-I. Ini adalah suatu eontoh dari Grup yang tidak Abel, karena perkalian matriks tidak komutatif.
Khususnya,bila n = 2 makaI = 1 o dan invers dari A
=
a
e
b adalahAI = d/IAI allAI d -e/IAI
di sini IAI = ad - be adalah determinan dari A.
24
0 1 -b/IAI
PERMUTASI DAN GRUP SIMETRIS BERDERAJAT N Sekarang akan kuta detfnisikan Grup simetris berderajat n, yang dinyatakan dengan sn'
Definisi 2.5 Suatu pemetaansatu-satu(one-to-one)0 dari himpunan{1,2,...,n}ke dalam dirinyasendiri,disebutpermutasi. Permutasi seperti itu kerap kali dinyatakan dengan
dengan jj
= O(i).
Himpunan dari permutasi seperti ini, dinyatakan dengan Sn' dan terdapat n!
1
·2. ... ·n permutasi.
=
Komposisi dari permutasi pada Sn termasuk juga pada Sn' pemetaan identitas termasuk Sn' dan i~Yers dari permutasi pada Sn termasuk Sn pula. Karenanya Sn membentuk suatu Grup di bawah komposisi pemetaan.
Definisi 2.6 (Grup Simetris) Grup Sn dari Koleksi semua permutasidalam S disebut Grup Simmetris berderajat
n.
Sekarang kita menentukan elemen dan tabel perkalian dari Grup Simetris S3' S3 mempunyai 3! E
01
=
123 123
=
123 132
= 6 elemen,sebagaiberikut: O2 =
123 321
03 =
123 213
01k
O2
=
=
123 2 3 1 123 312 25
Untuk menentukan komposisisi dua Pennutasi, misalnya
123 3 2
1 2 2 3
1
3 1
dapat kita lakukan sebagai berikut 3~
1 diperoleh
2--;-73 1~2 1 2 1 3
atau diperoleh
BerartiO201k
1~1 2~3 3~2
3 2
= 01
Secara lengkap, tabel perkalian dari S3 terlihat pada Gambar 2-1.
E
I
E
al
a2
a3
f/J1
f/J2
E
a2
a3
01
O2
O2
a2
a3
a3
al
al O2 E
a2 E
al
al
al E
a2
a2
O2
01 E
a3
a3
01
O2
01 E
01
01
a3
al
a2
O2
O2
a2
a3
al
Gombar 2-1
26
01
SIFAT GRUP Sitat 2.1 Elemen identitas pada suatu Grup G adalah tunggal atau unik.
Bukti Pandang e dan e' adalah elemen identitas pada G. Maka ee' = e karena e' adalah elemen identitas, dan ee' = e' karena e adalah elemen identitas . Karenanya
e=e'._
Sitat 2.2 Invers a-I dari a, sembarang elemen G, adalah unik.
Bukti Misalkaninversdari a adalahb dan b'. Diperoleh b*(a*b')
= b*e = b
dan (b*a)*b'
Karena G asosiatif, (b*a)*b'
= e*b' = b'
= b*(a*b');
karenanya b
= b'._
Sitat 2.3 Hokum penghapusan kiri dan kanan terpenuhi pada G.
Bukti Jika ab
= ac,
maka
b
= = = = =
eb (a-Ia)b a-I(ab) a-I(ac) (a-1a)c
=ec
= c Secara yang sarna, jika ba
= ca,makab = c... 27
Sitat 2.4 Pada Grup G berlaku bahwa (a-It'
= a,
untuk sernbarang elernen a pada G.
Buldi Karena a-I adalah invers dari a, kita dapatkan
Karenanya a adalah invers dari a-I; yakni a
= (a-Itl,
..
Sitat 2.5 Berlaku bahwa (abtl
= b-Ia-I
Buldi Di sini (b-Ia-I)(ab) = b-I(a-Ia)b
=
b-Ieb
= =
b-Ib e
Secara yang sarna,
Karenanya, b-Ia-I adalah invers dari ab, yakni bahwa b-Ia-I
=(abt',..
CONTOH Contoh 2.6
=
Dibicarakan Gmp G {1,2,3,4,5,6} di bawah perkalian modulo 7, Kita akan rnenentukan tabel perkalian dari G,
28
Untuk mendapatkan a*b pada G, kita tentukan sisa pdari hasil kali ab dibagi dengan 7. Sebagai contoh, 5 6 =30 yang menghasilkansisa 2 bila dibagi dengan 7; karenanya 5*6 = 2 pada G, Tabel perkalian dari G terlihat pada Gambar 3-2.
·
*
I
2
3
4
5
6
I
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
I
Gambar 3-2 Dapat dicatat bahwa 1 adalah elemen identitas dari G. Kemudian ingat bahwa a-I adalah elemen dari G sedemikian sehingga aa-1 = 1. Karenanya sebagai contoh 2-1
= 4, 3-1 = 5, dan
SUBGRUP
6-1
= 6.
.--
Sekarang kita defmisikan suatu Subgrup dari sebuah Grup.
Definisi 2.7 (Subgrup) Suatu subset H dari suatu Grup G disebut sebuah Subgrup dari G, jika H sendiri membentuk sebuah Grup di bawah operasi dari G.
Teorema 2.1 Pandang H adalah sebuah subset dari sebuah Grup G. Maka H adalah sebuah Subgrup dari G jika H mempunyai tiga sifat berikut: 29
(i) Elemen identitas e tennasuk H (ii) H tertutup di bawah operasi dari G, yakni jika a, b e H maka ab e H (Hi) H tertutup di bawah invers, yakni, jika a e H, maka a-I e H.
Bukti H tidak hampa dan mempunyai sebuah elem~n identitas berdasarkan (i). Operasi adalah terdifinisi rapi pada H berdasarkan (ii). lovers terdapat pada H berdasarkan (Hi).Terakhir, hokum asosiatif berlaku pada H karena ia berlaku pada G. Karenanya H adalah sebuah SubgriJp dari G.
CONTOH SUBGRUP Contoh. 2.7 Kita bicarakan Grup Z dari integer, di bawah penjumlahan.Misalkan H adalah subset dari Z berisi semua kelipatan dari integer positif m; yakni H = { ...,-3m,2m. -m, 0, m, 2m, 3m, ... }. Kita tunjukkan bahwa H adaJah sebuah Subgrup dari Z. (i) H mengandung elemen identitas 0 dari Z. (ii) Jika rIDdan sm adalah sembarang elemen dari H, maka jumlah rID+ sm (r+s) m adalah juga sebuah elemen dari H.
=
(iii) Jika rm adalah sembarang elemen dari H, maka negatifnya -rID juga tennasuk H. .
GRUP SIKLIK Misalkan G adalah sembarang Grup dan misalkan a adal3h sembarang elemen dari G. Sekarang kita defmisikan Grup Siklik yang dibangun oleha, yang dinyatakan dengan gp(a). Sebagaimana
biasa, kita mendefmisikan
30
= e dan
an+I
·
= an a.Jelas,am. an
= am+ndan (am)R= amn,untuk sembaranginteger m dan n. Misalkan gp(A) menyatakanhimpunandari semuapangkatdari a:
30
gp(a)
= {..., a-2, a-I, e,
a, a2, a3, ...}
Karenanya gp(a) mengandung e, tertutup di bawah .operasi Grup, dan mengandung invers. !(arena itu, gp(a) adalah sebuah Subgrup dari G.
Definisi 2.8 (Subgrup Siklik) Subgrup dari G, gp(a)
= {..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}
disebut Grup Siklik yang dibangun oleh a.
Misalkan a adalah sembarang elemen pada sebuah Grup G. Sekarang kita akan menyatakan Grup Siklik gp(a), bila gp(a) hingga, dan akan mendefinisikan order dari a. Jika gp(a) hingga, maka beberapa pangkat dari a adaIah sarna, katakanlah ar
= as, dengan
r > s. Berarti ar-s = e dengan r-s > O.
Definisi 2.9 (Order Grup Siklik) Integer positif terkecil IIi, sedemikian sehingga
disebut order dari a, dan dinyatakan dengan Ia!.
Jika Ia! = m, maka Subgrup Sikliknya gp(a) mempunyai m elemen, yakni: gp(a) = fe, a, a2. a3, ..., am-I} Jika gp(a) tak hingga, maka kita definisikan bahwa Ia!= O.
31
CONTOH GRUP SIKLIK Contoh 2.8 Kita bicarakan Grup Abel G modulo 7 dari Contoh yang lalu. Akan kita tentukan order dan Subgrup yang dibangun oleh 2 dan 3. Kita peroleh 21
22
=2
=4
tetapi 23 =1 Karenanya
121
=3, dan gp(2) = {l,2,4}.
Kita peroleh 31 32
=3 =2
=6 34 =4
33 3s 36
Karenanya
131
=5
=1
=6 dan
gp(3)
=G.
Jelas bahwa G ada1ah Siklik 1carena G
= gp(3).
KOSET Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H.
Deflnlsl 2.10 (Koset) Misalkan a ada1ah sembarang elemen dari G. Himpunan
32
Ha
= {ha: h e
H}
disebut Koset Kanan dari H. Analog dengan itu, aH
= {ah: h e
H}
disebut Koset Kiri dari H. .
Teorema 2.29.2 Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Koleksi Koset kanan Ha membentuk sebuah partisi dari G.
Bulct/
.
Karena e e H, rnaka a = ea e Ha; karenanya setiap e1ementennasuk suatu Koset, yakni, a e Ha. Sekarang pandang Ha dan Hb adalah tidak saling lepas. Katakanlah c e Ha e Hb. Bukti kita adalah lengkap dengan menunjukkan bahwa Ha Hb.
=
Karena c tennasuk kedua Ha dan Hb, kita peroleh
dengan hI'
~e
H
Karenanya
dan karenanya
Misalkanx e Ha. Karenanya
33
x = h3a
=h3h1-1~b dengan h3 e H Karena H adalah sebuah Subgrup, maka
karena itu x e Hb. Karena x adalah sembarang elemen dari Ha, maka kita peroleh Ha adalah subset Hb. Seciu'ayang sarna, kita peroleh Hb subset Ha. Hal ini berakibat Ha = Hb, dan teorematerbukti.. Sebelum membuktikan teorema Lagrange berikut, kita perhatikan teorema bantu berikut ini:
Teorema Bantu 2.1 Misal H adalah sebuah Subgrup hingga dari G. Akan temyata bahwa H dan sembarang Koset Ha mempunyai jum1ahelemen berbeda yang sarna. Perhatikan, misalkan
dengan H mempunyai k elemen. Karenanya
Karena
di sini ~a
= ~a berakibat~ = ~;
maka pada Ha juga terdapat k elemen yang berbeda.
Teorema 2.39.3. (Lagrange) Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup hingga_G. Order dari H membagi order dari G.
34
Buldi Pandang H mempunyai r elemen dan terdapat s Koset 1cananyang beIbeda. Dari teorema 9.2, Koset mempartisi G, dan dari teoremabantn di atas, masingmasing Koset mempunyai r elemen. Karenanya G mempunyai rs elemen, dan karenan itu order dari H membagi order dari G'"
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Kita akan mendefinisikanindeksdari H pada G, dinyatakandengan[G:8].
Definisi 2.11 (Indeks) Indeks dari H pada G adalah sarna dengan banyaknya Koset 1canan(atau kiri)
=
dari H pada G. Jika G dan H adalah hingga, maka [G:8] 101/181. Misalkan H adalah a Subgrop dari suatu Grop G. Kita akan mendefinisikan suatu 5istem penyaji-Koset untuk pada G.
a
Definisi 2.12 (Penysj/-Koset) Suatu subset C dari G adalah suatu sistem penyaji-Koset dari H, jib C mengandung tepat satu elemen dari masing-masing Koset Masing-masing e1emen serupa itu disebut penyaji-Koset. Banyaknya elemen pada C atau, dengan kata lain, banyaknya penyaji-Koset, adalah sarna dengan [G:8], indeks dari H pada G. MisalkanH adalahSubgropdari suatuGmp hinggaG. Tedapat181cara memilih suatu elemen dari sembarangKoset,dan terdapat [G:8] Koset yang berbeda. Karena itu terdapat IHI[G:H] sistem penyaji-Koset untuIc:Koset dari H.
CONTOH KOSET Contoh 2.9 Dibicarakan Grop Z dari integer, di bawah penjumlahan dan Subgrop H
={...,
-10, -5, 0, 5, 10, ...}, yang adalah berisi semua kelipatan 5. Kita akan menentukan Koset dari H pada Z. dan indeks dari H pada Z.
35
Terdapat lima Koset (kiri) yang berbeda dari H pada Z, sebagai berikut O+H H {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...} l+H {..., -9, -4, 1,6, 11, ...} 2+H = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...} l+-H {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...} 4+H = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}
= = = =
Koset yang lain n+H akan sarna dengan salah satu Koset dia atas Meskipun Z dan H keduanya adalah tak hingga, indeks dari H pada Z adalah hingga. Di sini [Z:H] = 5, yang merupakanjuga banyaknya Koset. Sekarang kita akan menentukan Suatu sistem penyaji-Koset untuk Subgrup H dari Z di atas. Sistem penyaji- Koset tersebut di antaranya adalah
{0,1,2,3,4} atau {-1,0,1,2,3}. Sebagai catatan, kita biasanya memilih integer nonnegatifterkecil, atau integer terkecil sebagai penyaji-Koset untuk suatu Subgrup H dari Z. Secara umum, kita memilih elemen identitas untuk penyaji dari H.
Contoh 2.10 Pandang Grup Simetrik S3 yang lalu. Kita akan menentukan order dari 3 tersebut, dan Subgrup yang dibangun oleh masing-masing elemen S3' e 1
=e,
karenanya IeI = I dan gp(e) = {e} ·
~ll = e 1 ~2- e .
ul -
36
,
5ecara yang sarna 1021
= 2,
gP(02)
= {02' e
}; dan
= 2, gp(e 3) = {0:3,e }. Kib
1031
Karenanya
1011
=3 dan
gp(01)
peroleh
= {e,
01, O2}.
Juga, 012 = O2
0l = 01 023 = 01802 = e
Di sini 53 adalah tidak 5iklik, karena 53 tidak dibangun oleh sembarang elemennya. Kita akan menentukan suatu 5ubgrup H herorder empat untuk Grup 5imetrik Order dari 53 adalah 6. Dari teorema Lagrange, order dari H haruslah membagi order dari 53. Karenanya tidak terdapat suatu 5ubgrup herorder 4.
Contoh 2.11 DibicarakanGmp 5imetrik 53padaGarnbar2.1.MisalkanA = {OI'~} dan
B
= {01'02}.
Tentukan
(a) AB (b) 03A dan (c) A03
37
(a) Kalikan masing-masing elemen dari A dengan masing-masing elemen dari B:
=~ = ~ = 020. = 3,
= 0.
(b) Kalikan 03 dengan masing-masing elemen dari A~
030. = 0. 0302;: O2
(c) Kalikan masing-masin~ elemen dari A dengan 03: 0.03
=O2
~03 =.0.
Contoh 2.12 DibicarakanSubgmpH =gp(o.)dan K =gp(02)dari S3 pada Gambar 2.1. Di sini HK bukan suatu Subgrup dari S3'
yang bukan merupakan suatu Subgrup dari S3' karena HI( mempunyai 4 elemen.
38
Contoh 2.13 Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa HH
=H.
Karena H adalah Tertutup di bawah o~rasi dari-a, kita mempunyai HH C H. Pada lain pihak, pandang h E H..Karena H adalah suatu Subgrup, elemen identitas
e termasukH. Karenanyaeh = h mengakibatkan HH
=H.
E
HH, dan karenanyaH C HH. Keduahal ini
Contoh 2.14 Satu-satunya Subgrup dari Grup Siklik berorder p, dengan p prima adalah {E }, berdasarkan teorema Lagrange.
Contoh 2.15 Kita akan menentukan suatu subset S dari Grup Z dari integer di bawah penjumlahan, sedemikian sehingga S + S "*S, dan a ~ a + S untuk beberapa elemen a E Z. Misalkan S = {1,2,3,...}.Maka S + S = {2,3,4,...}"*S, dan 2 + S tidak mengandung 2.
={3,4,S,u.}
Contoh 2.16 Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa Ha dan hanya jika ab-l E H. Jika Ha sehingga a
= Hb,
maka a E Ha
= Hb. Karenanya terdapat h E
= hb, dan ab-l = h termasuk
=Hb jika
H sedemikian
H. Ada lain pihak, pandang h
= ab-l
E H.
Maka a = hb E Hb. Tetapi a E Ha. Karena itu Ha =Hb, sebab Koset membentuk suatu partisi dari G.
39
Contoh 2.17 Misalkan G ad~ah suatu Grup Hingga berorder n. Tunjukkan bah~a ~ untuk sembarang a
e G.
=e
Jika 19p(a)1= In, maka am =e. Dari teorema Lagrange, m membagi n; katakanlah,
n
40
= me. ~nanya
