97. Bujursangkar ABCD dan PQRS berukuran sama yaitu 10 x 10 cm. P adalah pusat bujursangkar ABCD. Berapa luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini ? D
C
S
P R A
B Q
Jawab : D
C
P
S
Luas yang diarsir = Luas PXBY =5x5 = 25 cm 2
Y R
A
X
B Q
98. Tiga bilangan berurutan yang merupakan suku-suku barisan aritmetika jumlahnya 12. Jika bilangan ketiga ditambah 2 maka diperoleh deret geometri. Tentukan hasil kali ketiga bilangan itu ! Jawab : Misal bilangan itu : x – b, x dan x + b Maka x – b + x + x + b = 12 atau x = 4 Sehingga 4 – b, 4, 6 + b berupa deret geometri. 4 6+ b = ⇒ b = − 4 dan b = 2 4− b 4 b = − 4 ⇒ 8 x4 x0 = 0 b= 2 ⇒ 2 x 4 x6 = 48 99.
Kedua lingkaran besar berjari-jari 5 cm. Tentukan jari-jari lingkaran kecil ! Jawab : 5 5
5 t
5 r t=5–r ( 5 + r ) 2 = 52 + t 2
⇒
(5 + r)2 =
25 + ( 5 − r )
2
⇒
r = 1,25
100.Suatu segienam beraturan sisinya a cm. Tiap titik tengah sisinya dijadikan titik sudut segienam yang kedua. Tiap titik tengah segienam yang kedua dijadikan titik sudut segienam yang ketiga dst. Berapa limit jumlah luasnya ?
Jawab : s
s
s
L1 = 6. 12 .s.s.sin 60 = sisi yang kedua =
(
3 2
s2 3
s 2 − ( 12 s ) 2 =
)
1 2
L2 = 6. 12 .( 12 s 3 )( 12 s 3 .sin 60 = L1 , L2 , L3 ,...... = r= L∞ =
9 8 3 2
s2 3 s
2
=
3
3 2
s 3
9 8
s2 3
s 2 3 , 98 s 2 3 , 27 s 2 3 ,...... 32
3 4
3 2 s 3 a = 2 3 = 6s 2 3 1− r 1− 4
101.Tiga garis singgung pada lingkaran 25 x 2 + 25 y 2 − 200 x − 50 y + 361 = 0 membentuk
segitiga siku-siku dengan luas 15,36 satuan luas. Tentukan panjang sisi miring segitiga itu ! Jawab : a a b
B 25 x 2 + 25 y 2 − 200 x − 50 y + 361 = 0 ⇔ 15,36 = ( 85 ) + 2. 12 . 85 a + 2. 12 . 85 b ⇔ a + b : panjang sisi miring 2
( x − 4) 2 + ( y − 1) 2 =
64 25
⇒
r=
8 5
a+ b = 8
102.Dua kartu bridge diambil berurutan secara random dari satu set kartu bridge. Kartu pertama dikembalikan dan kartu diacak kembali setelah itu kartu kedua diambil. Berapa probabilitas paling sedikit satu dari kedua kartu yang diambil adalah As ? Jawab : 4 4 4 48 48 4 25 P ( As ∩ As) + P ( As ∩ Ac c ) + P ( As c ∩ As) = . + . + . = 52 52 52 52 52 52 169
103.Tentukan bentuk pecahan dari 0,4936936936…… Jawab : 10.000 x = 4936,936936936…… 10 x = 4,936936936 ……. 9990 x = 4932
4932 9990
x=
104.Rata-rata 15 bilangan adalah 13,4. Rata-rata 8 bilangan pertama adalah 12,5 sedangkan rata-rata 6 bilangan kedua adalah 14,5. Tentukan bilangan ke-15 ! Jawab : 8.12,5 + 6.14,5 + x 13,4 = ⇔ x = 14 15 1 1 15 x 1 5 5 1 1 4 − y = 2 maka tentukan x, y, z ! 105.Jika 5 5 5 − 2 1 1 5 10 10 z 0 Jawab : Jika kedua ruas dikalikan 5 maka akan didapat : x+ y+ z = 5 1 1 1 x 5 x + y − 4 z = 10 ⇒ x = 1, y = 5, z = − 1 1 1 − 4 y = 10 ⇒ − 2 1 1 z 0 − 4 x + y + z = 0 2 2
106. Pada gambar di bawah ini, tentukan panjang PQ ! D
C
16 Q
12 P A
B
Jawab : DP = BQ dan AP = QC 122 + 162 = ( PQ + AP + QC ) 2 ⇔ 400 = ( PQ + 2 AP) 2
⇒
AP =
20 − PQ 2
DP 2 = 144 − AP 2 DP 2 = 256 − ( PQ + QC ) 2 = 256 − ( PQ + AP) 2 DP 2 = DP 2 144 − AP 2 = 256 − ( PQ + AP) 2 PQ 2 + 2 PQ. AP = 112 20 − PQ 112 PQ 2 + 2 PQ = 112 ⇒ PQ = = 5,6 2 20 107.Jika a 2 + b 2 = 6ab untuk a dan b bilangan real dan 0 < a < b , maka tentukan nilai dari a+ b ! a− b Jawab : a 2 + b 2 = 6ab ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = 8ab ⇔ a + b = 8ab ....(1) a 2 + b 2 = 6ab ⇔ a+ b = a− b
8ab = 4ab
108.Jika f ( x ) =
Jawab : f (3 x) =
a 2 − 2ab + b 2 = 4ab ⇔
a− b =
2
x nyatakan f(3x) ke dalam f(x) ! x− 1
3x = 3x − 1
3x x− 1 2x x− 1
+1
=
3( x x− 1 ) 3 f ( x) = x 2( x − 1 ) + 1 2 f ( x) + 1
4ab ....(2)
109.Tentukan nilai k agar sistem persamaan berikut tidak mempunyai penyelesaian ! 3 x + 2 y − 5 z = 3 2 x − 6 y + kz = 9 5 x − 4 y − z = 5 Jawab : Syarat D = 0 3 2 −5 2 − 6 k = 0 ⇔ 18 + 10k + 40 − (150 − 12k − 4) = 0 ⇔ k = 4 5 − 4 −1 110.Diketahui 0,152152152….. =
p . Jika p + q = 3r, tentukan harga p, q dan r ! 2q + r
Jawab : 0,152152152 …. = x 1000 x = 152,525252 …… 10 x = 1,525252 ……
990 x = 151 151 p x= = ⇒ p = 151 dan 2q + r = 990 ....(1) 990 2q + r p + q = 3r ⇒ q − 3r = − 151 .....(2) 2819 1292 Dari (1) dan (2) : q = dan r = 7 7 111.Bila 2 x = t +
t 2 − 1 dan 3 y = t −
t 2 − 1 maka tentukan y bila x = 3 !
Jawab : 2 x.3 y = (t +
t 2 − 1) (t −
112.Tentukan nilai dari (1 −
t 2 − 1) ⇔ 6 xy = t 2 − t 2 + 1 ⇒ 3.3. y = 1 ⇔ y = 1 2
) (1 − 13 ) (1 − 14 ) (1 − 15 ).......(1 − 1n )
1 18
!
Jawab : 1 2 3 4 n− 1 1 . . . ........ = 2 3 4 5 n n 113.Jika garis singgung pada kurva y = ax 2 − bx − 2 di titik (1,1) sejajar dengan garis
4 x − y + 65 = 0 , maka tentukan a dan b ! Jawab : Titik (1,1) pada y = ax 2 − bx − 2 jadi a – b = 1 ……… (1) 4 x − y + 65 = 0 ⇔ y = 4 x + 65 ⇒ m1 = m2 = 4 m2 = y ' = 4 = 2ax + 2bx − 3 ⇒ 4 = 2a.1 + 2b.1− 3 ⇔ a + b = 2 ...........(2) 3 1 dan b = dari (1) dan (2) didapat a = 2 2
114.Bila k adalah konstanta, persamaan simultanx – y = 2 dan kx + y = 3 yang mempunyai solusi (x,y) di kuadran I. Tentukan syarat k ! Jawab :
x− y = 2 5 ⇒ x= kx + y = 3 1+ k
dan
y=
3 − 2k 1+ k
Karena x > 0 dan y > 0 (kw I ) maka : 5 > 0 ⇔ k > − 1 .......(1) 1+ k 3 − 2k 3 > 0 ⇔ −1< k < ..........(2) k+1 2 3 Dari (1) dan (2) : − 1 < k < 2 115.Jika f(x) adalah fungsi untuk bilangan real dan f(1 - x) + 2 f(x) = x maka tentukan f(x) ! Jawab : Misal f(x) = ax + b f(1 – x) + 2 f(x) = x a (1 – x) + b + 2 (ax + b) = x a – ax + b + 2ax + 2b = x ax + (a + 3b) = 1.x + 0 a = 1 ⇒ 1 + 3b = 0 ⇔ b = -1/3 Jadi f(x) = x – 1/3 116.Dua buah kereta api bergerak dengan arah berlawanan dengan kecepatan masing-masing 80 km/jam dan 120 km/jam. Berapa km jarak kedua kereta itu 2 menit sebelum bertabrakan ? Jawab : 80 80 .2 = km 60 30 120 v2 = 120 km / jam = 120 km / 60 menit ⇒ s2 = .2 = 4 km 60 80 200 = Jadi jarak kedua kereta sebelum bertabrakan = 4 + km 30 30 v1 = 80 km / jam = 80 km / 60 menit ⇒ s1 =
117.Fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c mempunyai nilai minimum –4 pada x = ½. Bila
persamaan tersebut dibagi dengan x + 2, maka sisanya 21. Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut ! Jawab : b 1 − = ⇔ a = −b 2a 2 b 2 − 4ac b − 4= ⇔ b 2 − 4ac = 16a ⇒ b 2 − 4ac = − 16b ⇔ c = − − 4 − 4a 4 b y = − bx 2 + bx − − 4 4 b -2 -b b - − 4 4 2b -6b + -b 3b 21 −b − 4 − 6b = 21 ⇔ b = − 4 ⇒ a = 4, c = − 3 4 Jadi y = 4 x 2 − 4 x − 3 118.Selembar kertas yang berbentuk sektor lingkaran berjari-jari 15 cm dengan sudut 120
dibentuk menjadi kerucut dengan membuat sisi-sisinya yang lurus berimpit (OA berimpit dengan OB). Tentukan volume kerucut tersebut ! 15 cm O B
120 A
s
Keterangan : s = keliling alas kerucut Jawab : 120 s = ⇒ s = 10π 360 2π .15 10π = 2π r ⇒ r = 5
15
t=
225 − 25 = 10 2
v=
1 250 .π .52.10 2 = π 3 3
t
5
2 cm3
119.Limas segienam beraturan T.ABCDEF memiliki panjang rusuk tegak a cm dan sudut antara
tiap 2 rusuk tegak pada puncak adalah 30 . Hitung volume limas ! Jawab :
T a
30 a
F A
D B
S
s
C
s 2 = a 2 + a 2 − 2a 2 cos 30 ⇒ s = a 2 − Lalas = 6. 12 .s 2 .sin 60 = 6. 12 . a 2 −
3
3 2. 12 3 = 3a 2 3 −
t 2 = a 2 − s 2 = a 2 − a 2 −
a
V = 13 .Lalas .t = 13 .(3a 2 3 − t
a
E
9 2
a2
3 2 = a 2 ( 3 − 1) ⇒ t = a 9 2
a 2 ).a
3− 1=
1 2
3− 1
.a 3 (2 3 − 3)
3− 1
a s
120.Segitiga PQR siku-siku di Q, segitiga PST dan segitiga RTU sama kaki yaitu PS = PT dan RT = RU. Tentukan sudut STU ! P
T
S Q
U
R
Jawab : ∠ P + ∠ R = 90 ∠ PST = ∠ PTS ∠ RUT = ∠ RTU ∠ P + 2∠ PST = 180 ∠ R + 2∠ RUT = 180
+
∠ P + ∠ R + 2 ( ∠ PST + ∠ RUT ) = 360 ⇔ ∠ PST + ∠ RUT =
360 − ( ∠ P + ∠ R ) 2
360 − 90 ∠ PST + ∠ RUT = = 135 2 ∠ PTS + ∠ STU + ∠ RTU = 180 ⇒ ∠ STU = 180 − ( ∠ PTS + ∠ RTU ) = 180 − 135 = 45 121. A L E
K O D
B M
N
C
Tentukan ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E ! Jawab : ∠ A + ∠ O + ∠ N + ∠ M = 360 ∠ B + ∠ K + ∠ O + ∠ N = 360 ∠ C + ∠ O + ∠ K + ∠ L = 360 ∠ D + ∠ K + ∠ L + ∠ M = 360 ∠ E + ∠ L + ∠ M + ∠ N = 360
+ ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + 3 ( ∠ K + ∠ L + ∠ M + ∠ N + ∠ O ) = 1800 ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 1800 − 3.540 = 180
122.Seorang siswa menghadapi 3 jenis tes : Matematika, Fisika dan Kimia. Peluang ia lulus
berturut-turut adalah
8 9 7 , dan . Tentukan peluang ia lulus paling sedikit 1 jenis tes ! 10 10 10
Jawab : P ( LTT ) + P ( LLT ) + P ( LLL) = 8 1 9 9 2 3 7 2 1 9 7 3 8 9 7 8 9 3 8 7 1 ( . . + . . + . . )+ . . + . . + . . + . . = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 994 = 0,994 1000
123.Unyil membeli kancing baju dengan harga Rp. 9 per buah. Ia membayar seluruh kancing yang ia beli Rp. 8.32a.b52. Jika a – b = 3, maka tentukan a dan b ! Jawab : 92 832ab52 81 22 18 4a ⇒ a=5
9
b 5 2 ⇒ b = 2 karena a – b = 3
9
124.Apabila seorang petani memanen tomatnya saat ini, ia akan mendapat 100 kg tomat dengan harga jual RP1500 per kg. Apabila ia menunda masa panennya, jumlah tomatnya akan bertambah 10 kg tiap minggu, tetapi harganya turun Rp50 per kg tiap minggu. Tentukan pada minggu ke berapa petani harus memanen tomatnya agar hasilnya maksimum? Jawab : Berat : 100, 110, 120, …. Bn = 90 + 10n Harga : 1500, 1450, 1400, ….. Hn = 1550 – 50n Total : (90 + 10n)(1550 – 50n) = - 500 n 2 + 11.000 n + 139.500 − b − 11000 = = 11 Total maksimum pada n = 2a 2(− 500) Jadi pada minggu ke : 11 – 1 atau minggu ke-10. 125.Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya a cm. Tentukan jarak E dengan garis diagonal HB ! Jawab :
H
G H
E
F
C
a 2 x a 3− x
a d D
C
A HB = a 3
(
B
B
) (
a 2 − x 2 = a 2 2− a 3 − x
)
2
⇒
a 2 2 2 d 2 = a2 − x2 = a2 − = a 3 3
126.
E
x= ⇒
a 3 d= a
2 1 = a 6 3 3
3 5 7 99 + 2 2 + 2 2 + ....... + = ....... 2 2 1 x2 2 x3 3 x 4 44 x 452 2
Jawab : 1 1 2024 1 1 1 1 1 1 1 = 1− = 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ...... + 2 − 2 45 2025 2025 1 2 2 3 3 4 44 127.Jika jari-jari lingkaran luar segitiga ABC =
Jawab :
32 , maka hitung luas segitiga ABC !
a a = 2 R ⇔ sin A = sin A 2R Luas ∆ ABC =
1 2
bc sin A =
1 2
bc.
a abc abc abc = = = 2 R 4 R 4 32 16 2
x2 + x + 2 128.Tentukan tiitk singgung antara kurva y = dan garis y = ax + 2 ! x− 1 Jawab : x2 + x + 2 = ax + 2 ⇔ ( a − 1) x 2 + (1 − a ) x − 4 = 0 x− 1 D = 0 ⇒ (1 − a ) 2 − 4(a − 1)(− 4) = 0 ⇔ ( a + 15) (a − 1) = 0 a = 1 Tidak Memenuhi a = − 15 ⇒ − 16 x 2 + 16 x − 4 = 0 ⇔ 1 x = ⇒ y = − 15. 12 + 2 = − 5 12 2 1 Jadi titik sin ggungnya ,− 5 12 2
( 2 x − 1) 2 =
0
129.Tentukan banyak angka 212 x58
Jawab : 108 2 x5 = 2 x 8 = 2 4 x108 = 16 x108 = 1.600.000.000 2 Jadi semuanya ada 10 angka. 12
8
12
130.Jika diketahui x −
Jawab : 1 x− = 2 x 1 x+ = n x
1 1 = 2 dan x > 0 maka tentukan nilai x + ! x x
+
n+ 2 2 1 n+ 2 2 x+ = n⇒ + = n⇔ n= 2 2 x 2 n+ 2
2x = n + 2 ⇔ x =
131.Diketahui f(x) = ax + 3 dengan gradien positif. Jika f(f(2)) – 3a = 4, maka tentukan nilai a ! Jawab : f(f(2)) – 3a = 4 f(2a + 3) – 3a = 4 a(2a + 3) + 3 – 3a = 4 1 a 2 = ⇒ a = 12 2 2 1 1 1 1 1 1 1− 1− 132. 1 − 2 1 − 2 1 − 2 ....... 1 − = ............ 2 2 2 3 4 2002 198 199
Jawab : 22 − 1 32 − 1 4 2 − 1 .......... 1982 − 1 199 2 − 1 200 2 − 1 ( 2.3.4........198.199.200) 2 1.3.2.4.3.5.4.6........197.199.198.200.199.201 = ( 2.3.4........198.199.200) 2
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
1.2.(3.4.5......199) 2 .200.201 22.(3.4.5.....199) 2 .2002 1.2.200.201 = 2.2.200.200 201 = 400 =
133.Bilangan a1 , a2 , a3 ,......... didefinisikan sebagai a1 = 10, a2 = 20 dan untuk n > 2 berlaku
an =
a1 + a2 + a3 + ..... + an . Tentukan nilai dari a1999 ! n
Jawab : a + a2 + a3 a3 = 1 ⇒ 2a3 = 10 + 20 ⇔ a3 = 15 3 a + a2 + a3 + a4 a4 = 1 ⇒ 3a4 = 10 + 20 + 15 ⇔ a4 = 15 4 a + a2 + a3 + a4 + a5 a5 = 1 ⇒ 4a5 = 45 + 15 ⇔ a5 = 15 5 Jadi a1999 = 15 134.Tentukan banyaknya pasangan (x , y) bulat positif dan memenuhi persamaan x 2 − y 2 = 99
Jawab : x 2 − y 2 = 99 ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = 99 Faktor 99 adalah 1 x 99, 3 x 33 dan 9 x 11 Atau (50 – 49)(50 + 49), (18 – 15)(18 + 15) dan (10 – 1)(10 + 1) Maka pasangan bilangannya (50,49), (18,15) dan (10,1) Jadi ada 3 pasangan. 135.ABCD adalah sebuah trapesium dimana AB = 5 cm dan CD = 8 cm. E adalah sebuah titik pada sisi CD sedemikian sehingga luas segitiga ADE sama dengan luas trapesium ABCE. Tentukan perbandingan DE : EC ! Jawab :
A
5
B
T D
8
E
C
DE + EC = 8 …………… (1) Luas segitiga ADE = Luas trapesium ABCE ½. t. DE = ½.t .(AB + CE) DE = AB + CE DE = 5 + EC DE – EC = 5 …………. (2) Dari (1) dan (2) didapat DE = 13/2 dan EC = 3/2 DE 132 13 = 3 = Jadi EC 3 2 136.Jika x, y dan z memenuhi persamaan 2 x + y = 10,
nilai 2 x !
2 y + z = 20 dan 2 z + x = 30 . Tentukan
Jawab : 2 x + y = 10 ⇔ x + y = 2 log10 2 y + z = 20 ⇔ y + z = 2 log 20 z − x = log 20− log10= 2 log 2 = 30 ⇔ z + x = 2 log 30 z − x = 2 log 2 2 2 x = log15 ⇔ x = 2 log 15 ⇔ 2 x = 2
2z+ x
2
15
137.Berapa banyak bilangan bulat x yang membuat bentuk
10 x + 1 menjadi bulat ? 2x − 1
Jawab : 10 x + 1 6 = 5+ 2x − 1 2x − 1 Faktor-faktor 6 adalah ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 2x – 1 = 1 ⇔ x = 1 2x – 1 = -1 ⇔ x = 0 2x – 1 = 3 ⇔ x = 2 2x – 1 = -3 ⇔ x = -1 Untuk faktor-faktor ± 2, ± 6 tidak memenuhi. Jadi x = -1, 0, 1 dan 2 138.Jika
n+
n+
n+
n+
n + .... = 3 maka tentukan n !
Jawab : n+
n+
n+
n+
139.Tentukan n jika
3
n + ...... = 9 ⇒ n + 3 = 9 ⇔ n = 6 49 3 49 3 49 3 49...... = n
Jawab : 49 3 49 3 49 3 49....... = n3 ⇒ 49n = n3 ⇔ n(n − 7)(n + 7) = 0 Untuk n = 0 dan n = -7 tidak memenuhi sedangkan n = 7 memenuhi.
2 140.Tentukan HP dari x +
4 2 − 7 x + + 16 = 0 2 x x
Jawab : 2 4 = y ⇒ x2 + 2 = y2 − 4 x x 2 y − 4 − 7 y + 16 = 0 ⇔ ( y − 3) ( y − 4 ) = 0 2 y = 3 = x + ⇒ x = 1 dan x = 2 x 2 y = 4 = x+ ⇒ x = 2± 2 x
Misal x +
141.Luas sisi-sisi suatu balok adalah 14 cm 2 , 8 cm 2 dan 7 cm 2 . Tentukan volume balok !
Jawab : pl = 14 l 14 7 7 pt = 8 ⇒ = = ⇔ l= t t 8 4 4 lt = 7 7 7 7 t.t = 7 ⇔ t = 2 ⇒ l = .2 = 4 4 2 pt = 8 → ⇒ p.2 = 8 ⇔ p = 4 7 V = plt = 4. .2 = 28 2 lt = 7 ⇒
(
142.Jika α dan β akar-akar persamaan 8.2 x = 2 x − x 2
Jawab :
(
8.2 x = 2 x − x 2 2
(
)
x+ 3
(
⇔ 2x + 3 = 2x − x2
log 2 x + 3 = 2 log 2 x − x 2
)
)
)
x+ 3
, maka tentukan
x+ 3
x+ 3
x + 3 = ( x + 3) 2 log(2 x − x 2 ) 2
log(2 x − x 2 ) = 1= 2 log 2
x2 − 2 x + 2 = 0 α + β = 2, α β = 2 1 1 (α + β ) − 2α β = 22 − 2.2 = 0 + = α2 β2 22 (α β ) 2 2
143.
H
G
F
x A B Tentukan ∠ x + ∠ y !
y
C
E
D
Jawab : 1 1 dan tan y = 3 2 1 + 1 tan x + tan y tan( x + y ) = = 3 1 21 = 1 ⇒ x + y = 45 1 − tan x tan y 1 − 3 . 2 tan x =
144.Jika
3a + 4b a 2 + 6b 2 = 5 maka tentukan nilai dari ! 2a − 2b ab
Jawab : 2 3a + 4b a 2 + 6b 2 ( 2b ) + 6b 2 10b 2 = 5 ⇔ a = 2b ⇒ = = = 5 2a − 2b ab 2b.b 2b 2 145.
T
D
9
C
8 A
15
B
1 1 + 2 ! 2 α β
Trapesium ABCD, DC sejajar AB. T titik potong perpanjangan AD dan BC. Tentukan panjang TA ! Jawab : TD TD + 8 = ⇔ TD = 12 9 15 TA = TD + 8 = 12 + 8 = 20 146.
H
G
E
F
t
D
C l
A
p
B
Tentukan perbandingan volume H.ABFE dan H.BCGF ! Jawab : Volume H.ABFE = 13 . p.l.t Volume H.BCGF = 13 . p.l.t VH . ABFE 1 = VH .BCGF 1 147. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 + ax + 16 = 0 adalah 4. Tentukan nilai a yang positif ! Jawab :
− a dan x1 x2 = 8 2 2 x1 − x2 = 4 ⇒ ( x1 − x2 ) = 16 ⇔ x1 + x2 =
( x1 +
x2 ) − 4 x1 x2 = 16 2
a2 − 4.8 = 16 ⇒ a = 8 3 4 148. Suatu segitiga sisi-sisinya 4, 6 dan 4 3 . Tentukan luas segitiga tersebut ! Jawab : s = 12 4 + 6 + 4 3 = 5 + 2 3
(
L=
)
s( s − a)( s − b)( s − c) =
(5 + 2 3 )(1 + 2 3 )(− 1 + 2 3 )(5 − 2 3 ) =
143
149. Jumlah 10 bilangan adalah 36 lebih besar dari rata-rata kesepuluh bilangan-bilangan tersebut. Tentukan jumlah kesepuluh bilangan tersebut ! Jawab : S S10 = 10 + 36 ⇒ S10 = 40 10 150. Tentukan himpunan penyelesaian dari
3x + 2 >
Jawab : 1 .........(1) 2 2 Syarat : ( i ) 3 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ − ...........(2) 3 (ii ) 4 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 ..............(3) Dari (1), (2) dan (3) didapat : 3x + 2 > 4 − x ⇔ x >
4− x
-2/3 1/2 4 1 Jadi HP : x < x ≤ 4 2 151. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 9 Jawab : 9
3
log( 2 x + 1)
( 2 x + 1)
+ 4
2
log( x + 3)
(
= 85 ⇔ 3
3
log( 2 x + 1)
) + (2 2
+ ( x + 3) = 85 ⇔ x 2 + 2 x − 15 = 0 x = − 5 tidak memenuhi x = 3 memenuhi 2
2
3
log( 2 x + 1)
log( x + 3)
)
2
+ 4
2
log( x + 3)
= 85
= 85
2
152. Diketahui bilangan a + 1, a – 2, a+ 3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku membentuk barisan aritmetika maka suku ketiga harus ditambah berapa ? Jawab : Misal : a – 1, a – 2, a + 3 + x Maka (a – 2) – (a – 1) = (a + 3 + x) – (a – 2) sehingga x = -8 153. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret log 2 + log 8 + log 32 + ….. Jawab : log 2 + 3log 2 + 5log 2 + ……. Merupakan deret aritmetika dengan beda 2log 2 n n S n = (2a + (n − 1)b) = (2 log 2 + (n − 1)2 log 2) 2 2 n S n = (2n log 2) = n 2 log 2 2
(
)(
154. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y 2 3 − Jawab : − 2 3+ 2 − 2 3 x = − 2 7 7 3− 2 3+ 2 2 3 Jadi x = − dan y = − 7 7 x+ y 2 =
155.
D
30 A
45 B
C
Jika panjang BC = 10 cm maka tentukan panjang AB ! Jawab : BC = CD = 10 CD 3 10 tan 30 = ⇒ = ⇔ AC = 10 3 AC 3 AC AB = AC − BC = 10 3 − 10 = 10( 3 − 1) 156. Tentukan bentuk sederhana dari Jawab :
3n + 1 − 3n 3n + 3n − 1
)
2 = − 2
3n + 1 − 3n 3.3n − 3n 3n (3 − 1) 3 = = = 3n + 3n − 1 3n + 13 .3n 3n (1 + 13 ) 2 157. Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≤
1 x
Jawab : 1 x2 − 1 x− ≤ 0⇔ ≤ 0 x x ( x − 1) ( x + 1) ≤ 0 x -
+ -1
0
+ 1
……. (1)
Karena x ≠ 0 maka HP : { x x ≤ − 1 atau 0 < x ≤ 1} 158. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda dan habis dibagi 5 yang dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, …….., 9 Jawab : Bentuk bilangan itu xy0 atau xy5 Bentuk xy0 sebanyak 9 x 8 x 1 = 72 Bentuk xy5 sebanyak 8 x 8 x 1 = 64 136 159. D
A
B
C
Panjang AB adalah 3 cm lebih panjang dari BC. Jika BD = 5 cm dan tegak lurus AC. Tentukan panjang BC !
Jawab : Misal panjang BC = x maka AB = (x + 3) cm AD 2 = AB 2 + BD 2 = x 2 + 6 x + 9 + 25 = x 2 + 6 x + 34 CD 2 = BC 2 + BD 2 = x 2 + 25 AD 2 + CD 2 = AC 2
(x
2
) (
)
+ 6 x + 34 + x 2 + 25 = 4 x 2 + 12 x + 9
x 2 + 3 x − 25 = 0 ⇒ x = BC = −
3 2
+
1 2
109
160. Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri : k, 3k, 8k + 4, ….. Jawab : 3k 8k + 4 r= = 3= ⇒ k= 4 k 3k Jadi barisan geometri : 4, 12, 36, …… U 5 = ar 4 = 4.34 = 324 161. Jika xy = 80 dan log x – 2 log y = 1 maka tentukan nilai x – 4y ! Jawab : log x – 2 log y = 1 ⇔ log x − log y 2 = log10
log
x = log10 ⇒ x = 10 y 2 2 y
xy = 80 ⇒ 10 y 2 . y = 80 ⇔ y = 2 ⇒ x = 40 Jadi x – 4y = 40 – 4.2 = 32 162. Tentukan nilai dari 26 2 − 252 + 24 2 − 232 + ....... + 42 − 32 + 22 − 12 Jawab : 26 2 − 252 + 24 2 − 232 + ....... + 42 − 32 + 22 − 12 = 51 + 47 + .... + 7 + 3 = 351
( x − 1) ( y − 2) = 12 163. Jika ( y − 2 ) ( z − 3) = 20 ( z − 3) ( x − 1) = 15
....(1) ....(2) x, y, z > 0 maka tentukan nilai 3x + 2y + 3z ....(3)
Jawab : Jika persamaan (1) x (2) x (3) maka : ( x − 1) 2( y − 2)2 ( z − 3)3 = 12 x20 x15 ⇔ ( x − 1) Jika persamaan (4) : (1) maka : z – 3 = 5 ⇔ Jika persamaan (4) : (2) maka : x – 1 = 3 ⇔ Jika persamaan (4) : (3) maka : y – 2 = 4 ⇔ Jadi 3x + 2y + 3z = 3.4 + 2.6 + 3.8 = 48 164.
D
( y − 2) ( z − 3) =
60 ......(4)
z=8 x=4 y =6
C 60
E A
B
ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 2 cm. Tentukan luas segitiga BEC !
Jawab : D
C 60
30 E
45
A
B
BE 2 = ⇔ BE = sin 30 sin 105
4 2 3+ 1 4 Luas ∆ BEC = 12 .BE.CO = 12 . . 2= 2 3+ 1
(
)
(
165. Tentukan nilai sin Jawab :
)
π 5π 7π 11π .sin .sin .sin 24 24 24 24
3−1
π 5π 7π 11π . sin . sin .sin = sin 7,5. sin 37,5. sin 52,5. sin 82,5 24 24 24 24 sin 2α sin α = 2 cosα sin 15 sin 75 sin 7,5. sin 37,5. sin 52,5. sin 82,5 = . . cos(90 − 37,5) . cos(90 − 7,5) 2 cos 7,5 2 cos 37,5 sin
=
sin 15 sin 75 . . cos 37,5. cos 7,5 2 cos 7,5 2 cos 37,5
=
1 4
. sin 15. sin 75
=
1 4
. sin 15. cos15
=
1 8
. sin 30
=
1 16
166. Tentukan digit terakhir dari 1! + 2! + 3! + …. + 1999! Jawab : Digit terakhir dari 5! + 6! + 7! + ……+ 1999! adalah 0 Jadi digit terakhir dari 1! + 2! + 3! + …. + 1999! adalah 1 + 2 + 6 + 24 atau 3 167. Jika A + B = 225 , maka tentukan nilai dari
cot A cot B . 1 + cot A 1 + cot B
Jawab : 1 1 cot A cot B 1 1 tan A tan B . = . = . 1 1 1 + cot A 1 + cot B 1 + tan A 1 + tan B tan A + 1 tan B + 1 A + B = 225 ⇔ A = 225 − B tan 225 − tan B 1 − tan B = 1 + tan 225. tan B 1 + tan B cot A cot B 1 1 1 + tan B 1 1 . = 1− tan B . = . = 1 + cot A 1 + cot B 1+ tan B + 1 tan B + 1 2 tan B + 1 2 tan A = tan(225 − B) =
168. Diketahui P = 64 log( x − 2)+ 64 log 2 ( x − 2)+ 64 log 3 ( x − 2) + ........ . Tentukan x agar 1 < P < 2 Jawab : a P= 1− r log( x − 2) 1 1− 64 log( x − 2) 1 < P < 2 ⇒ 1 < 64 < 2⇔ < 64 <1 1− log( x − 2) 2 log( x − 2) 1 1 3 1 1 2 < 64 − 1< 1⇔ < 64 < 2 ⇔ < 64 log( x − 2) < 2 log( x − 2) 2 log( x − 2) 2 3 8 < x − 2 < 16 ⇔ 10 < x < 18 64
169. Diketahui sudut A dan B lancip dengan tan( A + B ) = A! Jawab :
1 1 dan tan( A − B ) = . Tentukan tan 2 3
tan 2 A = tan ( ( A + B ) + ( A − B ) ) 1 + 13 2 tan A tan( A + B ) + tan( A − B ) 2 = = =1 1 − tan 2 A 1 − tan( A + B ) tan( A − B ) 1 − 12 . 13
2 tan A = 1 − tan 2 A ⇔ tan 2 A + 2 tan A − 1 = 0 − 2± 2 2 2 2 Karena sudut A lancip maka tan A = tan A =
− 2±
4+ 4
=
2−1
170. Jika P, Q dan R sudut-sudut pada segitiga PQR dengan P – Q = 30 dan sin R = Tentukan nilai dari cos P sin Q Jawab : cos P sin Q =
1 2
[ sin ( P + Q ) − sin ( P − Q ) ] =
=
1 2
( sin R − 12 ) =
171. Diketahui cos 4 x =
1 2
1 2
[sin(180
)
− R − sin 30
5 . 6
]
5 3 1 ( − )= 6 6 6
7 dan 270 ≤ 4 x ≤ 360 . Tentukan sin x ! 18
Jawab : 270 ≤ 4 x ≤ 360 ⇔ 135 ≤ 2 x ≤ 180 di kwadran II. 7 − 1 + cos 4 x − 1 + 18 5 cos 2 x = = = − 2 2 6 135 ≤ 2 x ≤ 180 ⇔ 67,5 ≤ x ≤ 90 di kwadran I. sin x =
1 − (− 56 ) = 2
1 − cos 2 x = 2
172. Pada segitiga ABC jika cos A =
11 = 12
1 12
132
4 12 dan sin B = maka tentukan cos 12 C 5 13
Jawab : cos C = cos(180 − ( A + B )) = − cos( A + B ) = − cos A cos B + sin A sin B 4 5 3 12 16 = − . + . = 5 13 5 13 65 cos 12 C =
1 + cos C = 2
1 + 16 65 = 2
81 = 130
9 130
130
173. Tentukan nilai minimum dari f(x) = 5 – sin 2x cos (2x - π6 ) Jawab : f ( x) = 5 −
1 2
[sin ( 4 x − ) + sin ] =
f min = 4 34 − 12 .1 −
π 6
π 6
4 34 − 12 sin ( 4 x −
π 6
)
17 4
174. Agar persamaan 10 sin 2 x − 24 sin x cos x = p dapat diselesaikan, maka tentukan p ! Jawab : 10 sin 2 x − 24 sin x cos x = p ⇔ 10
1 − cos 2 x − 12 sin 2 x = p 2
⇔ − 5 cos 2 x − 12 sin 2 x + 5 = p Agar dapat diselesaikan maka : ymin ≤ p ≤ ymax - 25 + 144 + 5 ≤ p ≤
25 + 144 + 5
- 8 ≤ p ≤ 18
(
)
175. Jika h(x) = 2x + 1 dan ( fogoh)( x 2 ) = 8 x 2 + 2 maka tentukan nilai g − 1of − 1 (2) Jawab : ( fogoh)( x 2 ) = 8 x 2 + 2 ⇒ ( fogoh)( x) = 8 x + 2 ( fog )(2 x + 1) = 4(2 x + 1) − 2 ⇒ ( fog )( x) = 4 x − 2 ⇒ ( fog ) − 1 ( x) =
x+ 2 4
2+ 2 =1 4
( fog ) − 1 (2) = ( g − 1of − 1 )(2) =
lim ax + b − x 3 maka tentukan nilai a + b = x→ 4 x− 4 4
176. Jika
Jawab : ax + b − x bernilai 0 untuk x = 4 Jadi 4a + b – 2 = 0 atau b = -4a + 2 lim ax + b − x 3 ⇒ lim ax − 4a + 2 − = x→ 4 x→ 4 x− 4 4 x− 4 lim a ( x − 4) x− 2 3 − = x → 4 x− 4 x− 4 4 1 3 a − = ⇔ a = 1 ⇒ b = 2 − 4.1 = − 2 4 4 Jadi a + b = 1 + (-2) = -1
x
=
3 4
177. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva y = 16 x 2 dan y=4 ! Jawab : y=
Y
1 6
x2 y=4
( x,
1 6
x2
) X
(
L = 2x 4 −
1 6
)
x2 = 8x −
1 3
x3
L ' = 0 ⇒ 8 − x2 = 0 ⇒ x =
(
8
)
Lmax = 2 8 4 − 16 ( 8 ) 2 =
(
178. Ditentukan P = 3 + 2 2 Jawab :
(
)
(
)
P = 3+ 2 2
−1
=
32 3
)
−1
2
(
dan Q = 3 − 2 2
)
−1
. Tentukan nilai (1 + P ) − 1 + (1 + Q ) − 1
1 3− 2 2 . = 3− 2 2 3+ 2 2 3− 2 2
1 3+ 2 2 . = 3+ 2 2 3− 2 2 3+ 2 2 1 1 1 1 (1 + P ) − 1 + (1 + Q) − 1 = + = + =1 1+ P 1+ Q 1+ 3 − 2 2 1+ 3 + 2 2
Q = 3− 2 2
−1
=
179. Tentukan nilai Jawab : 6+ 2 2+
3
2
2+
3
12 +
2 = 2
.
6+
4
2 3+ 2
=
4+ 2 3
(
)
3+ 1
180. Tentukan bentuk sederhana dari Jawab :
(5 − 2 6 )
49 − 20 6 =
4
=
2
2 3+ 2 = 2 3+ 1
=
2
49 − 20 6
4
(
5− 2 6 =
3−
2
)
2
=
3−
2 1
1
181. Diketahui x = 37 − 20 3 dan y = 37 + 20 3 . Tentukan nilai x − 2 + y − 2 Jawab : x
−
1 2
+ y
1 2
−
x+
1 1 + = x y
=
y
37 − 20 3 +
=
xy
(37 − 20 3 )(37 + 20 3 )
37 − 2 300 + 37 + 2 300 1369 − 1200
=
(
=
25 − 12
)
+ 13 25 +
2
25 − 12 + 13 10 = 13 =
(
37 + 20 3
25 +
12
)
2
12
(1 + ( ) ) (1 − ( ) ) 182. Tentukan bentuk sederhana dari (( ) − 1) (( ) + 1) x 2 − y
1 2
−
1 2
x 2 y
y 2 − x
y 2 x
−
1 2
1 2
Jawab :
( ) ( ) ( ) ( ) y2 + x2
−
1 2
−
1 2
y2
x2 − y2 y2
x2 − y2
−
1 2
−
1 2
x2
y2 + x2 x2
=
y2 + x2 y2 2
x − y x2
2
. .
x2 − y2 x2 2
y +x y2
2
−
1 2
−
1
= (1) 2 = 1
183. Suatu bilangan x terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika di antara angka puluhan dan angka satuan disisipkan angka nol maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 23 kali nilai bilangan x. Tentukan bilangan itu ! Jawab : Misal bilangan itu ab, maka : ab + 45 = ba atau 10a + b + 45 = 10b + a ⇔ a = b – 5 …… (1) a0b = 7 23 ab atau 100a + b = 233 (10a + b) ⇔ 7a = 2b ……. (2) Substitusi (1) ke (2) maka : 7(b – 5) = 2b ⇔ b = 7 sehingga a = 7 – 5 = 2 Jadi bilangan itu adalah 27. 184. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah keran. Dari keadaan penuh dengan membuka keran pertama dan kedua saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit. Jika yang dibuka keran pertama dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 64 menit. Jika yang dibuka keran kedua dan ketiga, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Jika ketiga keran itu dibuka bersama, maka tentukan waktu yang dibutuhkan untuk mengosongkan tong !
Jawab : x 70 x v1 + v3 = 64 x v2 + v3 = 140 v1 + v2 =
+ x x 2 ( v1 + v2 + v3 ) = ⇔ v1 + v2 + v3 = 30 60 Jadi jika ketiga keran dibuka membutuhkan waktu 60 menit. 185. Tentukan bentuk sederhana dari 1 + 3 +
1 13 + 4 3 2
1 2
Jawab : 1+ =
(
3 + 13 + 2 12 = 3 2
+
)
1 2
2
=
3 2
+
1+ 1 2
=
3 + 1+ 1 2
6+
1 2
12 =
1+
4+ 2 3 =
1+ 1+
3=
2
186. C
B
A
O
Diameter lingkaran adalah 5,5 cm dan OB = 2,3 cm. Tentukan panjang AB ! Jawab : AB = OC = ½. 5,5 = 2,75 cm
187.
C Diketahui AP = 5 dan BP = 5 2 Tentukan panjang PQ ! Q
P
B Jawab : AB =
A
(
52 + 5 2
)
2
= 5 3
∆ APB ~ ∆ BQP AB BP 5 3 5 2 10 3 = ⇒ = ⇔ PQ = PB PQ PQ 3 5 2 188.
A
Jika AB = OB maka tentukan sudut BTC !
2+
3
B
T O 40
D
C Jawab : Segitiga AOB sama sisi, jadi ∠ AOB = 60 ∠ ACB = 12 .∠ AOB = 12 .60 = 30 ∠ BTC = 180 − (40 + 30) = 110 189. Tentukan bentuk sederhana dari
13 + 2 − 13 − 2
13 − 2 13 + 2
Jawab : 13 + 2 13 + 2 . − 13 − 2 13 + 2 =
1 3
=
1 3
=
4 3
(
17 + 2 52 −
) (
13 +
190. Buktikan
1 3
4 −
1 3
13 − 2 13 − 2 . = 13 + 2 13 − 2
17 + 4 3 − 9
17 − 4 3 9
17 − 2 52 13 −
4
)
1 + cos A − cos B + cos C = cot 12 C tan 12 B 1 + cos A + cos B − cos C
Jawab : 1 − 2 sin 12 ( A + B) sin 12 ( A − B ) + 2 cos 2 12 C − 1 1 + 2 cos 12 ( A + B ) cos 12 ( A − B ) − 1 + 2 sin 2 12 C =
− 2 sin 12 ( A + B ) sin 12 ( A − B ) + 2 sin 2 12 ( A + B ) 2 cos 12 ( A + B ) cos 12 ( A − B ) + 2 cos 2 12 ( A + B )
2 sin 12 ( A + B) (sin 12 ( A + B ) − sin 12 ( A − B )) = 2 cos 12 ( A + B ) ( cos 12 ( A + B) + cos 12 ( A − B) ) =
cos 12 C (2 cos 12 A sin 12 B ) sin 12 C ( 2 cos 12 A cos 12 B )
= cot 12 C tan 12 B 191. Jika cos A =
3 A 5A maka tentukan sin sin 4 2 2
Jawab : A 5A sin sin = − 12 (cos 3 A − cos 2 A) = − 12 ((4 cos3 A − 3 cos A) − (2 cos 2 A − 1)) 2 2 27 3 9 = − 12 ((4. − 3. ) − (2. − 1)) 54 4 16 11 = 32
(
192. Dari 1 + x 5 + x 7 nilai m + n !
)
20
diketahui koefisien x18 adalah m dan koefisien x17 adalah n. Tentukan
Jawab : 1 + x5 + x7
(
)
20
(
(
))
= 1 + x5 x 2 + 1
20
(
)
= 1 + C120 x 5 ( x 2 + 1) + C220 x10 ( x 2 + 1) 2 + C320 x15 ( x 2 + 1) 3+ ....... + x100 x 2 + 1 C320 x15 ( x 2 + 1) 3= 1140 x15 ( x 6 + 3x 4 + 3x 2 + 1) jadi m = 0 dan n = 1140 x 3 = 3420 Sehingga m + n = 0 + 3420 = 3420 193.
20
