CSŐHÚZÁSI FOLYAMATOK MODELLEZÉSE AZ ENERGETIKAI MÓDSZER ALAPJÁN MODELLING OF TUBE DRAWING PROCESSES BY UPPER BOUND METHOD

Anyagmérnöki Tudományok, 38/1. (2013), pp. 287–296.

CSŐHÚZÁSI FOLYAMATOK MODELLEZÉSE AZ ENERGETIKAI MÓDSZER ALAPJÁN MODELLING OF TUBE DRAWING PROCESSES BY UPPER BOUND METHOD SZOMBATHELYI VIKTOR1–KRÁLLICS GYÖRGY2 Csövek hideghúzásának technológiai tervezésekor szükség van az alakítási folyamat feszültségi és alakváltozási jellemzőire. Jelen munkánkban keményedő anyagra dolgoztunk ki mechanikai modellt az energetikai módszer alkalmazásával üres és dugós csőhúzásra. A sebességmező leírására az általános sík folyás körülményeit használtuk. A modellezés során a húzáshoz szükséges alakító feszültséget, valamint a húzógyűrűre és az alakító tüskére ható nyomó feszültséget határoztuk meg. Kulcsszavak: képlékeny alakítás, csőhúzás, energetikai módszer To design a cold tube drawing process the properties of stress and strain must be known. Based on upper bound method, solution has been developed for tube drawing taking account the work hardening. The description of the velocity field is based on the generalized plane flow. During the analysis the drawing stress, the stress on the drawing dies and on the mandrel were determined. Keywords: plastic deformation, tube sinking, tube drawing, upper bound method

Bevezetés Csőhúzás technológiájának megvalósítására két fő eljárást (eljáráscsoportot) alkalmaznak. Az egyik az üres, a másik a dugós csőhúzás, amely további eljárásokat tartalmaz. Ezek a következők: repülő dugós, rövid dugós és hosszú dugós eljárás. A folyamatok technológiai tervezése többféle számító eljárással történik, amelyek különböző mechanikai modelleken alapulnak. Az összefüggések jelentős része az átlagfeszültség módszert használja [1], [2], [3], több modell az energetikai módszert alkalmazza állandó alakítási szilárdság mellett [4], [5], [6], a végeselemes számításokra is több példa található [7], [8], az energiamódszer, illetve variációs elvek alkalmazására más technológiai feladatoknál hazai példa is található [9]. Modellünk elkészítésekor az volt a célunk, hogy mechanikailag pontos és gyors eljárást dolgozzunk ki, amely jól követi a szerszámgeometria változását, és megbízható tervezési értékeket ad keményedő anyagmodell alkalmazásakor.

1

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Anyagtudomány és Technológia Tanszék 1111 Budapest, Bertalan L. u. 7. [email protected] 2 Miskolci Egyetem, Fémtani, Képlékenyalakítási és Nanotechnológiai Intézet 3515 Miskolc-Egyetemváros [email protected]

288

Szombathelyi Viktor–Krállics György

1. Az energetikai módszer alapegyenlete Az energetikai módszer alkalmazásakor egy funkcionál szélsőértékét kell meghatározni, amely azt a sebességmezőt (vi) adja eredményül, amely a feladat kinematikailag lehetséges sebességmezői közül minimalizálja az alábbi kifejezést [10]: J   k f  dV     vs dA    v   ti vi dA  Q v Vp

A

A

(1)

A

A fenti kifejezés jobboldalának első tagja a belső erők teljesítményét jelöli a vizsgált Vp térfogaton, k f az anyag alakítási szilárdsága,  az egyenértékű alakváltozási sebesség. A második tag a szerszámmal érintkező A felületen a súrlódó erő teljesítményét jelenti,   az érintkező felületen ébredő súrlódó feszültség, vs = vmdb - vszersz a munkadarab és a szerszám érintő irányú sebességének különbsége. A harmadig tag az A szakadó felületen keletkező szakadó felületi erők teljesítményét adja meg, figyelembe véve   szakadó felületi nyíró feszültséget és a v szakadó felületi sebességugrást. A képlékenyen alakváltozó Vp térfo

gatú testnek lehet olyan A felülete, ahol ismert a t feszültség vektor. Bizonyos feladatoknál a képlékenyen alakváltozó testhez v sebességgel mozgó merev test is kapcsolódik, ame lyekre külső, adott nagyságú Q erő is hat, ami a külső kényszerek teljesítményét adja. Az időben állandósult alakítási feladatok egy része jól modellezhető általánosított sík folyással, amelynél az alakváltozó test sebességmezője a következő alakban írható fel. v1  v1  x1 , x2  , v2  v2  x1 , x2  , v3  v3  x3   33 x3

(2)

ahol v1 , v2 , v3  a sebességvektor komponensei,  33 - az alakváltozási sebesség komponense. A funkcionál szélső értékének meghatározása különböző matematikai módszerekkel lehetséges. Esetünkben numerikus minimum meghatározási módszert használtunk a probléma megoldására. 2. Csőhúzás vizsgálata energetikai módszerrel 2.1. A sebességviszonyok meghatározása Csőhúzás esetében a belső erők, a súrlódó erők és a szakadó felületi erők teljesítményét kell számba venni, majd ezt követően kell a funkcionált minimalizálni. Elemzésünk során kétféle csőhúzási folyamatot, az üres húzást és a rövid dugós csőhúzást vizsgáltuk, az egyes eljárások vázlatát mutatja az 1. ábra és a 2. ábra.

Csőhúzási folyamatok modellezése az energetikai módszer alapján

289

1. ábra. Üres csőhúzás folyamatának vázlata

2. ábra. Rövid dugós csőhúzás folyamatának vázlata Mindkét eljárás sajátossága, hogy a gyártás állandósult állapotában a félgyártmány cső v0 sebességgel, R0 külső átmérővel és S0 falvastagsággal lép be az α félkúpszöggel rendelkező húzógyűrűbe, majd v1 sebességgel, R1 külső átmérővel és S1 falvastagsággal lép ki, miután áthalad az Lk hosszúságú kalibráló szakaszon. Esetünkben v1 jelenti a húzási sebességet. A húzógyűrűben a munkadarab külső felülete Rk(x), míg a belső felülete Rb(x). A számítások során feltételeztük, hogy a tengelyre merőleges kezdeti csőkeresztmetszetek a folyamat során merőlegesek maradnak. Kezdetben a kilépő falvastagság ismeretlen, a ki- és belépő falvastagság közötti kapcsolat leírására bevezettünk egy paramétert (par), amely minimalizációs paraméter segítségével meghatározható az energiaminimumot adó kinematikailag lehetséges sebességmező. Tengelyszimmetrikus feladatról van szó, amelynél ha ismert az  áramfüggvény, a sebességkomponensek a következő módon számíthatók ki. vx = -

1  1  , vr = r r r x

(3)

290

Szombathelyi Viktor–Krállics György

Az általánosított sík folyást és a feladat peremfeltételeit kielégítő áramfüggvény: 2 2 2 2  1  v0  R0 - r0  r - Rb  + v0 r02   =-  2 2   2 Rk - Rb 

(4)

A (3) és (4) egyenletek alapján a sebesség komponensek:

vx = v0

vr =

R R

2 0

2 k

- r02 

(5)

- Rb2 

0.5v0  R02 - r02  r 2 - Rb2   2Rk Rk - 2Rb Rb 

R

2 k

- Rb2  r 2

+

v0  R02 - r02  Rb Rb

R

2 k

(6)

- Rb2  r

ahol Rb  dRb / dx, Rk  dRk / dx Az alakváltozási sebességtenzor komponensei és az egyenértékű alakváltozási sebesség:

 rr =

v vr v 1  v v  ,   r ,  xx  x ,  rx   r  x  r x 2  x r  r

2 = 3

 -   +  -   +  -   2

xx

2

rr

rr

xx

2

+6

(7)

2 rx

A húzógyűrű alakítási részében az alakváltozás mértékét az anyagi pont egyenértékű alakváltozási sebességének a pályagörbe menti idő szerinti integrálja adja meg. t

x

0

0

 =   dt = 

 vx

dx

(8)

A fenti integrál numerikus meghatározása nagy számításigényű. Abban az esetben, ha az alakváltozás mértékét a logaritmikus alakváltozási tenzor elemeiből előállított egyenértékű alakváltozással közelítjük, csak néhány % hibát követünk el, de jelentősen rövidítjük a számítás idejét (    ).

=

2 3

 -   +  -   +  -   2

x

r

2

x

2

r

(9)

ahol a logaritmikus alakváltozási tenzor elemeinek egyenlete:

  dr   dr  r  r   ,  = ln   ,  x   r       ln    ln     dR  R  R    dR 

r = ln 

(10)

Csőhúzási folyamatok modellezése az energetikai módszer alapján

291

Ahhoz, hogy az (10) egyenletben szereplő mennyiségeket ki tudjuk számítani, szükség van a belépő keresztmetszet R-Lagrange változójú pontjának és ugyan azon pontnak az alakítás terében elfoglalt (r, x) térkoordinátájú pozíciója közötti függvénykapcsolatra. A folytonosság alapján esetünkben ez az összefüggés: r=

R

2

- r02  v0

vx  x 

+ Rb2  x 

(11)

2.2. Teljesítmények A belső erők teljesítményét az alábbi egyenlet írja le: R0 Lk

 k    RdRdx

Wbelső = 2 

(12)

f

r0 0

Üres és dugós csőhúzásnál a sebességmezőben szakadás van. Az előbbi esetben a belépő ( A 0 ) és a kilépő keresztmetszetnél ( A1 ) van szakadás. Amennyiben a szerszám a kilépés környezetében lekerekített, akkor ott nincs szakadó felület. Dugós csőhúzásnál be- és kilépő szakadó felületen túl van egy közbenső szakadó felület ( Ak ), amely a cső belső felülete és a dugó találkozásánál figyelhető meg. A kilépő keresztmetszeti lekerekítés környezetében az előzőekhez hasonlóan nincs szakadó felület. A szakadó felületek teljesítményét a következő összefüggés határozza meg: W szak = 2

R0



k  f

3

r0

 

ahol k f





v RdR

(13)

a szakadó felületen áthaladó anyagi pont átlagos alakítási szilárdságát, 

az alakváltozás növekedést jelöli.

k  f



=

1 



k

f

d ,

 =

0

v 3vn

(14)

A fenti kifejezésben szereplő vn a szakadó felületre merőleges sebességet jelenti. A cső és a húzógyűrű érintkező felületén fellépő súrlódó erők teljesítménye: W surl =

m

A

kf 3

vs dA =

Lh

m 0

kf 3

 vs

Rk dx cos  

(15)

292

Szombathelyi Viktor–Krállics György

ahol m a Kudo-féle súrlódási tényező. Az érintkező felületek sebességkülönbsége a húzógyűrű és cső között, valamint a dugó és a cső között:

vs = vx cos   +vr sin   , vs = vx

(16)

A különböző teljesítményeket összegezve, az (1) kifejezés csak egy tényezőtől (par) függ. Az összefüggés numerikus minimalizálása után a kilépő falvastagság ismertté válik üres csőhúzás esetén. A be- és kilépő falvastagság közötti összefüggés: S1 = par S0

(17)

A dugós csőhúzásnál a kilépő falvastagság a húzógyűrű és a dugó által meghatározott érték. Ebben az esetben a közbenső falvastagság az ismeretlen, amely az (17) összefüggéshez hasonlóan, a következőképpen van kapcsolatban a belépő falvastagsággal: S k = par S0

(18)

A minimum ismeretében a csőhúzáshoz szükséges erő, illetve húzófeszültség: Fh =

J F , h  v1   R12  r12 

(19)

3. A feszültségek közelítő meghatározása Az energetikai módszer funkcionáljának meghatározásakor megkapjuk a csőhúzáshoz szükséges erőt, amellyel a kilépő keresztmetszet ismeretében az átlagos húzófeszültség számítható. Amennyiben szükség van egy tetszőleges keresztmetszetben az átlagos húzófeszültségre, a feladat megoldását követően a J x energetikai funkcionált a vizsgált cső egyre csökkenő térfogatán határozzuk meg oly módon, hogy a tengelyre merőleges Ax keresztmetszetet folyamatosan balról jobbra, növekvő x értékek mentén eltoljuk.

 xx =

J x F  hx vx Ax Ax

(20)

Bevezetjük a következő fajlagos mennyiségeket:

q

Fhx p  , p  köz ,    köz   Ax k f kf k f

(21)

ahol Fhx , Ax az x koordinátájú helyen fellépő húzóerő és keresztmetszet területe, pköz , köz a munkadarab Ax keresztmetszete és palástfelülete által meghatározott  felületi kontúrgörbén ható nyomás és súrlódó feszültség átlagos értéke, ami tengelyszimmetrikus alakválto-

Csőhúzási folyamatok modellezése az energetikai módszer alapján

293

zásnál a  szögtől független p és  feszültséggel egyezik meg, k f az alakítási szilárdság Ax keresztmetszetre vonatkozó átlagos értéke. A (21) egyenlet által értelmezett fajlagos mennyiségek közötti kapcsolatot az alábbi egyenlet írja le [10].  dq  d ln Ax d ln k f  Ax   q   dx  dx  dx

 v v     = p  d     x d   vx  vs  

(22)

ahol v –  kontúr külső normálisirányú sebessége, esetünkben ez vr ,ami vr  vx tan  , vs –a

munkadarab

és

a

szerszám

érintkező

felületén

fellépő

relatív

sebesség,

vs  v  v  0  vx / cos  . A (22) egyenlet jobb oldala az üres csővonás esetén: 2 x

2 r

p  

v vx

2

d   p  0

dRk dR Rk d  2 Rk k p  dx dx

2 v v R d   x d     x k  2 Rk  cos    v v sec  0 x

(23)



dugós csővonás esetén:

2 dR 2 dR dR dR k b d   pk  Rk d  pb  Rb d  pk 2 Rk k  pb 2 Rb b v dx dx dx dx  x 0 0 2 v R d 2 v R d v    x d    k  x k   b  x b  2 Rk k cos   2 Rb b cos    sec sec  v v v s x x  0 0 p 

v

(24)

A fenti mennyiségek értelmezését segíti a 3. ábra.

3. ábra. Üres (bal) és dugós csőhúzás (jobb) feszültségi és sebességi állapota A (20), a (22) valamint a (23) és a (24) egyenletek felhasználásával a tengelyirányú húzófeszültség, a szerszám és a munkadarab felületén fellépő nyomás és súrlódó feszültség kiszámítható. Dugós csőhúzásnál még egy összefüggés szükséges, hogy a húzógyűrű (pk) és

294

Szombathelyi Viktor–Krállics György

a tüske (pb) felületén ébredő nyomásokat meghatározzuk. Ez az összefüggés az r irányú erők egyensúlya alapján írható fel. pk = pb + k cos

(25)

A húzóerő mellett fontos jellemző a dugót terhelő erő, ami esetünkben a következő: Fd   b 2 r1  Lx 

(26)

ahol Lx a dugó és a munkadarab érintkezési felületének a hossza és r1 a dugó sugara. 4. Eredmények

A számítások elvégzésére egy Maple-programot dolgoztunk ki, amely a bemenő adatok ismeretében kiszámítja a funkcionál minimumát, az ahhoz tartozó paramétert (par), és így ismertté válik a húzóerő (Fh) és üres csőhúzásnal a kilépő keresztmetszetnél a cső belső sugara, míg dúgós csőhúzásnál a dugóval való érintkezés keresztmetszetében a cső külső sugara. A következő bemenő adatokat használtuk az üres csőhúzás vizsgálatánál: R0 = 3.5 mm, R1 = 3mm, S0 = 1.7 mm, Lk = 2 mm és v1 = 1 mm/s. A rövid dugós csőhúzásnál használt adatok: R0 = 4.5 mm, R1 = 4 mm, S0 = 2.25 mm, S1 = 1.85 mm, Lk = 2 mm és v1 = 1 mm/s. A vizsgálatok során használt anyag, egy ST460 típusú acél, alakítási szilárdsága

k f = 404.9 + 599.5 0.323 A számításokat mindkét eljárásnál állandó, Kudo-féle m súrlódási tényező mellett a félkúpszög változtatásával végeztük. A 4. ábra szerint a húzógyűrű félkúpszögének van egy optimuma, amelynél adott geometriai viszonyok mellett a legkisebb húzófeszültség szükséges a folyamat fenntartásához. Ugyanezen az ábrán látható vastag folytonos vonal mutatja a munkadarab átlagos alakítási szilárdságát (kf,átlagos) a kilépő keresztmetszetnél. A csőhúzás folyamata közben a húzófeszültségnek kisebbnek kell lennie, mint az alapanyag alakítási szilárdsága, ellenkező esetben a munkadarab elszakad. Az átlagos alakítási szilárdság görbe alatti terület jelenti a húzás szempontjából biztonságos tartományt. A 5. ábra mutatja a félkúpszög változásának hatását a húzófeszültségre dugós csőhúzás esetén. A vizsgált esetek nagy részénél a folyamat megvalósítható, de van egy olyan tartomány, ahol a kilépő keresztmetszeti alakítási szilárdság nagyobb a húzófeszültségnél, és itt a cső elszakadása prognosztizálható.

Csőhúzási folyamatok modellezése az energetikai módszer alapján

295

900

h (MPa)

800

700

m=0.1 m=0.15 m=0.2 kf,átlagos

600

500 4

6

8

10

12

Félkúpszög (°)

4. ábra. Üres csőhúzási eljárásnál a húzófeszültség (  h ) változása a húzógyűrű félkúpszögének függvényében

1000

900

h (MPa)

800

700

m=0.05 m=0.1 m=0.15 m=0.2 kf,átlagos

600

500

4

6

8

10

12

14

16

Félkúpszög (°)

5. ábra. Dugós csőhúzási folyamatnál a húzófeszültség (  h ) változása a félkúpszög függvényében

296

Szombathelyi Viktor–Krállics György

Összefoglalás

Üres és rövid dugós csőhúzás alakítási és feszültségi állapotának meghatározását végeztük el keményedő anyagmodell esetén az energetikai módszer alkalmazásával. A sebességmező kiszámítására szolgáló eljárást általánosított sík folyás viszonyaira dolgoztuk ki. A számító program rövid idő alatt (1-2 perc) végzi el az adott feladat teljes körű elemzését, ezáltal lehetőség van többlépéses technológiai folyamat gyors vizsgálatára is. Köszönetnyilvánítás A cikk megírását a „A felsőoktatás minőségének javítása kiválósági központok fejlesztésére alapozva a Miskolci Egyetem stratégiai kutatási területein” a TÁMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001 projekt támogatta. Irodalom [1]

E. M. Rubio: Analytical methods application to the study of tube drawing processes with fixed conical inner plug: Slab and Upper Bound Methods. Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering (2006) [2] И. Л. Перлин–М. З. Ерманок: Теорияволочения Москва. Металлургия 1971. [3] Geleji Sándor: A fémek képlékeny alakításának elmélete. Budapest, Akadémiai Kiadó, 1967. [4] Chin-Tarn Kwan: A generalized velocity field for axisymmetric tube drawing through an arbitrary curved die with an arbitrarily curved plug. Journal of Materials Processing Technology 122 (2002), 213–219 [5] Kyung-Keun Um–Dong Nyung Lee: An upper bound solution of tube drawing, Journal of Materials Processing Technology 63 (1997), 43–48. [6] D. W. Zhao–H. J. Du–G. J. Wang–X. H. Liu–G. D. Wang: An analytical solution for tube sinking by strain rate vector inner-product integration. Journal of Material Processing Technology 209 (2009), 408–415. [7] J.-F. Béland–M. Fafard–A. Rahem–G. D’Amours–T. Coté: Optimization on the cold drawing process of 6063 aluminium tubes. Applied Mathematical Modelling 35 (2011), 5302–5313. [8] R. Bihamta–Q. H. Bui–M. Guillot–G. D’Amours–A. Rahem–M. Fafard: Application of a new procedure for the optimization of variable thickness drawing of aluminium tubes. CIRP Journal os Manufacturing Science and Technology 5 (2012), 142–150. [9] Cser László: Az üregkitöltés vizsgálata növelt alakítási sebességek esetén. Kandidátusi értekezés, 1975, Budapesti Műszaki Egyetem. [10] Г. Я. Гун: Теоретические основы обработки металлов давлением. Москва, Металлургия 1980.