HIMPUNAN Definisi: himpunan (set) adalah kumpulan obyek-obyek tidak urut (unordered) dan terdefinisi dengan jelas Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota (member)
Himpunan yang tidak berisi obyek disebut himpunan kosong (empty set), lambangnya { } atau Ø Universal set berisi semua obyek yang sedang dibahas=U atau S atau himpunan semesta Contoh:A= { a, e, i, o, u }; S=U = himpunan semua huruf
Cara menyatakan/representasi himpunan: 1. Diagram (Diagram Venn) Contoh di gambar berikutnya.
2. Menyebutkan unsur-unsurnya Contoh: A={Januari, februari, maret, …, Desember} B={1,2,3,4,…} 3. Dengan kalimat/kata-kata contoh: A=himpunan binatang ternak yg berkaki 2 B=himp. Mhs upi dari papua, dst. 4. A={xBil Bulat, x<7} Dengan Notasi
Diagram Venn Salah satu cara merepresentasikan himpunan
U A
a
u
e
i
o
Contoh (example 4): N = { 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan Cacah
Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan bulat (integer) Z+ = { 1, 2, 3, …. } = himpunan integer positif Q = { p/q | p Z, q Z, q 0 } = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan nyata (real numbers)
Definisi: A dan B merupakan himpunan A=B
jika dan hanya jika elemen-elemen A sama dengan elemen-elemen B
A B jika dan hanya jika tiap elemen A adalah elemen B juga
x (x A x B) catatan: { } A dan A A A B jika A B dan A B |A| = n di mana A himpunan berhingga (finite set) (Himpunan A berisi n obyek yang berbeda)
disebut banyaknya anggota (cardinality) dari A
The Power Set=Himpunan Kuasa: A adalah himpunan berhingga dengan n anggota Maka power set dari A -dinotasikan P(A)- adalah himpunan dari semua subset(himp bagian) dari A dan |P(A)| = 2n Contoh: A = { a, b, c}
P(A) = { { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
The Cartesian Product (X): A dan B adalah himpunan, maka A B = { (a, b) | a A dan b B}=himp. Pasangan terurut
Contoh: A = { 1, 2 } B = { p, q }
A X B = { (1, p), (1, q), (2, p), (2, q) } ordered pairs Selanjutnya … A X A X A = { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } ordered triples Secara umum:
(a1, a2, a3, a4)
ordered quadruple
(a1, a2, a3, a4, ….an) ordered n-tuple
Contoh: 1. Diketahui A={a,b,c,d,e}. Tentukan Banyaknya himpunan bagian dari A yang banyak anggotanya 3 2. M adalah himpunan huruf dari kata ‘CATATAN’, tentukan banyaknya himpunan bagian dari M yang tidak kosong 3. H himpunan huruf dari kata ‘PRAKIRAAN’, tentukan banyaknya himpunan bagian dari H yang anggotanya terdiri dari dua atau lebih unsur.
Operasi terhadap himpunan: A dan B himpunan 1. A B = { x | x A atau x B }, dengan => gabungan 2. A B = { x | x A dan x B }, dengan
=> irisan
jika A B = { } maka A dan B disebut disjoint = tidak ada unsur yang beirisan 3. A-B
= { x | x A dan x B }
4. A’ = { x | x A} = U – A, di mana U = universal set A’= komplemen 5. A + B = { x | x A atau x B dan x A B }
1. Diketahui: P={3,5}, Q={3,4,5} R={3,4,5,6,7} . Tentukan: (P Q) R dan (P Q) R, S bilangan bulat dari 0 sd 10 2. Diketahui himpunan A={x, 0≤x<1} dan B={y, y bilangan bulat lebih kecil dari 7}. Tentukan A B, S Bilangan Bulat kurang dari 10
3. Diketahui: P={x, dan Q={x,
4. Jika P={x,
x 2 2 x 3 0}
x 2 2 x 0 } Tentukan P-Q , S R
x 3x 10 0} 2
Tentukan P’ Q’, S R
dan Q={x,
x 8x 0} 2
Prinsip inklusi-eksklusi
Prinsip inklusi-eksklusi: |A B| = |A| + |B| – |A B| |A B C| = |A| + |B| + |C| – |A B| – |A C| – |B C|
+ |A B C| |A B C D| = |A| + |B| + |C| + |D|
– |A B| – |A C| – |A D| – |B C| – |B D| – |C D| + |A B C| + |A B D| + |A C D| + |B C D| – |A B C D|
Contoh: Dari survei terhadap 50 mhs Angkatan 2012 didapatkan hasil sbb.: 20 mhs menyenangi Matematika, 30 mhs menyenangi Fisika, 10 mhs tdk menyenangi keduanya,
Berapa orang mhs yang menyenangi keduanya?
A = {mhs yang suka Matematika} B = {mhs yang suka Fisika} |S| = 50
|A|=30
|B|=20
|A B|’=10 |A B|= |S|- |A B|‘ =50-10=40
|A B| = |A| + |B| – |A B| 40
=30+20- |A B| 40 =50- |A B| |A B| =50-40=10
Jadi mereka yang suka kedua matkul tersebut ada sebanyak 50-40 = 10 orang
Contoh: Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb.: 64 suka mie bakso,
94 suka mie ayam, 58 suka pecel, 26 suka mie bakso dan mie ayam, 28 suka mie bakso dan pecel, 22 suka mie ayam dan pecel,
14 suka ketiga jenis makanan tersebut. Berapa orang yang tidak suka semua makanan yang di atas ?
A = {orang yang suka mie bakso } B = {orang yang suka mie ayam } C = {orang yang suka pecel } |A B C| = |A| + |B| + |C| – |A B| – |A C| – |B C| + |A B C|
= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154 Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang
Mie baso
Mie ayam 64 suka mie bakso, 94 suka mie ayam, 58 suka pecel,
b
a
c
e
f
d g Pecel
26 suka mie bakso & mie ayam, 28 suka mie bakso & pecel, 22 suka mie ayam & pecel, 14 suka ketiga jenis makanatsb
Mie bakso
a = 24
Mie ayam
b = 12
c = 60
e = 14
64 suka mie bakso, 94 suka mie ayam, 58 suka pecel, 26 suka mie bakso & mie ayam, 28 suka mie bakso & pecel, 22 suka mie ayam & pecel, 14 suka ketiga jenis sayur tsb
f=8
d = 14
a + b + d + e = 64 b + c + e + f = 94
g = 22
pecel
d + e + f + g = 58 b + e = 26 d + e = 28 e + f = 22
yang tidak makanan tsb = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116
e = 14
Suatu himpunan bilangan asli terdiri atas 10 bilangan yang habis dibagi 6, 15 bilangan yang habis dibagi 2, dan 10 bilangan habis dibagi 3, serta 1 bilangan yang tidak habis dibagi 2 ataupun 3. Tentukan banyak unsur himpunan bilangan tersebut?
