COMPLETELY RANDOMIZED DESIGN (CRD)
CRD
Tidak ada kriteria pengelompokan: ○ Lingkungan homogen ○ Bahan homogen (perbedaan diantara experimental units yang
memperoleh perlakuan yang sama dalam CRD disebut sebagai experimental error) ○ Alat homogen
Keuntungan: ○ Fleksibel ○ Tata letak percobaan (lay out the design) paling mudah ○ Analisis mudah ○ Derajad bebas sesatan paling besar ○ Memungkinkan dilakukannya percobaan dengan ulangan yang
tidak sama untuk tiap perlakuannya tanpa terlalu mempersulit analisisnya 10/15/2012
2
CRD Kerugian: ○ Hanya dapat diterapkan pada perlakuan yang
dicobakan tidak terlalu banyak dan bahan percobaan harus seragam (homogen) ○ Rancangan yang paling tidak efisien jika ada kriteria pengelompokan: -
10/15/2012
Lingkungan heterogen Bahan tidak seragam Alat terbatas dan bisa jadi tidak seragam Waktu pengamatan tidak bisa dilakukan bersamaan
3
Pengacakan CRD
10/15/2012
4
Model linear:
Xij= µ + τi + eij
Xij= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j µ = rerata umum τi = pengaruh perlakuan ke-i eij= pengaruh sesatan dari perlakuan ke-i pada ulangan ke-j i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, r
Yij = µ + τi + εij εij = Yij - µ - τi
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Methods) : t
n
2 ( ) ε ∑∑ ij = Q i =1 j =1 t
adalah sekecil − kecilya
atau
n
2 − − = Q adalah sekecil − kecilya Y ( µ τ ) ∑∑ ij i i =1 j =1
6
10/15/2012
Untuk menduga nilai parameter : µ , τ , dan ε t n δQ = 0........ − 2∑∑ (Yij − µ − τ i ) = 0 δµ i =1 j =1 t
n
∑ ∑Y i =1
t
j =1
ij
n
∑ ∑Y i =1
7
j =1
ij
t
− tn µ − ∑ τ i = 0 i =1
ˆ = = tn µ .............µ
t
n
i =1
j =1
∑ ∑Y tn
ij
ˆ = Y.. .........µ
10/15/2012
menduga parameter τ : n δQ = 0........ − 2∑ (Yij − µ − τ i ) = 0 δτ j =1 i
n
∑Y j =1
n
ij
− nµ − nτ i = 0........∑ Yij = nµ + nτ i j =1
n
τˆi = 8
∑Y j =1
n
ij
− µ ...................τˆi = Yi . − Y..
10/15/2012
εij = Yij - µ - τI
= Yij - Y.. - (Yi. -Y..) = Yij - Y.. - Yi. + Y.. = Yij - Yi.
Yij = µ + τi + εij Yij - µ = τi + εij Yij - Y.. = (Yi. - Y..) + ( Yij - Yi.) t
n
t
n
2 ( Y Y ) {( Y Y ) ( Y Y )} − = − + − ∑∑ ij .. ∑∑ i. .. ij i. 2
i =1 j=1
i =1 j=1 t
t
n
= n ∑ ( Yi. − Y.. ) + ∑∑ (Yij − Yi. ) 2 2
i =1
JK total 9
i =1 j=1
= JK perlakuan + JK sesatan 10/15/2012
Rekap CRD P E R L A K U A N
10/15/2012
Ul
1
2
…..
r
Xi. Rerata
1
X11
X12
….
X1r X1.
X1.
2
X21
X22
….
X2r X2.
X2.
τ1 τ2
3
X31
X32
….
X3r X3.
X3.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
τ3
t
Xt1
Xt2
….
Xtr
Xt.
Xt.
Σ Σ Xij=X..
X..
τi
τt
10
Xij=µ + τi + eij Xij - µ = τi + eij, τI & eij independen Σ Σ (Xij - µ)2 = Σ Σ ( τi + eij)2 Σ Σ (Xij - µ)2 = Σ Σ τi2 + Σ Σ eij2 JK total JK perlakuan JK sesatan Σ Σ (Xij - µ)2= Σ Σ Xij2 + trµ2 – 2trµ2 = Σ Σ Xij2 - trµ2 = Σ Σ Xij2 – tr(Σ Σ Xij)2/(tr)2 = Σ Σ Xij2 – (Σ Σ Xij)2/tr
10/15/2012
t r ∑∑ Xij t r i =1 j =1 2 JKtotal = ∑∑ Xij − tr i =1 j =1
2
11
JK perlakuan JK plk =r Σ τi2
= r ∑ ( X i − X ..) =
2 X ∑ i
r
−2
2
(∑∑ X i j ) 2 t.r
∑∑ X i j + r .t t.r
2 ∑∑ X ij X . ∑ i i j = = 1 1 JKplk = i =1 − r t.r t
t
r
2
2
JK sst = JK total – JK perlakuan
10/15/2012
12
db plk= t-1 db total= t.r-1 db sesatan= dbtotal – db perlakuan = (r-1)t
MS perlakuan = Jk plk/db plk MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan ○ F hit = MS plk/MS sst ○ F tabel = F[(1-α);(dbplk, db
10/15/2012
sst)]
13
Langkah perhitungan
Kelompokan data menurut perlakuan dan hitung jumlah dari masing-masing perlakuan Hitunglah db, JK untuk sumber ragam yang ada Buat kerangka anova Hitung KT (MS) sumber ragam yang ada Hitung F hitung dan bandingkan F tabel Isikan ke tabel anova Kesimpulan
10/15/2012
14
TATA LETAK CRD A=15 D=11 C=8 B=5 Plk/Ul
10/15/2012
1
A B
15 5
C D
8 11
B=10
A=12
D=11
B=10
C=7
A=14
A=15
B=7
C=8
C=9
D=10
D=8
2 15
3 12
4 14
10 7
7 9
10 8
11
10
8 15
Penghitungan jumlah kuadrat dengan mengurai komponen model linear
i
j
Xij
µ
τi
eij
1
1
15
10
4
1
1
2
15
10
4
1
1
3
12
10
4
-2
1
4
14
10
4
0
2
1
10
10
-2
2
2
2
10
10
-2
2
2
3
5
10
-2
-3
2
4
7
10
-2
-1
3
1
8
10
-2
0
3
2
9
10
-2
1
3
3
7
10
-2
-1
3
4
8
10
-2
0
4
1
11
10
0
1
4
2
11
10
0
1
4
3
10
10
0
0
4
4
8
10
0
-2
160
160
0
0
1728
1600
96
32
FK
JK plk
JK sst 16
Σ( ….) Σ( …..)2 10/15/2012
JK tot
Anova CRD Sumber ragam
db
JK
KT
Perlakuan 3
96
32
Sesatan
12
32
2,78
Total
15
128
F hit F tabel α=5% 12* 3,49
F hitung > F tabel: Kesimpulan: Ho ditolak dan menerima Ha atau berbeda nyata antar perlakuan 10/15/2012
17
CV (Coefficient of Variation) Menunjukkan tingkat presisi dari perlakuan yang dibandingkan Menunjukkan tingkat kepercayaan dari percobaan yang dilakukan Menunjukkan proporsi dari experimental error (ditunjukkan oleh nilai MS error) terhadap rerata umumnya (grand mean = µ) yang dinyatakan sebagai nilai persentase
10/15/2012
18
Besarnya nilai CV
√MS Error CV =
x 100% Grand Mean
10/15/2012
19
Model linear:
Xij= µ + τi + eij
Xij= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j µ = rerata umum τi = pengaruh perlakuan ke-i eij= pengaruh sesatan dari perlakuan ke-i pada ulangan ke-j i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, ri
CRD Ulangan tidak sama P E R L A K U A N
10/15/2012
Ul
1
2
…..
ri
1
X11
X12
….
X1r1 X1.
X1.
2
X21
X22
….
X2r2 X2.
X2.
3
X31
X32
….
X3r3 X3.
X3.
. . .
. . .
. . .
. . .
t
Xt1
Xt2
….
. . .
Xi. Rerata
. . .
. . .
Xtrt Xt.
Xt.
Σ Σ Xij=X..
X..
τi τ1 τ2 τ3 τt 21
Xij=µ + τi + eij
Xij - µ = τi + eij, Σ Σ (Xij - µ)2 = Σ Σ (τi + eij)2 Σ Σ (Xij - µ)2 = Σ Σ τ i2 + Σ Σ eij2
τI & eij independen
JK total JK perlakuan JK sesatan t
Σ Σ (Xij -
µ)2=
Σ Σ Xij 2 ∑ri = Σ Σ Xij2 = Σ Σ Xij2 – ∑ri(Σ Σ Xij)2/(∑ri)2 = Σ Σ Xij2 – (Σ Σ Xij)2/ ∑ri 2+
∑riµ2 – ∑ri µ2
∑∑ Xij t r i j = 1 = 1 JKtotal = ∑∑ Xij 2 − i =1 j =1 ∑ ri t
10/15/2012
µ2
r
µ=
r
∑∑ X i =1 j =1 t
ij
∑r i =1
i
2
22
JK perlakuan JK plk = ri Σ τi2
= ∑ ri ( X i − X ..) 2 2 i
X −2 ri
=∑
(∑∑ X i j ) 2
∑
ri
+∑
JKplk =
∑ i =1
X i2. ri
∑ ∑ X ij . i j = = 1 1 − t ∑ ri t
t
∑∑ X i j ri ∑ ri r
2
2
i =1
JK sst = JK total – JK perlakuan 10/15/2012
23
db plk= t - 1 db total=∑ri - 1 db sesatan= dbtotal – db perlakuan
MS perlakuan =Jk plk/db plk MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan ○ F hit = MS plk/MS sst ○ F tabel = F[(1-α);(dbplk, db
10/15/2012
sst)]
24
Contoh CRD ulangan tidak sama i
j
Xij
µ
τi
eij
A
1
12
10
2
0
Ul PLK
A
B
C
1
12
8
9
A
2
11
10
2
-1
2
11
9
9
A
3
11
10
2
-1
3
11
7
.
A
4
14
10
2
2
4
14
.
.
B
1
8
10
-2
0
Xi.
48
24
18
B
2
9
10
-2
1
B
3
7
10
-2
-1
C
1
9
10
-1
0
C
2
9
10
-1
0
Σ (..)
90
90
0
0
Σ (..)2
938
900
30
8
Xi.
12
8
9
τi
2
-2
-1
10/15/2012
25
Ulangan tidak sama 90 2 8100 2 FK = = = 900 4+3+ 2 9 JKtotal = (12 2 + 112 + .... + 9 2 ) − (900) = 38
482 24 2 182 JKperlakuan = + + − 900 = 30 4 3 2
JKsst = JKtot − JKplk = 38 − 30 = 8 10/15/2012
26
Anova • • • • • •
db plk = 3-1=2 db total = 9-1=8 db sesatan=8-2=6 MS plk atau KT plk= 30/2=15 MS sesatan atau KT sst=8/6=1,33 F hit=15/1,3=11,25
Sumber ragam
db
JK
KT
F hit
Perlakuan
2
30
15
11,25
Sesatan
6
8
1,3
Total
8
38
10/15/2012
Bagaimana kesimpulan anda ?
Fα=5% ?
27
Model linear:
Xijk= µ + τi + eij + εijk
Xijk= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j, sampel ke-k µ = rerata umum ζi = pengaruh perlakuan ke-i eij = pengaruh ulangan ke-j pada perlakuan ke-i εijk = pengaruh sesatan ke-k pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j k = sampel ke-k i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, r k = 1, 2, 3, ……. , s
CRD dg beberapa pengamatan tiap experimental unit Perlakuan 1
Sample 1 Sample 2 Sample 3 Sample 4
10/15/2012
Perlakuan 2
Ul 1
Ul 2
Ul 3
Ul 1
Ul 2
Ul 3
X111 X112 X113 X114 X11.
X121 X122 X123 X124 X12. X1..
X131 X132 X133 X134 X13.
X211 X212 X213 X214 X21.
X221 X222 X223 X224 X22. X2..
X231 X232 X233 X234 X23.
X… 29
Xijk=µ + τi + eij + εijk Xijk - µ = ζi + eij, + εijk τI, eij & εijk independen Σ Σ Σ (Xijk - µ)2 = Σ Σ Σ (τi + eij + εijk)2 Σ Σ Σ (Xijk - µ)2 = Σ Σ Σ τi2 + Σ Σ Σ eij2 + Σ Σ Σ εijk2 JK total JK perlakuan JK ul/perl JK samp/ul/perl Σ Σ Σ(Xijk - µ)2= Σ Σ Σ Xijk2 + trs µ2 – 2trs µ2 = Σ Σ Σ Xijk2 – trs µ2 = Σ Σ Σ Xijk2 – trs (Σ Σ Σ Xijk)2/(trs)2 = Σ Σ Σ Xijk2 – (Σ Σ Σ Xijk)2/trs ∑∑∑ Xijk i =1 j =1 k =1 2 Xijk − t.r .s t
t
10/15/2012
r
s
JKtotal = ∑∑ ∑ i =1 j =1 k =1
r
s
2
30
JK perlakuan JK plk = r s Σ τi2
= r.s ∑ ( X i .. − X ...) X .. ∑ = i
r.s
2
−2
(∑ ∑
∑X
i jk
)
2
t.r .s
∑ ∑ ∑ X i jk + r.s .t t.r .s
2 ∑∑∑ X ijk X .. ∑ i i =1 j =1 k =1 i =1 JKplk = − r.s t.r.s t
10/15/2012
t
r
s
2
2
2
31
Jk ulangan/perlakuan = Jk experimental error = sj ∑ ∑ eij2
= sj∑ =
∑
∑(X
∑ Xi j. s
2
ij
. − X i ..)
∑ X i .. (∑ X i ..) −2 + s .r r.s r . s 2
2
X ij . ∑ X i .. ∑∑ i =1 j =1 JKul / perl = − i =1 s r .s t
r
t
2
2
2
10/15/2012
32
JK samp/ul/perl = JK pooled error = Jk Total – Jk Perlakuan – Jk ul/perl
∑∑ Xij. i =1 j =1 2 Xijk − s t
t
r
s
JKsamp / ul / perl = ∑∑ ∑ i =1 j =1 k =1
10/15/2012
r
33
2
db plk= t - 1 db total= s.r.t - 1 db ul/perlk = (r-1)t db sesatan= db samp/ul/perlk =dbtotal – db perlakuan- db ul/perl= (s-1)rt MS perlakuan =Jk plk/db plk MS ul/perl = Jk ul/perl : db ul/perlk MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan
○ F hit = MS plk/MS sst ○ F hit = MS ul/perlk : MS sst ○ F tabel = F[(1-α);(dbplk, db
sst)]
○ F tabel = F[(1-α);(dbul/plk, db 10/15/2012
sst)] 34
Model linear:
Xijk= µ + τi + eij + εijk
Xijk= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j, sampel ke-k µ = rerata umum τi = pengaruh perlakuan ke-i eij = pengaruh ulangan ke-j pada perlakuan ke-i εijk = pengaruh sesatan ke-k pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j k = sampel ke-k i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, ri k = 1, 2, 3, ……. , sij
Xijk=µ + τi + eij + εijk Xijk - µ = τi + eij, + εijk τI, eij & εijk independen Σ Σ Σ (Xijk - µ)2 = Σ Σ Σ (ζi + eij + εijk)2 Σ Σ Σ (Xijk - µ)2 = Σ Σ Σ ζi2 + Σ Σ Σ eij2 + Σ Σ Σ εijk2 JK total JK perlakuan JK ul/perl JK samp/ul/perl Σ Σ Σ(Xijk - µ)2= Σ Σ Σ Xijk2 + ∑∑sij µ2 – 2 ∑∑sij µ2 = Σ Σ Σ Xijk2 – ∑∑sij µ2 = Σ Σ Σ Xijk2 – ∑∑sij (Σ Σ Σ Xij)2/(∑∑sij)2 = Σ Σ Σ Xijk2 – (Σ Σ Σ Xij)2/ ∑∑sij t
ri
sij
JKtotal = ∑∑ ∑ i =1 j =1 k =1
10/15/2012
t ri sij ∑∑∑ Xij. i =1 j =1 k =1 Xijk 2 − t
2
ri
∑∑ s i =1 j =1
ij
36
JK perlakuan JK plk = ∑ sij Σ τi2 = ∑ s ij ∑ ( X i .. − X ...) 2
=∑
2
X i.. −2 s ∑ ij
(∑ ∑
∑ X i jk ) 2
∑∑
+ ∑∑
sij
∑∑∑ X ijk X i ..2 i =1 j =1 k =1 − t
t
JKplk = ∑ i =1
ri
∑s j =1
10/15/2012
∑ ∑ ∑ X i jk sij ∑∑ sij
ij
ri
t
sij
2
2
ri
∑∑ i =1 j =1
sij 37
Jk ulangan/perlakuan = Jk experimental error = sij ∑ ∑ eij2
= sij ∑ = ∑∑
X ij . sij
2
∑(X − 2∑
t
ij
. − X i ..)
X i ..2 +∑ ∑ sij ri
JKul / perl = ∑∑ i =1 j =1
2
X ij . sij
X i .. ∑ sij t
2
−∑ i =1
X i ..
2
ri
∑s j =1
10/15/2012
2
ij
38
JK samp/ul/perl = JK pooled error = Jk Total – Jk Perlakuan – Jk ul/perl
t
ri
sij
t
ri
JKsamp / ul / perl = ∑∑ ∑ Xijk − ∑∑ 2
i =1 j =1 k =1
10/15/2012
i =1 j =1
X ij .
2
sij
39
db plk= t - 1 db total= ∑∑sij- 1 db ul/perlk = ∑(ri-1)t db sesatan= db samp/ul/perlk =dbtotal – db perlakuan – db ul/perlk MS perlakuan =Jk plk/db plk MS ul/perl = JK ul/perl : db ul/perl MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan
• • • •
• F hit = MS plk/MS sst • F hit = MS ul/perl : MS sst • F tabel = F[(1-α);(dbplk, db sst)] • F tabel = F[(1-α);(dbul/plk, db sst)] 10/15/2012
40
Soal Latihan Data hasil percobaan pengaruh macam media perkecambahan terhadap panjang hypocotyl (cm) kecambah kacang hijau pada saat umur 6 minggu adalah sebagai berikut: Perlakuan
A
B
C
Ulangan
1
2
3
4
1
2
3
1
2
Sampel 1
16
14
15
16
17
18
17
24
23
Sampel 2
15
13
16
15
19
17
19
22
21
Sampel 3
15
14
15
16
18
18
19
22
23
Keterangan: A : media air di petridish; B : media kapas; C : media kertas saring
a.Ujilah apakah perbedaan macam media perkecambahan menyebabkan perbedaan panjang hypocotyl kecambah kacang hijau (α = 5%) b.Hitunglah nilai CV-nya 10/15/2012
41
