CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis november 9

CHT& NSZT Hoeffding NET mom.

stabilis

´ ´ ´ tetelek ´ Becslesek, hatareloszl as ´ ´ Szekely Balazs

2011. november 9.


stabilis

1

´ NSZT CHT es

2

˝ ´ Hoeffding-egyenlotlens eg ´ ´ szabalyoz ´ ´ Alkalmazasa: Beengedes as ´ ´ Alkalmazasa: veletlen algoritmus

3

´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ etel ´ Cramer-t ´ fuggv ´ kiszamol ´ ´ A rata ¨ eny asa ´ fuggv ´ kiszamol ´ ´ A rata ¨ eny asa ´ ak ´ rataf ´ uggv ´ Peld ¨ enyekre ´ a videos ´ peld ´ ara” ´ Alkalmazas ” ´ Momentum problema

4 5

´ ınus ´ valtoz ´ ´ osszeg ¨ ´ ´ ert ´ eke ´ Valosz´ ˝ egi ok enek hatar ´ Szimmetrikus stabilis eloszlasok ´ tartomany ´ Vonzasi ´ Maximumok konvergenciaja


stabilis

´ Pelda ¨ en ´ o˝ video´ szolgaltat ´ as ´ eseten ´ a Interneten keresztul ¨ tort ´ ´ bitrat ´ aja ´ 2,6 es ´ 3 Mbps koz ¨ ott ¨ valtozik ´ felajanlott videok (VBR ´ ast ´ hasznaltak ´ ´ kodol minden esetben) atlagosan 2,8 Mbps. Ha ˝ ´ 1000 igenyre ´ csucsid ´ oben egy bizonyos szervernel ´ ıtanak, akkor mekkorara ´ kell tervezni a savsz ´ ´ ´ szam´ eless eget, ´ ´ ınus ´ hogy egy masodperc alatt legfeljebb 10−6 valosz´ ˝ eggel ne ´ tudjon minden igenynek eleget tenni. ´ ´ a Elvileg 1000 × 3 = 3000 Mbps kapacitasra lenne szuks ¨ eg legrosszabb esetben. ´ ´ ´ ´ ´ az aktualis ´ aggregalt ´ A minimalisan szuks ¨ eges savsz eless eg ´ ´ ´ igeny ´ varhat ´ ´ eke! ´ savsz eless eg o´ ert ´ Miert?


stabilis

´ hatareloszl ´ ´ etel ´ CHT – centralis as-t ´ Tetel ´ u´ valosz´ ´ ınus ´ Legyenek X1 , X2 , . . . fuggetlen, ¨ azonos eloszlas ˝ egi ´ σ = D(X1 ) letezik ´ ´ veges. ´ ´ ´ ugy, es valtoz ok ´ hogy m = EX1 es Ekkor ha n → ∞, akkor X1 + · · · + Xn − nm √ P < x → Φ(x), nσ ´ eloszlas ´ eloszlasf ´ uggv ´ ahol Φ(x) a standard normalis ¨ enye. ´ o´ Ha n nagy, akkor ez alkalmas lehet a baloldalon all ´ ınus ´ kozel´ ¨ ıtes ´ ere, ´ valosz´ ˝ eg azaz, ha n nagy, akkor tekintsuk ¨ ugy, ´ hogy X1 + · · · + Xn − nm √ < x ≈ Φ(x). P nσ ´ ´ ´ ara. ´ ´ Hasznaljuk ezt a pelda megoldas Termeszetesen meg kell ´ ¨ ıtessel ´ ´ vet ´ unk. majd vizsgalni, hogy a kozel´ mekkora hibat ¨


stabilis

´ a peld ´ ara ´ CHT alkalmazasa ´ a savsz ´ ´ ´ Also´ korlat eless egre

´ ´ ´ ´ ´ az aktualis ´ aggregalt ´ A minimalisan szuks ¨ eges savsz eless eg ´ ´ ´ igeny ´ varhat ´ ´ eke! ´ savsz eless eg o´ ert ´ Miert? ´ bitrat ´ aj ´ anak ´ ´ ´ eke ´ m, Tegyuk ¨ fel, hogy a videok varhat o´ ert ´ asa ´ σ. szor ´ tetszoleges ´ bitrat ´ aja. ´ ˝ Legyen Xi az i-dik video´ aktualis Es n-re legyen Sn = X1 + · · · + Xn . ´ az aktualis ´ osszes´ ¨ ´ ´ ´ Legyen a kapacitas ıtett savsz eless eg ´ ´ eke ´ C = ES1000 . Megmutatjuk, hogy ezen kapacitas ´ varhat o´ ert 1 ´ ´ ¨ ıtoleg ˝ val osz´ ı n us ˝ eggel nem lesz mellett ha n nagy, akkor kozel´ 2 ´ a kapacitas, ´ azaz P(S1000 > ES1000 ) ≈ 12 . eleg ´ ´ a kovetkez ¨ ´ an ´ nezz ´ uk Ennek modszer et o˝ foli ¨ meg, amin ´ ´ szuks ´ ´ ´ ´ ´ kiszamoljuk a minimalis ¨ eges savsz eless eget. Ezutan ¨ ıtessel. ´ foglalkozunk a P(S1000 > ES1000 ) ≈ 12 kozel´


stabilis

´ a peld ´ ara ´ CHT alkalmazasa ´ ´ ´ ´ ´ Minimalisan szuks ¨ eges savsz eless eg

´ aktualis ´ bitrat ´ aja ´ egyenletes Tegyuk ¨ fel, hogy a videok √ ´ ¨ ¨ ´ ´ 3−2,6 = √2 . eloszlasu´ a [2, 6 , 3] kozott. Ekkor a szoras 12 5 12 ´ Ha x > 2800, akkor P (S1000 > x) = ...(CHT hasznalata) ´ ıtas ´ aban ´ ´ ´ latni. ´ A CHT all´ szereplo˝ hanyadost szeretnenk ´ ´ hogy ez megjelenjen, Alak´ıtsuk ugy ´ a baloldalon a valvaltoz ot, ¨ ´ nem valtozik, ´ mikozben az esemeny azaz a jobboldalon is ´ ugyanazokat a muveletek ˝ hajtjuk vegre. · · · = P (S1000 − 1000 · 2, 8 >x − 2800)=

P

S1000 √ −1000·2,8 1000 √2 5

Azaz Φ

>

12

√x−28002 1000 √

5 12

√x−28005 1000 √ 2

12

=1−

≈1−Φ

√x−28002 1000 √ 5

= 10−8

12

10−6

´ eloszlas ´ tabl ´ azat ´ ab ´ ol: ´ Φ(4, 7) = 1 − 10−6 . A standard normalis x − 2800 √ = 4, 7 ⇒ x = 2821, 45 ≈ 2822. 1000 √2 5 12 ´ Ez az elengedhetetlenul ¨ szuks ¨ eges 2800-nak a 0,77%-a.


stabilis

´ a peld ´ ara ´ CHT alkalmazasa ´ ´ a savsz ´ ´ ´ Also´ korlat eless egre. FOLYTATAS!

´ ´ ´ ´ ´ az aktualis ´ aggregalt ´ A minimalisan szuks ¨ eges savsz eless eg ´ ´ ´ igeny ´ varhat ´ ´ eke! ´ savsz eless eg o´ ert ´ Miert? ´ Azt fogjuk latni, hogy ha n nagy, akkor P(Sn > ESn ) ≈ 12 . ˝ o˝ foli ´ an ´ bemutatott modszerrel ´ ´ Az eloz csinaljuk. ESn = nm, ekkor P(S > ES ) = P(S − nm > nm − nm) = n n n S√ n −nm n −nm √0 √0 > = 1 − P < ≈ 1 − Φ(0). P S√ nσ nσ nσ nσ CHT

´ o´ valosz´ ´ ınus ´ 12 . Mivel Φ(0) = 12 , a jobboldalon all ˝ eg


stabilis

¨ ıtes ´ hibaja ´ fix n-re CHT kozel´ ´ ´ Berry-Esseen tetel

´ E|Xi |3 = ̺ < ∞, akkor letezik ´ Ha EXi = 0, D 2 (Xi ) = σ 2 < ∞, es egy C > 0 (abszolut konstans) ugy, ´ hogy C̺ n P S √ < x − Φ(x) ≤ 3 √ σ n σ n

´ Elofordulhat, ˝ Megjegyzes: ´ x0 -ra a hogy egy konkret hiba sokkal kisebb.


stabilis

´ ¨ ıtes ´ fix n-re CHT konvergencia gyorsasaga, kozel´ ´ ´ Berry-Esseen tetel

´ E|Xi |3 = ̺ < ∞, akkor letezik ´ Ha EXi = 0, D 2 (Xi ) = σ 2 < ∞, es egy C > 0 (abszolut konstans) ugy, ´ hogy C̺ S n P √ < x − Φ(x) ≤ 3 √ σ n σ n

´ Esseen (1942): C = 7, 59. van Beeck (1972): C = 0, 7975. Shiganatov (1986): C = 0, 7655. Shevtsova (2007): C = 0.7056. Ez a legjobb jelenleg. √ 10+3 ´ ´ ´ Esseen elmeleti korlatja: C ≥ 6√ ≈ 0, 4097. 2π

´ ha n fix es ´ nem hatar ´ ert ´ ekben ´ ´ Ezert erdekes a feladat, akkor ´ ´ ´ nagy valosz´ınus ˝ eggel lehet tevedni. Pl. ha n = 100, vagy 1 1 ´ es ´ az igazi n = 10000, akkor c 10 , vagy c 100 lehet az elter ´ ınus ´ ol. ˝ valosz´ ˝ egt Így a videos ´ peld ´ aban ´ ´ szamoltunk ´ ´ 10−6 hiaba kapacitast ´ ınus ´ ´ ´ ´ nagysagrendje ´ ´ sokkal valosz´ ˝ eges hibara, a teved es ennel nagyobb lehet.


stabilis

´ ´ Beengedes Veletlen algoritmus

˝ ´ Hoeffding-egyenlotlens eg

´ (Hoeffding-egyenlotlens ˝ ´ Tetel eg) Legyen ak ≤ Xk ≤ bk 1 val. Ekkor 2n2 c 2 P(Sn − ESn ≥ nc) ≤ exp − Pn . 2 k =1 (bk − ak ) ´ formaban ´ Vagy mas 2t 2 . P(Sn ≥ ESn + t) ≤ exp − Pn 2 k =1 (bk − ak )

˝ ´ igen hatekony ´ A Hoeffding-egyenlotlens eg tud lenne, hiszen ´ at, ´ csak a korlatait, ´ ˝ az nem kell tudni az Xi -knek az eloszlas sot ´ ´ ekeket ´ ¨ egyedi varhat o´ ert sem kell tudni, csak az osszes´ ıtett ´ ´ eket. ´ varhat o´ ert


stabilis


˝ ´ alkalmazasa ´ Hoeffding-egyenlotlens eg ´ szabalyoz ´ ´ Beengedes as ¨ en ´ o˝ video´ szolgaltat ´ as ´ eseten ´ a felajanlott ´ ´ Interneten keresztul ¨ tort videok ´ aja ´ 2,6 es ´ 3 Mbps koz ¨ ott ¨ valtozik ´ ´ ast ´ hasznaltak ´ bitrat (VBR kodol minden ´ ˝ ´ 1000 esetben) atlagosan 2,8 Mbps. Ha csucsid ´ oben egy bizonyos szervernel ´ ´ ıtanak, akkor mekkorara ´ kell tervezni a savsz ´ ´ ´ igenyre szam´ eless eget, hogy ´ ´ ınus ´ egy masodperc alatt legfeljebb 10−6 valosz´ ˝ eggel ne tudjon minden ´ igenynek eleget tenni.

´ ˝ ´ Hasznaljuk a Hoeffding-egyenlotlens eget! ´ ES1000 = 2800 Mbps. Ekkor a s ´ ´ eg ´ ai = 2, 6 bi = 3, es avsz eless 2t 2 ´ S1000 , amire: P(S1000 ≥ 2800 + t) ≤ exp − .A foglaltsag 160 2t 2 legkisebb t keressuk, ¨ amire a hiba exp − = 10−6 . Ezt 160 ´ a keresett kapacitas ´ t-re megoldva: t = 33, 24. Tehat C = ES1000 + t = 2833, 24. A 33,24 a 2800-nak a 1,2%-a.


stabilis


˝ ´ alkalmazasa ´ Hoeffding-egyenlotlens eg

´ ´ el. ´ Az egy csalad ´ altal ´ Egy varosban 40000 csalad egy nap ´ mennyisege ´ semmikeppen ´ ¨ alatt termelt szemet nem tobb, mint ´ ´ eke ´ 20 liter, szor ´ asa ´ 10 liter. 50 liter; a varhat o´ ert 1 ´ u´ szemet ´ eget ´ ´ ıtsen az Mekkora napi kapacitas o˝ uzemet ¨ ep´ ¨ ´ ´ ´ szemetnek, ´ ´ onkorm anyzat a haztart asi ha azt szeretnek, ´ hogy annak az eselye, hogy az uzem ¨ nem tudja feldolgozni ˝ ott ¨ szemetet, legfeljebb 1% az egy nap alatt termelod ´ a CHT alapjan. ´ legyen? Adjunk becslest 2

´ nem alkalmazhato´ a CHT, ha az onkorm ¨ ´ Miert anyzat 1% ´ helyett 10−8 -os biztonsagot szeretne? Ebben az esetben ´ a Hoeffding-korlat ´ seg´ıtseg ´ evel. ´ adjunk becslest


stabilis


´ algoritmusok Randomizalt

´ ıtog ´ ep ´ p > 12 valosz´ ´ ınus ´ Tegyuk ¨ fel, hogy egy szam´ ˝ egek tudja ´ ´ ´ lehetseges ´ ´ ek ´ koz ¨ ul kiszamolni a helyes eredmenyt ket ert ¨ (a − b. ´ ´ ¨ ´ n-szer vegrehajtjuk a k´ıserletet, majd egyszeru˝ tobbs egi ¨ est ´ hozunk: azt tekintjuk ´ ¨ ¨ dont ¨ eredmenynek, amelyik tobbsz or ¨ ki. jott ´ ınus ´ ¨ est ´ hozunk? (1) Mi a valosz´ ˝ ege annak, hogy rossz dont ´ (2) Ha ismert p, akkor hanyszor kell lefuttatni az algoritmust, ´ ınus ´ ´ hogy legfeljebb ε = 0, 05 valosz´ ˝ eggel tevedj unk. ¨


stabilis


´ algoritmusok (quantum szam´ ´ ıtog ´ ep) ´ Randomizalt ´ Legyen Xk = 1, ha rossz az algoritmus eredmenye, 0, ha jo´ az ´ ´ ´ ´ ol. ´ eredmeny. Ekkor Sn a rossz eredmenyek szama n futtatasb 1 ´ eket ´ ´ lehetos ˝ eg ´ koz ¨ ul, A rossz ert fogadjuk el a ket ¨ ha Sn > 2 n. ´ a rossz dont ¨ es ´ valosz´ ´ ınus ´ (a) Tehat ˝ ege P Sn > 21 n . ´ ¨ es ´ valosz´ ´ ınus ´ et, ´ ε-t, (b) Ha fixaljuk a rossz dont ˝ eg akkor 1 ´ ´ n-et, amire P Sn > 2 n ≤ ε. szamoljuk ki a minimalis ´ ˝ ´ Hasznaljuk a Hoeffding-egyenlotlens eget: P (Sn > ESn + t) ≤. 1 P Sn > 2 n = P (Sn > (1 − p)n + t). Ekkor 12 n = (1 − p)n + t ˝ egb ´ ol: ˝ t = p − 12 n. egyenlos ´ a´ ak = 0 ≤ Xk ≤ bk = 1 minden k-ra. Tovabb ´ ol: ´ A Hoeffding-korlatb 2 2 2t 2 2(p− 1 ) n2 − Pn (bk −ak ) 1 2 2 − n·1 ´ ... = e−2(p− 2 ) n = ε. Tehat, =e e k =1


stabilis


´ algoritmusok Randomizalt 1 2

´ tobbs ¨ ´ dont ¨ es ´ n futtatasb ´ ol) ´ ≤ e−2(p− 2 ) P(hibas egi ¨ ´ ol, ˝ Osszef ugg ¨ esb 1 1 √ ´ an: ´ ε = 0, 05, ε = 0, 01) (Az abr n= 2 ln ε (p− 21 )

n

= ε.


stabilis

´ kiszam´ ´ ıtas ´ ´ ıtas ´ ´ ak ´ ´ Cramer kiszam´ peld Alkalmazas

´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ Feladat felvetes X1 + X2 + · · · + Xn ´ ¨ enye: ´ A nagy szamok torv P → m −→1 n X1 + X2 + · · · + Xn ∈ (a, b) −→1 Ha a < m < b: P n ¨ Innen hogy ha m <a < b, akkor kovetkezik, X1 + X2 + · · · + Xn P ∈ (a, b) −→0 n ´ formaban: ´ Vagy mas P (an < X1 + X2 + · · · + Xn < bn) −→0

Mit tudunk mondani fix n-re, azaz X1 + X2 + · · · + Xn ∈ (a, b) ≈ . . . P n


stabilis


´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ (Cramer-t ´ etel) ´ Tetel ´ ´ F (x) eloszlasf ´ uggv ´ ´ Legyenek Xi -k i.i.d. valvaltoz ok ¨ ennyel es ´ intervallum. Ekkor letezik ´ ´ (a, b) egy valos egy I(x) rata ” ´ fuggv ¨ eny” ugy, ´ hogy X1 + X2 + · · · + Xn 1 ∈ (a, b) −→ inf I(x). − ln P n→∞ a<x

stabilis


´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ fuggv ´ kiszamol ´ ´ A rata ¨ eny asa M(λ) = EeλX ,

Î(λ) := ln M(λ), I(x) = sup(λx − Î(λ)). λ∈R

¨ ´ hogy I(x) mindig konvex, tovabb ´ a´ a Konnyen bizony´ıthato, ´ ´ ek ´ eben ´ minimuma X varhat o´ ert van, azaz I(EX ) = 0 Praktikusan: ha x ∈ (x , x), akkor az Î ′ (λ)) = x egyenletnek ´ ´ letezik egyetlen megoldasa, λ(x). Ekkor I(x) = xλ(x) − Î(λ(x)).



stabilis

´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ fuggv ´ A rata ¨ eny

1

1

F (x)

F (x)

0

0

x

x ∞

x

∞

∞

I(x)

x

EX

I(x)

x

x

EX


stabilis


´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ fuggv ´ A rata ¨ eny

∞

∞

∞

I(x)

x

a

EX

b

I(x)

x

x

EX

a

Haa < EX < b: X1 + X2 + · · · + Xn ∈ (a, b) →e−n infa<x
b


stabilis


´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ fuggv ´ kiszamol ´ ´ A rata ¨ eny asa M(λ) = EeλX ,

Î(λ) := ln M(λ), I(x) = sup(λx − Î(λ)). λ∈R

¨ ´ hogy I(x) mindig konvex, tovabb ´ a´ a Konnyen bizony´ıthato, ´ ´ ek ´ eben ´ minimuma X varhat o´ ert van, azaz I(EX ) = 0 Praktikusan: ha x ∈ (x , x), akkor az Î ′ (λ)) = x egyenletnek ´ ´ letezik egyetlen megoldasa, λ(x). Ekkor I(x) = xλ(x) − Î(λ(x)).


stabilis


´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ fuggv ´ kiszamol ´ ´ A rata ¨ eny asa ´ N (m, σ): M(λ) = emλ+ Normalis

σ 2 λ2 2

, I(x) =

x ∈ R EX = m, I(m) = 0

(x − m)2 , ha 2σ 2

λ N ´ p): M(λ) Binomialis(N, = (1 − p + pe ) , N x 1−p − N ln (1 − p) N−x I(x) = x ln N−x , ha 0 < x < N. p EX = Np, I(Np) = 0 t

Poisson(λ): M(λ) = eλ(e −1) , I(x) = x ln EX = λ, I(λ) = 0

x λ

− x + λ, ha 0 < x.

peλ , Geometriai(p): M(λ) = 1 − (1 − p)eλ 1 p + ln 1−p (1 − x) , ha x > 1. I(x) = x ln 1 − x1 1−p 1 EX = , I p1 = 0 p


stabilis


´ es ´ tetel ´ Nagy elter ´ pelda ´ A videos” ujra ´ ” ´ kell tudni az eloszlast! ´ Itt mar Tegyuk ¨ fel, hogy 2 (x − 2, 8)2 (I(x) = (x−m) Xi ∼ N (2, 8; 0, 06). Ekkor I(x) = ). 2 2σ 0, 0036 ´ Tehat 2 (c−m)2 Sn −n −n (c−2,8) 0,0036 2σ 2 =e P (Sn > C) = P >c ≤e n

P

S1000 1000

P (S1000 > C) = 2 −1000 (c−2,8) 0,0036 = 10−6 . >c ≤e

´ Ezt c-re megoldva azt kapjuk, hogy c = 2, 81, azaz a kapacitas C = 1000c = 2810.


stabilis

´ Momentum problema

1

2

´ es:) ´ ´ ´ (Letez Adott egy szamsorozat, m1 , m2 , . . . . Letezik-e ´ uggv ´ olyan F eloaszlasf ¨ eny, amely pont ezeket a ´ ıtja elo? ˝ momentumokat all´ Pontosabban: ∀n EX n = mn ´ uggv ´ ahol X eloszlasf ¨ enye F. ´ ´ ´ momentumai (Egyertelm us ˝ eg:) Egy eloszlas ´ ´ ´ meghatarozz ak-e az eloszlast? Pontosabban: Az F (x) elofv az m1 , m2 , . . . momentumokat ´ ıtja elo. ˝ Letezik-e ´ ´ ˝ kul ¨ oz ¨ o˝ all´ egy masik, F -tol ¨ onb ´ uggv ´ ´ eloszlasf ¨ eny, amelynek ugyanezek a szamok a momentumai?


stabilis

´ Momentum problema

¨ oz ¨ o˝ eset: 3 kul ¨ onb 1 ´ (−∞, ∞) (Hamburger momentum problema) ´ F (x) tartoja 2 3

´ [0, ∞) (Stieltjes momentum problema) ´ F (x) tartoja ´ egy korlatos ´ F (x) tartoja intervallum [a, b] (Hausdorff

´ momentum problema)


stabilis

´ Momentum problema ´ ´ (−∞, ∞) (Hamburger momentum problema) F (x) tartoja

´ ezekkel ´ ´ adott m1 , m2 , . . . sorozat eseten Letezik egy eloszlas a momentumokkal, ha a   m1 m2 m3 . . .  m2 m3 m4 . . .     m3 m4 m5 . . .    .. .. .. . . . . . . ´ matrix pozit´ıv szemidefinit, azaz

P

i,j≥1

˝ cn mi+j ci cj ≥ 0 tetszoleges

´ ´ sorozatra. korlatos komplexszam

´ egyertelm ´ Az eloszlas u, ˝ ha |mn | ≤ C · D n n! valamilyen pozit´ıv ´ C, D konstansokkal, minden n szamra.


stabilis

´ szimmetrikus vonzas maximumok

´ ınus ´ valtoz ´ ´ osszeg ¨ ´ ´ ert ´ eke ´ Valosz´ ˝ egi ok enek hatar ´ es, ´ milyen eloszlashoz ´ ´ Adott X1 , X2 , . . . i.i.d. Kerd konvergal X1 + · · · + Xn − bn → ... an ´ bn sorozatokkal? ha n → ∞, valamilyen an es ´ ´ ´ ´ ´ u´ lehet. Mi Ha letezik hatarertek, akkor az csak stabilis eloszlas az, hogy stabilis? ´ Defin´ıcio´ (Stabilis eloszlas) ´ u, ˝ ´ es ´ tetszoleges ˝ X stabilis eloszlas ´ ha tetszoleges n eseten ´ szamok ´ ´ a1 X1 + · · · + an Xn eloszlasa ´ a1 , . . . , an valos eseten ´ aval, ´ ´ βn megfeleloen ˝ megegyezik αn X + βn eloszlas ahol αn es ´ ´ szamok. ´ ´ valasztott valos Specialisan elo

X1 + · · · + Xn = αn X + βn .


stabilis


´ ak ´ stabilis eloszlasra ´ Peld

´ ´ u´ eloszlas ´ lehet stabilis. Pelda: ´ Csak vegtelen tartoj Poisson, ´ Normalis, ... ´ fuggetlen ´ u´ valvaltoz ´ ¨ Volt: ket ¨ Poisson eloszlas o´ osszege ´ Poisson eloszlasu´


stabilis


´ Stabilis eloszlasok ´ ıtas ´ (Szimmetrikus stabilis eloszlasok) ´ All´ ´ ´ ukkel A stabilis eloszlasokat a karakterisztikus fuggv ¨ eny ¨ lehet ´ szimmetrikus is, akkor a megadni.* Ha egy stabilis eloszlas ´ karakterisztikus fuggv ¨ enye ϕ(t) = e−c|t|

α

´ indexe, 0 < α ≤ 2. alaku, ´ ahol α a stabilis eloszlas −c|t|α ´ egy stabilis eloszlas ´ ´ eszt, ´ alaku´ fuggv ¨ eny Masr ϕ(t) = e ´ karakterisztikus fuggv ¨ enye. ´ uggv ´ es ´ eloszlasf ´ uggv ´ csak neh ´ any ´ A sur ˝ us ˝ egf ¨ eny ¨ eny ´ ´ ek ´ eseten ´ lehet megadni. Pl.: normalis ´ eloszlas: ´ parameter ert x2 σ2 2 1 − e 2σ2 . α = 2 ϕ(t) = e− 2 t , f0,σ (x) = √ 2πσ


stabilis


´ Stabilis eloszlasok ´ tartomany ´ Vonzasi

´ (Szimmetrikus stabilis eloszlasok ´ ´ tartomanya) ´ Tetel vonzasi ´ uggv ´ Ha X1 , X2 , . . . i.i.d. F (x) eloszlasf ¨ ennyel ´ uak: szimmetrikus eloszlas ´ F (−x) = 1 − F (x)

´ hatvanyrend ´ a farok eloszlas u: ˝ x α (1 − F (x)) → b, amint ´ x → ∞, valamilyen 0 < α < 2, b ∈ (0, ∞) szamokra. Sn ´ a hatareloszl ´ ´ α indexu˝ Ekkor 1/α konvergens es as n ´ szimmetrikus stabilis eloszlas. ( 0 |x| < 1 α ´ ´ ´ Pelda ilyen valvaltoz okra: f (x) = |x| ≥ 1 2|x|α+1 (≈ szimmetrikus Pareto (1, α))


stabilis


´ Maximumok konvergenciaja

´ uggv ´ ´ a´ Legyen X1 , X2 , . . . i.i.d. F (x) eloszlasf ¨ ennyel. Tovabb legyen Mn = max{X1 , X2 , . . . , Xn }. ´ F (x) < 1 es ´ limx→∞ x α (1 − F (x)) = b Ha minden x eseten ´ valamilyen α, b pozit´ıv szamokkal (azaz 1 − F (x) ∼ x −α , ha 1 −α ´ ´ konvergal: x → ∞), akkor n Mn eloszlasban 1 −α P n− α Mn < x → e−bx , ha x > 0. ´ Ez nem csak stabilis eloszlasokra igaz.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis november 9

Recommend Documents