Otázka 8: Charakteristiky dvojbranu, LC, RC a číslicové filtry, syntéza filtru, diskrétní analogový filtr – spínané obvody.
Charakteristiky dvojbranu Brána – dvojice svorek, v níž proud vstupující jednou svorkou do n-branu je roven proudu vystupujícímu druhou svorkou z n-branu Dvojbran – základný vícepólový prvek s dvěma branami – vstupní brána a výstupní brána. Jeho vlastnosti múžeme vyjádřit vztahy mezi napětím u1 (t ) , u 2 (t ) ,a proudy i1 (t ) , i2 (t ) jeho brán. Impedanční charakteristiky dvojbranu – jejich význam vyplýva ze stavu dvojbranu naprázdno. Za obecnou charakteristiku dvojbranu se dá považovat impedanční matice dvojbranu
⎡ Z11 Z12 ⎤ ⎥ ⎣ Z 21 Z 22 ⎦
[Z ] = ⎢
kde prvky Z 11 a Z 22 jsou vstupní a výstupní impedance dvojbranu naprázdno které u skutečních dvojbranů stanovíme přímím měřením impedance mezi príslušnými svorkami. Pvky Z 12 a Z 21 jsou přenosové impedance které jsou definovány poměrem napětí a proudu různych bran. Zvolíme-li za nezávislé proměnné oba proudy,dostaneme impedanční rovnice : U 1 = Z11 I1 + Z12 I 2
U 2 = Z 21 I1 + Z 22 I 2
⎡U 1 ⎤ ⎡ Z11 Z12 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢ I ⎥ U Z Z 2 ⎢ 21 22 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎦ ⎣ ⎣
Význam prvku : Z 11 =
U1 U U U , Z 12 = 1 , Z 21 = 2 , Z 22 = 2 I1 I 2 = 0 I 2 I1 = 0 I1 I 2 = 0 I 2 I 1= 0
Na to abychom sme mohli stanovit dvojbranové charakteristiky je nutné zvolit kladné smysly obvodových veličin.
Zvolíme-li za nezávislé proměnné obě napětí, dostaneme admitanční rovnice. I1 = Y11U 1 + Y12U 2
I 2 = Y21U 1 + Y22U 2
⎢ I1 ⎥ ⎢Y11Y12 ⎥ ⎢U 1 ⎥ ⎢ I ⎥ = ⎢Y Y ⎥.⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣U 2 ⎦
Význam prvku : Y11 =
I1 I I I , Y12 = 1 , Y21 = 2 , Y22 = 2 U1 U 2 = 0 U 2 U1 = 0 U1 U 2 = 0 U 2 U 1= 0
Význam admitančních charakteristik,které mají rozmer [S ] ,vyplýva ze stavu dvojbranu nakrátko. Prvky Y11 a Y22 jsou vstupní a výstupní admitance dvojbranu nakrátko které u skutečních dvojbranů stanovíme přímím měřením admitance mezi príslušnými svorkami. Pvky Y12 a Y21 jsou přenosové admitance které jsou definovány poměrem napětí a proudu rúznych bran. Smíšené rovnice – za nezávisle proměnnou je vždy zvolená jedna vstupná a jedna výstupná veličina. Smíšená seriově paralelní rovnice :
Význam prvku : H 11 =
U1 U I I , H 12 = 1 , H 21 = 2 , H 22 = 2 I1 U 2 = 0 U 2 I1 = 0 I1 U 2 = 0 U 2 I 1= 0
Smíšená paralelne sériová rovnice :
Význam prvku : K 11 =
⎡U 1 ⎤ ⎡ H 11 H 12 ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢ ⎥ ⎢⎣ I 2 ⎦ ⎣ H 21 H 22 ⎦ ⎣U 2 ⎦
⎡ I1 ⎤ ⎡ K11 K12 ⎤ ⎡U 1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢ ⎥ ⎢⎣U 2 ⎦ ⎣ K 21 K 22 ⎦ ⎣ I 2 ⎦
I1 I U U , K 12 = 1 , K 21 = 2 , K 22 = 2 U1 I 2 = 0 I 2 U1 = 0 U1 I 2 = 0 I 2 U 1= 0
Kaskádní rovnice : za nezávisle proměnnou volíme výstupní napětí a proud. Používají se zejména při posuzování způsobu přenosu signálu ze vstupu dvojbranu na výstup, který je zakončen pasivním dvojpólem nebo vstupem dalšího dvojbranu. A proto je vhodné volit znaménka podle
⎡U 1 ⎤ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡U 2 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢ ⎥ ⎣ I 1 ⎦ ⎣⎢ A21 A22 ⎦ ⎣ I 2′ ⎦
Pro původní obecnou volbu kladných smyslů platí :
⎡U 1 ⎤ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡U 2 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢− I ⎥ I A A ⎣ 1 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦ Význam prvku : A11 = A22 =
U U1 I , A12 = 1 , A21 = 1 , U2 I2 = 0 − I2 U2 = 0 U2 I2 = 0
I1 − I 2 U 2= 0
Zpětne kaskádní rovnice: používame pro posuzování způsobu přenosu signálu z výstupu dvojbranu na jeho vstup.
⎡U 2 ⎤ ⎡ B11 B12 ⎤ ⎡U 1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢ I ′ ⎥ I B B 2 ⎢ 21 22 ⎦⎣ 1 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣
Pro původní obecnou volbu kladných smyslu platí :
⎡U 2 ⎤ ⎡ B11 B12 ⎤ ⎡U 1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥.⎢ ⎥ ⎣ I 2 ⎦ ⎣⎢ B 21 B22 ⎦ ⎣− I 1 ⎦
Význam prvku : B11 =
U I U2 I , B12 = 2 , B21 = 2 , B22 = 2 U 1 I1 = 0 − I1 U 1 = 0 U 1 I1 = 0 − I 1 U 1= 0
Všechny z uvedených typu matic se použivají při analýze obvodu s dvojbrany. Přímo z maticového zápisu dvojbranových rovnic je patrné, že např. impedanční a admitanční matice stejne jako seriově paralelní a paralelně seriové matice jsou navzájem inverzní. Neplatí to pro kaskádní a zpětne kaskádní matice,které jsou v rovnicích sestavených pro odlišnou volbu kladných smyslů proudů. Princip reciprocity: nastáva u dvojbranú složených pouze z pasivních prvku. -výstupní napetí dvojbranu naprázdno musí být při buzení na vstupu zdrojem proudu I stejné jako vstupní napětí naprázdno při buzení dvojbranu týmž zdrojem na výstupu
Tadle skutečnost se dá pospat pomocí impedančních rovnic. A ve výsledku dostanem, že reciprocitní dvojbran je určen třemi nezávislími parametry.
Soumernost : Podélna soumernost - Dvojbran je souměrný pokaď se zámenou bran nezmení jeho poměry.To značí že jeho vlastnosti jsou tedy stejné z hlediska vstupní i výstupni brány. Příčná soumernost – u tyhletich dvojbranů se nezmění pomery při současné záměně svorek v obou bránach. Výsledkem je že reciprocitní soumerný dvojbran je určen pouze dvěma nezávislými parametry.
Príčná soumernost nemá žádny vliv na vztahy mezi charakteristikami, uplatňuje se pouze při vzájemném spojování dvojbranů.
Typy dvojbanů : Dvojbran s krajní příčnou nesouměrností : dvojbran jehož jedna vstupní svorka je přímo propojena s jednou výstupní svorkou. Degenerované dvojbrany: u nekterých dvojbranu složených pouze z jednoho nebo dvou dvojpólu neni splnena podmínka dvou nezávislých napětí a proudu.Důsledkem pak je singularita nekteré z jejich matic, takže vzhledem k inverzi pak nekteré jiné neexistují. Mohou být charakterizované menším počtem parametru, někdy i jediným. Aktivní dvojbrany: osahují řízené zdroje a neplatí tady princip reciprocity. Unitelárny dvojbran: všechny řídicí veličiny zdroju jsou závislé jen na vstupních veličinách a výstupní veličiny jsou dány jen řízenými veličinami zdroju, možný přenos signálu pouze ze vstupu dvojbranu na výstup. Bilaterární dvojbran: v němž je možný přenos signálu v obou směrech Dvojbrany často pracují jako mezičlánky v přenosové ceste mezi zdrojem a spotřebičem. Jejich úkolem je v tomto případe ovlivnit určitým žádaným způsobem přenos signálu.
Řazení dvojbranu :
Filtry LC, RC a číslicové Elektrické filtry : dvojbran ovlivňující definovaným zpúsobem kmitočtové spektrum přenášených signálu. Úkolem filtru je vybrat ze signálu s libovolným kmitočtovým spektrem pouze ty harmonické složky,které leží v požadovaném tzv.propustném pásmu kmitočtu a potlačit ostatní složky s kmitočty ležícími mimo toto pásmo v tzv. nepropustném pásmu. Ideální filtr by mel mít v nepropustním pásmu nulový přenos. U signálu , jehož všechny složky leží v propustném pásmu, dochází tedy při průchodu ideálním filtrem pouze ke změně velikosti a k jeho časovému zpoždení. Zpoždení časového průběhu odpovídajícího určité části spektra je obecne dáno strmostí příslušné části fázové charakteristiky τ = − dϕ / dω a nazýva se skupinové zpoždění. U ideálního filtru je toto zpoždení konstantní. Pasivní filtry delíme na filtry RC složené pouze z rezistoru a kapacitoru , filtry LC složené pouze z induktoru a kapacitoru, filtry elektromechanické s mechanickými rezonátory a filtry piezoelektrické s krystalovými rezonátory. Aktívní filtry delíme na spojite pracující – filtry s operačními zesilovači, nespojite pracující – filtry se spínacími kapacitory
RC filtry RC filtry : se používají pro filtraci složek kmitočtového spektra značně vzdálených od propustného pásma. Napr.: pro filtraci střídavé složky výstupního napětí usmerňovaču pro odstranení vysokofrekvenčních signálu v nízkofrekvenčních obvodech pro odstranení stejnosměrné složky z pulsního signálu
dolní propust – DP- propouští složky o kmitočtech menších než mezní kmitočet ω 0 horní propust – HP- propouští složky o kmitočtech větších než mezní kmitočet ω 0 Používají se obvykle ve stavu naprázdno nebo při zatížení rezistorem. Za jejich mezní kmitočet propustného pásma se zpravidla považuje ten, při nemž vzkazují útlum 3dB vůči maximálnímu přenosu.
Póly přenosových funkcí P ( jω ) jsou vždy reálné,takže strmost útlumové charakterisiky nemůže nikde překročit hodnotu n-krát 20dB/dekádu. U kaskádního řazení jsou vlastnosti jednotlivých článku vzájemne ovlivňovány,což zhoršuje výsledne vlastnosti a komplikuje syntézu těchto filtrů.
Pásmovou propust RC lze vytvořit kaskádním spojením dolní a horní propusti – napr: pomocí Wienova deliče Pásmovou RC zádrž lze realizovat pomocí přemostených T- článku – napr.: dvojitým Tčlánkem
LC filtry Elektrické filtry pro vyšší nároky na selektivitu filtrace je nutno vytvářet pomocí obvodových struktur umožnujících realizaci komplexních pólu a nul přenosových funkcí. V oblasti pasivních obvodů to umožňují pouze LC filtry, které jsou zakončeny alespoň na jedné bráně realnými rezistory. Provozní činitel přenosu : G ( jω ) =
U0 I0 U i 2 U i (2 Ri ) U i = = U 2 (− I 2 ) U 2 U 2 Rs 2U 2
Rs 1 = Ri 2 PUe
Rs Ri
Provozní útlum :
a = 20 log G = − PUedB − 6,0206 + 10 log(Rs Ri )
v případe návrhu LC filtru vycházejícího z provozního činitele přenosu platí (Rs = Ri )
Číslicové filtry
Symboly základních prvků ve strukturách číslicových filtrů :
Číslicové filtry dělíme podle délky impulsní odezvy na : 1) Systémy s konečnou impulsní odezvou – FIR (Finite Impulse Response). Jejich impulsní odezva má jen konečný počet nenulových prvků. Např. odezva
h[n] = 2δ[n] – 0,5[n – 1]
se dvěma nenulovými prvky.
2) Systémy s nekonečnou impulsní odezvou – IIR (Infinite Impulse Response). Počet prvků impulsní odezvy je nekonečný. n
Např. odezva
⎛ 3⎞ h[n] = ⎜ − ⎟ u[n] ⎝ 4⎠
Struktury číslicových filtrů : Struktura číslicového filtru, která obsahuje minimální počet zpožďovacích prvků se nazývá kanonická. Struktura na obr. 1 je nekanonická a nazývá se často přímá forma I, protože odpovídá přímé implementaci diferenční rovnice. Struktura na obr. 2 se nazývá přímá forma II nebo také přímá kanonická forma.
obr.1
Systémy s konečnou impulsní odezvou – FIR Základní struktury : 1) Přímá struktura 2) Kaskádní struktura
Přímá struktura
obr.2
Systémy s nekonečnou impulsní odezvou – IIR Základní struktury : 1) 2) 3) 4)
Přímé struktury Kaskádní struktura Paralelní struktura Duální tvary IIR struktur
Přímé struktury
Paralelní struktura
Kaskádní struktura
Duální tvary IIR struktur
Syntéza filtru
Důležitým parametrem filtru je jeho řád n, který je pro NDP (Normovaná Dolní Propust) dán stupněm polynomu ve jmenovateli přenosu a je pro tento případ roven počtu neslučitelných kapacitorů a induktorů tvořících filtr. Při návrhu NDP je pro všechny typy filtru potřeba nejdřív rozhodnout o způsobu aproximace útlumové char. a z toho vyplívající přenosové fce. v závislosti na požadavcích na filtr kladených.
Nejčastěji se používají následující typy filtrů : 1) Butteworthovy filtry 2) Čebyševovy filtry 3) Cauerovy filtry 4) Besselovy filtry
Butteworthovy filtry Butteworthovy filtry jsou filtry s tvz. maximálně plochou charakteristikou, tj. s monotónním průběhem útlumové char., který má maximální počet derivací v počátku roven nule. Přenos je dán Butterworthovým polynomem stupně n, jehož nulové body jsou rovnoměrně rozmístěny na kružnici v levé polorovině komplexní roviny.
Čebyševovy filtry Čebyševovy filtry jsou filtry s tvz. izoextrémální aproximací útlumu v propustném pásmu, tj. s útlumovou charakteristikou, která je v propustném pásmu zvlněna s amplitudou rovnou povolenému maximálnímu útlumu. Přenos je dán Čebyševovým polynomem stupně n, jehož nulové body jsou rozmístěny na elipse.
Cauerovy filtry Cauerovy filtry jsou založeny na izoextremální aproximaci útlumové char. Póly přenosu ležící na imaginární ose představují útlumové póly filtru na konečných kmitočtech v nepropustném pásmu. Uvedená aproximace vede na další snižování řadu filtru, ale struktura NDP musí obsahovat v některých větvích rezonanční obvody, takže počet reaktančních prvků je větší než řád filtru. Modulové char. těchto filtrů jsou stejnoměrně zvlněné v propustném i nepropustném pásmu. Návrh Cauerových filtrů je komplikovaný
Průběh modulové char. Cauerova filtru stupně n = 5
Besselovy filtry Besselovy filtry jsou filtry s maximálně plochým skupinovým zpožděním. V závislosti na stupni filtru je u NDP skupinové zpoždění prakticky konstantní od nulového kmitočtu po polovinu mezního kmitočtu, případně až po jeho dvojnásobek. Použití - všude tam kde záleží na nezkresleném přenosu signálu v propustném pásmu a pro filtraci impulsních signálů.
Filtry se spínanými obvody Princip:
Literatura: Základy teorie el.obvodů 2 – Milan Mikulec,Václav Havlíček Základy teorie el.obvodů 2 – cvičení – Roman Čmejla, Václav Havlíček,Ivan Zemánek Analogové a číslicové filtry – Vratislav Davídek, Miloš Laipert, Miroslav Vlček
