Průřezy prutových konstrukčních prvků
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Návrh a posudek deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické (průřezové) charakteristiky průřezu: • Plocha A průřezu • Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z • Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu • Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z -Centrální momenty setrvačnosti -Hlavní centrální momenty setrvačnosti • Deviační moment Dxz k osám x, z • Poloměr setrvačnosti ix, iz k osám x, z
Průřezové charakteristiky
• Těžiště složených obrazců homogenních průřezů • Kvadratické momenty základních průřezů • Kvadratické momenty složených průřezů • Kvadratické momenty k pootočeným osám •Těžiště složených obrazců nehomogenních průřezů
Předpoklad: průřez homogenní (stejnorodý), fiktivní měrná tíha γ = 1 (bez fyzikálního rozměru)
Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 2
Geometrický popis prutu, idealizace
Těžiště
Osa prutu (přímý prut), F1=2F
případně střednice prutu (přímý i zakřivený prut)
F
F
F2
a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru Průřez prutu o ploše A
a
1
h
2
+y
T +z
Těžiště průřezu
P1
P2
a
Raz
Těžnice – osa procházející těžištěm b
1
Rax Statické schéma: statický model nosné konstrukce
b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní tíhy elementů hmotného útvaru.
+x
d
l
Fyzikální význam těžiště:
2
l
Rbz 3
4
1
Těžiště rovinného homogenního složeného obrazce
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
Složený rovinný obrazec ( lomená čára nebo složený plošný obrazec) vzniká spojením několika (obecně n, i=1, …, n) jednoduchých rovinných obrazců (prvků) v téže rovině, u kterých umíme určit polohu těžiště a základní geometrické charakteristiky (úsečka, kruh…).
Lomená čára může představovat např. zidealizovaný lomený nosník konstantního průřezu
Postup: a)
+x
Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz
b)
Rozdělit složený obrazec na dílčí jednoduché obrazce Pro každý obrazec i určit souřadnice xi a zi jeho těžiště Ti
d)
Pro každý obrazec spočítat tíhovou fiktivní sílu Pi. Hodnota Pi odpovídá délce dílčí čáry li nebo velikosti dílčí plochy Ai
T2=[1,5;1]
Určit výslednici tíhových sil: R=∑ li, R=∑ Ai
g)
Určit statický střed soustavy těchto rovnoběžných sil (Varignonova věta). Souřadnice statického středu této soustavy = souřadnice těžiště složeného obrazce.
Např.: x-ovou souřadnici těžiště xT určíme z rovnosti statického momentu tíhové síly k ose z - Sz neboli
S xT = z A
5
+x
[3;0]
2
xT =
+z
T2=[1,5;1] 3
1
[6;3]
T1=[0;3,5]
∑l
Prut 3 F3 = l 3 = 3 2 + 3 2
= 4,243 m
[0;5] [3;0] T3=[4,5;1,5] 3 [6;3]
Celkem ΣFi = Σ li = 3 + 3,606 + 4,243 = 10,85 m
3
6
=
Výpočet: Jednotlivé obrazce považovat za samostatné prvky bez otvorů, otvory považovat za další prvky se zápornou plochou (tíhové síly opačně orientované).
i
3.0 + 3,606.1,5 + 4,243.4,5 = 3 + 3,606 + 4,243 xT = 2,26 m Těžiště - zT
[0;5] T=[2,26;1,89]
Délky l1 = 3 m l2 = 3,606 m l3 = 4,243 m Σli = 10,85 m
=
= 3,606 m
Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebo s výřezy (otvory sousedící s obrysem obrazce)
xT =
T
[0;2]
R
Prut 2 F 2 = l 2 = 32 + 2 2
Těžiště složených obrazců s otvory a výřezy
Těžiště - xT
∑ li ⋅ xi
[6;3]
3
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
∑ Pi ⋅ xi
3
T1=[0;3,5]
f)
⇒
Prut 1 F1= l1 = 3 m
1
Zavést fiktivní síly Pi do těžiště Ti nejprve rovnoběžně s osou z, poté s osou x
S z = − ∑ Pi ⋅ x i
Tíhové síly dílčích čar (prutů) T3=[4,5;1,5]
[0;2]
e)
P⋅z xT = ∑ i i ∑ Pi
[3;0]
+z
c)
S z = − R ⋅ xT = ( −∑ Pi ) ⋅ x I
2
zT =
∑ P ⋅ z = ∑l ⋅ z R ∑l i
i
i
i
=
i
3.3,5 + 3,606.1 + 4,243.1,5 = 3 + 3,606 + 4,243 zT = 1,89 m zT =
7
8
2
Těžiště obecného rovinného obrazce
Kvadratické momenty rovinných obrazců
Tíhu rovinného obrazce P lze nahradit plochou. P ~ A Plocha elementárního dílku: dA = dx.dz Celková plocha obrazce: A = ∫∫ dA = ∫∫ dx.dz A
•Momenty setrvačnosti (vždy kladné) •deviační moment (kladný či záporný)
A
Kvadratické momenty vztaženy k osám x, z - osy setrvačnosti:
Souřadnice těžiště: Z Varignonovy věty: xT =
Sz = A
∫∫ x.dA ∫∫ x.dxdz A
∫∫ dA
=
∫∫ dxdz
A
zT =
Sx = A
∫∫ z.dA A
∫∫ dA
I x = ∫∫ z 2 .dA
(a)
A
A
=
A
I z = ∫∫ x 2 .dA
A
A
Dxz = ∫∫ x.z.dA
∫∫ z.dxdz
A
A
∫∫ dxdz A
Příklad aplikace v předmětu Matematika.
Těžiště rovinného obrazce jako statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil 9
Centrální kvadratické momenty rovinných obrazců
Poznámka: pro případy jednoose nebo dvouose symetrických průřezů je Dxz= 0 (důkaz viz snímek 12).
[délka4],
Rozměr
zpravidla
m4
nebo
K výkladu kvadratických momentů mm4
10
Centrální kvadratické momenty obdélníku Zvoleno: O ≡ T → x ≡ xt , z ≡ zt → Dxz = 0
Momenty setrvačnosti a deviační moment možno počítat k libovolným vzájemně kolmým osám (posunutým nebo natočeným vzhledem k počátku).
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
A
A
I z = I zt = ∫∫ x 2 .dA A
∫
h2
z b h3 h3 1 = b. = . + = .b.h 3 3 −h 2 3 8 8 12 3
Ve stavební mechanice jsou důležité kvadratické momenty daného obrazce (průřezu), které jsou vztaženy k jeho těžištním osám. Jedná se o centrální momenty setrvačnosti. Těžištní osy se nazývají centrální osy setrvačnosti
I x = I xt = ∫∫ z 2 .dA
h2 b2 z 2 ∫ dx dz = b. ∫ z 2 dz = −b 2 −h 2 −h 2 h2
I x = I xt = ∫∫ z 2 .dA =
Obdobně: I z = I zt =
1 3 .b .h 12
Pozor: tyto vztahy platí pro obdélník uloženého
Dxz ,t = ∫∫ x.z.dA
dle obrázku (tzv. nastojato)
A
Důkaz nulového deviačního momentu: Centrální moment setrvačnosti rovinného obrazce je nejmenší z momentů setrvačnosti daného obrazce vztažených k rovnoběžně posunutým osám.
b2 h2 h2 b2 x2 1 b2 b2 z ∫ x.dx dz = ∫ z. dz = ∫ z. . − dz = 0 2 −b 2 24 4 −b 2 −h 2 −h 2 −h 2 h2
Dxz = ∫∫ x. z.dA = 11
A
∫
12
3
Centrální kvadratické momenty obdélníku
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám
Obdélník otočený o 90°:
Zvoleno: O ≠ T → [xT , zT ] ≡ c = , d = 2 2 h
Zvoleno: O ≡ T → x ≡ xt , z ≡ zt → Dxz = 0
h
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti: b 2 h2 z 2 ∫ dx dz = h. ∫ z 2 dz = −h 2 −b 2 −b 2
o
I x = I xt + c 2 . A
b2
I x = I xt = ∫∫ z 2 .dA = A
∫
xt
b
z3 h b3 b3 1 = h. = . + = .h.b3 3 −b 2 3 8 8 12
Obdobně: I z = I zt =
c h
c… vertikální rameno těžiště – vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní
zt
d… horizontální rameno těžiště – vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
d z
je mocněn na třetí vždy rozměr, který je kolmý k příslušné centrální ose setrvačnosti
Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné (momotěžištní) ose je roven momentu setrvačnosti k rovnoběžné těžištní ose, zvětšenému o součin plošného obsahu a čtverce vzdálenosti obou os.
h2 b2 b2 h2 x2 1 h2 h2 Dxz = ∫∫ x. z.dA = ∫ z ∫ x.dx dz = ∫ z. dz = b ∫ z. . − dz = 0 2 2 4 4 A −b 2 − h 2 −b / 2 −b 2 −h 2 b2
13
14
Kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku
Kvadratické momenty obdélníku k rovnoběžně posunutým osám h b O ≠ T → [xT , zT ] ≡ c = , d = 2 2
b
o
x
Steinerova věta
I z = I zt + d 2 . A =
xt
1 3 b2 1 .b .h + .b.h = .b3.h > Izt 12 4 3
2h b O ≠ T → [xT , zT ] ≡ c = ,d = 3 3
h bz h I x = ∫∫ z 2 .dx.dz = ∫ z 2 ∫ dx dz = A 0 0
T
h
Zvoleno: O ve vrcholu trojúhelníku
Výpočet nejprve kvadratických momentů k vodorovné ose x a svislé ose z:
c
> Ixt
zt
Steinerova věta
Důkaz nulového deviačního momentu:
1 h2 1 I x = I xt + c . A = .b.h 3 + .b.h = .b.h 3 12 4 3
T xt
1 3 .h .b 12
2
x
I z = I zt + d 2 . A
Pomůcka: ve vztazích pro výpočet centrálních momentů setrvačnosti obdélníku
Zvoleno:
b
o
Dxz = Dxt zt + c.d . A
T
b 2
b
h
b 1 = .∫ z 3 .dz = .b.h 3 h 0 4
(a)
(b)
bz h I z = ∫∫ x 2 .dx.dz = ∫ ∫ x 2 dx dz = A 0 0 h
b h 1 Dxz = Dxt zt + c.d . A = 0 + . .b.h = .b2 .h 2 2 2 4
d
zt
z
h
c… vertikální rameno těžiště - vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní d… horizontální rameno těžiště - vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní Důkaz: h
h b z3 b 1 I x = ∫∫ z .dA = ∫ z ∫ dx dz = b.∫ z 2dz = b. = .(h 3 − 0) = .b.h 3 3 3 0 3 A 0 0 0 h
2
2
Využití: kvadratické momenty složených průřezů
>
stejným Ixt způsobem dokažte pro Izt 15
=
b3 b3 h 4 1 . z 3 .dz = 3 . = .b 3 .h 3h 3 ∫0 3h 4 12
h b. z h Dxz = ∫∫ x.z.dx.dz = ∫ z ∫ x.dx dz = 0 A 0 h
=
b2 b2 h4 1 z 3 .dz = 2 . = .b 2 .h 2 2h 2 ∫0 2h 4 8
Pravoúhlý trojúhelník 16
4
Centrální kvadratické momenty základních obrazců (viz tabulky) A = b.h h
Ix =
b.h 3 12
Iz =
h. b 3 12
D xz = 0
Iz =
h 3 .b 12
D xz = 0
Centrální kvadratické momenty válcováných Nepočítají se - viz tabulky.
V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřezu na jednotku délky, potřebné geometrické rozměry a průřezové charakteristiky průřezů.
x
b
x
z
x
a
Ix =
b 3 .h 12
A = a2
Ix = Iz =
a z h x
A=
b.h 2
a4 12
b.h 3 36
Iz =
I x = Iz =
π.r4 π.d4 = 4 64
Ix =
h. b 3 36
I profilů
Hodnoty jsou vztaženy k osám y-z (v rovině y-z…více v předmětu Pružnost a plasticita)
D xz = 0
D xz =
1 2 2 b .h 8
b z r x
A = π .r2
Dxz = 0 17
z
Centrální kvadratické momenty válcováných U profilů
18
Centrální kvadratické momenty složených průřezů Postup výpočtu: Využití kvadratických momentů k rovnoběžně posunutým osám a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x ,z (výhodné zvolit počátek v levém horním rohu nebo na ose symetrie) b) rozdělit složený obrazec na n základních prvků i=1, …, n c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště [xi ; zi] v pomocné souřadnicové soustavě d) určit souřadnice těžiště [xT ; zT] celého obrazce, kterým proložit centrální osy setrvačnosti průřezu xt , zt rovnoběžné s osami x, z. e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti: ci = zi − zT , di = xi − xT
Pokud budete v předmětu Stavební statika počítat průřezové charakteristiky složených válcovaných průřezů, budou základní tabulkové hodnoty zadané.
19
f) s využitím Steinerovy věty vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce: n
(
I x = ∑ I xi + ci2 . Ai i =1
)
n
(
I z = ∑ I zi + di2 . Ai i =1
)
n
(
Dxz = ∑ Dxi zi + ci .d i . Ai i =1
)
(Otvory mají plochy i momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem než plné prvky)
20
5
x
zT
∑P ⋅z = ∑ A ×z = ∑P ∑A i
i
=
T= [Xt , zT] [3,5 ; 3,9],
i
2
4
x1=2
d1
T x2=3
xT=3,5
7
d3
c2
=
i
z
4.0,5 + 8.3 + 10.6 = 3,9 m 4 + 8 + 10
= 5.333 + 4,0 .
Ix = Σ(Ixi + Ai . ci2) = 0.333 + 4,0 . (-3,4)2 + 10.667 + 8,0 . (-0,9)2 + 3.333 + 10,0 . 2,12 = 111,1 m4 22
Příklad 2 – Deviační moment Dxz
Ramena dílčích těžišť d1 = x1 – xT = 2,0 - 3,5 = -1,5 m d2 = x2 - xT = 3,0 - 3,5 = -0,5 m d3 = x3-xT=4,5-3,5=1,0 m
2
0 1
Momenty setrvačnosti dílčích obrazců Iz,1 = 1 . 43 /12 = 5.333 m4 Iz,2 =4 . 23 /12 = 2.667 m4 Iz,3 = 2 . 53 /12 = 20.833 m
Deviační moment Dxz1= Dxz2 = Dxz3 = 0 m4 (2-ose symetrický průřez) 7 x
4
x1=2
x2=3
T
Deviační moment Dxz Dxz = Σ(Dxzi + Ai . ci . di) = = 4,0 . (-3,4) . (-1,5) + + 8,0 . (-0,9) . (-0,5) + + 10,0 . 2,1 . 1,0 = 45,0 m4
5 Centrální moment setrvačnosti Iz
(-1,5)2
Centrální moment setrvačnosti Ix
21
x3=4,5
z
Momenty setrvačnosti dílčích obrazců Ix,1 = 4 . 13 / 12 = 0.333 m4 Ix,2 = 2 . 43 / 12 = 10.667 m4 Ix,3 = 5 . 23 / 12 = 3.333 m4
5 i
d2
5
c2 = z2 – zT = 3,0 - 3,9= -0,9 m c3 = z3 – zT = 6,0 - 3,9 = 2,1 m
7
x 1
x
c3
T
Příklad 2 – Centrální moment setrvačnosti Iz 0
Ramena dílčích těžišť c1 = z1 – zT = 0,5 - 3,9 = -3,4 m
z2=3
1
=
i
i
x3=4,5
z
i
z2=3
7
i
i
zt
3
i
4.2 + 8.3 + 10.4,5 = = 3,5 m 4 + 8 + 10
xt
5
i
z1=0,5
T x2=3
∑P ⋅x = ∑ A ⋅x ∑P ∑A
c1
xT = z3=6
2
zT=3,9
z2=3
x1=2
7
4
Poloha těžiště
1
1
2
0
z3=6
7
4
Tíhová síla ~ Plocha P1 = A1 = 4.1 = 4,0 m2 P2 = A2 = 2.4 = 8,0 m2 P3 = A3 = 2.5 =10,0 m2
z3=6
2
0
Příklad 2 – Centrální moment setrvačnosti Ix z1=0,5
z1=0,5
Příklad 2 – Těžiště složeného obrazce
Iz = Σ(Izi + Ai . di2) + 2.667 + 8,0 . (-0,5)2 + 20.833 + + 10,0 . 1,02 = 49,8 m4 23
7
z
x3=4,5
c1 = z1 – zT = 0,5 - 3,9 = -3,4 m c2 = z2 - zT = 3,0 - 3,9= -0,9 m c3 = z3 – zT = 6,0 - 3,9 = 2,1 m d1 = x1 – xT = 2,0 - 3,5 = -1,5 m d2 = x2 - xT = 3,0 - 3,5 = -0,5 m d3 = x3-xT=4,5-3,5=1,0 m
24
6
Hlavní momenty setrvačnosti
Kvadratické momenty k pootočeným osám Jsou-li známy kvadratické momenty rovinného obrazce pro pravoúhlou dvojici os x,z s počátkem o, je možno určit hodnoty kvadratických momentů pro jinou dvojici pravoúhlých os x´, z´, pootočenou od původních os o úhel α: xl
I x′ = I x . cos 2 α + I z . sin 2 α + Dxz . sin 2α
α
o
I z′ = I x . sin 2 α + I z . cos 2 α − Dxz . sin 2α 1 Dx′z′ = ( I z − I x ). sin 2α + Dxz . cos 2α 2
1 1 Úpravou předešlých vztahů I = .(I + I z ) ± . pro nesymetrický průřez: 1, 2 2 x 2 Znaménko před odmocninou: + I1 = I max
x
z
- I 2 = I min Hlavní osy setrvačnosti:
zl
Změnou úhlu α, se mění hodnoty kvadratických momentů k pootočeným osám. Existuje úhel pootočení os α0, při kterém nabývají momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot a deviační moment je nulový. Osy pootočené o úhel α0 → hlavní osy setrvačnosti. Momenty setrvačnosti vztažené k hlavním osám (extrémní momenty setrvačnosti) → hlavní momenty setrvačnosti I1 ,I2
tg2α 0 =
(I x − I z )2 + 4.Dxz2
tgα1, 2 =
2 Dxz Ix − Iz
I1, 2 − I x
α1 → I max
Dxz
α 2 → I min
α 2 = α1 ± 90 0
Poučka: Součet momentů setrvačnosti ke dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti se při otáčení obou os kolem počátku nemění, zůstává konstantní (neměnný, invariantní).
V případě symetrického průřezu (stačí jednoose symetrický), je Dxz=0, α0=0. Potom Ix a Iz vztažené k osám x,z jsou zároveň hlavní momenty setrvačnosti. Větší z nich je I1, menší I2.
I x + I z = I x ′ + I z ′ = I1 + I 2 25
26
Hlavní centrální momenty setrvačnosti
Příklad 2: pokračování – Hlavní centrální momenty setrvačnosti Hl. centrální momenty setrvačnosti I1,2
Ve stavební mechanice jsou důležité hlavní momenty setrvačnosti vztažené k hlavním osám procházejícím těžištěm obrazce → hlavní centrální momenty setrvačnosti I1, I2 → hlavní centrální osy setrvačnosti.
0
Symetrické průřezy: centrální momenty setrvačnosti Ix a Iz (vztažené k centrálním (těžištním) osám xt ,zt ) jsou zároveň hlavní centrální momenty setrvačnosti. Větší z
α2
Znaménko před odmocninou: + I1 = I max
5
- I 2 = I min
tgα1, 2 =
Dxz
α 2 → I min
I 2 = 26,0 m 4
Natočení hl. centrální momentů α1,2 tgα1 =
I1 − I x 134,9 − 111,1 = = Dxz 45
tgα1 = 27,9°
Hlavní centrální osy setrvačnosti – s počátkem v těžišti průřezu :
α1 → I max
4
α1
1 1 2 I1, 2 = .(I x + I z ) ± . (I x − I z ) + 4.Dxz2 2 2
I1, 2 − I x
7 x
1
nich je I1, menší I2. Osy xt ,zt jsou hlavní centrální osy setrvačnosti
Nesymetrické průřezy:
1 1 2 ⋅ (I x + I z ) ± ⋅ (I x − I z ) + 4.Dxz2 = 2 2 1 1 2 ⋅ (111,1 + 49,8) ± . (111,1 − 49,8) + 4 ⋅ 452 = 2 2 I1 = 134,9 m 4
I1, 2 =
2
tgα 2 =
z
tgα 2 = −62,1°
α 2 = α1 ± 900 27
I 2 − I x 26,0 − 111,1 = = Dxz 45
7
28
7
Příklad 2: pokračování – natočení hlavních centrálních os setrvačnosti
Poloměr setrvačnosti Geometrická charakteristika průřezu:
V této poloze má průřez největší tuhost
ix =
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti: imax =
Ix A I max A
iz =
Iz A I min A
imin =
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez : (šířka b, výška h) imax =
b.h 3 h2 1 = = .h =& 0,2887.h imin =& 0,2887.b 12.b.h 12 12
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a): imax = imin =& 0,2887.a
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez: imax = imin =
π.r 4 r2 r = = 4.π.r 2 4 2
Rozměr [délka], zpravidla m nebo mm
29
Polární moment setrvačnosti
Nehomogenní složený obrazec
Polární moment setrvačnosti vztažený k bodu (pólu): (p je vzdálenost od pólu) I p = ∫∫ p 2 .dA A Ve stavařské praxi: pólem je výhradně těžiště průřezu, centrální polární moment setrvačnosti, využití u rotačně symetrických průřezů.
Dílčí prvky nemají stejnou měrnou tíhu (např. železobetonový sloup), nebo představují zidealizované objemy o různých průřezech (např. příhradová konstrukce s různými průřezy prutů viz následující snímek). Tíhová síla nehomogenního složeného obrazce nepředstavuje pouze délku dílčí čáry li nebo velikost dílčí plochy Ai. Do tíhové síly nutno zahrnout také vliv skutečné tíhy dílčího prvku. Další postup výpočtu je pak shodný jako u homogenního obrazce
Kvadratický moment, rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
(
)
Příklad: Tíhová síla úsečky
P=V.ρ .g = l . A .ρ .g = l . A .γ P = l . m’. g [N]
I p = ∫∫ x + z .dA = ∫∫ x .dA + ∫∫ z .dA = I z + I x = I x + I z 2
2
A
2
A
2
A
Poučka: Polární moment setrvačnosti k pólu (bodu) O je ; roven součtu momentů setrvačnosti vztažených k jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti, které tímto bodem (pólem) procházejí.
Rozměr
[délka4],
zpravidla
m4
nebo
mm4
30
K výkladu polárního momentu setrvačnosti 31
V – objem [m3] ρ - hustota [kg / m3] g - tíhové zrychlení – 9.81 [m / s ] A – plocha [m2] l – délka [m] γ - měrná tíha [N / m3] m’ – měrná hmotnost [kg / m]
P
Těžiště úsečky 32
8
Těžiště nehomogenní rovinné prutové konstrukce
Těžiště nehomogenní rovinné prutové konstrukce
Příhradová konstrukce s n pruty (i=1, …, n ) stejného materiálu (γ = konst) o různých průřezech → pruty o stejných délkách mají rozdílné tíhové síly.
Řešení výpočet xT :
Konstrukce představuje složený rovinný obrazec – několik spojených úseček.
Pi = Vi .ρ . g = Ai .li .γ ≅ Ai .li
Tíhová síla prutu:
Pi = Vi .ρ . g = Ai .li .γ ≅ Ai .li
Řešení výpočet xT : • V těžištích jednotlivých prutů zavedeme dílčí tíhové síly
xi o +x
• těžiště T [xT ; zT] představuje statický střed soustavy rovnoběžných sil
o
+x
• těžiště T [xT ; zT] představuje statický střed soustavy rovnoběžných sil
zT
xT = R
Pi
− ∑ Pi ⋅ xi = −R
zi Pi
T
R ⋅ zT = ∑ Pi ⋅ z i
R
− R ⋅ xT = ∑ − Pi ⋅ x i
T
xT
• V těžištích jednotlivých prutů zavedeme dílčí tíhové síly
Tíhová síla prutu:
∑P ⋅ x ∑P i
zT =
i
∑P ⋅ z = ∑P ⋅ z R ∑P i
i
i
i
i
+z 33
+z
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovaných tyčí
34
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovaných tyčí xT
x
o
U 160
o
x
Domácí úkol č.1 do příští přednášky:
zU
PU
Dle postupu u příkladu 2 spočítejte všechny průřezové charakteristiky, které jsme na této přednášce probírali.
zT cU
Průřez je složen z válcovaných U160 a I240 profilů..
I 240
i
zI xt
R T [xT ,zT]
Zadané tabulkové hodnoty:
z Poznámka (pro vaši případnou kontrolu tabulkových hodnot): Pozor na uložení válcovaného U profilu. Osy jsou oproti osám v tabulkách vzájemně přehozené.
PI
I 240: I x = 42,4.10 mm , I z = 2,2.10 mm A = 4,61.103 mm2 , b = 106mm , h = 240mm 6
4
6
cI
4
z
U 160: I x = 850.103 mm4 , I z = 9,25.106 mm4
A = 2,4.103 mm2 , b = 65mm , h = 160mm e = 18,4mm … poloha těžiště U profilu kóty b,h – viz snímky,na kterých jsou tabulky průřezů 35
Nápověda: zt Ix = 7,3482.10-5 m4 Průřez je symetrický k ose z → Dxz=0, centrální osy setrvačnosti = hlavní centrální osy setrvačnosti
( = ∑ (I
I x = ∑ I x ,i + Ai ⋅ ci
2
+ Ai ⋅ d i
2
Iz
z ,i
(
) )
Dxz = ∑ Dxi zi + Ai ⋅ ci ⋅ d i
)
ci = zi − zT di = xi − xT
36
9
Shrnutí základních pojmů
Průřezové charakteristiky obrazce s otvorem
Statické momenty plochy [m3] :
k ose x :
S x = − A ⋅ zT
k ose z :
Sz = A⋅ xT
k bodu o: So = A ⋅ xT − A ⋅ zT
Domácí úkol č.2
Kvadratické momenty plochy [m4] :
do příští přednášky: Dle postupu u příkladu 2 spočítejte všechny průřezové charakteristiky, které jsme probírali.
setrvačnosti k ose x : I x =
∫∫ z .dA 2
setrvačnosti k ose z :
I z = ∫∫ x 2 .dA
A
deviační k osám xz : Dxz =
∫∫ x.z.dA
A
polární k bodu (pólu) p : I p =
∫∫ p .dA
A
Průřez tvoří obdélníková plocha s otvorem..
2
A
Momenty setrvačnosti (MS) včetně deviačního: k libovolným osám x,z : obecně MS - Ix , Iz , Dx,z k těžištním osám xt,zt :
centrální MS, je-li symetrie alespoň k jedné ose Dxz=0
k pootočeným vzájemně kolmým osám : obecně - Ix´ , Iz´ , Dx´z´ k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy neprocházejí těžištěm – extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní MS, I1= max, I2= min Dx´z´=0
Nápověda: T = [4,286 ; 3,214]
Ix = 126,373 m4
Iz = 224,071 m4 37
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy procházejí těžištěm – extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní centrální MS, I1= max, I2= min Dx´z´38 =0
Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Těžiště homogenního rovinného složeného obrazce (lomená čára, složený plošný obrazec) 2. Těžiště nehomogenního rovinného složeného obrazce (lomená čára, složený plošný obrazec 3. Kvadratické momenty základních průřezů (momenty setrvačnosti, deviační moment) 4. Centrální kvadratické momenty základních průřezů 5. Centrální kvadratické momenty složených průřezů 6. Hlavní centrální kvadratické momenty složených průřezů 7. Osy setrvačnosti (centrální, hlavní, hlavní centrální) 8. Polární momenty setrvačnosti 9. Poloměry setrvačnosti 39
10
