2 31 EO
M
áš a
-X
Frekvenční charakteristiky
Pa v
el
EO2 – Přednáška 11 Pavel Máša
Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
ÚVODEM
31 EO
2
• Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci
Pa v
el
M
áš a
-X
• Mohou popisovat např.: Jaké frekvence propustí filtr 9 Výhybka reprosoustavy 9 Vstupní díl rádia / televize 9 Splitter ADSL zásuvky 9 Antialiasingový filtr CD přehrávače Jaké frekvenční pásmo je schopen zpracovat audiozesilovač Kolik snímků za sekundu a v jakém rozlišení může zobrazit analogový monitor (souvisí s frekvenčním rozsahem jeho zesilovače)
Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
PŘENOSOVÁ FUNKCE OBVODU A JEJÍ GRAFICKÁ REPREZENTACE •
Uvažujme lineární dvojbran
•
Závislost výstupního napětí na frekvenci můžeme vyjádřit přenosem
•
Přenos je funkcí proměnné ω; graficky můžeme tuto funkci znázornit buď:
31 EO
2
Následující grafy představují frekvenční charakteristiku integračního RC obvodu
-X
1. V komplexní rovině jako Hodograf (Nyquistova frekvenční charakteristika)
ω→∞ 0,5
el
0
Re 1
Pa v
0,5
ω=0 ω
0,5
1
M
0,5
1
•
Hodograf je křivka v komplexní rovině, jejímž bodům jsou přiřazeny hodnoty frekvence ω
•
Vzdálenost vybraného bodu křivky (odpovídajícím určité frekvenci ω) od počátku určuje modul přenosu
•
Úhel mezi reálnou osou a spojnicí vybraného bodu křivky s počátkem určuje fázi přenosu
•
Hodograf pasivních obvodů s vyjímkou rezonančního leží uvnitř jednotkové kružnice
•
Má význam pro hodnocení stability obvodů se zpětnou vazbou (Nyquistovo kritérium stability) – v praxi je jednodušší změřit frekvenční charakteristiku obvodu, nežli hledat póly (neznámého) přenosu
áš a
1 Im
Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
2. Rozdělena na dva grafy jako modulová a fázová frekvenční charakteristika
31 EO
2
[dB]
Modulová charakteristika je vynášena jako
Obě osy modulové charakteristiky jsou logaritmické
Pa v
[rad]
el
M
áš a
-X
Jednotkou je decibel [dB]
Fázová charakteristika je vynášena jako Osa x fázové charakteristiky je logaritmická, osa y je lineární Jednotkou je radián [rad]
Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
BODEHO ASYMPTOTICKÉ CHARAKTERISTIKY Ve 30. létech minulého století navrhl Hendrik Wade Bode jednoduchou metodu kreslení amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik
•
Touto metodou je možné nakreslit velmi přesné charakteristiky bez grafiky počítače
•
Frekvenční charakteristiky nám dávají informaci o časových konstantách obvodu (v přechodných dějích), činiteli jakosti rezonančního obvodu a pod.
31 EO
2
•
M
áš a
-X
¾ Přenos obvodu je obecně PM k b0 + b1 p + b2p2 + ¢ ¢ ¢ + bM pM k=0 bk p = P (p) = PN k a0 + a1 p + a2 p2 + ¢ ¢ ¢ + aN pN a p k=0 k QM bM (p ¡ z1 )(p ¡ z2 ) ¢ ¢ ¢ (p ¡ zM ) k=1 (p ¡ zk ) = = K QN ¢ a (p ¡ p1 )(p ¡ p2) ¢ ¢ ¢ (p ¡ pN ) N (p ¡ p ) k k¡1
Pa v
el
zk jsou kořeny polynomu v čitateli – nuly pk jsou kořeny polynomu ve jmenovateli – póly – zde jsou ukryty časové konstanty obvodu Rozdělením přenosu na parciální zlomky a zpětnou transformací bychom nalezli přechodovou charakteristiku obvodu
• • • •
Grafem přenosu je trojrozměrná plocha nad p‐rovinou Nás ale více zajímá řez touto plochou, kdy ¾ = 0 ! p = ¾ + j! = 0 + j! = j! Tím se dostáváme k harmonickému ustálenému stavu Proměnnou nebude frekvence ω, ale komplexní frekvence jω!!! Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
PM
P(j!) =
k k=0 bk (j!) PN k k=0 ak (j!)
QM k=1 = K QN
Pa v
el
M
áš a
-X
31 EO
frekvenční charakteristika žlutý řez je výše uvedenou modulovou charakteristikou
2
pól (jde až do ∞)
b0 + b1j! + b2 (j!)2 + ¢ ¢ ¢ + bM (j!)M = a0 + a1 (j!) + a2(j!)2 + ¢ ¢ ¢ + aN (j!)N
(j! ¡ zk )
k¡1 (j!
¡ pk )
=
bM (j! ¡ z1 )(j! ¡ z2) ¢ ¢ ¢ (j! ¡ zM ) ¢ aN (j! ¡ p1)(j! ¡ p2) ¢ ¢ ¢ (j! ¡ pN ) Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
Podstatou Bodeho charakteristik jsou vlastnosti logaritmu, jmenovitě: Logaritmus součinu je součet logaritmů Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů log1 = 0 Vzhledem ke třetí uvedené vlastnosti je potřeba normovat závorky v rozkladu kořenových činitelů: μ ¶ ! j! ¡ zk = ¡zk j +1 ¡zk ¯´ ³¯ ! ! ¯ ¯ ¿ 1, log ¯j + 1¯ ! 0 Potom, pokud ¡zk ¡zk μ ¶ ¯´ ³¯ ! ! ! Graficky ¯ ¯ À 1, log ¯j + 1¯ ! log – úsečka se sklonem 20 db / dekádu ¡zk ¡zk ¡zk
P (j!) = K
! k=1 (j ¡zk QN ! k¡1 (j ¡pk
M
0
! ! ! bM (¡z1 )(¡z2 ) ¢ ¢ ¢ (¡zM ) (j ¡z1 + 1)(j ¡z2 + 1) ¢ ¢ ¢ (j ¡zM + 1) ¢ = ! ! a (¡p )(¡p ) ¢ ¢ ¢ (¡p ) (j ¡p + 1)(j ¡p + 1) ¢ ¢ ¢ (j ¡p!N + 1) N 1 2 N + 1) 1 2
+ 1)
Pa v
0
el
QM
áš a
-X
31 EO
2
•
Modulová charakteristika: μ¯ μ¯ M N ¯¶ X ¯¶ X ¯ 0 ¯ ! ! 0 ¯ ¯ ¯ ¯ FdB (!) = 20 log(¯P (j!)¯) = 20 log(K ))+ 20 log ¯j + 1¯ ¡ 20 log ¯j + 1¯ ¡zk ¡pk k=1 k=1 Fázová charakteristika: μ ¶ X μ ¶ M N X ! ! 0 '(!) = arg(P (j!)) = arg j +1 ¡ arg j +1 ¡zk ¡pk k=1
k=1
Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
Nyní budeme zkoumat frekvenční charakteristiku RLC obvodu – stejného, na kterém jsme zkoumali přechodné děje 2. řádu
31 EO
1 pL + R + pC
1 1 LC = 2 = 1 p LC + pRC + 1 p2 + p R L + LC
-X
P (p) =
1 pC
1. R = 4 kΩ
106 P(j!) = (j!)2 + 4000(j!) + 106
M
20002 ¡ 106 = ¡2000 § 1732:1 = ¡3732:1 = ¡267:9
(j!)1;2 = ¡3732:1 = ¡267:9
Pa v
el
p
áš a
106 P (p) = 2 p + 4000p + 106 p1;2 = ¡2000 §
2
L=1H C = 1 μF R = 4 kΩ, 2 kΩ a 1 kΩ
1 1 106 ¢ = P (j!) = ! ! ! ! 3732:1 ¢ 267:9 (j 3732:1 + 1)(j 267:9 + 1) (j 3732:1 + 1)(j 267:9 + 1) 0
Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
2. R = 2 kΩ 106 P(j!) = (j!)2 + 2000(j!) + 106
p p1;2 = ¡1000 §
(j!)1;2 = ¡1000
10002 ¡ 106 = ¡1000
106 1 1 P (j!) = ¢ = ! ! 1000 ¢ 1000 (j 1000 + 1)2 (j 1000 + 1)2
-X
31 EO
0
2
106 P (p) = 2 p + 2000p + 106
3. R = 1 kΩ
106 P(j!) = (j!)2 + 1000(j!) + 106
M
(j!)1;2 = ¡500 § 866j
el
5002 ¡ 106 = ¡500 § 866j
Pa v
p
p1;2 = ¡500 §
áš a
106 P (p) = 2 p + 1000p + 106
106 1 1 P (j!) = ¢ = ! 2 ! ! 2 ! 10002 (j 1000 ) + j 1000 + 1 (j 1000 ) + 1 ¢ j 1000 +1 0
!r
1 Q Pavel Máša - X31EO2 - Frekvenční charakteristiky (úvod)
