DVOJBRANY Definice a rozdělení dvojbranů Dvojbran – libovolný obvod, který je s jinými částmi obvodu spojen dvěma páry svorek (vstupní a výstupní svorky). K analýze chování obvodu postačí popsat daný dvojbran pouze vztahy mezi napětími a proudy na vstupních a výstupních svorkách, tj. mezi vnějšími veličinami. Nezajímají nás napětí a proudy ve větvích uvnitř dvojbranu. Vnitřní struktura dvojbranu může být libovolně složitá.
U1, U2 vnější napětí dvojbranu I1, I2 vnější proudy dvojbranu
Budeme vyšetřovat chování dvojbranu v harmonickém ustáleném stavu, použijeme SKM, tzn., že budeme pracovat s fázory napětí a proudů. Při návrhu přenosové cesty od zdroje ke spotřebiči pro přenos energie nebo signálu pracujeme s těmito typickými dvojbrany: • vedení (dvouvodičové nebo koaxiální kabel) modelované T článkem nebo Π článkem • ideální transformátor • dělič napětí • derivační, integrační členy • elektrické filtry • zesilovače a útlumové články apod. Rozdělení dvojbranů a) podle fyzikální struktury • lineární (obsahují pouze lineární prvky), nelineární (obsahují i nelineární prvky: diody, transistory, operační zesilovače) • aktivní ( se zdroji), pasivní (pouze R,L,C) • aktivní dále dělíme na: autonomní x neautonomní autonomní (obsahují pouze nezávislé zdroje napětí a proudu) neautonomní (s řízenými zdroji – tranzistory, op. zesil.) neautonomní – nemůže trvale dodávat činný výkon autonomní – s nezávislými zdroji – může trvale dodávat činný výkon b) podle topologické struktury články : T, Π, Γ(levý, pravý), X, přemostěný T článek atd.
T-článek
Π-článek
Γ-článek
Dále rozlišujeme dvojbrany podélně a příčně symetrické
podélně symetrický
příčně symetrický
Nesymetrické např. Γ článek
Rovnice neautonomního dvojbranu autonomní dvojbran převedeme na neautonomní, jestliže zdroje připojíme k vnějším svorkám rovnice dvojbranu – vyjadřují vztahy mezi vstupními a výstupními veličinami Dosud jsme pracovali s dvojpóly, vztahy mezi fázorem napětí a proudu bylo možno vyjádřit dvěma rovnicemi s komplexními parametry Z, Y (komplexní impedance a admitance)
U = Z⋅I
I = Y⋅U
Dvojbran: je definován 2 vstupními a 2 výstupními veličinami, existuje celkem 6 možností pro vyjádření vztahů mezi nimi. Každé přiřazení lze vyjádřit pomocí charakteristických matic dvojbranu, jsou to čtvercové matice řádu (2, 2)
Např.:
U 1 , U 2 = f ( I1 , I 2 ) U1 , I 1 = f ( U 2 , I 2 )
CHARAKTERISTICKÉ MATICE DVOJBRANU 1. impedanční matice dvojbranu
Z = {z ij }
vyjadřuje napětí pomocí proudů U1 , U 2 = f (I1 , I 2 )
U1 z11 U = z 2 21
z12 I1 z 22 I 2
2. admitanční matice dvojbranu
z Z = 11 z 21
z12 z 22
y Y = 11 y 21
y12 y 22
Y = {y ij }
vyjadřuje proudy pomocí napětí I1 , I 2 = f ( U1 , U 2 )
I1 y 11 I = y 2 21
y12 U1 y 22 U 2
Impedanční a admitanční matice nazýváme IMITANČNÍ MATICE
3. postupná (přímá) kaskádní matice
Y = Z -1
A = {a ij }
vyjadřuje vstupní veličiny pomocí výstupních U1 , I1 = f ( U 2 , I 2 )
U1 a11 a12 U 2 I = a 1 21 a 22 − I 2 U kaskádní matice orientujeme proud na výstupních svorkách opačně (ve směru toku energie)
4. zpětná kaskádní matice
B = {b ij }
(vyjadřují výstupní veličiny pomocí vstupních) U 2 , I 2 = f ( U1 , I1 )
U 2 b11 b12 U1 − I = b 2 21 b 22 I1 Kaskádní matice nazýváme PŘENOSOVÉ MATICE 5. sériově paralelní matice
B = A -1
H = {h ij }
U1 , I 2 = f ( I 1 , U 2 )
G = {g ij }
I1 , U 2 = f ( U1 , I 2 )
U1 h11 h12 I1 I = h 2 21 h 22 U 2 6. paralelně sériová matice
I1 g11 g12 U1 U = g 2 21 g 22 I 2
G = H -1 a paralelně sériovou rSériově čováníparalelní charakteristických maticmatici nazýváme HYBRIDNÍ MATICE
Určování charakteristických matic Prvky charakteristických matic lze vyšetřit několika způsoby: • z rovnic obvodu • ze stavu naprázdno nakrátko (výpočtem nebo i měřením) • ze vzájemných vztahů mezi charakteristickými maticemi • z tabulek dvojbranů 1. Určování charakteristických matic z rovnic obvodu Postup: formulujeme rovnice dvojbranu některou ze známých metod analýzy a upravíme je do tvaru charakteristických rovnic. Prvky charakteristické matice dostaneme jejich porovnáním Příklad: Stanovte impedanční matici T článku Formulujeme rovnice pro smyčky s1 a s2: s1 : s2 :
Z + Z 3 Z= 1 Z3
Z 2 + Z 3 Z3
I1 (Z1 + Z 3 ) + I 2 Z 3 = U1 I1Z 3 + I 2 (Z 2 + Z 3 ) = U 2
Pro symetrický dvojbran platí
Z1 = Z 2 Příklad: Určete admitanční matici π článku
⇒ z11 = z 22
Formulujeme rovnice metodou uzlových napětí pro uzly A a B: A: B:
U1 U1 − U 2 + =0 Z1 Z2 U 2 − U1 U 2 + − I2 = 0 Z2 Z3
− I1 +
Upravíme je do tvaru
1 1 1 − U 2 I1 = U1 + Z2 Z1 Z 2 I 2 = − U1
1 1 1 + U 2 + Z2 Z Z 2 3
1 1 1 + − Z Z2 Z 2 Y1 + Y2 ⇒Y= 1 = 1 1 1 − − Y2 + Z2 Z 2 Z 3 Pro symetrický dvojbran platí Z1 = Z 3 ⇒ y 11 = y 22 = Y1 + Y2
− Y2 Y2 + Y3
Dvojbrany složené pouze z pasivních prvků jsou reciprocitní, mezi prvky imitančních matic pak platí následující vztahy:
z12 = z 21
y12 = y 21
Reciprocitní dvojbrany splňují princip reciprocity, který lze formulovat následovně a) připojíme-li zdroj napětí na vstupní (resp.) výstupní svorky a určíme-li proud mezi výstupními (resp. vstupními) svorkami spojenými nakrátko, pak pro dvojbrany splňující princip reciprocity platí:
pokud jsou napětí zdroje shodná u01 = u02, pak se shodují i proudy i1 = i2 b) připojíme-li zdroj proudu na vstupní (resp.) výstupní svorky a určíme-li napětí naprázdno mezi výstupními (resp. vstupními) svorkami, pak pro dvojbrany splňující princip reciprocity platí:
pokud jsou proudy zdroje i1 = i2 shodné, pak se shodují i napětí u1 = u2
Princip reciprocity (možnost záměny vstupních a výstupních svorek) splňují všechny pasivní dvojbrany Příklad: V obvodu dle obrázku byly pro zdroj U01 = 10 V změřeny proudy: I1 = 7 A, I2 = 3 A. Určete celkový proud procházející odporem R1, připojíme-li na výstupní svorky dodatečně zdroj U02 = 4 V. Hledaný proud vypočteme pomocí principu reciprocity zdroj napětí je připojen ke vstupním svorkám
působí-li v obvodu oba zdroje, pak proud I1 = 7 - 1,2 = 5,8 A
zdroj napětí U01 = 10 V (resp. U02 = 4 V připojen na výstup
Příklad: Určete kaskádní matici Γ článku s: A:
U1 = U 2 + Z 2 ( − I 2 ) I1 =
1 [U 2 + Z 2 (− I 2 )] + (− I 2 ) Z1
I1 =
Z 1 U 2 + 2 + 1(− I 2 ) Z1 Z1
− I 2 Z 2 + U 2 − U1 = 0 U − I1 + 1 − I 2 = 0 Z1 Z2 1 Z A= 1 1+ 2 Z1 Z1 Z Z det A = 1 + 2 − 2 = 1 Z1 Z1
pro kaskádní matice reciprocitních dvojbranů platí
det A = 1
Obecný dvojbran má charakteristickou matici řádu (2,2) ⇒ je třeba určit 4 prvky Je-li dvojbran reciprocitní (tj. složený pouze z pasivních prvků), pak vztah mezi prvky charakteristické matice lze vyjádřit pomocí 1 rovnice ⇒ postačí určit pouze 3 prvky je-li dvojbran symetrický, pak platí další rovnice vyjadřující vzájemný vztah mezi prvky charakteristické matice ⇒ postačí určit pouze 2 prvky
Vztahy mezi prvky charakteristických matic reciprocitních a symetrických dvojbranů reciprocita
z12 = z21
y12 = y21
det A = 1
det B = 1
h12 = - h21
g12 = - g21
symetrie
z11 = z22
y11 = y22
a11 = a22
b11 = b22
det H = 1
det G = 1
Příklad: Pro symetrický T článek určete hybridní matici H Dvojbran je symetrický a reciprocitní ⇒ 2 prvky určíme z rovnic obvodu, další 2 z tabulky Sérioparalelní rovnice jsou ve tvaru
U1 = h11I1 + h12 U 2 I 2 = h 21I1 + h 22 U 2 Rovnice pro smyčku s:
I 2 (Z1 + Z 2 ) + I1Z 2 = U 2
⇒ I 2 = −I1 h 21 = −
Z2 Z1 + Z 2
h 22 =
1 Z1 + Z 2
Z2 1 + U2 Z1 + Z 2 Z1 + Z 2
reciprocita:
h12 = −h 21 =
Z2 Z1 + Z 2
symetrie:
det H =
⇒ h11 =
h11 −
Z2 Z1 + Z 2
Z1 (Z1 + 2Z 2 ) Z1 + Z 2
Z2 2 h11 Z2 Z1 + Z 2 = + =1 1 Z1 + Z 2 (Z1 + Z 2 )2 Z1 + Z 2
Z1 (Z1 + 2Z 2 ) Z +Z 1 2 H= Z 2 − Z1 + Z 2
Z2 Z1 + Z 2 1 Z1 + Z 2
2. Určování charakteristických matic dvojbranu z chodu naprázdno a nakrátko Tento postup je založen na myšlence, že vtahy mezi vnějšími napětími a proudy lze snadno vyšetřit (vypočítat nebo změřit) pro následující stavy dvojbranu • vstup resp. výstup naprázdno (vstupní resp. výstupní svorky jsou rozpojeny) • vstup resp. výstup nakrátko (vstupní resp. výstupní svorky jsou spojeny dokrátka) Matematicky tyto stavy vyjadřujeme takto: • stav naprázdno podmínkou I=0 • stav nakrátko podmínkou U=0
Dosadíme-li tuto podmínku do charakteristických rovnic dvojbranu, zůstane na pravé straně obou rovnic pouze jeden člen, z takto upravených rovnic lze přímo určit příslušné prvky charakteristických matic. Přitom často používáme následující označení: • vstupní impedance (naprázdno, nakrátko) jako poměr napětí a proudu na vstupních svorkách při výstupu dvojbranu(naprázdno, nakrátko) • výstupní impedance (naprázdno, nakrátko) jako poměr napětí a proudu na výstupních svorkách při vstupu dvojbranu (naprázdno, nakrátko) • komplexní přenos napětí jako poměr výstupního a vstupního napětí (pro stav naprázdno) • komplexní přenos proudu jako poměr výstupního a vstupního proudu (pro stav nakrátko) Naznačený postup ukážeme na vyšetření prvků impedanční a kaskádní matice, pro další dvě často používané (admitanční a serioparalelní) jsou příslušné vztahy uvedeny v tabulce.
Stanovení prvků impedanční matice Impedanční rovnice jsou
U1 = z11I1 + z12 I 2 U 2 = z 21I1 + z 22 I 2
a) Je-li výstup naprázdno, pak platí I 2 = 0
U1 = z11I1
z11 = z 21 =
U1 I1 U2 I1
U 2 = z 21I1
vstupní impedance naprázdno I 2 =0
přenosová impedance naprázdno I 2 =0
b) Je-li výstup naprázdno, pak platí I1 = 0
U1 = z12 I 2
U 2 = z 22 I 2
z12 = z 22 =
U1 I2 U2 I2
přenosová impedance nakrátko I1 =0
výstupní impedance naprázdno I1 =0
Příklad: Stanovte prvky impedanční matice pro T-článek složený z odporů
z11 = 60 Ω z 21 = reciprocitní
U2 I1
z 22 = 70 Ω =
I 2 =0
40I1 = 40 Ω I1
z12 = z 21
60 40 Z= 40 70 Stanovení prvků kaskádní matice A
U1 = a11U 2 + a12 (−I 2 ) I1 = a 21U 2 + a 22 (−I 2 )
U1 = a11U 2
výstup naprázdno I2 = 0
a11 =
U1 U2
I 2 =0
I1 − I2
a 21 =
U1 = a12 (−I 2 )
výstup nakrátko U2 = 0
a 22 =
přenos napětí (zpětný)
I1 = a 21U 2
přenos proudu (zpětný)
I1 U2
přenosová admitance
I 2 =0
I1 = a 22 (−I 2 ) a12 =
U 2 =0
U1 − I2
přenosová impedance U 2 =0
Příklad: Pasivní symetrický dvojbran je sestaven pouze z odporů. Z údajů ampérmetru A a voltmetrů V1, V2 stanovte prvky kaskádní matice A. odpor voltmetru → ∞, výstup naprázdno
U1 4 = =2 U2 2 I 0,2 a21 = 1 = = 0,1 U2 2 a11 =
a11 = a22 2 a12 det A = = 4 − 0,1 ⋅ a12 = 1 ⇒ a12 = 30 0,1 2
reciprocitní ⇒
Příklad: Určete prvky admitanční matice Γ článku (viz tabulka)
I1 1 =− U2 Z1 I 1 1 = 2 = + U 2 Z1 Z 2
y12 = y 22
y11 =
I1 1 = U 1 Z1
y 21 =
I2 1 =− U1 Z1
1 Z Y= 1 − 1 Z1
1 Z1 1 1 + Z1 Z 2 −
Příklad: Dvojbran je složen pouze z odporů, měřením byly zjištěny následující hodnoty: výstup naprázdno I1 = 1mA, U1 = 2 V, U2 = 0,5 V vstup naprázdno I2 = 1mA, U1 = 0,5 V, U2 = 1 V Stanovte jeho impedanční matici a určete, z jakých odporů je složen, je-li to T článek.
U1 = 2000 Ω I1 U z12 = 1 = 500 Ω I2
I2 = 0
z11 =
I1 = 0
U2 = 500 Ω I1 U = 2 = 1000 Ω I2
z 21 = z 22
R + R 3 ZT = 1 R3 R 3 = 500 Ω
2000 500 = R 2 + R 3 500 1000 R3
R 1 = 2000 - 500 = 1500 Ω R 2 = 1000 - 500 = 500 Ω
Příklad: Stanovte prvky hybridní matice T článku (hodnoty odporů jsou udány v Ω) Výstup nakrátko:
U h11 = 1 I1 U h21 =
I2 I1
2 =0
U 2 =0
I (2 + = 1 I1
3⋅6 3+ 6
6 2 =− =− 9 3
Vstup naprázdno:
h22 = h12 =
4 H = 2 − 3
2 3 1 9
I2 U2 U1 U2
=
I2 1 = S 9I 2 9
=
6I 2 2 = 9I 2 3
I1 =0
I1 =0
reciprocitní h12 = − h21
)
=4Ω (proudový dělič)
Příklad: Pro obvod s řízeným zdrojem napětí určete prvky kaskádní matice A. výstup naprázdno I2 = 0 30 I1 = U 1 s1 :
a11 =
U 1 30 I1 30 = = U 2 17 I1 17
s2 :
3I1 + U 2 − 20 I1 = 0 U 2 = 17 I1
a21 =
I1 1 = U 2 17
výstup nakrátko U2 = 0 s1 : 10 I1 + 3I1 = U 1
U 1 = 13I1
s2 :
a12 =
30 A = 171 17
U 1 13I1 260 = = 17 − I 2 17 I 20 1
260 17 20 17
=
1 30 260 17 1 20
a22
U1 − I2 = 0 20 3I 17 − I 2 = I1 − 1 = I1 20 20 I 20 = 1 = − I 2 17
− I1 +
Ekvivalentní dvojbrany
Dva dvojbrany jsou ekvivalentní, jsou-li na jejich vstupních a výstupních svorkách stejná napětí a proudy, tj, mají-li shodné charakteristické matice Postup pro určení ekvivalentního dvojbranu 1. 2. 3. 4.
Pro daný dvojbran vyšetříme některou jeho charakteristickou matici. Tutéž charakteristickou matici určíme pro náhradní dvojbran. Pro ekvivalentní dvojbrany platí rovnost mezi jejich charkteristickými maticemi. Porovnáním stejnolehlých prvků obou charakteristických matic dostaneme soustavu čtyř algebraických rovnic, jejichž vyřešením nalezneme hodnoty prvků náhradního dvojbranu.
Náhrada platí jen za určitých omezujících předpokladů, např. pro určitý kmitočet. Příklad: Nahraďte ideální transformátor ekvivalentním T článkem rovnice transformátoru
jω L1I1 + jω MI 2 = U1 jω MI1 + jω L 2 I 2 = U 2
upravíme do tvaru impedančních rovnic
jω L1 Z= jω M
jω M jω L 2
Z + Z 3 ZT = 1 Z3
Z 2 + Z 3 Z3
porovnáním dostaneme
Z 3 = jω M Z1 = jω L1 − jω M = jω (L1-M ) Z 2 = jω L 2 − jω M = jω (L 2 -M )
Příklad: Dvojbran s impedanční maticí Z je realizován 10 j − 20 j Z= a) T článkem − 20 j 30 j b) π článkem Určete, z jakých prvků bude sestaven a jaká podmínka musí být splněna.
a)
Z + Z 3 ZT = 1 Z3
Z 2 + Z 3 − j Z 3 = −20 j = ωC ⇒ Z1 = 10 j − Z 3 = 30 j = jω L1 Z3
Z 2 = 30 j − Z 3 = 50 j = jω L 2
např.:
ω = 1000 s −1
L1 = 30 mH
L 2 = 50 mH
C = 50 µF
Prvky T-článku jsou frekvenčně závislé, ekvivalence dvojbranů bude platit pouze pro zvolenou frekvenci
b)
Oba dvojbrany T-článek i Π jsou frekvenčně závislé, neboť obsahují reaktanční prvky L a C, ekvivalence dvojbranů bude platit pouze pro zvolenou frekvenci
3. Příklady k procvičení Př.1: Z údaje A1, A2 a V stanovte prvky kaskádní matice A Př.2: Určete prvky impedanční matice, pro dvojbran složený odporů Př.3: Určete prvky admitanční matice π článku [Ω] výstup nakrátko U2 = 0 Př.4: kaskádní A a) výstup naprázdno Př.5: Dvojbran je složen pouze z odporů, neznáme jeho vnitřní propojení. Měřením naprázdno byly zjištěny tyto hodnoty a) výstup naprázdno: I1 = 1mA, U1 = 2 V, U2 = 0,5 V b) vstup naprázdno: I2 = 1mA, U1 = 0,5 V, U2 = 1 V Stanovte charakteristické matice dvojbranu 1. Z měření naprázdno stanovíme prvky matice Z jelikož 712 = Z21 je dvojbran reciprocitní 2. Kaskádní matice A dvojbran je reciprocitní ⇒ A = 1 3. hybridní matice H
