BOSS OF 105
--------------------------
Pohádka na spojitou noc
1
V podprostoru W2 aritmetického vektorového prostoru W n-té dimenze (n N) nad tělesem T, jenž vznikl před k – 3 lineárně nezávislými dny (k > 12!) direktním součinem jeho podprostorů W1, W2, ..., Wn dimenze n – 1 (n N), konvergoval Unitární okruh bez dělitelů nuly s Algebraickou strukturou a ti nagenerovali x1 – x2 minorů, kdy x1 = log5 + 6cos ; 3 x2 = log5+cos . Nejmladšímu říkali Hessián. 2 1 n 4! 2n 1 Před dny, kdy m = lim n , se v prostoru W2 dimenze n – 1 (n N) m 2n 3 nadefinovala Caleyho tabulka se zprávou: „Zlá, ohyzdná a nevyhověl nosná Steinitzova věta o výměně bází čerstvě dokázaná matematickou indukcí dle k pro k + 1 (k N) se chce transformovat spolu s Lagrangeovou větou pro konečné grupy a Cauchy-Bolzannovou podmínkou konvergence posloupnosti a n n 1 z afinního prostoru An do vektorového prostoru W2 dimenze n – 1 (n N), vykrátit všechny lineárně nezávislé vektory a ortogonální i ortonormální báze vnořit do euklidovského vektorového prostoru nulté dimenze nad tělesem R pomocí metriky.“ Zarmoutili se Unitární okruh bez dělitelů nuly s Algebraickou strukturou, zahořekovali, ale minoři je uklidňují: „Nehořekujte, budeme se se Steinitzovou větou o výměně bází a jejími nohsledy krátit!“ Unitární okruh bez dělitelů nuly a Algebraická struktura vypravili všech x1 – x2 minorů na konečnou, symetrickou a ortogonální transformaci. Minoři si vzali ireducibilní polynomy n neurčitých (n N) nad tělesem R, množiny zbytkových tříd mod n, surjektivně se zobrazili kanonickým zobrazením fE na faktorové množiny A/E a zahájili transformaci. Transformovali se, transformovali se, až se přetransformovali do faktorového okruhu R/I dle maximálního ideálu I. Indukují, dedukují – kolem dokola jen prázdné množiny, všechno přetransformováno do jiné dimenze, zbývá jenom jedna permutační grupa An. Minoři se do ní vnořili. Na podgrupě Am permutační grupy An leží antisymetrická relace R a integruje. „Buď zdráva, antisymetrická relace R“, hlásí minoři. „Buďte i vy zdrávi, dobří minoři! Kampak se transformujete?“ „My se, relace R, transformujeme ke kongruenci na grupě generované normální podgrupou, do cyklické grupy konečné dimenze. Chceme se krátit se Steinitzovou větou o výměně bází a zabránit její transformaci do podprostoru W2 aritmetického vektorového prostoru W n-té dimenze (n N) nad tělesem T, kde generujeme lineárně nezávislé vektory a ortonormální báze.“ „Ach, to jste hodní, za správnou věc se transformujete krátit. Vždyť ta věta všechno vykrátila, zderivovala či dokázala matematickou indukcí nebo sporem. Sousední afinní podprostory Am1, Am2, ..., Amk m-té dimenze afinního prostoru An dim n, kdy m < n ; m N, n N, jako když vykrátí. V této dimenzi jsem zůstala nadefinovaná já jediná, jak se zdá, nestojím Steinitzově větě o výměně bází ani za to, aby mne vykrátila či zderivovala.“ Minoři se u antisymetrické relace R, která je mimochodem i reflexivní a tranzitivní, bijektivně zobrazili do druhého ortonormálního dne a pokračovali v transformaci afinním prostorem Am2 dimenze m (m N). Transformují se ke kongruenci na grupě generované normální podgrupou, do cyklické grupy konečné dimenze, jakožto součásti afinního prostoru Am6 m-té dimenze (m N) plného algebraických zbytků LN vektorů a ortogonálních bází. Minoři našli grupu generovanou jedním generátorem a vydedukovali, že v ní setrvají. „Tak, minoři!“ povídá Hessián, „přetransformovali jsme se do afinního prostoru Am6 m-té dimenze (m N) nad tělesem T a nesmíme dopustit, aby se Steinitzova věta o výměně bází a její nohsledi přetransformovali přes cyklickou grupu konečné dimenze z afinního prostoru 2
Am6 do afinního prostoru Am5, jakožto brány do aritmetického vektorového prostoru W2 dimenze n – 1 (n N).“ První noc hlídal nejstarší minor – Wronskián. Přetransformoval se do kongruence na grupě generované normální podgrupou, poté do indexovaného systému množin {Ai; i I} a nakonec do invariantního podprostoru Al1 afinního prostoru Am6, kdy dim Al1 < dim Am6. Všude ticho, nikde žádná algebraická struktura či binární operace. Zobrazil se tedy na jádro homomorfismu f Ker f a rozložil se na parciální zlomky tak tvrdě, že až hlasitě integroval. Hessián zatím leží v grupě generované jedním generátorem a nemůže se rozložit na parciální zlomky. Inu vstal, vzal ireducibilní polynom n neurčitých (n N) nad tělesem R a přetransformoval se do kongruence na grupě generované normální podgrupou. Dívá se – na jádru Ker f homomorfismu f se rozkládá na parciální zlomky Wronskián a integruje, až se to rozléhá v celé dimenzi. Hessián ho nesložil, stojí a hlídá uzávěrový systém afinního prostoru Am6. Pojednou se v kongruenci na grupě generované normální podgrupou nadefinovaly normální podgrupy, nagenerovala se ekvivalence EfE indukovaná kanonickým zobrazením fE z množiny A do faktorové množiny A/E a řád podgrupy vydělil řád grupy – Lagrangeova věta pro konečné grupy se pokouší o transformaci do afinního prostoru Am5 dimenze m (m N). Vnořila se do cyklické grupy konečné dimenze – faktorová množina A/E indukovaná ekvivalencí E se rozložila na třídy ekvivalence. „Co to, že ses rozložila na třídy ekvivalence faktorová množino A/E ? Či cítíš, že Hessián je tu? Ten se ještě nevyčíslil, a jestli se i vyčíslil, ke krácení nedorostl! Ze tři prvočísla a je vykrácen!“ Vtom se transformoval Hessián z kongruence na grupě generované normální podgrupou do cyklické grupy konečné dimenze a povídá: „Nechlub se, Lagrangeovo věto pro konečné grupy. Raději pojď, změříme svoje subdeterminanty a matice endomorfismů f1, f2, f3, ..., fn vzhledem k bázím M1, M2, M3, ..., Mn a kdo druhého vykrátí, ten ať se chlubí!“ A tak se sešli, postavili se a krátili se tak tvrdě, až se afinní prostor Am6 rozložil na podprostory Ai1, Ai2, ..., Aim dimenze l; l < m (l N, m N), a zase složil zpět. Lagrangeova věta pro konečné grupy neměla štěstí. Hessián ji vykrátil dvojkou a algebraický zbytek zderivoval. Poté se přetransformoval do grupy generované jedním generátorem a rozložil se na parciální zlomky. Ráno se do grupy generované jedním generátorem injektivně zobrazil Wronskián. Hessián se ho zeptal: „Tak co, copak jsi viděl?“ „Viděl jsem prázdnou množinu, minoři, okolo mne se ani dvouprvkový grupoid netransformoval.“ Druhou noc hlídal prostřední minor – Jakobián. Přetransformoval se do cyklické grupy konečné dimenze, kongruence na grupě generované normální podgrupou, algebraicky uzavřeného tělesa bez vlastních ideálů i do grupy kořenů binomické rovnice. Všude ticho, nikde žádná algebraická struktura či binární operace. Vnořil se tedy pod jeden kořen reciproké rovnice a rozložil se na parciální zlomky. Hessián se ani na něj nespoléhal. Vstal, vzal ireducibilní polynom n neurčitých (n N) nad tělesem R, přetransformoval se do kongruence na grupě generované normální podgrupou a hlídal. Pojednou se v kongruenci na grupě generované normální podgrupou nadefinovalo nekonečné množství čísel > 0 a pro každé z nich se objevilo n0 N tak, že pro každé m N, n N; m > n0; n > n0 vešla v platnost nerovnost |am – an|< – Cauchy-Bolzannova podmínka konvergence posloupnosti a n n 1 se pokouší o symetrickou transformaci z afinního prostoru Am6 do afinního prostoru Am5 dim m (m N). Vnořila se do cyklické grupy konečné dimenze – faktorová množina A/E indukovaná ekvivalencí E se rozložila na třídy ekvivalence, kubická resolventa se úspěšně vyřešila. „Co to, že ses rozložila na třídy ekvivalence faktorová množino A/E, cože ses zdárně vyřešila kubická resolvento? Či cítíte, že Hessián je tu? Ten se ještě nevyčíslil, a jestli se i vyčíslil, ke krácení nedorostl! Ze dvě prvočísla a je vykrácen!“
3
Tu se transformoval Hessián z kongruence na grupě generované normální podgrupou do cyklické grupy konečné dimenze a povídá: „Počkej, Cauchy-Bolzannova podmínko konvergence posloupnosti a n n 1 , nechlub se, napřed něco dokaž, ještě se neví kdo z koho!“ A tak se sešli, postavili se a krátili se tak tvrdě, až se chvěla celá m-tá dimenze (m N). Cauchy-Bolzannova podmínka konvergence posloupnosti a n n 1 neměla štěstí. Hessián jí dokázal existenci limity pro n i pro n , vyšetřil její lokální a globální extrémy, vytknul trojku, pokrátil, co se dalo, a zbývající členy odečetl. Poté se přetransformoval do grupy generované jedním generátorem a rozložil se na parciální zlomky. Ráno se do grupy generované jedním generátorem surjektivně zobrazil Jakobián. Hessián se ho zeptal: „Tak co, copak jsi viděl?“ „Viděl sem nulový homomorfismus, minoři, nikde se ani jednoprvková množina izomorfně nezobrazila.“ „Nu, když je to tak, transformujte se se mnou milí minoři, já vám ukážu i dvouprvkový grupoid i jednoprvkovou množinu,“ povídá Hessián. A tak se ortogonálně transformovali do podgrupy cyklické grupy konečné dimenze a Hessián jim ukázal poslední tři slova Lagrangeovy věty pro konečné grupy, která unikla důsledné parciální derivaci, a dva kvantifikátory, které zbyly z Cauchy-Bolzannovy podmínky konvergence posloupnosti a n n 1 . Minoři se zastyděli. „Rozklad na parciální zlomky,“ povídají, „nás přemohl.“ Třetí noc hlídal Hessián. Vnořil se spolu s ireducibilním polynomem n neurčitých (n N) nad tělesem R do kongruence na grupě generované normální podgrupou a čeká. Pojednou se v kongruenci na grupě generované normální podgrupou transponovaly všechny matice, vynulovaly všechny determinanty, danými množinami se nagenerovaly ideály a jimi indukovaná ekvivalence splnila substituční podmínku, množina {v1, v2, v3, ..., vk, uk+1, ..., un} se stala množinou generátorů vektorového prostoru V dimenze n (n N) – Steinitzova věta o výměně bází se pokouší o symetrickou transformaci z afinního prostoru Am6 do afinního prostoru Am5 dim m (m N). Vnořila se do cyklické grupy konečné dimenze – faktorová množina A/E indukovaná ekvivalencí E se rozložila na třídy ekvivalence, kubická resolventa se úspěšně vyřešila, obor integrity (Z,+,*) se bijektivně zobrazil sám na sebe. „Co to, že ses rozložila na třídy ekvivalence faktorová množino A/E, cože ses zdárně vyřešila kubická resolvento, jak to že ses bijektivně zobrazil sám na sebe obore integrity (Z,+,*)? Či cítíte, že Hessián je tu? Ten se ještě nevyčíslil, a jestli se i vyčíslil, ke krácení nedorostl! Jedno prvočíslo a je vykrácen!“ Tu se transformoval Hessián z kongruence na grupě generované normální podgrupou do cyklické grupy konečné dimenze a povídá: „Počkej s tou chválou, aby sis neudělala spojitou ostudu!“ A tak se sešli, postavili se a krátili se tak tvrdě, až se celý afinní prostor An dimenze n (n N) bijektivně zobrazil do prostoru W dimenze n (n N) a pak se zase bijektivně zobrazil zpět. Hessián si nadefinoval lemmu 1 a zpřeházel Steinitzově větě o výměně bází všechny báze. Než však stačil všechny LN vektory převést na LZ vektory, vyrušila mu Steinitzova věta o výměně bází dva subdeterminanty. Hessián zavedl substituci a za tg 2 dosadil cotg , 5 načež Steinitzovu větu o výměně bází úspěšně odmocnil. Ta se však znovu umocnila, doplnila Hessiána na čtverec a pokusila se jej pomocí transformačních rovnic x = x´cos y´sin a y = x´sin y´cos přetransformovat do roviny E2 na elipsu se středem v bodě [–1,0] a velikostmi poloos a = 4, b = 4 3 . Hessián urychleně zablokoval hlavní a vedlejší směry, ale než se nadál, byl dekadicky zlogaritmován a za pomoci Schmidtova ortogonalizačního procesu převeden na jeden asymptotický směr rovnoosé hyperboly se středem v bodě [–2, 2] v rovině E2. Zle by to s ním dopadlo, kdyby se rozložení minoři spojitě rostoucím hlukem nesložili. Během ln 1,013 sekund se přetransformovali do cyklické grupy konečné dimenze,
4
vytvořili Taylorovu řadu a začali Steinitzovu větu o výměně bází derivovat podle x. Hessián toho využil a za pomoci lemmy 2 a Schwarzovy nerovnosti se převedl na algebraickou strukturu se dvěma binárními operacemi. Steinitzova věta o výměně bází jej vykrátila pěti, usměrnila a za x chtěla dosadit 3 y log e y . Nestihla to. Wronskián provedl úspěšnou transpozici a vyrušil Steinitzově větě o výměně bází čtyři báze. Než je stihla doplnit, vytknul z ní Jakobián dva symetrické polynomy m neurčitých (m N) nad tělesem C. Hessián jí následně vynuloval resultanty a báze převedl na hyperoskulační kružnici v E2 se středem v bodě [–1, ln5] a poloměrem 3log5 47, načež od ní Wronskián odečetl jedničku. Následně ji všech x1 – x2 minorů, kdy x1 = log5 + 6cos ; x2 = log5+cos , znegovalo kvantifikátory. 3 2 Steinitzova věta o výměně bází mlela z posledního. Ještě stačila Wronskiána doplnit na matici přechodu od báze M k bázi M', ale to už se ji Hessiánovi a Jakobiánovi podařilo s použitím lemmy 3 přeformulovat na Lagrangeovu větu pro konečné grupy, načež z ní Hessián, jako v případě skutečné Lagrangeovy věty pro konečné grupy, vytknul dvojku a algebraický zbytek zderivoval. Bylo vykráceno, bylo zderivováno! A minoři se symetricky přetransformovali do vektorového prostoru W2 dim n – 1 (n N) k Unitárnímu okruhu bez dělitelů nuly a Algebraické struktuře a šťastně, spokojeně a stejnoměrně spolu konvergovali, báze generovali, s vektorovým prostorem W1 dim n – 1 (n N) korespondovali. A jestli nezdegenerovali, generují dodnes.
KONEC
5
