Beroepsproduct 3. Plan van Aanpak

Beroepsproduct 3

Plan van Aanpak

Auteur ……: Datum …....:

Ing. Klaas ter Veer 03-01-2013

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO

Inhoudsopgave

Blz.

1.

Inleiding .................................................................................................................... 3 1.1. Formulering van de opdracht................................................................................... 3 1.2. Context.................................................................................................................... 3 1.3. Onderzoeksvraag voor de verkenning ..................................................................... 3 2. Verkenning ..................................................................................................................... 4 2.1. Literatuurverkenning................................................................................................ 4 2.2. Methode: praktijkverkenning.................................................................................... 6 2.2.1 Respondenten .................................................................................................. 6 2.2.2 Dataverzameling en meetinstrument ................................................................ 6 2.2.3 Data-analyse .................................................................................................... 6 2.3. Resultaten ............................................................................................................... 7 2.4. Conclusie ................................................................................................................ 8 3. Product en criteria .........................................................................................................10 4. Opzet evaluatieonderzoek .............................................................................................14 5. Tijdsplanning .................................................................................................................16 6. Literatuurlijst ..................................................................................................................17 Bijlage A: Literatuur onderzoek .....................................................................................18 Bijlage A.1: beknopte inhoud van de literatuur ..................................................................18 Bijlage A.2: Gebruikte kijkpunten ......................................................................................20 Bijlage B: interviews met vakdocenten ........................................................................23 Bijlage B.1: leidraad voor interviews .................................................................................24 Bijlage B.2: De interviews .................................................................................................26 Bijlage C: Analyse van de interviews ....................................................................................29

Pagina 2 van 30


1. Inleiding 1.1. Formulering van de opdracht Leerlingen in de 3de klas missen rekenvaardigheden om bij SK vaardig om te gaan met opgaven met het uitrekenen van percentages. Nu is SK niet het enige vak waar wat wordt gerekend. Ook bij vakken als AK, EC, WI en NA wordt meer of minder gevergd van de rekenvaardigheden van leerlingen. Wat interessant is waarom rekenen leerlingen slecht? Komt dit vanwege desinteresse? Zijn de onderwerpen bij verschillende vakken zo divers dat ze daardoor de draad kwijt raken?

1.2. Context Het Johannes Fontanus College (JFC) is een school voor mavo, havo en vwo en biedt naast de reguliere stroom ook een technasium stroom voor havo en vwo. De school heeft een regio functie. In Barneveld en naaste dorpen is het JFC de enige school voor het VO met zowel onderbouw als ook bovenbouw. De school wordt bezocht door circa 2500 leerlingen en er zijn een 220 personeelsleden. De belangrijkste groep leerlingen voor mijn beroepsproduct zijn de leerlingen van de 3de klas havo. Dit zijn 7 a 8 klassen jaarlijks (200 – 240 leerlingen). T.a.v. rekenen wordt binnen de school weinig extra’s gedaan ondanks dat de resultaten van de tussentijdse toets slecht zijn (van 3de klassen). Omdat meerdere collega’s in de wandelgangen hun zorg / irritatie uitspraken over het slechte rekenen van de leerlingen heb ik me daar in verdiept en vooral nagedacht hoe dat kan worden opgelost, dan wel verbeterd.

1.3. Onderzoeksvraag voor de verkenning Tijdens de verkenning wil ik antwoord zien te krijgen op de volgende hoofdvraag: Hoe kunnen leerlingen in de 3de klas van de Havo worden ondersteund om hun rekenvaardigheden te verbeteren om beter voorbereid te zijn op de rekentoets bij het eindexamen Om gerichter onderzoek uit te voeren tijdens de verkenning heb ik de volgende deelvragen aan deze hoofdvraag gekoppeld: Deelvraag 1: Welke onderwerpen komen voor in de rekentoets bij het eind examen (3F) Deelvraag 2: Welke onderwerpen (uit de rekentoets) komen voor bij de vakken SK, NA, WI, EC en AK Deelvraag 3: Welke onderwerpen zijn generiek t.a.v. rekenen bij de vakken SK, NA, WI, EC en AK Deelvraag 4: Kunnen de leerlingen beter worden ondersteund als reken strategieën worden afgestemd tussen de vakken Deelvraag 5: Bij ondersteuning d.m.v. extra sommen wat voor soort / type sommen moeten dit zijn Met deze vragen moet het mogelijk zijn een gericht onderzoek uit te voeren in de literatuur en interviews met vakcollega’s.

Pagina 3 van 30


2. Verkenning 2.1. Literatuurverkenning Voor de literatuur verkenning heb ik gebruik gemaakt van de bronnen die in de literatuurlijst zijn vermeld (zie hoofdstuk 6). In Bijlage A.1: beknopte inhoud van de literatuur heb ik een beknopte beschrijving gegeven wat de inhoud van de bronnen ongeveer behelst. In Bijlage A.2: Gebruikte kijkpunten staan de resultaten van de studie die ik heb uitgevoerd: de kijkpunten, literatuur citaten en globale samenvatting van de literatuur staan hier vermeld. Allereerst een opsomming van enkele begrippen die een rol spelen bij het onderzoek als ook enkele termen die los vragen oproepen van wat het betekent. In Tabel 1 is dit weergegeven. Tabel 1: overzicht van gebruikte en moeilijke termen Begrip Uitleg Rekentoets Toets die iedere Havo leerling moet maken als onderdeel van het examen op niveau 3F Rekenvaardigheid Vaardigheden die nodig zijn om adequaat te kunnen rekenen Stoichiometrie Is de verhouding waarin chemische verbindingen met elkaar reageren en de verhouding tussen de reactanten en producten van een chemische reactie Empirisch Bij empirisch onderzoek doe je proeven of experimenten, analyseer je de resultaten en trek je op basis daarvan een conclusie Transfer Profiteren van eerder leren, dat de uitvoering van een nieuwe, andere leertaak en het oplossen van een nieuw, ander probleem vergemakkelijkt (Reken) strategieën Een methode / algoritme om een (reken)opgaven op te lossen

In de literatuur kom ik een aantal belangrijke elementen tegen die van belang zijn voor mijn onderzoek. De rekenmachine mag slechts voor een deel worden gebruikt tijdens de rekentoets bron 5 en bron 10). Dit staat haaks op de dagelijkse praktijk waar leerlingen standaard de rekenmachine gebruiken en een aantal vaak eenvoudige berekenen niet uit het hoofd kunnen uitvoeren. Bron 5 geeft ook aan dat leerlingen niet beter gebruik zijn gaan maken van de rekenmachine. Een ander punt wat in de belangstelling staat en ook relevantie heeft met mijn onderzoek is wat voor type opgaven moeten worden aangeboden. Leerlingen vinden ‘verhaaltjes sommen’ vaak lastig om de goede informatie daar uit te halen. Dit raakt nauw met het realistisch rekenonderwijs wat tegenwoordig veel wordt gedaan op de basisschool: relatief weinig opgaven maar wel veel tekst. In bron 4 wordt tegen realistisch rekenen nogal geageerd. Het stap voor stap aanleren is volgens bron 4 nodig met voldoende opgaven voor het inslijpen. In deze bron wordt dan ook gepleit om voldoende te oefenen en van makkelijk naar moeilijk te gaan. Bron 7 heeft op zich niets tegen deze manier van rekenen maar wel tegen het taalgebruik. In opgaven komen soms woorden voor die kinderen niet begrijpen waardoor ze niet in staat zijn de opgave op te lossen of deze juist Pagina 4 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO verkeerd oplossen. Geringe taalvaardigheid of taalzwakke kinderen zullen dus extra moeite hebben met het oplossen van dergelijke opgaven. Een item wat verband houdt met het vorige is de beheersing van rekenvaardigheden. Bron 1 vermeldt dat beheersing van algebraïsche vaardigheden onvoldoende is op alle niveaus. Bron 5 geeft aan dat regelmatig oefenen van vaardigheden een vereiste is om het gewenste beheersingsniveau te bereiken en vast te houden. Tevens dat bij alle vakken, waar wordt gerekend, de aanpak die bij wiskunde rekenen is geleerd daar worden toegepast. Dit laatste heeft ook te maken met strategieën die worden gebuikt en aangeleerd. Bron 8 geeft de voorkeur voor een meer standaard manier bij verschillende vakken. Ook in bron 4 is de voorkeur om in eerste instantie dit op één manier te doen. Bron 1 wil dit aan de leerling over laten en bron 5 geeft aan dat een rekenmachine gebrek aan vaardigheden niet kan compenseren. Wat we willen is dat leerlingen het geleerde bij een vak gaan toepassen bij een ander vak (transfer). Vaak is de gedachte dat dit vanzelf gaat. Bron 6 is hier duidelijk over: “Uit onderzoek (Engle, 2006) is gebleken dat transfer wordt bevorderd als leraren intensief worden betrokken bij de discussie over oplossingen van problemen. Dit bleek ertoe te leiden dat de leerlingen niet slechts één maar meerdere oplossingen voor een probleem gingen zoeken. Transfer is kennelijk een proces dat niet zonder meer spontaan ontstaat, het moet doelbewust door de leraar worden opgeroepen.” Door af te stemmen met andere vakken kan het proces van transfer worden gestuurd (bron 5). Afstemmen is een weerkerend woord in de verschillende bronnen. Zowel op het gebied wanneer onderwerpen worden behandeld maar ook op het gebied van te gebruiken strategieën. Op allerlei gebieden is dat wenselijk: strategieën (bron 5, 6, 8 en 9). Maar ook als het gaat om de onderwerpen die moeten worden behandeld. Vaak wordt verwezen naar wiskunde. Echter dat is niet altijd mogelijk omdat, bron 9: “Vanwege deze structuur is het niet altijd mogelijk de volgorde van examenonderwerpen in het leerplan naar willekeur te wijzigen. Dit wordt in het algemeen als een belemmering gezien voor het integreren van wiskunde, omdat een ander vak en/of een integratieve opdracht net dat examenonderwerp vereist dat vanuit het perspectief van wiskunde(didactiek) beter later aan bod kan komen.” Dit betekent dus dat bij bepaalde vakken zelf onderwerpen t.a.v. rekenen behandeld moeten worden. De onderwerpen voor de rekentoets zijn vast gelegd. Door informatie van de verschillende bronnen (bron 5, 8 en 10) te combineren is het volgende overzicht te maken: Reken onderwerpen Getallen Verhoudingen Meten / Meetkunde Verbanden

EC X X X

NA X X X X

Pagina 5 van 30

SK X X X

WI X X X X

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Uit dit overzicht blijkt al dat de onderwerpen voor de rekentoets terugkomen bij de verschillende vakken. Dit duidt op generaliteit. Dit is qua onderwerpen wel zo, maar ieder vak heeft zijn eigen context en jargon bij die onderwerpen. Dit is zeker een zaak om goed af te stemmen. En als dit goed gebeurd is er veel winst voor de leerlingen! Vanuit de literatuur is een duidelijke antwoord gekomen op de deelvragen 1 en 3. De deelvragen 2, 4 en 5 zijn deels beantwoord en hiervoor is het nodig om een praktijkverkenning uit te voeren.

2.2. Methode: praktijkverkenning 2.2.1

Respondenten

Voor de enquête heb ik gekozen voor collega’s die lesgeven in Havo 3. Voor NA betrof het collega’s die daarnaast ook in de bovenbouw lesgaven. Dit omdat beide vakken overlap hebben in de 2de klas (vaak Nask bij de methoden) en ook in klas 3 waar als het gaat over atoombouw. Bovendien is het de bedoeling om het te maken product zo te maken dat er een betere voorbereiding is voor SK in de 4de klas. Ik heb bewust niet met leerlingen een onderzoek gedaan. Dit omdat zij niet in staat zijn exact te weten welke vaardigheden ze hebben, missen of nog moeten ontwikkelen. Vakcollega’s daar in tegen zullen een bepaalde verwachting hebben en mogelijk zullen die bepaalde problemen kunnen signaleren. Punt om rekening mee te houden is dat vakdocenten vaak sterk naar hun eigen vak kijken.

2.2.2

Dataverzameling en meetinstrument

Voor het verzamelen van data ben ik uitgegaan van de deelvragen die ik heb gedefinieerd bij de onderzoeksvraag. Een uitwerking daarvan is te vinden in Bijlage B.1: leidraad voor interviews. Ik maak bewust gebruik gemaakt van interviews omdat dit meer mogelijkheid biedt voor interactie. Over onderdelen die niet duidelijk zijn of ik niet begrijp kan ik gemakkelijk nog een nadere toelichting vragen. Een ander voordeel is dat indirect de antwoorden zijn gekoppeld aan de gebruikte methoden. Vanuit de methoden kan een probleem meer of minder zichtbaar zijn. Omdat het een onderzoek gericht is om op de school het rekenen in de 3de klas te verbeteren wordt concreter zichtbaar wat goed is en wat verbeterd kan worden. De bedoeling van de interviews is om boven water te krijgen wat in de 3de klas Havo zoal gebeurt op het gebeid van rekenen. Maar ook welke problemen en tekorten (manco’s) er zijn bij deze doelgroep. De uitwerking van de interviews zijn te vinden in Bijlage B.2: De interviews.

2.2.3

Data-analyse

De volgende vragen heb ik gedefinieerd voor de interviews (zie ook Bijlage B.1: leidraad voor interviews): Pagina 6 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Bij deelvraag 2: 1. Welke onderwerpen komen aan bod in de onderbouw van de Havo bij je vak die met rekenen hebben te maken? 2. Kun je ook aangeven (bij benadering) of leerlingen grote problemen ondervinden bij die onderwerpen? 3. Zo ja hoeveel % bij benadering? Bij deelvraag 4: 1. Wordt er binnen de sectie wel eens gesproken over rekenvaardigheden? • Hoe dezen in de methode worden aangeboden? • Hoe onderwerpen met extra materiaal kunnen worden ondersteund? • Aansluiting gezocht kan worden bij andere vakken? 2. Wordt er binnen de sectie weleens contact gezocht met b.v. wiskunde over rekenvaardigheden? 3. Is de voorkennis van de leerlingen voldoende als ze je vak in de bovenbouw volgen? Bij deelvraag 5: 1. Weet je zelf als docent welke rekenstrategieën leerlingen het liefst gebruiken / toepassen? 2. Welke strategieën bied je zelf aan? (volgens de methode of andere die beter bij leerlingen aanslaan) 3. Zorg je zelf wel eens voor extra oefen materiaal voor de leerlingen? Zo ja waar haal je ze vandaan? De vragen van voor de interviews kunnen over grofweg 4 items / labels worden verdeeld: - Onderwerpen die met rekenen hebben te maken (DLV2.1 - Problemen die worden onderkent bij leerlingen (DLV2.2, DLV2.3, DLV5.3, DLV4.3) - Strategieën die worden gebruikt / aangeboden (DLV5.1, DLV5.2) - Rekenvaardigheden van leerlingen (DLV4.1, DLV4.2) Op basis van deze labels is de data goed te analyseren en kunnen de uitkomsten een antwoord geven op de onderzoeksvraag: Hoe kunnen leerlingen in de 3de klas van de Havo worden ondersteund om hun rekenvaardigheden te verbeteren om beter voorbereid te zijn op de rekentoets bij het eindexamen en hoe dit bij SK voor een deel kan worden gerealiseerd Deze interviews heb ik vervolgens geanalyseerd a.d.h.v. de gedefinieerde labels. Het resultaat van de analyse is te vinden in Bijlage C: Analyse van de interviews.

2.3. Resultaten Uit de literatuur studie kwam naar voren dat over het algemeen de rekenvaardigheden slechter zijn geworden en dat ondanks het gebruik van de rekenmachine dit niet wordt gecompenseerd: “Maar, het blijkt dat de leerlingen geen beter gebruik van de zakrekenmachine gaan maken. Leerlingen kunnen minder goed rekenen dan vroeger, maar zijn niet meer bedreven in het gebruik van de zakrekenmachine voor het oplossen van toepassing opgaven die veel rekenwerk vragen. De achteruitgang in rekenvaardigheid wordt niet gecompenseerd.” Pagina 7 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Bron 5 Ook bij de interviews kwamen problemen naar boven inzake slechte rekenvaardigheid. O.a. getalsbegrip (WI), het niet kunnen herschrijven van formules (EC, NA, SK). Het lijkt erop dat bij AK geen noemenswaardige problemen worden ondervonden. De problemen waar 5 a 10% van de leerlingen moeite mee heeft kunnen met ondersteuning van voorbeelden, die worden uitgewerkt, verder. Een groot probleem dat bij EC, NA en SK naar voren komt is het niet kunnen gebruiken / toepassen van formules. Omdat dit moeizaam gaat wordt de verhoudingstabel gebruikt. De opgaven kunnen worden gemaakt, maar abstractie naar formules lukt niet (SK). Daarnaast wordt ook aangegeven dat herleiden van een formule uit eenheden meestal niet lukt (SK) terwijl ook bij werken met breuken veel onbegrip is (WI, NA, SK). Bij WI wordt nog expliciet vermeldt de koppeling getalsbegrip, breuken en getallen delen door getallen kleiner dan 1: de uitkomst wordt groter en dat is voor veel leerlingen lastig om te snappen. De reken onderwerpen die bij de verschillende vakken aan de orde komen worden uiteindelijk ook in de rekentoets niveau 3F bevraagd in het eindexamen van de Havo. De strategieën die worden aangeboden richting leerlingen zijn van hetzelfde: Verhoudingstabel, kruistabel. Daarnaast wordt door de docenten de in de methode aangeboden strategieën uitgelegd. De gebruikte en toegepaste rekenvaardigheden van leerlingen beperken zich met name tot verhoudingstabel en kruistabel. Deze worden ter willen van de leerlingen ook aangeboden om opgaven te kunnen oplossen.

2.4. Conclusie M.b.v. de literatuurverkenning en de praktijkverkenning kan ik de deelvragen en onderzoeksvraag beantwoorden. De onderzoeksvraag luidt: Hoe kunnen leerlingen in de 3de klas van de Havo worden ondersteund om hun rekenvaardigheden te verbeteren om beter voorbereid te zijn op de rekentoets bij het eindexamen en hoe dit bij SK voor een deel kan worden gerealiseerd Vanuit de resultaten van de beide verkenningen wil ik een conclusie trekken over hoe Havo3 leerlingen kunnen ondersteund worden. Die ondersteuning is nodig omdat verschillende problemen / tekortkomingen zijn geconstateerd. Bij AK een beroep gedaan op verschillenden vaardigheden: schalen, percentages, gebruik van tabellen (spoorboekje). Dit soort vaardigheden / begrip wordt ook weer bij andere vakken toegepast (b.v. gebruik van tabellenboek Binas voor NA, SK en BI). Wat echte problemen zijn voor zowel rekenen bij de verschillende vakken en voor de rekentoets is het werken met: 1. Breuken 2. Procenten Pagina 8 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO 3. 4. 5. 6.

Verhoudingen Werken met formules (herleiden) Herleiden uit eenheden Omrekenen van eenheden

Onderdelen 1, 2 en 3 zijn zeer met elkaar verwant en geeft veel problemen in de 3de klas. Het verdient dan ook aanbeveling om hier de koe bij de horens te vatten en aan te pakken. Onderdeel 6 is iets wat lastiger is. Waar dat precies ligt is niet duidelijk. Dit is materie van de basisschool (groep 7/8), bij wiskunde klas 1, bij natuurkunde klas 2. Dit is vergelijkbaar met woordjes leren bij Engels, Duits de Frans. Indien leerlingen de rijtjes en stapgrootte weten dan is het geen probleem. Een kwestie van leren en toepassen. Onderdelen 4 en 5 zijn wel onderwerpen die van belang zijn maar minder urgent dan onderdelen 1, 2 en 3. Zeker niet iets om op de lange baan te schuiven maar een iets lagere prioriteit dan de andere 3. Dit omdat dit bij de meeste vakken met regelmaat aan de orde komt en ook door collega’s wordt aangegeven dat dit een probleem is.

Pagina 9 van 30


3. Product en criteria Om de leerlingen in Havo 3 te ondersteunen moet er een en ander worden gedaan om dat te realiseren. Het volgende materiaal zal er moeten komen: 1. Beknopte uitleg van een onderwerp in beknopte omvang theorie 2. Uitgewerkte voorbeelden 3. Oefeningen / opgaven om rekenvaardigheid aan te leren / verbeteren van een onderwerp (eventueel in de vorm van werkbladen). 4. De uitwerkingen moeten zonder rekenmachine worden gemaakt. N.B. getallen moeten hier uiteraard voor zijn aangepast voor gebruik zonder rekenmachine Ad 1) Er moet vanuit worden gegaan dat leerlingen in het verleden al iets hebben gehad van het betreffende onderwerp. Daarom kan en moet het beknopt blijven. Voor een aantal leerlingen zal het mogelijk een opfrissing zijn. Ad 2) Door voorbeelden uit te werken kunnen leerlingen zien hoe een probleem wordt aangepakt / opgelost. Omdat er opgaven op verschillende niveaus komen (basis, gevorderd en toepassing) is het noodzakelijk om ook op ieder niveau passende voorbeelden uit te werken. Ad 3) Voor wat betreft de oefeningen / opgaven is een opbouw gewenst zoals ook in bron 4 is aangegeven: “Succesvolle leerprocessen in het rekenonderwijs doorlopen de volgende fasen: 1. Oriëntering (context, voorbeelden) 2. Oefenen, eerst makkelijk, dan iets moeilijker. Geen contexten! 3. Verdieping met contexten en voorbeelden 4. Meer oefeningen, zonder contexten 5. Verdere verdieping, voorbeelden, contexten, ... waarbij de stappen 4 en 5 naar behoefte herhaald kunnen worden.” Ad 4) Bij de rekentoets mag bij een groot deel van de opgaven geen rekenmachine worden gebruikt. Het is goed om leerlingen daar in te trainen. Voor de opgaven / oefeningen dient hier rekening mee gehouden te worden. Indien wel een rekenmachine nodig is moeten de leerlingen worden aangeleerd eerst alles zoveel mogelijk op te schrijven en alleen om het eind antwoord met de rekenmachine uit te rekenen. Voordeel is dat in het materiaal op deze manier ook een differentiatie is aangebracht. Dit is handig omdat het niveau en achterstand per leerling / klas / leerjaar kan verschillen. Indien de basis bekend is kan meteen naar wat moeilijker opgaven worden gegaan. Op het moment dat gesproken wordt over contexten kan voor ieder vak zijn eigen specifieke toepassing worden gebruikt. Binnen het gestelde tijdsbestek van deze opdracht lukt het niet om alles uit te werken. Gezien de periode van het jaar wanneer dit beschikbaar is, is het onderwerp werken met formules (omwerken) iets om mee te starten. Daarna kan een deel van de onderwerpen breuken / verhoudingen / procenten worden uitgevoerd. Pagina 10 van 30


Formules omwerken Opmerkingen

Theorie

Voorbeelden Opgaven

Breuken

Opmerkingen Theorie

Voorbeelden Opgaven

Dit is een onderwerp dat zich leent voor 3 verschillende levels qua oefening. Er kan worden gewerkt met een verhoudingstabel (basic), met cijfers werken en dit koppelen aan symbolen in de formule en de wiskundige behandeling van delen / vermenigvuldigen. Terugkoppeling naar de wiskunde: vanuit formule een grafiek maken. Bij exacte vakken is grafiek vaak niet nodig omdat we slechts in een paar punten zijn geïnteresseerd. Formules die reeds bekend zijn (b.v. van dichtheid (NA) of afgelegde weg (NA, WI) Basic: Eenvoudige formules (met 2 letters) die betrekkelijk eenvoudig zijn laten uitrekenen. Dit vervolgens uitbreiden naar 3-letter formules. Bij de 3-letter formule deze ombouwen om een andere variabele (letter in de formule) te berekenen. Hiermee een aantal opgaven laten doen. Daarna weer ombouwen. Gevorderd: een formule geven (3-letter), dan oefeningen door elkaar geven waarbij de leerling telkens moet bepalen hoe de formule moet worden gebruikt. Toepassing: leerlingen krijgen opgaven waarbij ze zelf een formule moeten maken uit gegevens en deze vervolgens gaan gebruiken om opgaven op te lossen; dit betreft formules die ze ook bij SK en NA krijgen.

Een onderwerp wat lastig is. Derhalve zorgen dat zonder rekenmachine wordt gewerkt. Uitleg wat breuken zijn en hoe te gebruiken. O.a. dat breuken hetzelfde is als en deling. Gelijknamig maken bij optellen en aftrekken van breuken. Wat gebeurt er met vermenigvuldigen en delen. Regel delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Toepassingen in de praktijk: een reep (eerlijk) verdelen, een taart snijden Basic: optellen aftrekken van breuken met noemers met getallen tot en met 20. Eerst optellen en aftrekken steeds in aparte blokken. Gevorderd: optellen / aftrekken van breuken met noemers met getallen tot en met 50 door elkaar. Vermenigvuldigen van breuken met noemers tot en met 20 Toepassing: optellen / aftrekken / vermenigvuldigen door elkaar en delen van breuken. Als afsluitende opgaven leerlingen breuken uit verhaaltjes laten halen. N.B. op alle niveaus ook werken met breuken waar de teller groter is dan de noemer!

Pagina 11 van 30


Verhoudingen Opmerkingen Theorie Voorbeelden Opgaven

Procenten

Opmerkingen Theorie

Voorbeelden Opgaven

Koppeling leggen met breuken Wat is een verhouding? Wat betekent het? Maken van limonade Basic: verhouding tussen omtrek en diameter. Dit doen a.d.h.v. een practicum waarbij de leerlingen van cirkels (munten, bekers, plastic pijpen e.d. omtrek en de diameter bepalen. Waarbij het quotiënt telkens pi is. Gevorderd: verhoudingen van recepten en koppeling met verhoudingstabel Toepassing: leerlingen kunnen dit toepassen bij SK en kunnen massaverhoudingen bepalen m.b.v. verhoudingstabel en een massaverhouding opstellen vanuit een kloppende reactie vergelijking.

Koppeling leggen met breuken en verhoudingen Wat is een procent? Wat betekent het? Vooral hoe pak je een probleem aan, welke strategie moet je toepassen. Dit omdat procenten bij SK, NA en EC op verschillende manieren omgaan met procenten, andere contexten maar ook andere toegepaste strategieën. Rente op spaargeld Basic: berekeningen waarbij deel en totaal eenvoudig zijn te herkennen Gevorderd: moeilijkheidsgraad hoger waarbij deel en totaal minder eenvoudiger zijn te onderscheiden maar die ze wel zelf moeten kunnen aangeven. Toepassing: leerlingen kunnen de geleerde theorie toepassen bij SK bij bepaling van massa- en volume-percentages waarbij ze m.b.v. van dichtheid van massa naar volume en vice versa kunnen rekenen.

Pagina 12 van 30


Letterrekenen Opmerkingen Theorie

Voorbeelden Opgaven

Koppeling met wiskunde Wat is een procent? Wat betekent het? Vooral hoe pak je een probleem aan, welke strategie moet je toepassen. Dit omdat procenten bij SK, NA en EC op verschillende manieren omgaan met procenten, andere contexten maar ook andere toegepaste strategieën. Basic: eenvoudige toepassing van letter rekenen waarbij de

nadruk ligt op het herleiden van eenvoudige (kale) opgaven Gevorderd: toepassing waarbij haakjes moeten worden weggewerkt en eenvoudige vergelijkingen vanuit een opgave kunnen opstellen Toepassing: leerlingen zelf zogenaamde balansvergelijkingen opstellen en uitrekenen t.b.v. het kloppend maken van reactie vergelijkingen bij SK

Pagina 13 van 30


4. Opzet evaluatieonderzoek Hebben leerlingen voordeel gehaald door te werken met het extra materiaal t.a.v. rekenvaardigheden? Hier zitten twee zijden aan. De eerste is het materiaal zelf. Is dit toegankelijk? Kunnen de leerlingen hier mee overweg? Deze vragen kunnen in een kleine enquête aan leerlingen worden bevraagd. De andere zijde is of de leerlingen inhoudelijk de materie onder de knie hebben. Dit is lastig om via een enquête te onderzoeken. Dit kan beter d.m.v. een schriftelijke toets (overhoring). Een bijkomend voordeel is dan de externe prikkel voor een cijfer waardoor er vanuit gegaan mag worden dat het gros van de leerlingen serieus met het onderwerp aan de slag gaat. Deze kunnen gecombineerd worden: een overhoring met aan het eind enkele enquête vragen. Het product moet aan de volgende eisen voldoen: - Onderwerpen moeten bij meerdere vakken ‘hot’ zijn - Onderwerpen uit voorgaande jaren herhalen: beknopte theorie en opgaven + uitwerkingen en moeten door leerlingen zelfstandig bestudeert kunnen worden - Een vak moet op het algemene onderwerp een vakspecifieke toepassingen of toepassingen doen - Het onderhouden moet niet ingewikkeld zijn of via veel hoofden gaan - Het meeste rekenwerk moet zonder rekenmachine uitgevoerd kunnen worden A.d.h.v. deze eisen kan een enquête worden gehouden onder docenten om deze eisen te controleren. Dit moet zowel gedaan worden onder docenten die lesgeven in Havo-3 omtrent de bruikbaarheid richting hun lessen. Maar ook de leerlingen zullen bevraagd moeten worden over hun ervaringen met het materiaal. Het spreekt als vanzelf dat voor docenten en leerlingen andere vragen gesteld zullen worden. Uiteraard zal bij beide groepen de bruikbaarheid aan de orde moeten komen. Terwijl bij docenten meer nadruk ligt op hoe kan het in mijn lessen worden ingezet zal bij de leerlingen belangrijk zijn kun je er wat mee en kun je met het materiaal uit de voeten. Evaluatie vragen voor docenten: 1. Dit materiaal is goed bruikbaar voor je vak in Havo3 2. Het algemene deel sluit goed aan om uit te breiden met wat voor je vak specifiek is 3. Er zijn voldoende onderwerpen in het algemene deel die binnen je vak worden gebruikt 4. De opgaven in het algemene deel zijn zonder rekenmachine goed te doen 5. De opzet in een algemeen deel en vakspecifiek deel zorgt dat er goed en flexibel onderhoud op het materiaal kan worden gedaan 6. Het gebruik van dit materiaal zal de rekenvaardigheid verbeteren van leerlingen in Havo-3 7. De theorie in het algemene deel is goed te doen als zelfstudie voor leerlingen om op niveau voor je vak te komen Pagina 14 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO 8. De uitwerkingen zijn goed te gebruiken bij zelfstudie om goede feedback te krijgen Nog specifiek voor collega’s van de sectie scheikunde: 9. Het vakspecifieke deel bevat goede aanvullingen op de methode NOVA in Havo3 10.Algehele indruk van materiaal, inclusief uitwerkingen Bij de leerlingen is het ook nodig om een indruk te krijgen over hun kennis van de onderwerpen die worden aangeboden. Kenden ze het nog goed, hebben ze dit al bij een ander vak gehad. Evaluatie vragen voor leerlingen: 1. Het onderwerp waar het over ging snapte ik al heel goed 2. Dit materiaal is goed leesbaar 3. De gebruikte voorbeelden zijn goed uitgewerkt 4. De stof die besproken is heb is al eerder bij een ander vak gehad 5. De stof die besproken is kende ik wel maar was ‘weggezakt’ 6. De opgaven zijn zonder rekenmachine goed te doen 7. Ik zou op deze manier door zelfstudie deze stof goed kunnen leren 8. De uitwerkingen zijn voldoende goed uitgewerkt om zonder of weinig hulp verder te kunnen Beide groepen zullen de vragen krijgen via een enquête. De docenten materiaal met een schriftelijke toelichting. De leerlingen krijgen dit mondeling toegelicht. Bij beide groepen kunnen de vragen worden gewaardeerd van 1 t/m 5. 1  Niet 2  Weinig 3  Neutraal 4  Voldoende 5  Veel Op deze manier kunnen de scores relatief gemakkelijk worden bewerkt en geëvalueerd. Naast de vragen moet ook ruimte zijn voor eventuele opmerkingen / aanvullingen die de geënquêteerden willen maken bij de evaluatie van het product of delen daarvan.

Pagina 15 van 30


5. Tijdsplanning In deze paragraaf staat de tijdsplanning gegeven voor het praktijk onderzoek: Wk Activiteit Duur Opmerkingen 44 Interviews + verwerking daarvan 10 45 Afronden Plan van aanpak periode 2 10 Tentamen periode A 46 Start onderdeel formules omwerken ruw 12 47 Formules omwerken klaar (review gereed) 10 48 Start onderdeel breuken ruw 12 49 breuken klaar (review gereed) 10 50 Start onderdeel Verhoudingen ruw 12 51 Verhoudingen klaar (review gereed) 10 52 Slack: eventuele achterstand wegwerken Vakantie 1 Slack: eventuele achterstand wegwerken Vakantie 2 Start onderdeel procenten ruw 12 Lessen ‘Omwerken formules’ 5 3 procenten klaar (review gereed) 10 Afronden + evaluatie ‘Omwerken formules’ 5 4 Afronden BP3 verslaglegging 15 Totaal 5 133 Tentamen periode B

Pagina 16 van 30


6. Literatuurlijst 1. APS te Utrecht (2008), Rekenen voor de lerarenopleiding, Meppel: Ten Brink 2. Drijvers, P. (2011), 'Wat bedoelen ze toch met realistisch?', Nieuwe Wiskrant 31-1/september 2011 3. Jong, O. de (1990), Proefschrift ‘Rekenen aan reactie’ 4. Kraats J. van der (2007), 'Waarom Daan en Sietze niet kunnen rekenen', NAW 5/8 nr. 2 juni 2007 5. Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof 6. Nelissen, J.M.C. (2007), Recent onderzoek naar transfer, Panama-Post, jaargang 26 nr 1 7. Prenger, J. (2009), 'Terug naar ‘ouderwets’ rekenonderwijs of blijven we ‘realistisch’ rekenen', TAAL LEZEN primair januari 2009 nr.2 8. SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 van: http://www.fisme.science.uu.nl/salvo/lesmateriaal/index.php 9. SLO (2010), Meer samenhang in bovenbouw VMBO. Enschede, AN: 5.5059.30. 10.SLO (2011), Rekentoetswijzer 3F voortgezet onderwijs. Enschede, AN: 5.5729.451

Pagina 17 van 30

Bijlage A: Literatuur onderzoek Bijlage A.1: beknopte inhoud van de literatuur Een eerste stap is de globale indeling van de literatuur a.h.d.v. de bestudering van titels, inleiding en/of voorwoorden. Het resultaat is weergegeven in onderstaande tabel.

Kernbegrip Deelaspect

Rekentoets onderwerpen

Ondersteuning

Rekenen

Bronnen Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof SLO (2011), Rekentoetswijzer 3F voortgezet onderwijs. Enschede, AN: 5.5729.451 APS te Utrecht (2008), Rekenen voor de lerarenopleiding, Meppel: T en Brink SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 van: http://www.fisme.science.uu.nl/salvo/lesmateriaal/index.php Drijvers, P. (2011), 'Wat bedoelen ze toch met realistisch?', Nieuwe Wiskrant 31-1/september 2011 Kraats J. van der (2007), 'Waarom Daan en Sietze niet kunnen rekenen', NAW 5/8 nr. 2 juni 2007 Prenger, J. (2009), 'Terug naar ‘ouderwets’ rekenonderwijs of blijven we ‘realistisch’ rekenen', TAAL LEZEN primair januari 2009 nr.2 Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof

Toelichting Rapport over doorlopende leerlijnen van rekenen en taal Rapport over de onderwerpen voor de rekentoets 3F Dit boek gaat over rekenonderwijs: problemen die zijn gesignaleerd en contexten in het VO Dit is de website van een project groep die zich inzet om bepaalde onderwerpen die bij meerdere vakken als WI, EC, NA, SK en BI voorkomen als project voor die vakken aan te bieden Artikel over hoe leerlingen het beste leren rekenen Artikel over hoe leerlingen het beste leren rekenen Artikel over hoe leerlingen gebaat zijn bij gebruik van duidelijke taal Rapport over doorlopende leerlijnen van rekenen en taal


Onderwerpen bij de vakken

SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 van: http://www.fisme.science.uu.nl/salvo/lesmateriaal/index.php

Generieke onderwerpen

SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 van: http://www.fisme.science.uu.nl/salvo/lesmateriaal/index.php SLO (2010), Meer samenhang in bovenbouw VMBO. Enschede, AN: 5.5059.30. Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof Jong, O. de, Proefschrift over chemisch rekenen

Afstemming

Nelissen, J.M.C. (2007), Recent onderzoek naar transfer, Panama-Post, jaargang 26 nr 1 Drijvers, P. (2011), 'Wat bedoelen ze toch met realistisch?', Nieuwe Wiskrant 31-1/september 2011 Kraats J. van der (2007), 'Waarom Daan en Sietze niet kunnen rekenen', NAW 5/8 nr. 2 juni 2007 Prenger, J. (2009), 'Terug naar ‘ouderwets’ rekenonderwijs of blijven we ‘realistisch’ rekenen', TAAL LEZEN primair januari 2009 nr.2 Nelissen, J.M.C. (2007), Recent onderzoek naar transfer, Panama-Post, jaargang 26 nr 1 SLO (2011), Rekentoetswijzer 3F voortgezet onderwijs. Enschede, AN: 5.5729.451

Pagina 19 van 30

Dit is de website van een project groep die zich inzet om bepaalde onderwerpen die bij meerdere vakken als WI, EC, NA, SK en BI voorkomen als project voor die vakken aan te bieden Dit is de website van een project groep die zich inzet om bepaalde onderwerpen die bij meerdere vakken als WI, EC, NA, SK en BI voorkomen als project voor die vakken aan te bieden Rapport over hoe meer samenhang tussen de verschillende vakken kan worden verkregen op het VMBO Rapport over doorlopende leerlijnen van rekenen en taal Onderzoek hoe bij SK het zogenaamde chemisch rekenen kan worden verbeterd Hoe kunnen leerlingen opgedane kennis bij vakken gebruiken bij andere Artikel over hoe leerlingen het beste leren rekenen Artikel over hoe leerlingen het beste leren rekenen Artikel over hoe leerlingen gebaat zijn bij gebruik van duidelijke taal Hoe kunnen leerlingen opgedane kennis bij vakken gebruiken bij andere Rapport over de onderwerpen voor de rekentoets 3F

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Bijlage A.2: Gebruikte kijkpunten Voor een betere bestudering van de literatuur is het wenselijk te werken met kijkpunten om gerichter onderzoek te doen en beter te focussen op de onderzoeksvraag en deelvragen. In onderstaande tabellen zijn per deelvraag kijkpunten gedefinieerd. Deelvraag 1 Bronnen 1 2

Welke onderwerpen komen voor in de rekentoets bij het eind examen (3F) 1. Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof 2. SLO (2011), Rekentoetswijzer 3F voortgezet onderwijs. Enschede, AN: 5.5729.451 Welke onderwerpen zijn onderdeel voor niveau 3F Toelichting: Bij verdere bestudering bij de vakken is het niet nodig om bepaalde onderwerpen te onderzoeken die niet voorkomen bij de rekentoets. Een goede notatie van de onderwerpen helpt om gerichter onderzoek te doen Welke hulpmiddelen mogen de leerlingen gebruiken? Toelichting: Van belang is bij het vormgeven van rekenen welke hulpmiddelen zijn toegestaan. Tijdens lessen kan hier ook gebruik van worden gemaakt b.v. wel / geen rekenmachine.

Deelvraag 2 Bronnen 1 2

Welke onderwerpen (uit de rekentoets) komen voor bij de vakken SK, NA, WI, EC en AK 1. SLO (2010), Meer samenhang in bovenbouw VMBO. Enschede, AN: 5.5059.30. 2. SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 Welke onderwerpen zijn onderdeel van de verschillende vakken Toelichting: Ook hier geldt net als bij deelvraag 1: onderwerpen die niet op de rekentoets komen maar wel gemeenschappelijk zijn hoeven er niet te worden uitgelicht Welke vakken hebben gemeenschappelijke onderwerpen? Toelichting: Het is goed om duidelijk inzicht te hebben welke onderwerpen gemeenschappelijk zijn: bij 2 vakken, bij 3 vakken, ….

Pagina 20 van 30


Deelvraag 3 Bronnen

1 2

Welke onderwerpen zijn generiek t.a.v. rekenen bij de vakken SK, NA, WI, EC en AK 1. SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 2. Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof 3. Jong, O. de, Proefschrift over chemisch rekenen Welke onderwerpen komen bij 3 of meer vakken aan de orde? Toelichting: Als een onderwerp bij 3 vakken of meer voorkomt kun je van generiek spreken: iedere leerling heeft er mee te maken en zijn gebaat als ze de transfer kunnen maken. Komen bepaalde onderwerpen meerdere keren aan de orde binnen een vak? Zijn bepaalde onderdelen bij het vak ‘generiek’? Toelichting: Mogelijk dat dezelfde onderdelen bij vak bij andere onderwerpen aan bod komen. Goed om als de literatuur daar gelegenheid voor geeft ook te kijken naar onderwerpen die in de 2de klas worden behandeld.

Deelvraag 4 Bronnen

1 2

Kunnen de leerlingen beter worden ondersteund als reken strategieën worden afgestemd tussen de vakken 1. APS te Utrecht (2008), Rekenen voor de lerarenopleiding, Meppel: Ten Brink 2. SaLVO (project), Reken/wiskunde onderwerpen van NA, WI, SK in de 3de klas; verkregen op 21 september 2013 van: http://www.fisme.science.uu.nl/salvo/lesmateriaal/index.php 3. Meijerink (2008), ‘Over de drempels met taal en rekenen’, Almelo: Lulof 4. Nelissen, J.M.C. (2007), Recent onderzoek naar transfer, Panama-Post, jaargang 26 nr 1 Welke strategieën / oplossingsmethoden gebruiken de verschillende vakken bij de rekenonderwerpen? Toelichting: Vaak heeft een vak vanuit zijn ontstaansgeschiedenis een bepaalde oplossingsstrategie. Daar waar het gaat om generieke onderwerpen is het wenselijk dat dit bekend is bij verschillende docenten Is het raadzaam om 1 oplossingsstrategie aan te bieden? Toelichting: Zijn alle leerlingen hiermee gebaad of wordt op deze manier een groep leerlingen te kort gedaan?

Pagina 21 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Deelvraag 5 Bronnen

1 2 3

Bij ondersteuning d.m.v. extra sommen wat voor soort / type sommen moeten dit zijn 1. Drijvers, P. (2011), 'Wat bedoelen ze toch met realistisch?', Nieuwe Wiskrant 31-1/september 2011 2. Kraats J. van der (2007), 'Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen', NAW 5/8 nr. 2 juni 2007 3. Nelissen, J.M.C. (2007), Recent onderzoek naar transfer, Panama-Post, jaargang 26 nr 1 4. Prenger, J. (2009), 'Terug naar ‘ouderwets’ rekenonderwijs of blijven we ‘realistisch’ rekenen', TAAL LEZEN primair januari 2009 nr.2 Is er voor de oplossing 1 strategie? Toelichting: Afhankelijk van het vak kan ook per vak een andere oplossingsstrategie worden aangeboden. Iedere oplossing is correct maar voor transfer is het noodzakelijk dat de leerlingen hierop worden gewezen. Wat voor soort opgave moeten het zijn? Toelichting: Moeten het ‘verhaaltje’ sommen zijn of kale opgaven? Hoe wordt dit in de vakken gedaan? Is het wenselijk om generieke onderwerpen bij 1 vak te laten onderwijzen voor de leerlingen? Toelichting: Als iets generiek is zou dat impliceren dat het niet nodig is dat dit bij ieder vak apart wordt onderwezen is dit wenselijk?

Zoals bij de deelvragen al is aangegeven zijn er bepaalde labels te vinden. Daarnaast zijn nog enkele labels die vanuit de onderzoeksvraag eveneens relevant zijn. De volgende labels heb ik gedefinieerd: - Onderwerpen (t.a.v. rekenen) - Ondersteuning - Generiek - Afstemming - Reken strategieën - Soort / type opgaven - Beheersing - Transfer - Hulpmiddelen

Pagina 22 van 30

Bijlage B: interviews met vakdocenten In deze bijlage zijn de interviews gegeven met vakcollega’s. Er is onderscheid gemaakt tussen 3 groepen: AK en EC (‘gewone’ vakken waar wordt gerekend), NA en SK (vakken die verwant zijn zeker in de 2de maar ook deels onderwerpen hebben in een grijsgebied, b.v. atoombouw) en WI omdat vanuit de wiskunde de basis voor onderwerpen t.a.v. rekenen wordt gelegd. Ik wil de collega’s persoonlijk uitnodigen voor een gesprek en dan hen de volgende informatie geven: Ik ben bezig met een onderzoek omtrent het rekenen van leerlingen in de 3de klas van de Havo. Zou je in een interview met mij iets meer kunnen vertellen over onderwerpen die bij je vak voorkomen over rekenen en kun je dan ook globaal aangeven in welke periode van het jaar dit wordt behandeld? Het interview duurt ongeveer 15 minuten. Informatie wordt vertrouwelijk behandeld. Voor de literatuur zijn kijkpunten bepaald a.d.h.v. onderzoeksvragen. Ook voor de interviews zijn onderzoeksvragen de basis geweest om vragen te definiëren voor de vakcollega’s. In Bijlage C.1: leidraad voor interviews zijn deze gegeven. In Bijlage C.3: Uitwerking van de interviews zijn de labels gedefinieerd die ik heb gebruikt voor de analyse en zijn de interview uitgewerkt.

Bijlage B.1: leidraad voor interviews Hieronder volgt eerst de leidraad voor de interviews. Deelvraag 2 Welke onderwerpen (uit de rekentoets) komen voor bij de vakken SK, NA, WI, EC en AK Bronnen 3. Onderbouw docenten AK en EC 4. Bovenbouw docenten SK en NA 5. Onderbouw docent WI 1 Welke onderwerpen komen aan bod in de onderbouw van de Havo bij je vak die met rekenen hebben te maken? Toelichting: Het is van belang boven tafel te krijgen waar de leerlingen mee te maken krijgen bij de verschillende vakken. Als dit in kaart is gebracht kan achteraf worden geïnventariseerd waar en bij welke vakken overlap zit of juist een gat zit t.a.v. rekenvaardigheid bij leerlingen N.B. voor de docenten van de bovenbouw is de vraag tevens ook wat de leerlingen in de bovenbouw nodig hebben 2 Kun je ook aangeven (bij benadering) of leerlingen grote problemen ondervinden bij die onderwerpen? Toelichting: Het is goed om duidelijk inzicht te hebben welke onderwerpen lastig zijn voor leerlingen. Dit zal inzicht geven hoe de leerlingen geholpen kunnen worden om die onderwerpen gemakkelijker onder de knie krijgen. 3 Zo ja hoeveel % bij benadering? Toelichting: Dit is een nadere toelichting op de vorige vraag. Als dit een groot deel van de leerlingen is zou dit kunnen duiden op een algeheel gat in de vaardigheden van leerlingen. Indien dit een klein deel is zal er mogelijk duiden op een gat in de vaardigheden van enkelen. Deelvraag 4

Kunnen de leerlingen beter worden ondersteund als reken strategieën worden afgestemd tussen de vakken Bronnen 5. Onderbouw docenten AK en EC 6. Bovenbouw docenten SK en NA 7. Onderbouw docent WI 1 Wordt er binnen de sectie wel eens gesproken over rekenvaardigheden? - Hoe dezen in de methode worden aangeboden? - Hoe onderwerpen met extra materiaal kunnen worden ondersteund? - Aansluiting gezocht kan worden bij andere vakken? Toelichting: Vaak heeft een vak vanuit zijn ontstaansgeschiedenis een bepaalde oplossingsstrategie. Daar waar het gaat om generieke onderwerpen is het wenselijk dat dit bekend is bij verschillende docenten om zo leerlingen maximaal te ondersteunen. 2 Wordt er binnen de sectie weleens contact gezocht met b.v. wiskunde over rekenvaardigheden? Toelichting: Is het ieder zijn eigen probleem of een gezamenlijk probleem van een docententeam om een groep leerlingen optimaal te helpen bij hun studie 3 Is de voorkennis van de leerlingen voldoende als ze je vak in de bovenbouw volgen? Toelichting: Deze vraag is bedoeld voor bovenbouw docenten NA en SK. Als bepaalde rekenvaardigheden onvoldoende zijn moet daar juist t.a.v. deze vakken mogelijk iets in de onderbouw worden gedaan zodat leerlingen over meer vaardigheden beschikken om het vak in de bovenbouw te kunnen volgen.


Deelvraag 5

Bij ondersteuning d.m.v. extra sommen wat voor soort / type sommen moeten dit zijn Toelichting: bij het bevragen van docenten gaat het met name over strategieën die worden aangereikt / toegepast om leerlingen te helpen opgaven op te lossen. Bronnen 5. Onderbouw docenten AK en EC 6. Bovenbouw docenten SK en NA 7. Onderbouw docent WI 1 Weet je zelf als docent welke rekenstrategieën leerlingen het liefst gebruiken / toepassen? Toelichting: Afhankelijk van het vak kan ook per vak een andere oplossingsstrategie worden aangeboden, vaak methode afhankelijk. Iedere oplossing is correct maar voor transfer is het noodzakelijk dat de leerlingen hierop worden gewezen. 2 Welke strategieën bied je zelf aan? (volgens de methode of andere die beter bij leerlingen aanslaan) Toelichting: Aangeboden strategieën geven vaak aan wat het niveau aan van wat leerlingen aankunnen. 3 Zorg je zelf wel eens voor extra oefen materiaal voor de leerlingen? Zo ja waar haal je ze vandaan? Toelichting: Als veel gebruik gemaakt wordt van extra materiaal duid dit waarschijnlijk op een gat in voorkennis van leerlingen of in de methode wat op deze manier wordt gerepareerd.

Pagina 25 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Bijlage B.2: De interviews Heleen Vreeswijk, docent EC-OB (4-10-2013) In Havo3 krijgen de leerlingen voor het eerst EC. In de 1ste van 4 perioden krijgen ze met percentages te maken waarbij geen koppeling wordt gemaakt met breuken. In de 2de periode krijgen ze lineaire vergelijkingen. Leerlingen hebben vooral moeite met begrijpend lezen en met percentage. Ca 70 a 80% heeft moeite met procenten. Er wordt niet bij andere vakken gekeken / geïnformeerd over rekenvaardigheden. Bij de Mavo worden speciale rekenlessen gegeven om de rekenvaardigheden op niveau te krijgen. Bij de Havo gebeurt dit niet, er wordt gekeken hoe het gaat en dan krijgen sommige klassen iets extra’s aangeboden. Welke strategieën leerlingen gebruiken is niet bekend binnen de sectie. Per jaar wordt gekeken / ontdekt wat de leerlingen kunnen. Er worden wel strategieën aangeboden. Voor formules wordt de verhoudingstabel gebruikt. Daarnaast vinden een aantal leerlingen het prettig om met de kruistabel te werken en dat wordt dan vaak even kort toegelicht. Tevens is er aandacht voor hoe vanuit verhaaltjes de juiste gegevens eruit gehaald kunnen worden. Jasper Mooij, docent AK-OB (4-10-2013) In de brugklas komen de volgende onderwerpen aan bod: Schaal, afstand, tijdzone, tijdtabel lezen (routeplanner), gebruik van spoorboekje en temperatuur verandering bij het hoger in de atmosfeer komen. In de 2de klas wordt gewerkt met stroomsnelheid in rivieren, verval/verhang, bevolkingsdichtheid en procenten en promille. Daarnaast wordt nog gewerkt van in- en export cijfers, betalingsbalans en tariefmuur (accijns en invoerrechten). In de 3de klas komen onderwerpen als migratie / bevolkingsgroei aanbod via natuurlijk verloop en migratie waarbij veel gebruik wordt gemaakt van tabellen die ze moeten kunnen lezen. Tevens wordt er ook gewerkt aan statistiek: opzoeken en interpreteren van gegevens en aan milieu de ecologische voetafdruk. Over het algemeen ondervinden de leerlingen weinig problemen. Ca 5 a 10% heeft moeite met het rekenwerk. Maar na hulp a.d.h.v. een voorbeeld toegespitst op het onderwerp komen ze er dan vaak redelijk goed uit. Er is wel herkenning omdat er raakvlakken zijn met verschillende vakken maar verder wordt er niets mee gedaan. De rekenvaardigheden die worden aangeboden in de methode zijn toereikend en worden gebruikt. Met het uitwerken van een voorbeeld is vaak voldoende uit gelegd. Welke reken strategieën is niet bekend binnen de sectie (dit omdat de manier van oplossen uit de methode wordt gebruikt). Leerlingen mogen ook hun eigen manier toepassen als ze die handig vinden.

Pagina 26 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Ewout Slotboom, docent WI-OB (11-10-2013) Bij wiskunde komen een aantal onderwerpen aan de orde die niet reken gerelateerd zijn. Er worden veel onderwerpen die de basis vormen voor andere vakken behandeld. Bij andere vakken worden ze toegepast. Onderwerpen die in de 2de klas aan de orde komen en reken gerelateerd zijn, zijn rekenen met letters, haakjes wegwerken en vergelijkingen. In de 3de klas komen in de 1ste van de 4 perioden de lineaire vergelijkingen aan bod en in de 2de periode de kwadratische vergelijkingen. Ook procenten en statistiek komen in deze periode aan de orde. In de 3/4de periode komen procenten in allerlei verbanden aan de orde. Rekenen wordt zoveel mogelijk buiten de sectie wiskunde gehouden. Dit omdat rekenen geen specifieke wiskunde activiteit is en het gevaar bestaat dat rekenen erbij moet in dezelfde uren. Wat wel opvalt is dat het getalbegrip slecht is. Vooral als het gaat om breuken en getallen delen door getallen die kleiner dan 1 zijn. Verhoudingstabellen worden regelmatig gebruikt. Meestal is het zo dat hoe lager het niveau des te meer wordt de verhoudingstabel gebruikt. Dit omdat een verhoudingstabel dingen beter visualiseert voor de leerlingen. De strategieën die in de methode staan worden ook aangeleerd en toegepast aan en voor de leerlingen. In havo 2 zitten leerlingen uit een 1 MH klas en een 1HV klas. Het verschil tussen deze leerlingen is vaak wel te zien in het rekenen. De leerlingen uit de MH klas hebben de havo soms gehaald met hard werken, maar beheersen het niveau niet echt. Om in een 2e klas dit weer gelijk te trekken kost wel wat tijd. Zij missen vaak een stukje getal begrip. Bij benadering gaat dat om ongeveer 25% van de leerlingen uit de 1MH klas die nu in H2 zitten. In de sectie wiskunde wordt nog weinig gesproken over het rekenen. In het kader van de bezuinigingen ziet sectie het gevaar dat voor het rekenen wiskunde uren ingeleverd moeten worden. Wel is er de vraag vanuit de sectie wiskunde om een reken sectie op te richten die eigen uren heeft, zodat rekenen gezien gaat worden als een volwaardig vak. Omdat wij een streek school zijn is het heel moeilijk om te zeggen welke strategie de leerlingen het liefste volgen. Ze komen van vele verschillende basisscholen met ook even veel verschillende docenten en reken strategieën. Wat wij in de les doen is de strategie die in het wiskunde boek gebruikt wordt als basis te nemen. Deze kunnen de leerlingen later nog eens terug kijken. Als een leerling een andere strategie heeft die ook goed is mag dit ook zeker gebruikt worden. Omdat rekenen buiten de sectie wiskunde gehouden wordt ben ik niet op zoek naar materiaal voor in mijn wiskunde les. Dat wat we gebruiken staat ook in de methode als rekenvaardigheden. Peter Klaasen, docent SK OB-BB (1-10-2013) In Havo 4 komen dichtheidsberekeningen, omrekenen van eenheden, breuken/percentages aanbod. In de laatste periode wordt ook nog gewerkt met een logaritmische schaal in grafieken. De voorkennis schiet te kort. Eenvoudige berekeningen / omzettingen zijn al lastig voor veel leerlingen (b.v. kg3 m-3 = kg3/m3). Daarnaast omrekenen en wegstrepen is lastig. Bij de eerste keer dat een onderwerp aan de orde komt heeft ca 80% er moeite mee. Bij meerdere keren aan de orden heeft altijd nog ca 20% moeite met het onderwerp. Pagina 27 van 30

Rekenen bij de verschillende vakken in het VO Niet echt met andere secties. Chemisch rekenen wordt gestructureerd aangeboden en er wordt relatief veel gebruik gemaakt van verhoudingstabellen en weinig met formules. Afleiden vanuit eenheden vinden leerlingen moeilijk. Inzicht en begrip is belangrijker dan rekenen maar dat ontbreekt te veel. In de methode van NOVA staan goede stappen plannen om vraagstukken op te lossen. Deze worden in de lessen ook gebruikt en aangeboden. Om de aansluiting met de BB vanuit de OB beter te kunnen maken zou in de OB bij het rekenen met massaverhoudingen de leerlingen al geleerd moeten worden hoe ze zelf vanuit een kloppende molecuulformule de verhouding kunnen bepalen bij een reactie. Peter de Wilde, docent NA OB-BB (18-10-2013) Rekenprobleem zit niet bij 1 onderwerp maar bij meerdere. Omwerken van een 3-letter formule geeft al veel problemen in klas 3 net als werken met breuken (b.v. de lenzen formule). E.e.a. wordt versterkt doordat leerlingen snel de rekenmachine pakken en getallen intoetsen. Ze raken de draad kwijt met wat ze precies aan het doen zijn. Hoeveel leerlingen moeite hebben met de rekenonderwerpen is niet precies te zeggen. Een ander probleem wat zich meer in de bovenbouw voordoet is dat bij wiskunde de uitkomsten exact zijn (b.v. 3∏) terwijl bij natuurkunde over significantie wordt gesproken (b.v. 9,42 i.p.v. 3∏). Over rekenvaardigheden wordt wel eens gesproken binnen de sectie maar niet met andere secties. De voorkennis is toereikend maar wel met de problemen op gebied van breuken en omwerken van formules. Vanwege het lastig kunnen werken met formules worden de formules uit het boek ‘leerling’ vriendelijk herschreven: Boek

l R = ρ -A

[Ω]

Herschreven R l -- = -[Ω] ρ A

Leerlingen kunnen met de herschreven formule direct werken met het kruisproduct. Dit is iets wat ze kunnen en geeft ze houvast. Een probleem wat ook nogal eens voorkomt is het ‘breien’: eerst wordt een (deel van een) formule neergezet en uitgewerkt en halfweg de regel ‘opeens’ aangevuld met het volgende. Een handigheid voor leerlingen is ook om de getallen in een formule eerst in te vullen en vervolgens uit te rekenen. Dit werkt voor sommige leerlingen beter dan formules ombouwen. Ook het toepassen van ‘wiskundige trucjes’ wil nog wel eens helpen: Boek

NI B = μ 0 ----l

Herschreven μ0 N I B = -------l

Op deze manier is het overzichtelijker voor de leerlingen en kunnen ze er beter mee uit de voeten. Pagina 28 van 30


Bijlage C: Analyse van de interviews

Bij de interviews zijn open vragen gesteld. Voordeel is dat mensen vrijuit kunnen spreken, nadeel ze te uitweidend zijn. Waar de nadruk op ligt bij de interviews is de overeenkomsten in onderwerpen voor de rekentoets. Problemen die worden geconstateerd en welke strategieën leren de leerlingen. Ik heb de volgende labels gebruikt om de interviews te analyseren: - Onderwerpen die met rekenen hebben te maken - Problemen die worden onderkent bij leerlingen - Strategieën die worden gebruikt / aangeboden - Rekenvaardigheden van leerlingen Onderwerpen Onderwerpen rekentoets Getallen

Verhoudingen

Meten / Meetkunde

Verbanden

Item bij vakken Omgaan met significantie (NA) Eenvoudige berekeningen (SK) Kwadraten (WI) Bewerkingen met breuken (WI) Tijd (AK) Breuken (NA) Breuken (SK) Procenten (SK) Procenten (WI) Vergelijkingen (WI) Breuken (WI) Procenten (EC) Vergelijkingen (EC) Schalen (AK) Vergelijkingen (AK) Procenten (AK) Omrekenen veel voorkomende maten (SK) Gebruik van schalen (SK) Afleiden vanuit eenheden (SK) Afstanden (AK) Formules (NA) Statistiek (WI) Tabellen (AK) Grafieken (AK) Formules (AK)

Pagina 29 van 30


Strategieën Vak AK EC NA SK WI

Strategieën In de methode aangereikt Leerlingen mogen eigen methode gebruiken Verhoudingstabel Divers, vaak wordt een formule ‘leerling’ vriendelijk weergegeven Stappenplan voor oplossen vraagstukken uit de methode Verhoudingstabellen In de methode aangereikt Verhoudingstabel t.b.v. visualisatie

Problemen Vak AK EC NA

SK

WI

Problemen Geen noemenswaardige alleen promille vinden veel even lastig Procenten / verhoudingen en koppeling met breuken Begrijpend lezen Werken met breuken Formules herschrijven Werken met significantie (in BB) Breien Omrekenen van eenheden Wegstrepen / breuken Afleiden vanuit eenheden Verhoudingstabellen gebruikt i.p.v. formules In OB leren leerlingen niet een massaverhouding op te zetten terwijl dit wel wenselijk is Getalsbegrip: breuken en getallen delen door getallen kleiner dan 1

Rekenvaardigheden Vak AK EC NA SK WI

Rekenvaardigheden De in de methode aangeboden De in de methode aangeboden , verhoudingstabel voor formules en kruistabel Kruistabel (formule in juiste vorm herschrijven) Verhoudingstabel Verhoudingstabel De in methode aangeboden + extra voor zwakkere leerlingen de verhoudingstabel

Pagina 30 van 30

Beroepsproduct 3. Plan van Aanpak

Recommend Documents