62
BAR VII LAPISAN BA T AS
o 7.1. KonsepLapisan batas Lapisan batas (boundary layer) mempaksn suafu kons~p untuk aliran yang terhambat, pertama kati diperkenalkall oleh Prandtl dalam thun 1904. Lapisan batas dava! dianalisa pada bagialJ pipa dekat masuk, dimana profil kecepat~nya masih berkembang dengan jarak dari penampang masuk. Disini pola alirallnya bukan merupakan pola aliran yang setimbang aiau tckcmbang ponuh. Hal ini dapat dijumpai pada suatu tangki aL'W rf;!s~rvojr,profit kecepata pada awaj penampang pipa akan terbentuk seragHID,dan fluida mengalir ke arab bilir dan mengalcuni pel1.lbahanprofit kecepatall sampai gaya-gaya gesekan teJah memperlambat fluida di dekat dinding dan profi} kecepatan akhir yang tekemballg penuh tercapai. Pada daerah masuk, fluida dekat tengah-tengah pipa tampaknya tidak dipengaruhi oleh gesekan. sedangkan fluida debt
dinding telah
dipengaruhi oleh gesekan. Daerah dima.na efek gesekan terlihat dengan jelas disebl1t lapisan batas. Scwaktu fluida ke hilir, lapisan batas ini tumbuh dan akhimya memenuhi seluOlhpips.
-.--------
.~._~
Lapisan \Jalas
panjang masukan la)
'//.
Lapisan batas --Panjang masukan-
Ih)
Gambar 7-I. Pp.Jtumbuhan lapisan batas pada pipa .a). a1iranlamincr ;b).aliran turbulen.
63
Tebal Japisan batas, tegaJlgan geser didnding setempat (1oksJ) atoo koe.fisien atau ha.mbatan setempat, dan tegangan geser rata-rata atan koeiisien gesekan rata-rata morupakan haJ yang perln diperhatikan . Tehallapisan batns dapat diekspresikan dalam sejumlah cara : 1. Dahull salah sat.udefinisi, teballapisan batas mengacu ke tebal sesungguhnya daer8h aJiran yang tertmmbat, o. 2. KecepHJaJ)U daJam lapisan batas mendekati kecepatan ants bebas Us di titi asimptot, dalam pengukuran profiI kecepatan lapis8Ubatas 0' lazim didefenisikan sebagai jarak dmi batas ke titik dimana U = 0,99 Us.
.3. Tebal perpindahano.* didetiIlisikansebagai-jarnkI b~tas ,sesnngguhnyayang barus dipindahkan agar l~u aliran sesmlggu~nyasarna dt1lJganlaju aliran fluida ideal yang melewati batas yang berpindah tersebut.
1
IS
IS
.
TJ
l (u:;- u)dv = ! (1 - ..:-)dy Us
o 111 =-
..
.
0,
Us.'
1. TebaJ momentum oi. didefinisikan sebagai jarak dari batas sesungguhnya yang sedemikian rupa sehin.;~a i1uks momentum melalui daerah lapisan batassama deogan fIuks momentum yang akan teJjadi dengan kecep~dankonstan Us melaJui kedaJaman aliran yang dikurangi dengan 6i.
8j=-:
.
6
u
u
0
u.s
11.:;
! (J- - )-dy
Jika uius diekspresikan menurut y, maka 0* dan oi dapat dikspresikan menurut o. Harga o pada gilirall11Ya, dapat ditemukall dari sebuah solusi pe"SIDUWlIl lapisan batas.
64
o 7.2. Pemecahan pendekatan untuk lapisan batas Untuk mempelajari metode pendekatan uotuk men.ghitung pertumbuhan lapisan bata<;rnclalui pelst datar dan tegangan gesemya pOOa~)ermukaan)digunakan suatu model s~df.'!rhalla) yaitu dimana kita anggap bahwa kecepataIJmencapai harga aJiran bebas yang
tepat pada .im.~tk() dari petat. Tebal lapisan batns 0 ini bembah separyang petal. Jadi
y Elemen Volume atur
x I-dx-l
Plat
Gamba!". }-2. Volume atur untuk penyelesaian pendekalan untuk aliran lapisan batas
Di luar garis batns yang menyatakan tebaJ lapisan batas, kecepatan fluida dianggap sarna dengnn k~copatnnalinm bebas U(I,dan dnlnm lnpisan batas kecepfltannynperJahan-lahan turnn <.InriU(Ipada y =0 sampai nol pada dinding. Bcrbcda dengan anaJisa yang tcrdahulu, lIraian di sisni bcrlalm baik untuk aJiran Imniner maupun turbnJen. tJntuk aJiran turbuJen, semua keCl"patan harns dianggap 8~bagaihm"sarata-ratanya terhaclapwaktu. Sebmjutnya kita tinjau suatu eJemen volume atur yang dibatasi oJeh peln!, garis batas dan dua gru-isvertikal sejarak dx. Lebar volume dapa! diambil satu-satuan. AnaJisa rrInsamelalui pcnnukaan tegak kiri : b !n
'"
f~ 1'1<.
(~,..
dan melalui permuka,,"Ultegak kanan : ~ .,1/1
m t
;;
dx:;-=c.Y:
J
J
{.IU
("t
selisih kedua aJirml ini adalah :
.Ii
dy + -- ( J pu . ax ""
, .
dv ,\'~"K
. .
65
clandari pers::unmmkontinuitas, hams menga1irdari batas atas. Alin:mmomentum dalam arab x melaJuipennukaan kiri : 5
M.
."
::.: J pu 2 I.'
dy
dan melalui pcrmukaan kanan : .M'
?NI.f,
, +
ax
a
2. (~y)dy:
= --(,J (Ill &;n .5
6
2
+ j u dy II
dan bedallya adalah : oj elx ::.:~d pu:Jdy)(b: .Jx 0
3M, --Jx
L3jll alinm momentum rtari atas : 0
..
(M.< )
ax
.5
j
II
.J'.J
f'l/JF4,Y)(-<'-x.:
kru'cna f1uida yang l1lengalir batm: atas mempunyai kecepatan Uo Dengan anggapall OIx
- t"
dx.
Hukum momentum 110tukaliran stasiooer menyatakan bahwa jumlab semua gaya yang bekcrja pada vlmue atm" pada arah -tertentu harns 8ama dengan jumlaj momentum keluar dari volme ini daJam arab yang sam~jadi
~
a ·
ax
a~; 0
~ ( pu.).dy )dx - un -
(I udy )dx
aljabar flux
:
= -.r ndJ:
atau ,
,j ". ",x
( ,.0
I TT 2 ... r ' I u '. tl U Jt . ... ..n_. ) (I 0" 0
Ii (.I '--, Y \ :::' . 0 (' .
rr 0
U
yang diperoleh setelah dilakukan pengalian dan pembagian dengan 0 di dalam tanda kurnug dan mengeluarkan 0 dari tanda illtrgral, karena 0 hanya merupakan fungsi dari x. sela1~ilJtnyaalum dianggap l>ahwaprofil kecep~an pada berbagai-bagai jarak sepmYang pelat dapat dmmmya serupa, yaitu :
66
Selama tnk ada gmdien teJmn3n sepal1jang pelat, anggapan ini cukup baik. Dengan anggapmlllil
harga integral pad a.penmmnalJ
Jadi persamaan lersebut me1tiadi: 2.
d8
0
dx.
"U a
f"
knn'"a
0 hanya
_.
f"u
HI~rllpakall limg~i (Iari x sajn.
K'onHt;.mta (1. InJlf:ih b(~Jnm diketahni.
Temyaia bahwa Ct.,yniptu : I
U
'
[( I .- -
o
)
u.
,.'"I _- v;> d (-)
--
Un un(r
kw'ang sellsitif terhadap hubun~an fUllgsionalyang teput antara ulU~ dengan y/~. Oleh knr~na itu, tinp profil pendckatau yang cukup ba.ikmCl/ghasilkanharga a. yang mcndekati harga sebenamya. Suatu profil k~cep~1t3nyang cukup baik adaJah profil kecepatan yang memenuhi syarat-syarat pada dinding dan syan\t balas. Sebagai conloh : ,n y 8111--
-=U Un
(kurva sinus)
2 cJ
dan l4.
--
=; 2
)l
0
UtJ
)ll
(parabola)
(-)
0'
CJ 7.3. LapisaDbatas la~iDer-peDyelesaiaD peDdekataD '
Untuk aliran laminer yang sejajar pel~ tegangan gesemya adalah : 'f=p-
o-u oy
tegangan geser pada dinding: d
.flu TO
tunman
= P ( ~y ) ,.0
_ U(J
-T !
~
-~
d;
y=o
}
ini dihilung deligan menggunakan profil yang sanla ya.ng kita misaIkan daIam
mf!nentukana.. Misalnya dengan df!mikian:
67
yang konstall. flehinggapersamaan me~jadi : 2
(}u
o
ciS
ex -dx
"(..To
==
!.l---Ii
.
8
yang mernpaJmll persamaan diferensial sederhana untuk ().
D€!nganx = 0 pada l~1Jngd€!panpel at) diperol€!h :
atau
Tegangau geser pada dindiug :
...0
I
(}U 0 2 fij3a
- 2 V.IRe
==
r= .V
,
clantekanan pada pel at : (
D
==
f t"odx
==
p- TT <.0:1 r;::;--ji:_-, w '---lv2pa -,:=-
o
2
~Re,
jadi
CD __ -'
D
~2 pTJ t 1
_ 2.J2Pa --
JRe t
Deugau memilih profil kecepatan yang sesuai. persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan dan hasilnya dapat dibandingkan dengan penyeJesaian eksak. Kegunaan metoda pelldekatan terutama terletak pada pemecahan soal-soal, dimana pel1yelesaian eksak tidak atan sukar didapat. Hasit-hasil matoda pendekatan diatas unluk aliran laminer (Jihat Schlichting) menunjukkan jawaban yang memenuhi persyaratan teknik.
68
CJ
7.4. Lapisan batas turbulen- penyelesaian pendekatan Dahun mcnghitung karakteristik lapisan batas turbulen kita dapat menggunakan
prosedur yang sempa dengan untuk a1iran laminer. Akan tetapi, ada perbedaan. Untrik aliran lamine..,kita hitung tegangan geser fluida permukaan dan gradien kecepatan duldy, d~J1unluk itu kita gunakan suatu profit kecepatan yang kita misalkan. Menerka Buatu protil yang teliti dengan gradien yang tepat adalah sukar, walaupun uutuk aliran laminer me.nghasiJkan penyclesaian yang dapat diterima. lTiltuk aJiran tprbulen dijumpai kesukaran, salah satu sebabnya adalah karena adanya sub-lapisan huniner dan transisi. Untllk memecahkan kesukaran ini akan digunakan hsil-hasiul eksperimen, yang dapat dinyataknn dengan bermacmn-:macam earn. S8tn bentuk' sebagai kelo.tYutan hasll eksperimen adalah :
dan persamaan lapisan batac;diatas setclah diintegrasikan menjadi :
dimana 00 .h. tcballapisan bata.')pada titik transisi dari Imniner ke tw'bilen. Umumnya 00 dapat diabaikan bila kita tiJ1iau daenlh aJiran yang cu\mp panjang; d(~ngan demikian dapat diabaikan, clan "
,v
l.{
Uo .
'0
:::
X ' 4,,-
iJ (__ .) /J
o = 0,058(--)
'a
a
(.) 0 4 65 (-," Re"
)
V p. r; 02
dan koefisiell gesekan untuk satu sisi : CD
= O.118(~-)!1 Ret
untuk menghitung, dapat digunakan profiJ turbulen berdasarkan hukum pangkat :
00
69
pOOadaerah yang turbulen penuh. Dengan menghitcng pt:'rbandillgan ke.dua ke.cepatan ini menjadi: I ~_::: TT ',,'
(X)1
c'5
u
yang dapat digunakan daJam: a
,'"
JI,(1 0'
untnk menghihmg
(J,.
u.,
-- --)
"0
u
Tlo
y,
d ( --- ) '8'
harga u pada ;)
>
dimana u = Do.
