BAB XII PENGUJIAN DISTRIBUSI CHI-SQUARED Deskripsi: Pada bab ini akan dibahas mengenai pengujian distribusi dengan menggunakan chi-squared. Manfaat: Memberikan konsep pengujian distribusi chi-squared yang benar saat melakukan analisis hasil pengukuran. Relevansi: Penyebaran kesalahan merupakan hal yang sangat umum dalam pengukuran. Oleh karena itu, perlu meninjau konsep pengujian distribusi chi-squared dalam menganalisis data hasil pengukuran. Learning Outcome: Mahasiswa memahami dan mampu mengimplementasikan konsep pengujian distribusi chisquared pada suatu data hasil pengukuran dengan benar. MATERI: 12.1 DEFINISI PENGUJIAN CHI-SQUARED Chi square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan. Yang dimaksud dengan frekuensi harapan adalah frekuensi yang nilainya dapat di hitung secara teoritis (e). sedangkan dengan frekuensi observasi adalah frekuensi yang nilainya di dapat dari hasil percobaan (o). Dalam statistik, distribusi chi square termasuk dalam statistik nonparametrik. Distribusi nonparametrik adalah distribusi dimana besaran-besaran populasi tidak diketahui. Distribusi ini sangat bermanfaat dalam melakukan analisis statistik jika kita tidak memiliki informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik parametrik tidak terpenuhi. Jika kita membuat n pengukuran yang diketahui, atau dapat dihitung, maka nilai-nilai yang diharapkan dan standar deviasi , didefinisikan sebagai π 2 64
π
πππ πππ£ππ π£πππ’π β ππ₯ππππ‘ππ π£πππ’π 2 π = οΏ½οΏ½ οΏ½ π π‘ππππππ πππ£πππ‘πππ 2
1
Dalam percobaan yang dipertimbangkan dalam bab ini, n pengukuran dengan nilai, π1 , β¦ , ππ
dari nilai beberapa kuantitas x diamati pada masing-masing n sampel. Dalam hal ini, diharapkan jumlah πΈπ ditentukan oleh distribusi diasumsikan x, dan standar deviasi οΏ½πΈπ , karena itu,
π
(ππ β πΈπ )2 π =οΏ½ πΈπ 2
π=1
Jika distribusi diasumsikan x benar, maka π 2 seharusnya merupakan order dari n. Jika π 2 β₯ π, distribusi diasumsikan mungkin salah .
12.2 DERAJAT KEBEBASAN DAN TURUNAN CHI-SQUARED Jika kita mengulangi seluruh percobaan berkali-kali, nilai rata-rata π 2 harus sama dengan d,
jumlah derajat kebebasan, yang didefinisikan sebagai
π = π β π,
dimana c adalah jumlah kendala, jumlah parameter yang harus dihitung dari data untuk menghitung π 2 .
Turunan π 2 didefinisikan sebagai
π2 ποΏ½ = π 2
Jika distribusi diasumsikan benar , ποΏ½ 2 harus ber-order 1, jika ποΏ½ 2 β« 1, data tidak sesuai
dengan diasumsikan maka distribusi dapat dikatakan memuaskan . 12.3 PROBABILITAS CHI-SQUARED
Misalkan Anda mendapatkan nilai ποΏ½ 2 untuk mengurangi chi kuadrat dalam percobaan. Jika
ποΏ½π2 adalah lumayan besar dari satu, Anda memiliki alasan untuk meragukan distribusi, dimana
nilai yang diharapkan Anda didasarkan pada πΈπ . Dari tabel di Lampiran D, Anda dapat
menemukan probabilitas,
πππππ (ποΏ½ 2 β₯ ποΏ½π2 )
mendapatkan nilai ποΏ½ 2 sebesar ποΏ½π2 , dengan asumsi distribusi yang diharapkan adalah benar.
Jika probabilitas ini kecil, Anda punya alasan untuk menolak distribusi yang diharapkan, jika 65
probabilitasnya adalah kurang dari 5 %, Anda akan menolak distribusi bila diasumsikan pada nilai 5 %, atau memiliki tingkat signifikan, jika tingkat probabilitas kurang dari 1 % , Anda akan menolak distribusi pada 1 %, atau memiliki tingkat sangat signifikan. Contoh: 1) Sebuah percobaan di mana lima dadu dilemparkan berkali-kali dan jumlah ace di setiap lemparan direkam. Misalkan kita membuat 200 lemparan dan membagi hasilnya ke tempat buangan seperti yang dibahas sebelumnya. Dengan asumsi dadu tersebut benar, kita dapat menghitung perkiraan angka πΈπ seperti sebelumnya. Angka-angka yang
ditampilkan pada kolom ketiga Tabel 12.8 .
Tabel 12.8
Penyelesaian: Dalam sebuah tes yang sebenarnya, lima dadu dilemparkan 200 kali dan angka-angka dalam kolom terakhir dari Tabel 12.8 diamati. Untuk menguji kesepakatan antara distribusi yang diamati dan yang diharapkan, kita hanya mencatat bahwa ada tiga derajat kebebasan (empat sampah minus satu kendala) dan menghitung 4
(ππ β πΈπ )2 1 2 ποΏ½ = οΏ½ = 4,16 3 πΈπ π=1
Mengacu kembali pada Tabel 12.6, kita melihat bahwa dengan tiga derajat kebebasan, probabilitas mendapatkan ποΏ½ 2 β₯ 4,16 adalah sekitar 0,7 %, jika dadu benar. Kami
menyimpulkan bahwa dadu tersebut hampir pasti tidak benar. Perbandingan angka πΈπ dan
ππ pada Tabel 12.8 menunjukkan bahwa setidaknya satu lemparan mati yang dimuat untuk mendukung hasil lemparan ace.
66
2) Sebagai contoh kita gunakan penelitian dengan judul "Perbedaan Pekerjaan Berdasarkan Pendidikan". Maka kita coba gunakan data sebagai berikut: Responden Pendidikan Pekerjaan 1 1 1 2 2 2 3 1 2 4 2 2 5 1 2 6 3 2 7 2 2 8 1 2 9 2 2 10 1 2 11 1 2 12 3 1 13 3 1 14 2 1 15 1 2 16 3 2 17 2 2 18 2 2 19 1 1 20 2 2 21 3 1 22 1 1 23 3 2 24 1 2 25 3 1 26 2 2 27 1 2 28 1 2 29 2 2 30 1 1 31 2 2 32 2 1 33 2 1 34 1 1 35 2 2 36 1 1 37 3 2 38 2 2 39 2 1 67
Responden Pendidikan Pekerjaan 40 3 2 41 1 1 42 3 2 43 1 1 44 2 2 45 1 1 46 3 1 47 3 2 48 2 1 49 3 2 50 2 1 51 2 1 52 2 2 53 3 2 54 1 1 55 2 2 56 2 2 57 1 1 58 3 1 59 2 1 60 3 1 Dari data di atas, kita kelompokkan ke dalam tabel kontingensi. Karena variabel pendidikan memiliki 3 kategori dan variabel pekerjaan memiliki 2 kategori, maka tabel kontingensi yang dipakai adalah tabel 3 x 2. Maka akan kita lihat hasilnya sebagai berikut: Pekerjaan
Pendidikan
1 11 8 7 26
1 2 3 Total
2 9 16 9 34
Total 20 24 16 60
Dari tabel di atas, kita inventarisir per cell untuk mendapatkan nilai frekuensi kenyataan, sebagai berikut: Cell a b c d e f
F0 11 9 8 16 7 9 68
Langkah berikutnya kita hitung nilai frekuensi harapan per cell, rumus menghitung frekuensi harapan adalah sebagai berikut: Fh= (Jumlah Baris/Jumlah Semua) x Jumlah Kolom 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fh cell a = (20/60) x 26 = 8,667 Fh cell b = (20/60) x 34 = 11,333 Fh cell c = (24/60) x 26 = 10,400 Fh cell d = (24/60) x 34 = 13,600 Fh cell e = (16/60) x 26 = 6,933 Fh cell f = (16/60) x 34 = 9,067
Maka kita masukkan ke dalam tabel sebagai berikut: Cell a b c d e f
F0 11 9 8 16 7 9
Fh 8,667 11,333 10,400 13,600 6,933 9,067
Langkah berikutnya adalah menghitung Kuadrat dari Frekuensi Kenyataan dikurangi Frekuensi Harapan per cell. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fh cell a = (11 - 8,667)2 = 5,444 Fh cell b = (9 - 11,333)2 = 5,444 Fh cell c = (8 - 10,400)2 = 5,760 Fh cell d = (16 - 13,600)2 = 5,760 Fh cell e = (7 - 6,933)2 = 0,004 Fh cell f = (9 - 9,067)2 = 0,004
Lihat hasilya pada tabel di bawah ini: Cell a b c d e f
F0 11 9 8 16 7 9
Fh F0 - Fh 8,667 2,333 11,333 -2,333 10,400 -2,400 13,600 2,400 6,933 0,067 9,067 -0,067
(F0 - Fh)2 5,444 5,444 5,760 5,760 0,004 0,004
69
Kuadrat dari Frekuensi Kenyataan dikurangi Frekuensi Harapan per cell kemudian dibagi frekuensi harapannya: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fh cell a = 5,444/8,667 = 0,628 Fh cell b = 5,444/11,333 = 0,480 Fh cell c = 5,760/10,400 = 0,554 Fh cell d = 5,760/13,600 = 0,424 Fh cell e = 0,004/6,933 = 0,001 Fh cell f = 0,004/9,067 = 0,000
Kemudian dari nilai di atas, semua ditambahkan, maka itulah nilai chi-square hitung. Lihat Tabel di bawah ini: Cell a b c d e f
F0 11 9 8 16 7 9
Fh F0 - Fh 8,667 2,333 11,333 -2,333 10,400 -2,400 13,600 2,400 6,933 0,067 9,067 -0,067 Chi-Square Hitung =
(F0 - Fh)2 (F0 - Fh)2/Fh 5,444 0,628 5,444 0,480 5,760 0,554 5,760 0,424 0,004 0,001 0,004 0,000 2,087
Maka Nilai Chi-Square Hitung adalah sebesar: 2,087. Untuk menjawab hipotesis, bandingkan chi-square hitung dengan chi-square tabel pada derajat kebebasan atau degree of freedom (DF) tertentu dan taraf signifikansi tertentu. Apabila chi-square hitung >= chi-square tabel, maka perbedaan bersifat signifikan, artinya H0 ditolak atau H1 diterima. DF pada contoh di atas adalah 2. Di dapat dari rumus ο DF = (r - 1) x (c-1) di mana: r = baris. c = kolom. Pada contoh di atas, baris ada 3 dan kolom ada 2, sehingga DF = (2 - 1) x (3 -1) = 2. Apabila taraf signifikansi yang digunakan adalah 95% maka batas kritis 0,05 pada DF 2, nilai chi-square tabel sebesar = 5,991. Karena 2,087 < 5,991 maka perbedaan tidak signifikan, artinya H0 diterima atau H1 ditolak.
70
Latihan Soal: Dilemparkan tiga dadu secara bersama-sama sebanyak 400 kali, setiap lemparan hanya dicatat jika jumlah dadu yang muncul yaitu enam di setiap lemparan, dan diperoleh hasil seperti ditunjukkan pada Tabel 12.12 . Dengan asumsi dadu Tabel 12.12. Jumlah kejadian untuk setiap hasil selama tiga dadu dilemparkan bersama-sama sebanyak 400 kali
adalah benar, gunakan distribusi binomial untuk menghitung nilai πΈπ yang diharapkan pada
masing-masing dari tiga buangan dan kemudian hitung π 2 . Apakah ada alasan untuk mencurigai dadu yang dimuat?
71
