BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. 4.1 Distribusi probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Distribusi probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian M/M/1/K Pada model antrian, kedatangan pelanggan dalam sistem antrian dan kepergian pelanggan yang telah dilayani dari sistem antrian mengikuti proses input-output. Untuk mendapatkan rumusan probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian M/M/1/K sebanyak n pelanggan (Pn) dilakukan melalui penguraian Pn pada proses input-output. Penguraian Pn pada proses Input Output diperoleh melalui uraian berikut: n +1 n

n

n-1 0

t

T

t+

Gambar 6. Diagram Transisi Proses Input Output Dengan menggunakan persamaan Chapman Kolmogorov (2.4) dan asumsi proses input output pada subbab (2.4) maka berdasarkan gambar 6 dapat ditulis :

Skripsi

Francisca Maria Ratna Andini PENENTUAN KAPASITAS PENGANTRI OPTIMAL DALAM SISTEM ANTRIAN M/M/1/K


(4.1) Jika kedua ruas pada persamaan 4.1 dibagi dengan

dan untuk

maka

diperoleh:

Atau dapat ditulis

Kondisi Steady State atau

mensyaratkan

Skripsi

yaitu



membuat penulisan Pn-1 (t) menjadi Pn-1 Pn (t) menjadi Pn Pn+1 (t) menjadi Pn+1 Sehingga

diperoleh: (4.2)

Untuk n = 0,1,2 disubstitusikan pada persamaan 4.2 diperoleh hasil sebagai berikut : 1. Untuk n=0

Pn-1 = 0 ,

,

dari persamaan (4.2) didapatkan:

(4.3) 2. Untuk n=1 dari persamaan (4.2) dan (4.3) didapatkan:

(4.4) 3. Untuk n=2 dari persamaan (4.2), (4.3), dan (4.4) didapatkan:

Skripsi



(4.5) Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut: (4.6) Jika diasumsikan bahwa :

, k-1 ,k

maka

(4.7) Menentukan P0 dengan menggunakan Hukum Total Probabilitas sehingga

(4.8)

Skripsi



Maka dari persamaan (4.7) dan (4.8) didapatkan:

, n = 1,2, …., k

(4.9)

4.2 Ukuran performansi di dalam sistem antrian M/M/1/K Setelah mendapatkan Pn maka langkah selanjutnya adalah memperoleh ukuran performansi pada teori antrian M/M/1/K : a. Menentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian (Ls) dengan batas maksimum tempat antrian sebesar K.

Ls = E(n) = = = =

Skripsi



=

Skripsi

(4.10)



b. Menentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

Skripsi



(4.11)

c. Menentukan rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian (Ws)

Skripsi



(4.12)

e. Menentukan rata-rata waktu pelanggan dalam tempat antrian (Wq) Wq = (rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian) – (waktu dalam pelayanan)

(4.13)

5. Kapasitas pengantri optimal dalam sistem antrian M/M/1/K. Jika ρ diketahui, kapasitas sistem optimal dapat diperoleh melalui dua kriteria, yaitu : a. Menentukan nilai K sedemikian hingga ketika nilai K diperbesar maka nilai Lq tidak naik signifikan atau bernilai konstan. Untuk menentukan K optimal akan dihitung dengan bantuan software S-Plus dengan algoritma sebagai berikut : 1. Input nilai ρ dan n (misal: n = 200 ) 2. Hitung Lq (k), untuk k = 1,2, … ,n 3. Tentukan LQM = 4. Untuk k = 1,2, … ,n Jika

= LQM maka:

(i) Kopt = k (ii) break

Skripsi



5. Tampilkan K optimal adalah Kopt b. Jika ditentukan nilai Pb (probabilitas pelanggan ditolak)

maka akan

didapatkan nilai k optimal yaitu nilai k yang memenuhi dan dengan Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi :

Jadi, jika ditentukan nilai Pb maka diperoleh :

(4.14)

4.4 Menerapkan antrian tipe M/M/1/K pada data real. Setelah mendapatkan rumusan performansi pada sistem antrian M/M/1/K maka selanjutnya rumusan tersebut akan diimplementasikan pada data real sehingga dilakukan penelitian dan perhitungan sebagai berikut : 1. Pengumpulan Data Pengumpulan data ini diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Mencatat banyaknya kedatangan pelanggan setiap 20 menit sehingga diperoleh data banyaknya kedatangan per 20 menit

Skripsi



b. Mencatat banyaknya pelayanan pelanggan setiap 20 menit. Waktu pelayanan pelanggan dimulai pada saat pelanggan dilayani oleh dokter sampai selesai.

2. Pengujian Distribusi Menguji data banyaknya kedatangan pelanggan dan data banyaknya pelanggan dilayani setiap 20 menit. Berdasarkan lampiran 3 dengan bantuan software SPSS 14, diperoleh nilai p-value untuk data banyaknya kedatangan pelanggan sebesar 0.176 dan untuk data banyaknya pelanggan dilayani sebesar 0.333 Dengan α = 0.05 maka p-value kedua data tersebut lebih besar dari α sehingga terbukti bahwa data banyaknya kedatangan pelanggan data banyaknya pelanggan dilayani berdistribusi Poisson.

b.

Menghitung nilai performansi pada antrian tersebut 1. Menghitung Laju Kedatangan Dengan data pada lampiran 1 diketahui bahwa n = 29 dan diambil t = 20 maka akan didapatkan nilai laju kedatangannya adalah :

Skripsi



sehingga

2. Menghitung Laju Pelayanan Dengan data pada lampiran 2 diketahui bahwa n = 27 dan diambil t = 20 maka akan didapatkan nilai laju pelayananya adalah :

sehingga

maka nilai

3. Menghitung rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian (Ls)

가

Skripsi



4. Menghitung rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

5. Menghitung rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian (Ws)

6. Menghitung rata-rata waktu pelanggan dalam tempat antrian (Wq)

c. Mendapatkan nilai K yang optimum pada antrian tersebut nilai ρ = 0,89

Skripsi



1. Dengan menggunakan algoritma melalui Software S-Plus 2000 diperoleh nilai optimal K sebesar 46 yang dapat dilihat pada lampiran 5. 2. Misalkan ditentukan nilai Pb = 0,1 maka akan didapatkan nilai K optimal yaitu :

Skripsi


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. 4.1 Distribusi probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian

Recommend Documents