BAB IV GERAK DALAM BIDANG DATAR

GERAK DALAM BIDANG DATAR

BAB IV GERAK DALAM BIDANG DATAR 4.1 Kecepatan Gerak Melengkung Hingga saat ini telah dibahas gerakan partikel dalam satu dimensi yaitu gerakan searah sumbu-x. Berikut akan dibahas gerakan partikel dalam dua dimensi atau tiga dimensi. Perhatikan Gambar 4.1. Jika partikel bergerak pada lintasan melengkung. Pada waktu t1, partikel berada di titik A, dinyatakan oleh posisi vektor = OA = ix1 + jy1 + kz1 dengan i, j dan k adalah vektor satuan arah sumbu : x, y dan z. Pada waktu t2, partikel berada di titik B dengan r2 = OB = ix 2 + jy 2 + kz 2 . Walaupun partikel ini bergerak sepanjang busur AB = ∆s, pergeseran, yang berupa vektor, adalah AB = ∆r. Pada Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa r2 = r1 + ∆r, jadi: AB = ∆r AB = r2-r2 AB = i(x2-x1) + j(y2-y1) + k(z2-z1) = i ∆x + j ∆y + k ∆z 4.1 Dengan ∆x = x2-x1, ∆y = y2-y1, ∆z = z2-z1. Rata-rata kecepatan juga merupakan vektor, diperoleh dari :

v =

∆r r2 − r1 = ∆t t 2 − t1

Atau

v =i

4.2

∆y ∆z ∆x + j +k ∆t ∆t ∆t

4.3

y A

B ∆r

r1

r2

O

x

Gambar 4.1 Pergeseran dan kecepatan rata-rata gerak melengkung FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

68


Kecepatan rata-rata dinyatakan dengan vektor yang sejajar dengan pergeseran AB = ∆r. Untuk mendapatkan kecepatan sesaat, ∆t harus sangat kecil, sehingga : ∆r v = lim v = lim ∆t →0 ∆t →0 ∆t Atau v=i

dz dy dx + j +k dt dt dt

4.4

Nilai vx, vy, dan vz : vx =

dx dy dz ,vy = , dan v z = dy dt dt

4.5

Besar kecepatan, sering disebut laju : v = vx + v y + v y 2

2

2

4.6

Pada gerak lengkung, secara umum, besar kecepatan beserta arahnya selalu berubah. Besar kecepatan berubah karena kelajuan partikel bertambah ataupun berkurang. Arahnya berubah karena tangen lintasan dan kelengkungan lintasan yang kontinu. Kecepatan rata-rata tidak tergantung lintasan partikel hanya tergantung pada posisi awal r1 dan posisi akhir r2. 4.2. Percepatan Gerak Melengkung Perhatikan Gambar 4.2. pada gambar tesebut dilukiskan kecepatan ketika waktunya t1 dan t2, partikel berada di A dan B. Perubahan vektor kecepatan dari A ke B dinyatakan oleh ∆v = v2-v1. Percepatan rata-rata dalam interval waktu ∆t : a=

∆v v2 − v1 = ∆t t 2 − t1

4.7

Dan sejajar dengan ∆v. Percepatan rata-rata itu dapat ditulis a=i

∆v y ∆v x ∆v + j +k z ∆v t ∆t ∆t

FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

4.8

69


y

v1

B

A

v2 r1

r2 x

Gambar 4.2 Percepatan pada lintasan melengkung. Percepatan sesaat, sering disebut percepatan , diperoleh dari

a = lim a = lim ∆t →0

∆t →0

∆v ∆t

Atau a=

dv dt

4.9

Percepatan a adalah vektor yang berarah sama dengan perubahan kecepatan. Apabila kecepatan berubah dalam arah pada kurva lintasan partikel, percepatannya selalu menuju pusat kelengkungan kurva. Persamaan (4.9) dapat ditulis a=i

dv y dv x dv + j +k z dvt dt dt

4.10

sehingga komponen percepatan sepanjang sumbu-x, y dan z adalah ax =

dv y dv x dv , ay = , dan a z = z dt dt dz

4.11

dan besarnya percepatan adalah : a = ax + a y + az 2

2

2

4.12

4.3 Gerak peluru Gerak peluru adalah gerakan suatu partikel yang besar yang besar percepatan serta rahnya selalu tetap. Gerak sebuah peluru yang


70


ditembakkan dengan sudut elevasi θ dengan kecepatan awal v0, lintasannya berupa parabola seperti gambar 4.3

y v

vo

vo

A

va = vox

h

g

vo

θ vo

g

g R

x vB

Gambar 4.3 : gerak peluru dengan lintasan berbentuk parabola Gerak peluru adalah gerak pada bidang, dengan percepatan a sama dengan percepatan gravitasi bumi g. Pada bidang dimana v0 dan a = g berada, pada sumbu y mempunyai arah keatas sehingga : v0

= iv ox + jv oy

v0x

= v0 cos θ dan

4.13

dengan v0y

= v0 sin θ

4.14

berdasarkan persamaan v = v0 + at , diperoleh : v = ivx + jvy = (iv0x + jv0y ) - jg

4.15

= v0x dan vy = v0 - gt

4.16

atau vx

Pada saat waktu t kecepatannya adalah : vt

= v x2 + v y2

dan arah kecepatan peluru α didapat dari : v tgα = x vy Kecepatan arah sumbu x adalah tetap, sedangkan arah sumbu y adalah berubah beraturan. Jika vekor r = ix + jy, digabung dengan persamaan x = x 0 + v 0 t + 12 at 2 diperoleh :


71


r

= ix + jy = (iv0x + jv0y ).t - j 12 gt2

4.17

x

= v0x .t

4.18

y

= v0y.t -

atau dan 1 2

gt2

4.19

adalah merupakan kordinat posisi peluru sebagai fungsi waktu. Pada saat bola mencapai titik tertinggi A kecepatan arah sumbu y, vy = 0, sehingga waktu untuk mencapai titik tertinggi dapat dicari dari persamaan (4.16) : vy

= v0 – gt

t

=

v0 y g

atau

v0 sin θ 4.20 g Tinggi maksimum h yang dapat dicapai peluru diperoleh dengan memasukkan harga t pada persamaan (4.20) kedalam persamaan (4.19) sehingga diperoleh : v 2 sin 2 θ h = 0 4.21 2g Waktu yang diperlukan untuk sampai pada titik terjauh B, ditetukan dengan masukkan harga y = 0 pada persamaan (4.19), ternyata waktu tersebut sama dengan dua kali waktu yang dibutuhkan untuk sampai pada titik tertinggi 2.v0 sin θ tB = 4.22 g Jarak terjauh R ditentukan dengan memasukan persamaan (4.22) kedalam persamaan (4.18) sehingga diperoleh :

th

=

R

= v0x .tB = ( v0 cos θ ).

2.v0 sin θ g

2v02 sin θ cosθ = g Karena 2v 02 sin θ cos θ

= sin 2θ


72


maka didapat : R

=

v02 sin 2θ g

4.23

Contoh : 1. Sebuah benda dilemparkan dengan sudut elevasi 370 dan dengan kecepatan awal 10 m/s. Hitunglah :kecepatan dan posisi benda setelah 0,5 s, jika deketahui percepatan gravitasi bumi 10 m/s2 Penyelesaian : Diketahui : v0 t

= 10 m/s2 = 370

= 10 m/s g = 0,5 s θ

Ditanya : v? dan x?

Y

370 0

X

Jawab : v0x = v0 cos θ = 10 cos 370 = 10 . 0,8 = 8 m/s vx

= v0x = 8 m/s

v0y

= v0 sin θ = 10 sin 370 = 10 . 0,6 = 6 m/s

vy

= v0y – g.t = 6 – 10 . 0,5 =6–5 = 1 m/s

v

=

v x2 + v y2 = 8 2 + 12 = 8,06 m/s


73


arah kecepatan adalah : vy tg θ = vx 1 = 8 = 0,125 θ = 7,10 Posisi pada t = 0,5 s x = v0x . t = v0 cos θ. T = 8 . 0,5 =4m y

=V

0 y

.t −

1 . g .t 2

2

1 . 10 . 0,52 2 = 3 – 5 . 0.25 = 3 – 1.25 = 1,75 m jadi kedudukan benda adalah pada kordinat ( 4, 1,75)

= 6 . 0,5 -

2. Sebuah sasaran terletak pada koordinat (50,8). Seseorang melempar batu dengan sudur elevasi 370, kearah sasaran tersebut dari pusat koordinat, berapa kecepatan yang harus diberikan agar batu dapat tepat mengenai sasaran? Penyelesaian : agar sasaran kena maka x = 5 m dan y = 80 m Diketahui : y0 = 0 y =8m x0 =0 x = 50 m θ = 370 Ditanya : v0 ? Jawab : v0x = v0 cos 370 = 0,8 v0 v0y = v0 sin 370 = 0,6 v0


74


Y

V0

370

X

x 50 t

y 8 8 29,5 v 02

= v0

= x0 + v0x . t = 0 + 0,8 v0 .t 50 = 0,8.v0 62,5 = v0 1 = y0 + v0y . t - .g.t2 2 1 62,5 62,5 2 = 0 + 0,6 v0 ( ) - . 10. ( ) v0 2 v0 3906,25 = 37,5 – 5.( ) v 02 19531,25 = v02 19531,25 29,5 = 662.08 = 25,73 m/s

3. Seorang pemain golf, memukul bola dengan kecepatan 6,5 m/s dan sudut elevasi 67,40, terhadap bidang horizontal.Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s2. Tentukanlah : a.waktu yang di butuhkan untuk mencapai titik tejauh b.ketinggian maksimun yang dapat dicapai c. jarak terjauh yang dapat dicapai Penyelesaian : Diketahui : FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

75


v0 = 6,5 m/s g = 10 m/s2 θ = 67,40 Ditanya : t0B? Y0H? X0B? Jawab : a. waktu yang di perlukan bola jatuh ke tanah t0B 2.v0 sin θ t0B = g 2.(5,6) sin 67,4 0 10 = 1,2 s

=

b. ketinggian maksimun yang dicapai yH : v2 yH = 0 sin2θ 2g (6,5) 2 sin2 67,40 2.10 = 1,8 m =

c. jarak terjauh : x0B v02 x0B = sin2θ g v02 = (2. sinθ . cos θ) g (6,5) 2 . (2 sin 67,40. cos 67,40) 10 =3m =

4. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 50 m/s, dengan sudut elavasi θ. Bila peluru sampai ditanah pada jarak 200 m dari tempat peluru ditembakkan, tentukanlah sudut elevasinya, jika perceptan gravitasi bumi 10 m/s2 Penyelesaian : Diketahui : v0 = 50 m/s x0B = 200 m g = 10 m/s2 Ditanya : θ Jawab : FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

76


v02 sin2θ g x .g sin 2θ = 0 B2 v0 200.10 = 50 2 = 0,8 sin 2θ = sin 530 2θ = 530 θ1 = 26,50 ( pada kuadran I) atau 2θ = (1800 - 530) θ2 = 63,50 x0B

=

Jadi ada dua sudut elevasi yang menghasilkan jarak terjauh yang sama. Dimana kalau kedua sudut tersebut dijumlahkan, besarnya 900. Y

v0 = 50 m/s θ? 200 m

X

4.4 Gerak Melingkar Gerak melingkar beraturan adalah suatu gerak dimana besar kecepatan dan percepatannya konstan tetapi arahnya berubah-ubah setiap saat. Dimana arah kecepatan disuatu titik sama dengan arah garis singgung lingkaran dititik itu dan arah percepatannya selalu mengarah ke pusat lingkaran. Jika sebuah benda bergerak mengelilingi lingkaran yang berjari-jari R, maka kecepatannya v akan menyinggung lingkaran dengan arah tegak lurus jari-jari R. Kalau diukur jarak sekeliling lingkaran dari titik pusat lingkaran maka panjang busur s = R.θ, sehingga : ds dθ v= = R 4.24 dt dt


77


A aC θ

s

VA

R B

VB Gambar 4.4 Gerak melingkar Perubahan sudut yang disapu R setiap detik dinamakan kecepatan sudut atau frekuensi sudut dθ ω= 4.25 dt Hubungan kecepatan v (kecepatan tangensial atau kecepatan singgung) dengan kecepatan sudut adalah : v = ωR

4.26

Waktu yang diperlukan untuk benda melakukan satu kali putaran penuh disebut periode (P), dan banyaknya putaran yang dilakukan tiap detik disebut frekuensi (f), maka : 1 f= 4.27 P Jika percepatan sudut ω konstan persamaan (4.25) diintegralkan didapat : θ

∫ dθ

t

=

θ0

Apabila θ0

∫ ω.dt

atau θ = θ 0 + ω (t − t 0 )

4.28

t0

=

0 dan t0 = 0 maka,

θ = ω.t atau ω =

θ

t Untuk satu kali putaran t = P dan θ = 2 π, sehingga diperoleh :

4.29

2π =2πf 4.30 P Apabila kecepatan sudut partikel berubah terhadap waktu, maka didapat percepatan sudut

ω =


78


dω d 2θ = dt dt 2

α=

4.31

Jika percepatan sudut tetap, persamaan (4.31) diintegralkan maka : ω

t

ω0

t0

∫ dω = ∫ αdt

atau

ω = ω 0 + α (t − t 0 )

4.32

Kalau persamaan (4.25) dan persamaan (4.32), digabungkan maka didapat : θ

t

θ0

t0

∫ dθ = ∫ ω

t

0

.dt + α ∫ (t − t 0 )dt t0

Jadi

θ = θ 0 + ω 0 (t − t 0 ) + 12 α (t − t 0 ) 2

4.33

Persamaan (4.33) merupakan posisi sudut Percepatan tangensial pada gerak melingkar adalah : aT =

pada

setiap

d 2θ dv dω = R = R 2 = R.α dt dt dt

saat.

4.34

Sedangkan percepatan sentripetal adalah : aC =

v2 = ω 2R R

4.35

a

aT

aC

Gambar 4.5 Percepatan tangensial dan percepatan sentripetal Jika pada gerak melingkar beraturan tidak ada percepatan sudut, tidak ada percepatan tangensial, tapi ada percepatan sentripetal yang akan merubah arah gerak kecepatan. dimana ω tetap maka didapat : a=

dv dR = ω. = ω .v = ω 2 R dt dt


4.36

79


Percepatan total benda :

=

a

a T2 + a

2 c

4.37

Gaya centripetal adalah gaya yang harus bekerja pada benda bergerak melingkar yang besarnya :

Fc

v2 = m. r

4.38

Analogi gerak melingkar berubah beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan Gerak Lurus vr = x = v = v2 = x =

v 0 + vt 2 v.t v0 + a.t v02 + 2.a.∆t 1 x0 + v0.t + .a.t2 2

Gerak Melingkar ω + ωt ωr = 0 2 θ = ωr.t ω = ω0 + α.t ω2 = ω02 + 2. α.∆t 1 θ = θ0 + ω0.t + α.t2 2

Contoh : 1. Sebuah bola bermassa 0,5 kg diikat diujung seutas tali yang mempunyai panjang 1,5 m. bola tersebut diputar dalam suatu lingkaran horisontal seperti tampak pada gambar di bawah ini. Bila bola tersebut berputar dengan laju konstan dengan membuat putaran 120 putaran permenit (rpm) dan tali tidak putus. Tentukan a. Frekuensi f dan periodenya T b. Kecepatan sudut dan kecepan linearnya c. Percepatan sentripetal dan gaya tegang tali (gaya sentripetal) d. Laju linearnya, jika tali tersebut hanya mampu menahan tegangan 50 newton Penyelesaian : Diketahui : m = 50 kg r = 1,5 m putaran = 120 rpm Ditanya :f?,T?, ω? v? FC? Jawab a. Frekuensi : FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

80


f

= Jumlah putaran perdetik 120 = menit 120 = 60.s = 2s

1.5 m

Perioda : 1 f 1 = 2 = 0,5 s

T

=

b. Kecepatan sudut : ω = 2π.f = 2π 2 = 4π rad.s-1 Laju linear : v =ωR = 4π . 1,5 = 6π m.s-1 c. Percepatan sentripetalnya v 2 aC = r

(6π ) 2 1.5 = 24π2 m.s-2 Gaya tegang tali = gaya sentripetal Fs =


81


FC

v2 = m . r = 0,5

(6π ) 2 1.5 = 12. π2 Newton

Tali hanya mampu menahan gaya tegangan tali 50 newton, maka laju linearnya dapat dicari dengan FC

v2 = m . r

v2

=

v

FC .r m FC .r m 50.(1,5) = 0,5 = 12,25 m.s-1

=

2. Sebuah mobil dengan massa 1500 kg bergerak pada suatu tikungan jalan yang datar dengan laju 5 m/s tanpa tergelincir/terlempar. Radius tikungan tersebut 25 m. Tentukan a. Gaya sentripetal yang bekerja pada mobil tersebut dan berapa gaya gesek pada mobil tersebut. b. Laju maksimum tanpa mobil terlempar, jika koefisien gesek statis antara ban dan jalan µs = 0,6 Penyelesaian : Diketahui : m = 1500 kg v = 5 m.s-1 r = 25 m µ = 0,6 Gaya sentripetal : FC

= m .

v2 r

52 25 = 1 500 Newton Mobil bergerak dengan laju vmaks, dan mobil masih belum terlempar = 1 500


82


FC

2 v maks = m . r

FC .r m Dimana FC sama dengan gaya gesek FS :

vmaks =

Fs

= µs . N = µs . mg = 0,6 . 1500 kg. 10 m/s2 = 9000 newton

vmaks =

FC .r m

9000(25) 1500 = 150 = 12,25 m/s =

v maks

4.4.1 Pergerakan pada belokan miring Untuk gerak mobil pada belokan miring dan sudut kemiringan jalan θ, seperti gambar (4.6)

Gambar 4.6 Gerak mobil pada bidang datar dan miring Mobil tersebut dapat bergerak pada tikungan tanpa terlempar keluar jika gaya sentripetalnya tidak melebihi komponen gaya Normal (N) pada arah yang sejajar jalan, dengan kemiringan θ m.v 2 N sin θ = r N cos θ - mg =0 N cos θ = mg FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

83


m..v 2 = r m.g

N . sin θ N . cos

v2 tan θ = r.g Jika jalan mempunyai koefisien gesek statik µs, persamaan menjadi m.v 2 = N sin θ + µs N r N cos θ - mg =0 N cos θ = mg

4.39

Dan diperoleh hubungan m.v 2 = r m.g

N . sin θ + µ S .N N . cosθ sin θ + µ S v2 = r.g cosθ

4.40

4.4.2 Gerak melingkar pada bidang vertical Benda bergerak pada lingkaran, pada titik A,B, C dan D dapat ditentukan gaya : C mg NC NB NA

ND

B mg D θ

A

mg cosθ mg

m.g Gambar 4.7 : Posisi gaya yang bergerak pada lingkaran

Pada titik A, titik terendah

:


84


F

= m.a m.v A2 = r

NA – mg m.v A2 r NA = m.g +

=

m.v A2 r

4.41

Pada titik B, arah gaya garvitasi arah kebawah sedangkan arah gaya tekan arah keluar, sehingga gaya sentripetalnya berharga negatif, sehingga pada titik B akan jatuh Pada titik C, titik teratas : F = m.a m.vC2 = r m.vC2 NC + mg = r m.vC2 NC = - m.g + r Pada titik D : F = m.a m.v D2 = r m.v D2 = ND - mg cos θ r m.v D2 ND = mg cos θ + r

4.42

4.43

4.4.3 Ayunan konis Ayunan konis adalah putaran dari sebuah benda yang diikat dengan tali, apabila tali membentuk kerucut, lihat gambar (4.8). m.v 2 T sin θ = r T cos θ = mg Diperoleh hubungan


85


T . sin θ T . cos θ

m.v 2 = r m.g

v2 tan θ = g .r

4.44

T cos θ θ

l

θ

Tsinθ m

r

mg Gambar 4.8 Ayunan Konis

4.5 Gerak relatif Gerak relatif adalah merupakan perpaduan dua buah gerak lurus beraturan. Sebuah kapal laut bergerak dengan kecepatan v1 diatas kapal seorang penumpang bergerak dengan kecepatan v2 membentuk sudut θ terhadap gerak kapal. Bagaimana pepindahan penumpang menurut pengamat yang diam. Jika perpindahan kapal s1 dan perpindahan penumpang s2 maka vektor perpindahan penumpang menurut pengamat yang diam adalah : s

= s1 + s2

Misalkan kapal bergerak selama t detik maka : s1 = v1.t s2 = v2.t sehingga : s = s1 + s2 s = (v1.t + v2.t) = (v1 + v2).t


86


Resultan kecepatan v1 dan v2 adalah v lihat gambar (4.9), sehingga persamaan dapat ditulis : s = v. t dengan v = v1 + v2 v2

v

θ α v1 Gambar 4.9. gerak relatif v1 dan v2 Besar kecepatannya adalah : v=

v12 + v 22 + 2.v1 .v 2 cos θ

4.45

Jika kita ambil sudut terkecil : v = v12 + v 22 − 2.v1 .v 2 cos α

4.46

Secara umum, bila benda A bergerak dengan kecepatan Va terhadap suatu acuan dan benda B bergerak dengan kecepatan Vb terhadap acuan yang sama, maka kecepatan benda A terhadap benda B dinamakan kecepatan relatif dan dapat ditulis sebagai vab. Secara vektor dapat ditulis : vab = va - vb Besar vab dapat dihitung dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu vab

= v a2 + vb2 − 2.v a .vb cosα

4.47

Contoh : 1. Sebuah perahu menyeberangi sungai dengan kecepatan 5 m/s, dengan arah tegak lurus arah arus sungai, jika kecepatan alairan sungai 3 m/s. a. Kemana arah kecepatan perahu terhadap arus sungai? b. Berapa lebar sungai jika waktu untuk ampai keseberang 15 detik Penyelesaian :


87


vp= 5 m/s va = 3 m/s

Diketahui : vpa = 5 m/s vat = 3 m/s t = 15 s Ditanya : arah perahu ? dan lebar sungai ? Jawab : a. Perhatikan gambar dibawah ini : vpt vpa = 5 m/s α

θ vat = 3 m/s

Karena vpt tegak lurus vat maka sudu α dapat di cari dengan perbandingan cosinus : v cos α = at v pt 3 = 5 α = 530 arah kecepatan perahu terhadap arus vpt, yaitu sudut θ yang merupakan sudut pelurus dari α sehingga di dapat : α + θ = 1800 = 1800 - α = 1800 - 530 = 1270 b. Kita hitung dulu vpt dari gambar diatas vpt2 = vpa2 - vat2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16


88


vpt

= 4 m/s

lintasan yang ditempuh perahu s = vpt . t = 4 .15 = 60 m

:

2. Dua orang A dan B, masing-masing mengendarai sepeda motor. A bergerak dengan kecepatan tetap 12 m/s relatif terhadap bumi, sedangkan B bergerak dengan kecepatan tetap 5 m/s relatif terhadap bumi juga. Tentukan kecepatan relatif B terhadap A jika: a. Keduanya bergerak searah (ke timur) b. Keduanya bergerak berlawanan arah (va ke barat dan Vb ke timur) c. Keduanya bergerak dengan arah tegak lurus (va ke utara dan vb ke timur) Jawab Kecepatan A dan B masing-masing kita sebut va dan vb dan kecepatan B terhadap A dinotasikan vba va

= 12 m/s dan vb = 5 m/s

a. Jika A dan B searah, maka sudut antara kedua vektor 0° vb va Arah ke kanan kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor vba = vb - va adapun vba = vb - va = 5 – 12 = - 7 m/s. (tanda minus menyatakan bahwa, B bergerak kiri terhadap A atau dengan kata lain, B ketinggalan 7 m tiap detiknya terhadap A) b. Jika A dan B berlawanan arah, maka sudut antara kedua vektor 180° va vb Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

89


vba = vb - va adapun vba = vb - va = 5 – (-12) = 17 m/s (B bergerak menjauhi A ke timur dengan kecepatan 17 m/s) c. Jika A dan B geraknya saling tegak lurus, maka sudut antara kedua vektor 90° va

vb Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor vba = vb - va Adapun besar vba dapat diperoleh dengan menggunakan Phytagoras vba

= v a2 + vb2 − 2.v a .vb cosα

vba

= 5 2 + 12 2 − 2.5.12. cos 90 0 = 25 + 144 = 13 m/s

3. Seorang anak yang berada di atas kapal bergerak dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap kapal. Kapal tersebut sedang bergerak di laut dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap bumi, kearah timur Tentukan kecepatan anak tersebut relatif terhadap bumi jika : a. Arahnya sama dengan arah gerak kapal b. Arahnya berlawanan dengan arah gerak kapal c. Arah gerak anak tersebut membentuk sudut 120° dengan arah timur (atau 60° dengan arah barat) Jawab Jika kecepatan anak diberi notasi va dan kecepatan kereta diberi notasi vk serta kecepatan bumi disebut vb, vak = va – vk = 8 m/s (*) vkb = vk – vb = 8 m/s (**) Kecepatan anak terhadap bumi vab dapat diperoleh dari persamaan (*) dan (*).


90


vab

= va – vb = (va – vk) +( vk – vb) = vak + vkb Ini merupakan penjumlahan vektor dan besarnya dapat diperoleh dengan vab

= v ak2 + v kb2 + 2.v ak .v kb cosα

a. arah gerak anak searah dengan arah gerak kereta α = 0°, cos 0° = 1 =

vab

v ak2 + v kb2 + 2.v ak .v kb cosα

va

= 8 2 + 8 2 + 2.8.8 = 64 + 64 + 128 = 256 = 16 m/s

vk

Atau dengan cara lain vab = va – vb besarnya dapat diperoleh dari persamaan (1) dan (2) vab = va – vb = (va – vk) +(vk – vb) = 8 m/s + 8 m/s = 16 m/s b. Jika arah gerak anak berlawanan arah gerak kereta α = 180° = -1 vab

= v ak2 + v kb2 + 2.v ak .v kb cosα =

8 2 + 8 2 + 2.8.8.( −1)

= 64 + 64 − 128 = 0 m/s

va vk

Atau dengan cara lain Jika arah gerak anak berlawanan dengan arah gerak kereta maka va – vk = -8 m/s vk – vb = 8 m/s vab = va – vb vab = va – vb = (va – vk) +(vk – vb) = 8 m/s - 8 m/s = 0 m/s c. Arah gerak anak tersebut membentuk sudut 120° dengan arah timur (atau 60° dengan arah barat) FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

91


va

1200

vab

=

vk

v ak2 + v kb2 + 2.v ak .v kb cosα 8 2 + 8 2 + 2.8.8 cos120 0 = 64 + 64 − 64 = 8 m/s =


92


SOAL – SOAL LATIHAN A. PILIHAN GANDA : 1.

Sebuah rakit menyeberangi sungai dengan arah kecepatan tegak lurus terhadap arah arus sungai. Kecepatan rakit 0,3 m/s dan kecepatan arus 0,4 m/s. Rakit mencapai seberang dalam waktu 150 sekon. Lebar sungai adalah : A. 95 m D. 50 m B. 75 m E. 45 m C. 60 m

2.

Dua kapal A dan B mula-mula berada pada kedudukan yang sama. Pada saat yang bersamaan, kapal A berlayar ke barat dengan kelajuan 30 km/jam dan kapal B derlayar ke utara dengan kelajuan 40 km/jam. Jarak antara kedua kapal setelah berlayar selama ½ jam adalah : A. 20 km D. 40 km B. 25 km E. 50 km C. 30 km

3.

Sebuah sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan 5 m/menit. Seorang anak pada tepi selatan sungai mampu berenang dengan kelajuan 10 m/menit dalam air tenang. Jika anak itu ingin berenang menyeberangi sungai dengan selang waktu tercepat, maka ia harus berenang dengan sudut θ terhadap arah utara. Nilai sin θ adalah : 1 2 A. D. 5 2 5 3 B. 2 E. 2 2 2 C. 3 3

4.

Air sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan c. Seorang anak berenang searah arus sungai dengan kelajuan v sampai menempuh jarak d, kemudian anak tersebut berbalik arah dan berenang menuju ke titik berangkatnya semula. Selang waktu yang ditempuh anak itu adalah : 2d 2dv A. D. 2 v+c v − c2 2d 2dv E. 2 B. v−c v + c2 3dv C. 2 v − c2


93


5.

Bola P beratnya dua kali bola Q. P dijatuhkan vertical ke bawah dari atap sebuah gedung dan pada saat bersamaan Q dilempar horizontal pada kelajuan tinggi. Abaikan gesekan udara dan tentukan pernyataan mana berikut ini yang benar : A. P menumbuk tanah sebelum Q B. Q menumbuk tanah sebelum P C. Saat P menumbuk tanah Q berada setengah ketinggian dari tanah D. Keduanya menumbuk tanah pada saat bersamaan E. Tidak cukup data dalam soal ini untuk memungkinkan kita menentukan jawabannya.

6.

Sebuah pesawat terbang bergerak mendarat dengan kecepatan 200 m/s melepaskan bom dari ketinggian 500 m. Jika bom jatuh di B dan g = 10 m/s2, maka jarak AB adalah :

B A

A. 500 m B. 1.000 m C. 1.500 m 7.

D. 1.750 m E. 2.000 m

Sebuah mobil hendak menyeberang sebuah parit yang lebarnya 4,0 meter. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s2, maka kelajuan minimum yang diperlukan ole mobil itu tepat dapat berlangsung adalah :

15 cm

4m

A. 10 m/s B. 15 m/s C. 17 m/s

D. 20 m/s E. 23 m/s


94


8.

Sebuah benda dilempar mendatar dari pinggir sebuah jurang dengan kecepatan v. Tiga sekon kemudian kecepatan benda berarah 60o terhadap arah mendatar. Dengan mengabaikan gesekan udara dan memakai nilai g = 10 m/s2, maka nilai v adalah: D. 30 2 m/s A. 30 3 m/s B. 10 3 m/s C. 20 m/s

9.

E. 10 2 m/s

Sebuah peluru dengan massa 20 gram ditembakkan dengan sudut elevasi 30o dan dengan kecepatan 40 m/s. Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka ketinggian maksimum peluru (dalam m) adalah: A. 10 D. 30 B. 20 E. 40 D. 25

10. Peluru ditembakan dari tanah condong ke atas dengan kecepatan v dan sudut elevasi 45o, dan mengenai sasaran di tanah yang jarak mendatarnya sejauh 2 x 105 m. Bila percepatan gravitasi 9,8 m/s2, maka v adalah: A. 7,0 x 102 m/s D. 3,5 x 103 m/s B. 1,4 x 103 m/s E. 4,9 x 103 m/s 3 D. 2,1 x 10 m/s 11. Sebuah benda ditembakkan miring ke atas dengan sudut elevasi 60o dan mencapai jarak terjauh 10 3 m. Jika g = 10 m/s2. Maka kecepatan pada saat mencapai titik tertinggi (dalam m/s ) adalah: A. 5 2 D. 10 2 B. 5 3 E. 10 3 C. 10 12. Sebuah benda dilemparkan dari suatu tempat di tanah, mencapai ketinggian maksimum 90 m dan jatuh kembali ke tanah sejauh 180 m dari tempat asal pelemparan. Berapakah laju awal horizontal dari benda itu? Ambil g = 9,8 m/s2. A. 21 m D. 48 m B. 24 m E. 84 m C. 42 m 13. Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi α. Jika jarak terjauh peluru sama dengan tinggi maksimumnya, maka nilai tan α adalah : A. 1 D. 6 B. 3 E. 4 C. 2


95


14. Sebuah partikel menjalani gerak parabola dan posisi partikel itu pada saat t adalah x = 6t dan y = 12t – 5t2. Jika percepatan grafitasi g = 10 m/s2, maka laju awal partikel itu adalah : A. 6 m/s D. 6 5 m/s B. 6 C. 6

2 m/s 3 m/s

E. 12 m/s

15. Sebuah bola ditendang dengan laju awal 20 m/s dan sudut elevasi 45o. Pada saat bersamaan seorang pemain yang segaris dengan arah tendangan dan berdiri di garis gol yang 60 m jauhnya, mulai berlari untuk menjemput bola. Berapa laju lari pemain itu agar ia dapat menerima bola umpan sebelum bola itu menumbuk tanah? A. 5 m/s D. 10 2 m/s E. 20 m/s B. 5 2 m/s C. 10 m/s 16. Sebuah gerak parabola memiliki kelajuan awal v. Jika jarak terjauh gerak parabola sama dengan jarak tempuh sebuah partikel yang jatuh bebas agar memiliki laju v, maka sudut elevasi gerak parabola tersebut adalah: A. 30o D. 75o B. 45o E. 90o o C. 60 17. Gatotkaca memutar sebuah batu dalam suatu lingkaran horizontal 2 m diatas tanah dengan menggunakan tali sepanjang 1,5 m. Tali putus dan batu terbang secara horizontal dan menumbuk tanah 9 m jauhnya. Percepatan sentripetal yang dialami batu itu selama dipercepat adalah (g = 10 m/s2). A. 120 m/s2 D. 145 m/s2 2 B. 125 m/s E. 150 m/s2 C. 135 m/s2 18. Suatu benda berotasi mengitari sebuah poros dengan posisi sudutnya, θ, dapat dinyatakan sebagai θ = 2t2 – 9t + 4; θ dalam rad dan t dalam sekon. Kecepatan sudut suatu partikel pada benda pada t = 1,0 sekon, dalam rad/s adalah : A. –6,0 D. –3,0 B. –5,0 E. –2,0 C. –4,0 19.

Suatu benda berotasi mengitari sebuah poros dengan kecepatan sudutnya ω dapat dinyatakan sebagai ω = t2 – 5,0 . ω dalam rad/s dan t dalam sekon. Perceptan sudut partikel pada benda pada t = 1 sekon dalam rad/s adalah :


96


A. 2,0 B. 2,5 C. 3,0

D. 3,5 E. 4,0

20. Sebuah roda berputar terhadap suatu poros tetap dan kecepatan sudut partikel pada roda dapat dinyatakan sebagai ω = 2,0 t – 3,0 . t dalam sekon dan ω dalam rad/s. Jika posisi sudut awal θo = 1,5 radian, maka posisi sudut partikel pada t = 1,0 sekon dalam rad adalah : A. –1,5 D. +0,5 B. –1,0 E. +1,0 C. –0,5


97


B. ESSAY : 1.

Apakah yang dimaksud dengan kecepatan relatif dari sebuah benda yang sedang bergerak?

2.

Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan relatif tetap sebesar 8 m/s melawan arus sungai yang mempunyai kecepatan tetap 5 m/s. apakah gerak dari kapal tersebut relatif terhadap sungai, merupakan gerak lurus beraturan? Jelaskan.

3.

Sebuah kapal terbang bergerak ke utara dengan kecepatan tetap vk dengan angin pada saat tersebut berkecepatan tetap va ke arah timur. Apakah gerak kapal tersebut relatif terhadap bumi merupakan gerak lurus beraturan?. Tentukan harga tangen (tg) dari sudut yang dibentuk arah pesawat dengan arah timur (dinyatakan dengan vk dan va).

4.

Buktikan secara matematis perpaduan dari dua gerak lurus beraturan, merupakan gerak lurus beraturan juga, jika a. Keduanya searah b. Keduanya beralawanan arah c. Keduanya saling tegak lurus d. Keduanya membentuk sudut α

5.

Seseorang yang berada di dalam kereta yang sedang bergerak melemparkan vertikal ke atas sebuah bola dan jatuh kembali ketangganya. Apakah bentuk lintasan dari bola tersebut, bila dilihat oleh seorang pengamat yang berada di kereta dan pengamat yang berada di bumi.

6.

Peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dengan sudut elevasi α mempunyai, lintasan parabola. Besar-besaran di bawah ini yang konstan adalah berbentuk a. Kecepatan horisontalnya b. Percepatan vertikalnya c. Kecepatan vertikalnya

7.

Sebuah bola dan selembar daun dijatuhkan dari suatu ketinggian pada saat yang bersamaan. Bila keduanya berada di dalam ruang vakum, manakah yang akan jatuh terlebih dahulu.

8.

Dari suatu ketinggian, sebuah bola dijatuhkan bebas tanpa kecepatan awal, dan pada saat yang sama bola kedua dilemparkan horisontal. Bola manakah yang akan jatuh di tanah terlebih dahulu?


98


9.

Hal yang harus diperhatikan oleh seorang atlet lompat jauh adalah kecepatan dilemparkan horisontal. Bola manakah yang akan jatuh di tanah terlebih dahulu?

10. Pada keadaan hujan, seorang pengamat melihat butiran air hujan jatuh tegak lurus muka bumi. Bila pengamat tersebut mengendarai mobilnya dengan kecepatan tetap 60 km/jam, jejak air hujan di kaca mobil membentuk sudut 60° dengan vertikal. Tentukan kecepatan air hujan tersebut (relatif terhadap bumi). 11. Seseorang menyebrangi sungai dan mengarahkan perahunya tegak lurus tepian dengan kecepatan 3 m/s relatif terhadap air dan air mengalir dengan kecepatan 4 m/s relatif terhadap tepi sungai. Tentukan kecepatan orang tersebut relatif terhadap tepi sungai. 12. Dua buah kereta A dan B bergerak dengan berturut-turut 100 km/jam dan 150 km/jam. Arah gerak kedua kereta membentuk sudut 60° . Tentukan: a. Kecepatan relatif A terhadap kereta B b. Kecepatan relatif perahu B terhadap perahu A 13. Bapak Amir dengan menggunakan mobilnya, melakukan perpindahan ke timur dengan kecepatan tetap 50 km/jam selama 30 menit, kemudian ke selatan dengan kecepatan 60 km/jam selama 20 menit. Perpindahan yang ke tiga ke arah timur lagi dengan kecepatan tetap 30 km/jam selama 10 menit. Tentukan: a. Posisi Bapak Amir pada akhir perpindahan dihitung dari titik awal berangkat b. Jarak yang ditempuh untuk ketiga perpindahan tersebut c. Sudut yang dibentuk antara vektor posisi akhir dengan arah timur 14. Seorang tentara menembakkan peluru dengan kecepatan awal 60 m/s dan sudut elevasi α = 53° (tg 53° = 4/3). Tentukan: a. Kecepatan, tinggi pada saat peluru mencapai titik tertinggi b. Kecepatan peluru pada saat tiba kembali di tanah c. Tinggi peluru dan kecepatannya pada saat t = 2 sekon 15. Sebuah pesawat pembom bergerak dengan kecepatan 72 m/s pada ketinggian 102 meter dari muka bumi. Pesawat menjatuhkan bom pada saat berada tepat di atas pompa bensin, untuk menembak sebuah truk yang sedang bergerak searah dan berada pada jarak 124 m dair pompa bensin tersebut. Carilah kecepatan truk tersebut agar bom tepat mengenai truk tersebut.


99


16. Buktikan bahwa pada gerak parabola peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo mempunyai jarak tembak terjauh pada saat sudut elevasi α = 45°. 17. Pada gerak parabola peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dapat mempunyai sepasang sudut elevasi yaitu α1 dan α2 yang mempunyai jarak tembak yang sama. Buktikan bahwa α1 + α2 = 90°. 18. Di dalam sebuah gedung bertingkat 5 ada tangga berjalan, yang dipergunakan untuk naik maupun turun dari satu lantai ke lantai lainnya. Seorang anak menaiki tangga tersebut yang bergerak ke atas dengan kecepatan tetap 5 m/s terhadap bumi. Kecepatan anak tersebut 4 m/s terhadap tangga. Tentukan kecepatan relatif anak tersebut terhadap bumi. 19. Kecepatan A terhadap bumi va sebesar 8 m/s dan kecepatan B terhadap bumi vb sebesar 8 m/s juga. Ternyata besar kecepatan B relatif terhadap A, vba sebesar 8 m/s. Berapakah besar sudut yang dibentuk antara va dan vb? 20. Partikel melakukan gerak melingkar beraturan. Besar-besaran fisika dari partikel tersebut, yang konstan adalah a. Kecepatan linear b. Laju linear c. Kecepatan angular d. Percepatan sentripetal 21. Seseorang melakukan gerak dengan lintasan yang tidak lurus selalu mempunyai kecepatan yang tidak konstan. Jelaskan! 22. Setiap benda yang melakukan gerak dengan lintasan lengkung selalu mempunyai percepatan sentripetal. Jelaskan! 23. Seekor semut berada pada suatu piringan yang berputar dengan porosnya tegak lurus piringan tersebut. (Piringan terletak pada bagaian kertas ini). Jika jarak semut kesumbu putar makin jauh maka pernyataan di bawah ini yang benar: a. Laju linear makin besar b. Kecepatan angular tetap c. Percepatan sentripetalnya makin besar 24. Dua buah roda masing-masing mempunyai jari-jari R1 dan R2, keduanya dihubungkan dengan tali, hubungan di bawah ini yang benar adalah a. Laju linear dari titik-titik ditepi kedua roda sama


100


b. Kecepatan angular dari roda yang terkecil lebih besar dari kecepatan angular roda yang besar 25. Sebuah benda yang diikat dengan tali, kemudian diputar pada bidang horisontal dengan kecepatan makin besar. Pada suatu saat tali putus. Apa yang menyebabkan benda terlempar keluar. 26. Gaya apakah yang menyebabkan bulan dalam peredaran mengelilingi bumi tetap berada pada orbitnya? 27. Bila anda mengendarai mobil dengan kecepatan tinggi, dan tiba pada suatu tikungan anda dianjurkan mengurangi kecepatannya. Mengapa? 28. Dalam akrobatik pesawat terbang yang membentuk lintasan melingkar, pada titik tertinggi pilot merasakan badannya lebih ringan. Jelaskan! 29. Jelaskan prinsip-prinsip mesin pesawat sentrifugal digunakan untuk mengendapakan partikel-partikel.

yang

dapat

30. Sebuah benda bermassa 0,2 kg diikat pada seutas tali yang mempunyai panjang 0,5 m. Benda diputar dalam suatu lingkaran horisontal dengan frekuensi 4 Hz. Tentukan besar gaya tegang tali yang terjadi. 31. Seorang anak mengendarai sebuah sepeda yang kedua rodanya mempunyai jari-jari 36 cm dengan kelajuan 20 km/jam. Tentukan: a. Frekuensi dari roda tersebut b. Kecepatan angular dan kemana arahnya 32. Atom Hidrogen mempunyai sebuah electron yang bermassa 9 x 10-31 kg dan bergerak mengelilingi inti dengan jari-jari 5 x 10-11. Jika gaya yang menarik elektron ke inti sebesar 10-7 newton. Tentukan besar laju elektron. 33. Sebuah mobil yang bermassa 1500 kg, bergerak menaiki suatu bukit yang mempunyai jari-jari kelengkungan 30 m. Tentukan kecepatan maksimum di puncak bukit supaya mobil tidak lepas dari bukit. 34. Sebuah piringan hitam yang berjari-jari 12 cm sedang berputar dengan frekuensi 15 putaran per menit. Tentukan laju linear dari seekor semut yang berada a. Dipinggir piringan hitam b. 5 cm dari poros putar 35. Anak yang bermassa 50 kg berdiri di khatulistiwa, akan melakukan gerakan melingkar yang radiusnya sama dengan radius bumi selama FISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

101


24 jam untuk satu kali putar. Hitung gaya sentripetalnya jika radius bumi 6400 km. Berapakah laju linearnya? 36. Sebuah ayunan konis terdiri dari sebuah bandul kecil yang massanya 0,4 kg dan seutas tali yang ringan dan panjangnya 120 cm. Ayunan berputar pada bidang horisontal dengan jari-jari 50 cm (g = 10 m/s2). Tentukan: a. Besar gaya tegang tali b. Frekuensi angular bandul c. Laju 37. Sebuah mobil yang mempunyai massa 2000 kg dan pengendaranya bermassa 60 kg, bergerak pada melintasi jembatan lengkung yang radiusnya 15 m. Mobil tersebut bergerak dengan kelajuan 10 m/s dipuncak jembatan. Tentukan: a. Gaya tekan mobil pada jembatan b. Gaya tekan pengendara terhadap kursi 38. Seorang anak membawa seember air yang digantung dengan seutas tali dan beratnya 100 newton. Jika ember diputar dengan laju linier 4 m/s dalam bidang vertikal, berapakah pertambahan berat ember yang berisi air pada saat berada pada titik terendah? 39. Seorang anak yang bermassa 20 kg duduk pada suatu ayunan dan panjang tali penggantungnya 2 m. Tegangan pada tiap tali 250 newton. Tentukan laju serta gaya tekan anak pada bangku pada saat mencapai titik terendah.


102

BAB IV GERAK DALAM BIDANG DATAR

Recommend Documents