BAB IV DIFFERENSIASI
4.1 Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.
l A
Gambar 4.1
A
B
l Gambar 4.2 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih
88
suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan : m1 =
f(x1 ) - f(x) x1 - x
( 4.1 )
y
l1 A
Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m
B
x
0
l
x1
x
h Gambar 4.3
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk : f(x1 ) - f(x) x1 - x x ® x1
lim m1 = lim
x ® x1
( 4.2 )
Persaman (4.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis : f(x1 ) - f(x) lim m1 = lim =m x1 - x x ® x1 x ® x1
89
Jadi : f(x1 ) - f(x) x1 - x x ® x1
( 4.3 )
m = lim
f(x + h) - f(x) h h®0 f(x + Dx) - f(x) Jika dimisalkan h = Dx, maka m = lim Dx Dx ® 0 Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))
Karena x1 – x = h, maka m = lim
( 4.4 ) ( 4.5 )
Contoh 4.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian : f(x + Dx) - f(x) m = lim Dx Dx ® 0 3(x + Dx)2 + 5 - 3x 2 - 5 3x 2 + 6x Dx + 3( Dx)2 + 5 - 3x 2 - 5 = lim Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 = lim 6x + 3Dx = 6x
= lim
Dx ® 0
Jadi m = 6x (*) (**) Persamaan garis singgung : y = mx + n Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2 4.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x). f(x)
Differensiasi
f’(x)
Gambar 4.4 Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk : f(x1 ) - f(x) , jika nilai limitnya ada x1 - x x ® x1
f ' (x) = lim
( 4.6 )
Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
90
Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian : f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+Dx) = 2(x+Dx)2 + 5(x+Dx) – 7 = 2x2 + 4xDx +2(Dx)2 + 5x + 5Dx – 7 f(x+Dx) – f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 + 5Dx f(x + Dx) - f(x) 4xDx + 2(Dx)2 + 5Dx = lim = lim 4x + 2Dx + 5 = 4x + 5 Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0 Jadi : f ' (x) = 4x + 5 f' (x) = lim
f' (c) = 4c + 5
f ' (3) = 4(3) + 5 = 17
4.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x). 4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu : f(x + Dx) - f(x) f(x + Dx) - f(x) Jika : lim ada, maka f ' (x) = lim Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 f(x + Dx) - f(x) f(x+Dx)-f(x)= · Dx Dx f(x + Dx) - f(x) lim (f(x + Dx) - f(x)) = lim . lim Dx =f’(x) . 0 = 0 Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0 Sehingga : lim f(Dx + x) = lim f(x) ® lim f(x) = f(x) (terbukti) Dx ® 0
Dx ® 0
Dx ® 0
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x. 4.5 Teorema-teorema 4.5.1 Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :
91
y = f(x) = c Bukti : f(x) = c ;
maka
dy = f' (x) = 0 dx
( 4.7 )
f(x+Dx) = c
f(x + Dx) - f(x) c-c dy = lim = f' (x) = lim = 0 (terbukti) dx D x Dx ® 0 Dx ® 0 Dx 4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai : y = f(x) = kx
n
maka
dy = f' (x) = knx n -1 dx
( 4.8 )
Bukti : n f(x) = kx n f(x+Dx) = k(x+Dx) Dengan mengunakan teorema binomial didapat : n k(x+Dx) =
k(n - 1) ! Dx n-1 kn ! Dx n kx n knx n -1 Dx kn(n - 1)x n - 2 (Dx)2 + + +L+ + 0! 1! 2! (n - 1) ! n! dy f(x + Dx) - f(x) = f' (x) = lim = knx n -1 (terbukti) Dx dx Dx ® 0 Contoh 4.3 7 Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x Penyelesaian : dy = f ' (x) = (5)(7)x 7 -1 = 35x 6 dx
4.5.3 Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = f(x) + g(x) maka
dy = f' (x) + g' (x) dx
( 4. 9 )
Bukti : h(x) = f(x) + g(x) h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx) h(x + Dx) - h(x) f(x + Dx) + g(x + Dx) - f(x) - g(x) h’(x) = lim = lim Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 f(x + Dx) - f(x) g(x + Dx) = lim + lim = f' (x) + g' (x) (terbukti) Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0
Contoh 4.4 6 -3 Diketahui y = 5x + 2x
92
dy dx Penyelesaian : 6 -3 f(x) = 5x g(x) = 2x 5 -4 f’(x) = 30x g’(x) = -6x dy 5 -4 = f’(x) + g’(x) = 30x – 6x dx
Tentukan
4.5.4 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = f(x).g(x) maka
dy = f' (x)g(x) + f(x)g' (x) dx
(4.10)
Bukti :
f(x + Dx).g(x + Dx) - f(x).g(x) Dx Dx ® 0 f(x + Dx).g(x + Dx) - f(x + Dx).g(x) + f(x + Dx).g(x) - f(x).g(x) = lim Dx Dx ® 0 g(x + Dx) - g(x) f(x + Dx) - f(x) = lim f(x + Dx) + lim g(x) Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)
h’(x) =
lim
Contoh 4.5 5 -2 Diketahui y = (3x + 2x )(7x+3) dy Tentukan dx Penyelesaian : 5 -2 f(x) = 3x + 2x g(x) = 7x+3 4 -3 f’(x) = 15x – 4x g’(x) = 7 dy 4 -3 5 -2 = f’(x).g(x) + g’(x).f(x) = (15x -4x )(7x+3) + (3x + 2x )(7) dx 5 -2 5 -2 = 105x -28x +45x4 – 12x-3 +21x + 14x 5 4 -2 -3 = 126x + 45x - 14x – 12x
4.5.5 Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) =
f(x) dy f' (x)g(x) - f(x)g' (x) maka = g(x) dx [g(x)]2
Bukti :
93
(4.11)
h(x) =
f(x) f(x + Dx) ; h(x+Dx) = g(x) g(x + Dx)
f(x + Dx) f(x) g(x + Dx) g(x) h(x + Dx) - h(x) h’(x) = lim = lim Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 g(x).f(x + Dx) - g(x + Dx).f(x) = lim Dx.g(x + Dx).g(x) Dx ® 0 g(x).f(x + Dx) - f(x).g(x) - g(x + Dx).f(x) + f(x).g(x) = lim Dx.g(x + Dx).g(x) Dx ® 0 f(x + Dx) - f(x) g(x + Dx) - g(x) = lim g(x) - lim f(x) Dx.g(x + Dx).g(x) Dx.g(x + Dx).g(x) Dx ® 0 Dx ® 0 é f(x + Dx) - f(x) ù é g(x + Dx) - g(x) ù ú ú ê ê Dx Dx = lim g(x)ê ú - lim f(x)ê ú Dx ® 0 ê g(x + Dx).g(x) ú Dx ® 0 ê g(x + Dx).g(x) ú úû úû êë êë g(x).f' (x) - g' (x).f(x) = (terbukti) [g(x)]2
Contoh 4.6 Tentukan h’(x) jika h(x) = Penyelesaian : f(x) = 2x4 – 3x2 g(x) = 4x3 h’(x) = =
2x 4 - 3x 2 4x 3
f’(x) = 8x3 – 6x g’(x) = 12x2
f' (x).g(x) - f(x).g' (x) [g(x)]2
=
(8x 3 - 6x)(4x 3 ) - (2x 4 - 3x 2 )(12 x 2 ) (4x 3 )2
32 x 6 - 24 x 4 - 24 x 6 + 36 x 4 8 x 6 + 12 x 4 2 x 2 + 3 = = 16 x 6 16 x 6 4x 2
4.5.6 Turunan fungsi komposisi Jika y = f(u) dan u = g(x) maka
dy dy du = dx du dx
(4.12)
Bukti : Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u = g(x) Du= g(x+Dx) – g(x) ® g(x+Dx) = g(x) + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0 y = f(g(x)) Dy = f(g(x+Dx)) – f(g(x))
94
f(g(x + Dx)) - f(g(x)) Du Dy f(g(x + Dx)) - f(g(x)) = = Dx Du Dx Dx f(u + Du) - f(u) Du dy Dy f(u + Du) - f (u) Du Dy ® lim = = lim = Du Dx dx Du Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx dy f(u + Du) - f(u) Du dy du (terbukti) = lim . lim = dx Dx ® 0 Du du dx Dx ® 0 Dx
Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7 dy 3 Tentukan jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4) dx Penyelesaian : Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 y = u3 dy du = 12 x 2 + 10 x - 1 = 3u2 dx du dy dy du = = 3u2 (12 x 2 + 10 x - 1) dx du dx = 3(12 x 2 + 10 x - 1)(4x 3 + 5x 2 - x + 4)2
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! é 5 ù é 4x 1 ù 1. f(t) = at2 – bt + 7 6. f(x) = ê - 3x ú ê + ú 4 x xû ë ûë 5 2. f(x) = 3x
-5
+
3
5x 2
7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at–7)5
é2 x ù 3. g(x) = ê + ú ëx 2û
é 4x 1 ù 4. h(x) = ê + ú xû ë5
2
é7 ù 5. w(x) = ê - 2x + 3ú 4 x ë û
3
8. h(w) =
b - aw2 w+c
9. v(t) =
(at2 - bt )2 (ct - d)3
10. g(t) = t
(2t + 3 )2 t-3
4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri Jika y = f(x) = sin x maka
dy = f' (x) = cos x dx
Bukti : dy f(x + Dx) - f(x) sin(x + Dx) - sin x = f' (x) = lim = lim Dx Dx dx Dx ® 0 Dx ® 0
95
(4.13)
= lim
Dx ® 0
sin x cos Dx + cos x sin Dx - sin x Dx sin x(cos Dx - 1) + cos x sin Dx
= lim
Dx Dx ® 0 (cos Dx - 1) sin Dx ù é = lim êsin x + cos x Dx Dx úû Dx ® 0ë
= sin x lim
Dx ® 0
cos Dx - 1 sin Dx + cos x lim Dx Dx ® 0 Dx
= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cosx (terbukti) dy du = cos u dx dx
Jika y = sin u dan u = f(x) maka
(4.14)
Bukti : dy = cos u du du u = f(x) = f ' (x ) dx dy dy du du (terbukti) = = cos u dx du dx dx
y = sin u
Jika y = f(x) = cos x maka
dy = f ' (x) = - sin x dx
(4.15)
Bukti : dy f(x + Dx) - f(x) cos(x + Dx) - cos x = f' (x) = lim = lim dx Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 =
lim Dx ® 0
cos x cos Dx - sin x sin Dx - cos x Dx
=
lim Dx ® 0
cos x(cos Dx - 1) - sin x sin Dx Dx
(cos Dx - 1) sin Dx ù é lim êcos x - sin x Dx Dx úû Dx ® 0ë cos Dx - 1 sin Dx = cos x lim - sin x lim Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx =
= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)
dy du = - sin u dx dx
Jika y = cos u dan u = f(x) maka Bukti : y = cos u u = f(x)
dy = - sin u du du = f ' (x ) dx
96
(4.16)
dy dy du du (terbukti) = = - sin u dx du dx dx
Contoh 4.8 Jika y = sin(p-2x), tentukan Penyelesaian : Misal u = p - 2x
dy dx
y = sin u
dy du = -2 = cos u dx du dy dy du = = (cos u)(-2) = -2 cos(p - 2x) dx du dx
Contoh 4.9 Jika y = cos
dy x tentukan 2 dx
Penyelesaian : Misal u =
x 2
y = cos u
du dy = 1/2 = - sin u dx du dy dy du 1 1 x = = (- sin u)( ) = - sin dx du dx 2 2 2
Contoh 4.10 Jika y = sin2x cos3x, tentukan Penyelesaian : Misal u = sin 2x
dy dx
v = cos 3x
du dv = 2 cos 2x = -3 sin 3x dx dx dy du dv = .v + u = (2 cos 2x)(cos 3x) + (sin 2x)( -3 sin 3x) dx dx dx = 2 cos 2x. cos 3x - 3 sin 2x. sin 3x
Contoh 4.11 Jika y =
dy sin 3x , tentukan cos 4x dx
Penyelesaian : Misal u = sin 3x
v = cos 4x
du dv = 3 cos 3x = -4 sin 4x dx dx du dv .v - u. dy dx dx = (3 cos 3x)(cos 4x) - (sin 3x)( -4 sin 4x) = 2 dx v (cos 4x)2
=
3 cos 3x. cos 4 x + 4 sin 3x. sin 4 x cos 2 4x
97
dy = f ' (x) = sec 2 x dx
Jika y = f(x) = tan x maka
(4.16)
Bukti : sin x cos x u = sin x v = cos x du dv = cos x = - sin x dx dx du dv .v - u. 2 2 dy dx = (cos x)(cos x) - (sin x)(- sin x) = cos x + sin x = dx dx cos2 x v2 (cos x)2
y = tan x =
=
1 2
cos x
= sec 2 x (terbukti)
Jika y = tan u maka
dy du = (sec 2 u) dx dx
(4.17)
Bukti : y = tan u
dy = sec 2 u du
u = f(x)
du = f ' (x ) dx
dy dy du du (terbukti) = = (sec 2 u) dx dx du dx
Contoh 4.12 Jika y = 5 tan 3x, tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal u = 3x y = 5 tan u du dy =3 = 5 sec 2 u du dx dy dy du = = (5 sec 2 u)(3) = 15 sec 2 u = 15 sec 2 3x dx du dx
Jika y = f(x) = cot x maka
dy = f ' (x) = - csc 2 x dx
Bukti : cos x sin x u = cos x du = - sin x dx
y = cot x =
v = sin x dv = cos x dx
98
(4.18)
du dv .v - u. 2 2 dy dx = (- sin x)(sin x) - (cos x)(cos x) = - (sin x + cos x) = dx dx sin2 x v2 (sin x)2
= -
1 2
sin x
= - csc 2 x (terbukti)
Jika y = cot u maka
dy du = (- csc 2 u) dx dx
(4.19)
Bukti : dy = - csc 2 u du
y = cot u
du = f ' (x ) dx
u = f(x)
dy dy du du (terbukti) = = (- csc 2 u) dx dx du dx
Contoh 4.13 1 dy 1 Jika y = cot x , tentukan 3 dx 2 Penyelesaian : 1 1 Misal u = y= cot u x 2 3 dy du 1 1 = = - csc 2 u dx 3 du 2 dy dy du 1 1 1 1 1 = = (- csc 2 u)( ) = - csc 2 u = - csc 2 x 3 6 6 3 2 dx du dx
Jika y = f(x) = sec x maka
dy = f ' (x) = sec x tanx dx
Bukti : y = sec x =
1 cos x
u=1 v = cos x du dv =0 = - sin x dx dx du dv .v - u. dy dx dx = (0)(cos x) - (1)(- sin x) = 2 dx v (cos x)2 =
sin x = sec x tanx (terbukti) cos2 x
99
(4.20)
Jika y = sec u maka
dy du = (sec u tanu) dx dx
(4.21)
Bukti : y = sec u
dy = sec u tanu du du = f ' (x ) dx
u = f(x)
dy dy du du (terbukti) = = (sec u tan u) dx dx du dx
Jika y = f(x) = csc x maka
dy = f' (x) = - csc x cotx dx
(4.22)
Bukti : y = csc x =
1 sin x
u=1 v = sin x du dv =0 = cos x dx dx du dv .v - u. dy dx = (0)(sin x) - (1)(cos x) = - cos x = - csc x cotx (terbukti) = dx 2 dx sin2 x v (sin x)2 Jika y = csc u maka
dy du = (- csc u cotu) dx dx
(4.23)
Bukti : y = csc u u = f(x)
dy = - csc u cotu du du = f ' (x ) dx
dy dy du du (terbukti) = = (- csc u cot u) dx dx du dx
Contoh 4.15 1 dy Jika y = csc(p - x) , tentukan 3 dx Penyelesaian : 1 Misal u = p-x y= csc u 3 dy du 1 = -1 = - csc u cotu dx du 3 dy dy du 1 1 1 = = (- csc u cotu)(-1) = csc u cotu = csc(p - x) cot(p - x) 3 3 3 dx du dx Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! PR : 2, 5, 6 & 9 p x p 1. f(x) = sin( - ) 6. f(x) = csc 4 ( - x) 2 3 3
100
2. f(x) = cos (
p x - ) 2 3
1 sin 2t cos pt 2 sin(aw - p) 8. h(w) = cos(p - bw)
7. g(t) =
3. g(x) = tan3x 4. h(x) = cot3x
at 2 - sin 2t cos(b - t)
9. v(t) =
5. w(x) = sec 5 (
x p - ) 2 3
10. g(t) = sin t
cos2t sin 3t
4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers dy = f ' (x ) = dx
Jika y = f(x) = arcsin x maka
1
(4.24)
1 - x2
Bukti : y = arcsinx
®
sin y = x ® cos y
dy dx = =1 dx dx
®
dy 1 = dx cos y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !
sin y = x 1 - x2
cos y = dy = dx
1 1 - x2
1
(terbukti)
x
y 1 - x2
Jika y = arcsin u dan u = f(x)
maka
Bukti : y = arcsin u
®
dy dy du = = . dx du dx
dy = du
1 2
1-u
1 1 - u2
du (terbukti) dx
Contoh 4.16 Jika y =
dy 3 1 arcsin( - x) , tentukan 8 3 dx
Penyelesaian : Misal u = -
1 x 3
y=
3 arcsin u 8
101
dy = dx
1 2
1-u
du dx
(4.25)
dy 3 1 = du 8 1 - u2
du 1 =dx 3
dy dy du 3 1 = = dx du dx 8 1 - u2
é 1ù ê- 3 ú = ë û
Jika y = f(x) = arccos x maka
1 8 1-
1 2 x 9
dy 1 = f' (x) = dx 1 - x2
(4.26)
Bukti : y = arccosx
®
cos y = x ® - sin y
dy dx = =1 ® dx dx
dy 1 =dx sin y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cos y = x sin y =
1 - x2 1
dy =(terbukti) dx 1 - x2
1
1 - x2
y x
Jika y = arccos u dan u = f(x)
maka
dy 1 du =2 dx dx 1-u
Bukti : dy 1 =du 1 - u2 dy dy du 1 du (terbukti) = =. 2 dx dx du dx 1-u
y = arccos u ®
Contoh 4.17 Jika y = -3 arccos 2x , tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal u = 2x
y = -3 arccos u dy 1 =3 du 1 - u2 dy dy du 1 6 = =3 (2) = 2 dx du dx 1-u 1 - 4x2 du =2 dx
102
(4.27)
dy 1 = f ' (x) = dx 1 + x2
Jika y = f(x) = arctan x maka
(4.28)
Bukti : y = arctanx
®
tan y = x ® sec2y
dy dx = =1® dx dx
dy 1 = dx sec2 y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! tan y = x sec2 y =
1 - x2 1 + x2
dy = dx
1 1 - x2
x
(terbukti) y 1
Jika y = arctan u dan u = f(x)
maka
dy 1 du = dx 1 + u2 dx
(4.29)
dy 1 = du 1 + u2 dy dy du 1 du (terbukti) = . = dx du dx 1 + u2 dx
y = arctan u ®
Bukti :
Contoh 4.18 Jika y =
dy 3 1 arctan x , tentukan 5 3 dx
Penyelesaian : Misal u =
1 x 3
du 1 = dx 3
y=
3 arctan u 5
dy 3 1 = du 5 1 + u2
dy dy du 3 1 é 1 ù 1 = = = 1 dx du dx 5 1 + u2 êë 3 úû 5(1 + x2 ) 9
Jika y = f(x) = arccot x maka Bukti :
y = arccotx
®
dy 1 = f' (x) = dx 1 + x2
cot y = x ® -csc2y
dy dx = =1 ® dx dx
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cot y = x csc2 y = 1 + x2 1 + x2
103
1
(4.30) dy 1 =dx csc2 y
dy 1 (terbukti) =dx 1 + x2
y x
dy 1 du =dx 1 + u2 dx
Jika y = arccot u dan u = f(x) maka Bukti :
(4.31)
dy 1 =du 1 + u2 dy dy du 1 du (terbukti) = . =dx du dx 1 + u2 dx
y = arccot u
®
Contoh 4.19 Jika y = 2 arccot 3x, tentukan Penyelesaian : Misal u = 3x du =3 dx
dy dx
y = 2 arccot u dy 1 = -2 du 1 + u2
dy dy du 1 6 = = -2 (3) = 2 dx du dx 1+u 1 + 9x2
Jika y = f(x) = arcsec x maka
dy 1 = f' (x) = dx x x2 - 1
Bukti : y = arcsecx ® sec y = x ® secy tany
(4.32)
dy 1 dy dx == =1 ® dx sec y tan y dx dx
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! sec y = x sec y tan y = x x2 - 1 x2 - 1
x dy 1 =(terbukti) dx x x2 - 1
y 1
Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka Bukti :
dy 1 du = dx u u2 - 1 dx
dy 1 = du u u2 - 1 dy dy du 1 du (terbukti) = . = dx du dx u u2 - 1 dx
y = arcsec u ®
104
(4.33)
Contoh 4.20 dy dx
p 2
Jika y = arcsec ( - x) , tentukan Penyelesaian : Misal u =
p -x 2
du = -1 dx
y = arcsec u dy 1 = du u u2 - 1
dy dy du 1 1 = = (-1) = dx du dx u u2 - 1 p p ( - x) ( - x)2 - 1 2 2
dy 1 = f' (x) = dx x x2 - 1
Jika y = f(x) = arccsc x maka
(4.34)
Bukti : y = arccscx ® csc y = x ® -csc y cot y
dy 1 dy dx == =1 ® dx csc y cot y dx dx
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! csc y = x csc y cot y = x x2 - 1 x dy 1 =(terbukti) dx x x2 - 1
1
y x2 - 1
Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka Bukti :
dy 1 du =2 dx dx u u -1
dy 1 =du u u2 - 1 dy dy du 1 du (terbukti) = . =dx du dx u u2 - 1 dx
y = arccsc u ®
Contoh 4.21 p 2
Jika y = arccsc (x - ) , tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal u = x du =1 dx
p 2
y = arccsc u dy 1 =du u u2 - 1
105
(4.35)
dy dy du 1 1 = =(1) = 2 dx du dx p p u u -1 (x - ) (x - )2 - 1 2 2
Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut ! cos 2x arccos x
1. y = arcsin(p-x)
3. y =
2. y = -3 arccos 4x
4. y = arctan x – sin 3x
4.8 Turunan fungsi Eksponen Jika y = f(x) = e
x
maka
x dy = f' (x) = e dx
(4.36)
Bukti : x
e didefinisikan sebagai
xù é lim ê1 + ú n û n®¥ë
n
Dengan menggunakan teorema binomial didapat : xù é ê1 + n ú ë û xù é ê1 + n ú ë û
n
n
0 1 2 3 1n é x ù n.1n - 1 é x ù n(n - 1).1n - 2 é x ù n(n - 1)(n - 2).1n - 3 é x ù + + + +L ê ú ê ú ê ú ê ú 0! ë n û 1! 2! 3! ën û ën û ën û
=
=1 + x +
xù é lim ê1 + ú n û n®¥ë x
e = 1+ x +
n
(1 - 1 / n) 2 (1 - 1 / n)(1 - 2 / n) 3 x + x +L 2! 3! é
= lim ê1 + x + n®¥ë
2
x x3 + +L 2! 3
Sehingga : e = 1 + 1 + Jika y = f(x) = e Maka
(1 - 1 / n) 2 (1 - 1 / n)(1 - 2 / n) 3 ù x + x + Lú 2! 3! û
x
(4.37)
12 13 1 1 + +L = 1+1+ + +L 2! 3 2! 3!
(4.38)
dy f(x + Dx) - f(x) e x + Dx - e x ex (e Dx - 1) = f' (x) = lim = lim = lim dx Dx Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0 x
Karena e = 1 + x + Sehingga
Jika y = e
x2 x3 Dx + + L , maka e 2! 3
ex (eDx - 1) = lim ex Dx Dx ® 0 Dx ® 0 lim
u
dan u = f(x) maka
Bukti : y = e
u
u = f(x)
– 1 = Dx +
Dx2 Dx3 + +L 2! 3
é ù Dx Dx2 ê1 + + + Lú = ex (terbukti) 2! 3 êë úû
dy du = eu dx dx
dy = eu du du = f ' (x ) dx
106
(4.39)
dy dy du du (terbukti) = = eu dx du dx dx
Contoh 4.22 Jika y = - 2ea - bx , tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal : u = a – bx du = -b dx dy = (ea - bx )(-b) = -be a - bx dx
4.9 Turunan fungsi logaritma Jika y = f(x) = ln x maka
1 dy = f ' (x) = x dx
(4.40)
Bukti : y = f(x) = ln x ln( x + Dx) - ln x f(x + Dx) - f(x) dy = lim = lim = f' (x) = lim dx Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0
Dx ù é ln ê1 + x úû ë Dx x
1 x é Dx ù 1 é Dx ù 1 D x ù Dx é lim lnê1 + = lim ln ê1 + = = = = lim ln ê1 + ú ú x Dx ® 0 D x ë x û x û x Dx ® 0 ë x úû Dx ® 0 D x ë
Berdasarkan teorema binomial maka : x D x ù Dx
é ê1 + x ú ë û
x
x
é x ù Dx - 1 é D x ù é x ù é x ù Dx - 2 é D x ù ê Dx ú1 ê x ú ê Dx ú ê Dx - 1ú1 ê x ú û ë û + ë ûë û ë û = + ë 2! 1! 0! x 1 Dx
2
+L
Jadi : x D x ù Dx
x x é ù 2 é x ù Dx - 1 é D x ù é x ù é x ù Dx - 2 é D x ù ê x ú 1 1 1 ê Dx ú ê x ú ê D x ú ê Dx ú ê x ú ê 1 Dx ú 1 ë û ë û ë û ë û ë û lim ln ê = + + + Lú x Dx ® 0 ê 0 ! 1! 2! ú ê ú êë úû
1 lim ln x Dx ® 0
é ê1 + x ú ë û
1 lim ln x Dx ® 0
é x ê D x ù Dx 1 é lim ln ê1 + 1 + = ê1 + x ú x Dx ® 0 ê ë û ê ë =
Dx ù é ê1 - x ú ë û + 2!
ù 2 Dx ù Dx ù é é ú ê1 - x ú ê1 - x ú ë ûë û + Lú ú 3! ú û
1 1 1 1 1 é ù 1 (terbukti) + + Lú = ln e = (1) = ln ê1 + 1 + x 2! 3! x x ë û x
107
dy 1 du = dx u dx
Jika y = ln u dan u = f(x) maka
(4.41)
dy 1 = du u du = f ' (x ) dx
Bukti : y = ln u u = f(x)
dy dy du 1 du (terbukti) = = dx du dx u dx
Contoh 4.23 Jika y = e
2x
ln
1 dy x tentukan 3 dx 2x
v = ln
du = 2e2x dx
dv 1 = dx x
Penyelesaian : Misal :
u=e
1 x 3
dy du dv 1 1 1 1ù é = .v + u. = 2e2x ln x + e2x = e2x ê2 ln x + ú dx dx dx 3 x 3 xû ë a
Jika y = f(x) = log x maka Bukti :
a
dy 1 = f ' (x) = dx (ln a) x
(4.42)
y
y = log x ® a = x y ln a = ln x ® y =
1 ln x ln a
dy 1 (terbukti) = dx (ln a)x
a
Jika y = log u dan u = f(x)
maka
dy 1 du = dx (ln a)u dx
Bukti : dy 1 = du (ln a)u dy dy du 1 du (terbukti) = = . . dx du dx (ln a)u dx a
y = log u ®
Contoh 4.24 Jika y = 7log(3-5x) tentukan
dy dx
du = -5 dx dy 1 du -5 = = dx (ln a) u dx (ln 7)(3 - 5x)
Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x ®
108
(4.43)
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! 1
1. y = xe 2. y =
3x
3x2 2e- 3x
3. y = x3 ln2x
4. y = 5. y = 6. y =
x2 ln 3x
x
e3 7. y = ln 4x
e 4x x(ln 4x + ex ) 2x
e
2 ln 3x 5 - 6x
8. y = 9. y =
10. y =
x ln 5x - ex ex ln x
3 5log(1 - x) e3 - 2x
x3ea - bx 3
log 4x
4.10 Turunan fungsi hiperbolik Jika y = f(x) = sinhx maka
dy = f ' (x) = coshx dx
(4.44)
Bukti : y = f(x) = sinhx =
1 x (e - e - x ) 2
dy 1 x (e + e - x ) = coshx (terbukti) = f ' (x ) = dx 2
Jika y = sinh u dan u = f(x) maka
dy du = cosh u dx dx
Bukti : dy = cosh u du dy dy du du (terbukti) = = cosh u . dx du dx dx
y = sinh u
®
Contoh 4.25 Jika y = 3 sinh
1 dy x , tentukan 5 dx
Penyelesaian : 1 x 5 du 1 = dx 5
Misal : u =
y = 3 sinh u dy = 3 cosh u du
109
(4.45)
dy dy du 1 3 1 = = (3 cosh u)( ) = cosh x dx du dx 5 5 3
Jika y = f(x) = coshx maka
dy = f ' (x) = sinhx dx
(4.46)
Bukti : y = f(x) = coshx =
1 x (e + e - x ) 2
dy 1 x = f ' (x ) = (e - e - x ) = sinhx (terbukti) dx 2
Jika y = cosh u dan u = f(x) maka
dy du = sinh u dx dx
(4.47)
Bukti : dy = sinh u du dy dy du du (terbukti) = = sinh u . dx du dx dx
y = cosh u
®
Contoh 4.26 Jika y = cosh (1-2x), tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal : u = 1-2x
y = cosh u
dy = sinh u du
du = -2 dx
dy dy du = = (sinh u)(-2) = -2 sinh(1 - 2 x ) dx du dx
Jika y = f(x) = tanhx maka
dy 2 = f ' (x) = sech x dx
(4.48)
Bukti : y = f(x) = tanhx =
sinh x cosh x
dy (cosh x)(cosh x) - (sinh x)(sinh x) cosh2 x - sinh2 x = = f ' (x ) = dx (cosh x)2 cosh2 x
=
1 2
cosh x
= sec h2x (terbukti)
Jika y = tanh u dan u = f(x) maka Bukti :
110
dy du 2 = sech u dx dx
(4.49)
dy = sec h2 u du dy dy du du (terbukti) = = sec h 2u . dx du dx dx
y = tanh u
®
Contoh 4.27 Jika y = tanh (a+bx), tentukan Penyelesaian : Misal : u = a+bx
dy dx
y = tanh u
du dy =b = sec h 2 u dx du dy dy du = = (sec h2 u)(b ) = b sec h2 (a + bx) dx du dx
Jika y = f(x) = cothx maka
dy 2 = f' (x) = -csch x dx
(4.50)
Bukti : y = f(x) = cothx =
cosh x sinh x
(sinh x)(sinh x) - (cosh x)(cosh x) sinh2 x - cosh2 x dy = = f ' (x ) = dx (sinh x)2 sinh2 x
=
-1 sinh2 x
= - csc h2x (terbukti)
Jika y = coth u dan u = f(x) maka
dy du 2 = - csch u dx dx
(4.51)
dy = - csc h2 u du dy dy du du (terbukti) = . = - csc h 2u dx du dx dx
Bukti : y = tanh u
®
Contoh 4.28 Jika y = coth (a+bt), tentukan Penyelesaian : Misal : u = a+bt
dy dt
y = coth u
du dy =b = - csc h 2 u dt du dy dy du = = (- csc h2 u)(b) = -b csc h2 (a + bt ) dt du dt
Jika y = f(x) = sechx maka Bukti : y = f(x) = sechx =
dy 2 = f' (x) = -csch x dx
1 cosh x 111
(4.52)
Misal u = 1
du =0 dx dv = sinh x dx
®
V = coshx
®
du dv .v - u. dy dx = (0)(cosh x) - (1)(sinh x) = - sinh x = dx 2 dx cosh2 x (cosh x)2 v
= - tanhx sechx (terbukti)
dy du = - tanhu sechu dx dx
Jika y = sech u dan u = f(x) maka
(4.53)
dy = - tanh u sec h u du dy dy du du (terbukti) = . = - tanh u sech u dx du dx dx
Bukti : y = sech u
®
Contoh 4.29 1 3
Jika y = 2sech ( -
1 dy x) , tentukan 5 dt
Penyelesaian : 1 1 y = 2 sech u - x 3 5 1 dy == - tanh u sechu 5 du dy du 1 2 1 1 1 1 = = (-2 tanh u sechu)(- ) = tanh( - x) sech( - x) du dt 5 5 3 5 3 5 dy maka (4.54) = f ' (x) = -csch x cothx dx
Misal : u = du dx dy dt
y = f(x) = cschx Bukti :
y = f(x) = sechx = Misal u = 1
1 sinh x du =0 dx dv = cosh x dx
®
V = sinhx
®
du dv .v - u. dy dx = (0)(sinh x) - (1)(cosh x) = - cosh x = dx 2 dx sinh2 x (sinh x)2 v
= - cothx cschx (terbukti)
Jika y = csch u dan u = f(x) maka
dy du = - cothu cschu dx dx
Bukti : y = csch u
®
dy = - coth u csch u du
112
(4.55)
dy dy du du (terbukti) = . = - coth u csch u dx du dx dx
Contoh 4.30 1 5
Jika y = -3csch ( +
1 dy x) , tentukan 2 dt
Penyelesaian : 1 1 + x 5 2 du 1 = dx 2 dy dy du = = (3 coth u dt du dt
Misal : u =
y = -3 csch u dy = 3 coth u cschu du 1 3 1 1 1 1 cschu)( ) = coth( + x ) sech( + x) 2 2 5 2 5 2
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! 1. y = sinh(2-3x)
6. y =
2. y = cosh(a2x – b)
7. y =
ax2 + bx + c coth(1 + 2x)
e-ax sec h 2x sec h3x 8. y = ln(4 - 5x) 1 3 9. y = x csch(x - 1) 5
3. y = x2 sinh5x 4. y = emx cosh2x
1
x
10. y = e 3 csch(a - bx)
5. y = ln(2-x) tanh3x
4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers Jika y = f(x) = sinh-1x maka
dy = f ' (x) = dx
1
(4.56)
2
x +1
Bukti : y = f(x) = sinh-1x = ln(x + x2 + 1) dy = dx
1+
x
x2 + 1 = x + x2 + 1
x2 + 1 + x x2 + 1
.
1 x + x2 + 1
Jika y = sinh-1 u dan u = f(x) maka Bukti : y = sinh-1 u ® dy dy du . = = dx du dx
dy = du
1 u2 + 1
du dx
dy = dx
1 2
u +1
(terbukti)
113
1
=
x2 + 1
1 2
u +1
du dx
(terbukti)
(4.57)
Contoh 4.31 Jika y = -3sinh-1
1 dy x , tentukan 2 dt
Penyelesaian : Misal : u =
1 x 2
y = -3 sinh-1u
dy 1 = -3 du u 2 +1 1 1 dy dy du -3 )( ) = = = ( -3 2 dt du dt 1 2 u +1 2 2 x +1 4
du 1 = dx 2
1
dy = f ' (x) = dx
Jika y = f(x) = cosh-1x maka
,
2
x>1
(4.58)
x -1
Bukti : y = f(x) = cosh-1x = ln(x + x2 - 1) dy = dx
1+
x
x2 - 1 = x + x2 - 1
x2 - 1 + x x2 - 1
.
1 x + x2 - 1
Bukti : y = cosh-1 u ® dy dy du . = = dx du dx
dy = du
1 u2 - 1
x2 - 1
1
dy = dx
Jika y = cosh-1 u dan u = f(x) maka
1
=
2
u -1
, x > 1 (terbukti)
du ,u>1 dx
(4.59)
1 2
u -1 du , u > 1 (terbukti) dx
Contoh 4.32 Jika y = cosh-1
3 dy x , tentukan 4 dx
Penyelesaian : 3 x 4 du 3 = dx 4
y = cosh-1u
Misal : u =
dy dy du = =( dt du dt
dy = du
1 u2 - 1
Jika y = f(x) = tanh-1x maka Bukti : y = f(x) = tanh-1x =
3 )( ) = 4
1 u -1
3 4
9 2 x +1 16
1 dy , = f ' (x) = dx 1 - x2
1 1+ x ln , 2 1-x
114
2
x <1
x <1
(4.60)
dy 1 2 1-x 1 = . = , dx 2 (1 - x)2 1 + x 1 - x2
x < 1 (terbukti)
Jika y = tanh-1 u dan u = f(x) maka
1 du dy , u <1 = dx 1 - u2 dx
(4.61) dy 1 = du 1 - u2 dy dy du 1 du , u < 1 (terbukti) . = = dx du dx 1 - u2 dx
Bukti : y = tanh-1 u ®
Contoh 4.33 Jika y = tanh-1(2x-1), tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal : u = 2x - 1
y = tanh-1u
dy 1 = du 1 - u2 2 dy dy du 1 = =( )(2) = 2 dx du dx 1 - (2x - 1)2 1-u
du =2 dx
Jika y = f(x) = coth-1x maka
1 dy , = f ' (x) = dx 1 - x2
1 x +1 ln , x >1 2 x -1 dy 1 -2 x -1 1 1 , = . == 2 dx 2 (x - 1)2 x + 1 x - 1 1 - x2
(4.62)
x >1
Bukti : y = f(x) = tanh-1x =
Jika y = coth-1 u dan u = f(x) maka
x > 1 (terbukti)
1 du dy , = dx 1 - u2 dx
dy 1 = du 1 - u2 dy dy du 1 du , u > 1 (terbukti) . = = dx du dx 1 - u2 dx
Bukti : y = tanh-1 u ®
Contoh 4.34 Jika y = 3 coth-1(2-3x), tentukan Penyelesaian : Misal : u = 2-3x
dy dx
y = 3 tanh-1u
dy 3 = du 1 - u2 dy dy du 3 9 = =( )( -3) = 2 dx du dx 1-u 1 - (2 - 3x)2 du = -3 dx
115
u >1
(4.63)
dy = f' (x) = dx
Jika y = f(x) = sech-1x maka Bukti : y = f(x) = sech-1x = ln dy =dx
1 x 1 - x2
,
x 1 - x2
, 0< x <1
(4.64)
1 + 1 - x2 , 0< x <1 x
0 < x < 1 (terbukti)
Jika y = sech-1 u dan u = f(x) maka Bukti : y = sech-1 u ®
1
dy =du
dy = dx
1
du , 0
(4.65)
1
u 1 - u2 dy dy du 1 du , 0 < u < 1 (terbukti) = . =dx du dx dx 1 - u2
Contoh 4.35 dy dx
Jika y = -2 sech-1(1-x), tentukan Penyelesaian : Misal : u = 1-x
y = 2 sech-1u
du = -1 dx
dy =du
dy dy du = = (dx du dx
2 2
1 x 1 + x2
(1 - x) 1 - (1 - x)2
(4.66)
1 + 1 + x2 x
(terbukti)
Jika y = csch-1 u dan u = f(x) maka Bukti : y = csch-1 u ® dy dy du = . =dx du dx
2
1 dy = f' (x) = dx x 1 + x2
Jika y = f(x) = csch-1x maka
dy =dx
u 1 - u2
)( -1) =
u 1-u
Bukti : y = f(x) = csch-1x = ln
2
dy =du
1
dy = dx
1 u 1 + u2
du 2 dx
(terbukti)
u 1+u
Contoh 4.36 116
1
du 2 dx
u 1+u
(4.67)
Jika y = csch-1(sinx), tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal : u = sinx
y = csch-1u
du = cos x dx
dy dy du = = (dx du dx
dy =du
1 2
1 u 1 + u2
)(cos x) = -
u 1+u
cos x sin x 1 + sin2 x
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 4. y = x2 coth-1x 1. y = sinh-1(cosx) -1 2. y = cosh (sin2x) 5. y = sech-1(x sinx) -2x -1 6. y = e csch-1(1-2x) 3. y = tanh (3x+p)
4.12 Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang : d3y dy d2y dan atau f’(x), f’’(x) dan f’’’(x). Sedangkan untuk turunan ke n, , 2 dx dx dx3
dimana n ³4, maka kita gunakan lambang :
dny dx
n
atau f
(n)
(x).
Contoh 4.37 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2-4)3 Penyelesaian : dy = f ' (x) = 3(x2 - 4)2 (2x) = 6x(x2 - 4)2 dx
d2y dx2 d3y dx3 d4y dx 4
= f' ' (x) = 6(x2 - 4)2 + 6x(4x)(x2 - 4) = 6(x2 - 4)2 + 24x2 (x2 - 4) = f' ' ' (x) = 24x(x2 - 4) + 48x(x2 - 4) + 48x3 = 120x3 - 288x = f(4)(x) = 360x2 - 288
Soal-soal Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi : 1. f(x) = 2x e
-x
2. f(x) = ln(a-bx)
117
3. f(x) =
x x2 + 1
4. f(x) =
x2 + 4 1-x
5. f(x) = sin2(a-bx)
2
6. f(x) = cos2 (mx+n)
4.13 Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5
y
dy f(x + Dx)
Dy
f(x)
l1
Dx = dx
f(x)
l 0
x
x+Dx
x
Gambar 4.5 é Dy ù didapat : Dy = ê ú Dx (4.68) ë Dx û Jika harga Dx sangat kecil, maka Dy menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi :
dy = f ¢(x) dx
(4.69)
Pada persamaan 4.69 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah x atau dx. Contoh 4.38 Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y Penyelesaian : f(x) = x2 - 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx Contoh 4.39
118
Volume sebuah silinder adalah V = pr2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1% dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. Penyelesaian : f(r) = pr2h f’(r) = 2prh dV = f’(r) dr = 2prh (0,01r) = 0,02 pr2h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 pr2h Soal-soal 1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut ? 2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah volume air yang menguap ? Penjelasan : Kerjakan kedua soal tersebut diatas dengan metode differensial !
4.14 Turunan fungsi implisit Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut :
1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka : d g(x) = g' (x) dx 2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka : dy d h(y) = h' (y) dx dx 3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka : d [u(x).v(y)] = u' (x).v(y) + u(x).v' (y) dy dx dx = Contoh 4.40 dy dari : x2 – 3xy +y2 = 4 Tentukan dx Penyelesaian : x2 – 3xy +y2 = 4 ® x2 – 3xy +y2 – 4 = 0 119
(4.70)
(4.71)
(4.72)
2x – 3y – 3x ( 2y – 3x )
dy dy + 2y -0=0 dx dx
dy = 3y - 2x ® dx
dy 3 y - 2 x = dx 2 y - 3x
Contoh 4.41 dy Tentukan dari : x2y + xy2 = 6 pada titik (1,2) dx Penyelesaian : x2y + xy2 = r2 ® x2y + xy2 - r2 = 0 dy dy 2xy + x2 dx + y2 + 2xy =0 dx (x2 + 2xy)
dy dy 8 dy - (2xy + y 2 ) ® = -(2xy + y2) ® = = 2 x = 1 dx dx 5 dx (x + 2xy) y =2
Soal-soal dy dari : dx x + y = sinxy xy = cos (x+y) xy y=e y = ln(xy)
1. Tentukan i) ii) iii) iv)
dy pada titik (1,0) dari : dx x+y i) 3xy2 + e =e 2 2 ii) x + y + xy = 1
2. Tentukan nilai
4.15 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk :
x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter
(4.73)
Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan rumus: dy dy / dt = dx dx / dt
(4.74)
Soal-soal Tentukan
dy dari fungsi parameter berikut : dx
120
ìïx = (t + 3)3 1. í ïîy = (t 2 - 4)2
ìx = sin(t - p) 3. í îy = cos 2t
2t ìï 2. íx = e ïîy = ln(5t - 7)
ì t2 + 1 ïx = ï t +1 4. í ï 1 - t2 ïy = t î
121
