BAB III Transportasi 1. Metode Transportasi Metode transportasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama atau sejenis ke tempat tujuan secara optimal. Distribusi ini dilakukan sedemikian rupa sehingga permintaan dari beberapa tempat tujuan dapat dipenuhi dari beberapa tempat asal yang masing-masing dapat memiliki permintaan atau kapasitas yang berbeda. Dengan menggunakan metode transportasi, dapat diperoleh suatu alokasi distribusi barang yang dapat meminimalkan total biaya transportasi. Selain untuk mengatur distribusi pengiriman barang, metode transportasi juga dapat digunakan untuk masalah lain, seperti penjadwalan dalam proses produksi agar memperoleh total waktu proses pengerjaan yang terendah, penempatan persediaan agar mendapatkan total biaya persediaan terkecil, atau pembelanjaan modal agar mendapatkan hasil investasi yang terbesar. Dalam kaitannya dengan perencanaan fasilitas, metode transportasi dapat digunakan untuk memilih suatu lokasi yang dapat meminimalkan total biaya operasi. Suatu perusahaan memerlukan pengelolaan data dan analisis kuantitatif yang akurat, cepat serta praktis dalam penggunaannya. Dalam perhitungan secara manual membutuhkan waktu yang lebih lama, sementara pertimbangan efisiensi waktu dalam perusahaan sangat diperhatikan. Dengan demikian diperlukan adanya suatu alat, teknik maupun metode yang praktis, efektif dan efisien untuk memecahkan permasalahan tersebut.
2. Permasalahan dalam Metode Transportasi Masalah ini merupakan masalah pengangkutan sejenis barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan. Pengalokasian produk dari sumber yang bertindak sebagai penyalur ke tujuan yang membutuhkan barang bertujuan agar biaya pengangkutannya seminimal mungkin dari seluruh permintaan dari tempat tujuan dipenuhi. Model transportasi
60
61
digunakan untuk menyelesaikan masalah distribusi barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan. Asumsi sumber dalam hal ini adalah tempat asal barang yang hendak dikirim, sehingga dapat berupa pabrik, gudang, grosir, dan sebagainya. Sedangkan tujuan diasumsikan sebagai tujuan pengiriman barang. Dengan demikian informasi yang harus ada dalam masalah transportasi meliputi: banyaknya daerah asal beserta kapasitas barang yang tersedia untuk masing tempat, banyaknya tempat tujuan beserta permintaan (demand) barang untuk masing-masing tempat dan jarak atau biaya angkut untuk setiap unit barang dari suatu tempat asal ke tempat tujuan. Untuk lebih jelasnya marilah kita bahas contoh masalah transportasi yang terlihat pada Tabel 1.1. berikut: Tabel 1.1 Kapasitas pabrik, Permintaan di Lapangan (Demand), dan biaya satuan pengangkutan Origin (Tempat
Kapasitas
Destination (Tempat Tujuan) D1
D2
D3
D4
Pabrik
D5
Asal) 12
4
9
5
9 100
O1 8
1
6
6
7 90
O2 1
12
4
7
7 70
O3 10
15
6
9
1 90
O4 Demand (Permin-
80
50
90
60
70
350
taan) Tabel 1.1. di atas menggambarkan bahwa jumlah kapasitas pabrik O1, O2, O3, dan O4 berturut-turut: 100, 90, 70, dan 90, sedangkan permintaan pasar di lapangan D1, D2, D3, D4, dan D5 berturut-turut 80, 50, 100, 60, dan 70. Biaya satuan dari pabrik O1 ke
62
permintaan D1 adalah 12, biaya satuan dari pabrik O1 ke permintaan D2 adalah 4, dan seterusnya, sampai biaya satuan dari pabrik O3 ke permintaan D5 adalah 1. Untuk menyelesaikan permasalahan transportasi ini ada beberapa metode antara lain: Metode North West Corner (NWC), metode Inspeksi, dan metode pendekatan Vogel (Vogel Approximation Methods atau disingkat VAM).
a. Beberapa Metode dalam Penyelesaian Masalah Transportasi (Penyelesaian awal) i.
North West Corner (NWC) Sesuai nama aturan ini, maka penempatan pertama dilakukan di sel paling kiri dan
paling atas (northwest) matriks kemudian bergerak ke kanan atau ke bawah sesuai permintaan dan kapasitas produksi yang sesuai. Besar alokasi ini akan mencukupi salah satu, kapasitas tempat asal baris pertama dan atau permukaan tempat tujuan dari kolom pertama. Jika kapasitas tempat asal pertama terpenuhi kita bergerak ke bawah menyusur kolom pertama dan menentukan alokasi yang akan mencukupi atau kapasitas tempat asal baris kedua atau mencukupi tujuan yang masih kurang dari kolom pertama. Di lain pihak, jika alokasi pertama memenuhi permintaan tempat tujuan di kolom pertama, kita bergerak ke kanan di baris pertama dan kemudian menentukan alokasi yang kedua atau yang memenuhi kapasitas tersisa dari baris satu atau memenuhi permintaan tujuan dari kolom dua dan seterusnya. Untuk masalah seperti pada Table 1.1 di atas, maka apabila diselesaikan dengan metode NWC akan melakukan langkah-langkah sebagai berikut: Penggunaan metode NWC mengharuskan sel O1 D1, yang terletak di sudut kiri atas diisi. Alokasi diterapkan X11 = 80 unit untuk memenuhi permintaan yang ternyata lebih kecil dari kapasitas O1. Ini berarti permintaan tujuan D1= 80 dapat dipenuhi dari O1. Ternyata produksi O1 masih mempunyai (100 - 80) = 20 unit kapasitas yang belum disalurkan. Sisa yang 20 unit ini di alokasikan kepada permintaan D2 yang permintaannya 50 unit. Untuk memenuhi kekurangan kebutuhan D2, yaitu kurang 30 unit maka diambil dari D2 dengan demikian maka sel O1D2 atau X12 = 20 dan sel O2D2 atau X22 = 30. Sisa produksi D2 setelah dikurangi 30 unit adalat 60 unit, sisa ini di alokasikan ke sel O2D3 atau X23 yang secara keseluruhan. Permintaan D3 adalah 90 unit dan telah tersedia 60 unit dari O2.
63
Kekurangan 30 unit diambilkan dari produksi O3 sehingga X23 = 70 dan X33 = 30. Sisa produksi O3 sebanyak 40 unit yaitu (70-30) di alokasikan ke permintaan D4 dan permintaan D4 sebanyak 60 unit dilengkapi dengan mengambil 20 unit dari produksi O4. Dengan demikian produksi O4 tersisa 70 unit dialokasikan ke permintaan D5. Tabel 2.1. Matriks biaya transportasi tiap barang dan jumlah alokasi distribusi barang dari tempat asal (pabrik) ke tempat tujuan (kota tujuan) Destination (Tempat Tujuan) Tempat Kapasitas D1 D2 D3 D4 D5 Asal Pabrik 12 O1
80
4
9
5
9 100
20 8
O2
1 30
1
6
7 90
60 12
O3
4 30
10
6
15
7
70
40 6
O4
7
9
1
20
70
90
60
70
350
Permintaan
80
50
90
Berdasarkan Tabel 2.1 di atas diperoleh sistem transportasi sebagai berikut: Sel O1D1 atau X11 = 80, sel O1D2 atau X12 = 20, sel O2D2 atau X22 = 30, sel O2D3 atau X23 = 60, sel O3D3 atau X33 = 30, sel O3D4 atau X34 = 40, sel O4D4 atau X44 = 20, dan sel O4D5 atau X45 = 70. Besarnya biaya transportasi dengan metode NWC adalah 80 (12) + 20 (4) + 30 (1) + 60 (6) + 30 (4) + 40 (7) + 20 (9) + 70 (1) = 2.080.
ii. Metode Inspeksi Metode ini untuk persoalan transportasi berdimensi kecil, hal ini akan memberikan pengurangan waktu. Alokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biaya pengangkutan terendah. Sel dengan ongkos terendah ini diisi sebanyak mungkin dengan mengingat persyaratan kapasitas produksi (origin) maupun permintaan tempat tujuan.
64
Kemudian beralih ke sel termurah berikutnya dan mengadakan alokasi dengan memperhatikan kapasitas yang tersisa dari permintaan baris dan kolom. Dalam perhitungannya metode ini membuat matriks sesuai dengan persyaratan. Untuk permasalahan transportasi di atas apabila dilakukan dengan metode Inspeksi maka langkah-langkahnya sebagai berikut: Biaya terkecil adalah 1 yaitu pada sel O2D2, O3D1, dan O4D5. Sel-sel ini kita isi dengan memperhatikan kapasitas dan permintaan, yaitu dengan mencari nilai minimum dari keduanya. Sel O2D2 kita isi 50, sehingga kapasitas O2 menjadi 40 dan permintaan D2 menjadi 0, kemudian kolom D2 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Sel O3D1 kita isi 70, sehingga kapasitas O3 menjadi 0 dan permintaan D2 menjadi 10, kemudian baris O3 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Sel O4D5 kita isi 70, sehingga kapasitas O4 menjadi 20 dan permintaan D5 menjadi 0, kemudian kolom D5 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Hasil perhitungan di atas ini dapat dilihat pada Tabel 2.2. Tabel 2.2. Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2
D3
12
4
Kapasitas
D4 9
Pabrik
D5 5
9 100
O1 8 O2
1
6
4
7
7
15
6
9
O4
1
10
0 50
20 90
70
80
0 70
70
Permin-
40 90
12
10
taan
7
50 1
O3
6
0 90
60
70
350
65
Biaya terkecil selanjutnya adalah 5 yang terletak pada sel O1D4. Sel O1D4 kita isi minimum dari kapasitas O1dan permintaan D4, sehingga kita isi dengan 60 unit. Dengan pengisian 60 unit pada sel O1D4 maka kapasitas O1 menjadi 40 dan permintaan D4 menjadi 0, kemudian kolom D4 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita hihat pada Tabel 2.3. Tabel 2.3.
Asal
D1
D2
D3
12
4
D4 9
O1
O2
1
5
9
6
6
7
12
4
7
7
0 70
10
15
6
9
O4
1
10
0 50
50
30
90
0 60
20 90
70
80
40 90
70
Permin-
40 100
50 1
taan
Pabrik
D5
60 8
O3
Kapasitas
Destination (Tempat Tujuan)
Tempat
0 70
350
Biaya terkecil selanjutnya adalah 6 yang terletak pada sel O2D3. dan sel O4D3. Sel O2D3 kita isi minimum dari sisa kapasitas O2 dan permintaan D3, sehingga kita isi dengan 40 unit. Dengan pengisian 40 unit pada sel O2D3 maka kapasitas O2 menjadi 0 dan permintaan D3 menjadi 50, kemudian baris O2 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Sel O4D3 kita isi minimum dari sisa kapasitas O4 dan sisa permintaan D3, sehingga kita isi dengan 20 unit. Dengan pengisian 20 unit pada sel O4D3 maka kapasitas O4 menjadi 0 dan permintaan D3 menjadi 30, kemudian baris 42 kita tandai dan tidak kita olah pada program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita hihat pada Tabel 2.4.
66
Tabel 2.4. Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2
D3
12
4
D4 9
O1
O2
1 50
5
9
6
6
7
40 90
12
4
7
7
0 70
70 10
15
O4
6
9
20 10
Permin-
40 100
40
1
taan
Pabrik
D5
60 8
O3
Kapasitas
80
0
20 90
70
50
50
1
30
0
90
60
70
350
Selanjutnya kekurangan dari permintaan D1 sebanyak 10 unit, dan kekurangan permintaan D2 sebanyak 30 unit di alokasikan dari sisa produksi D1 yang besarnya 40 unit. Dengan demikian maka semua permintaan maupun pemawaran telah selesai dan diperoleh Tabel 2.5 berikut. Tabel 2.5. Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2
D3
12 O1
4 30
8 O2
1
9
6
7
4
7
7
0 70
15
6
O4
9
20 10 80
40 90
70
Permin-
40 100
60
40 12
10
taan
Pabrik
D5 5
6
50 1
O3
D4 9
10
Kapasitas
0 50
0 60
20 90
70
50 30 90
1
0 70
350
67
Berdasarkan Tabel 2.5 di atas diperoleh sistem transportasi sebagai berikut: X11 = 10, X13 = 30, X14 = 60, X22 = 50, X23 = 40, X31 = 70, X43 = 20, dan X45 = 70. Besarnya biaya transportasi dengan metode Inspeksi adalah 10 (12) + 30 (9) + 60 (5) + 50 (1) + 40 (6) + 70 (1) + 20 (6) + 70 (1) = 1240. iii. Metode VAM ( Vogel Approximation Method) Metode VAM ini didasarkan atas “beda kolom” dan “beda baris” yang menentukan perbedaan antara dua ongkos termurah dalam satu kolom atau satu baris. Setiap perbedaan dapat dianggap sebagai “penalti”, karena menggunakan route termurah. Beda baris atau beda kolom berkaitan dengan penalti tertinggi, merupakan baris atau kolom yang akan diberi alokasi pertama. Alokasi pertama ini, atau menghabiskan tempat Kapasitas produksi, atau menghabiskan permintaan tujuan atau kedua-duanya. Untuk memperjelas metode ini, marilah kita mengerjakan soal yang sama dengan diatas dengan menggunakan metode VAM. Masalah transportasi ini adalah: Tabel 2.6. Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2 12
D3 4
D4 9
D5 5
Kapasitas
Beda
Pabrik
Baris
9 100
O1 8
1
6
6
7 90
O2 1
12
4
7
7 70
O3 10
15
6
9
1 90
O4 Permintaan Beda Kolom
80
50
90
60
70
350
68
Besarnya beda baris dan beda kolom adalah sebagai berikut. Tabel 2.7. Beda baris dan beda kolom. Baris atau kolom
Dua biaya termurah
Baris O1 Baris O2 Baris O3 Baris O4 Kolom D1 Kolom D2 Kolom D3 Kolom D4 Kolom D5
4 1 1 1 1 1 4 5 1
dan dan dan dan dan dan dan dan dan
Beda baris atau beda kolom 1 5 3 5 7 3 2 1 6
5 6 4 6 8 4 6 6 7
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 7 yaitu pada kolom D1, biaya termurah kolom D1 adalah 1 yaitu pada sel O3D1. Oleh karena itu sel O3D1 ini diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum kapasitas O3 dan permintaan D1 yaitu 70. Dengan mengisi sel O3D1 sebesar 70, maka kapasitas O3 menjadi 0 dan permintaan D1 menjadi 10. Dengan demikian baris O3 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.8. Tabel 2.8. Origin (Tempat Asal)
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan) D1
D2 12
D3 4
D4 9
D5 5
9
O1 8
1
6
6
O3
12
4
7
15
6
9
90
5
70
3
90
5
1
O4 Demand (Permintaan) Beda Kolom
1
7
70 10
100 7
O2 1
10 80 7
Beda Baris
50
90
60
70
3
2
1
6
350
69
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut. Tabel 2.9. Beda baris dan beda kolom Baris atau kolom
Dua biaya termurah
Baris O1 Baris O2 Baris O4 Kolom D1 Kolom D2 Kolom D3 Kolom D4 Kolom D5
Beda baris atau beda kolom 1 5 5 2 3 0 1 6
4 dan 5 1 dan 6 1 dan 6 8 dan 10 1 dan 4 6 dan 6 5 dan 6 1 dan 7
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 6 yaitu pada kolom D5, biaya termurah kolom D5 adalah 1 yaitu pada sel O4D5. Oleh karena itu sel O4D5 ini diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum kapasitas O4 dan permintaan D5 yaitu 70. Dengan mengisi sel O4D5 sebesar 70, maka kapasitas O4 menjadi 20 dan permintaan D5 menjadi 0. Dengan demikian kolom D5 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.10. Tabel 2.10. Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2 12
D3 4
D4 9
D5 5
1
6
6
Beda Kolom
5
4
7
7
0 70
10
15
6
9
1 70
20 90 350
10 2
90 12
70
80
1
1
O4 Permintaan
100 7
O2 O3
Beda Baris
9
O1 8
Kapasitas Pabrik
50
90
60
0 70
3
0
1
6
5
70
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut. Tabel 2.11. Beda baris dan beda kolom Baris atau kolom
Dua biaya termurah
Baris O1 Baris O2 Baris O4 Kolom D1 Kolom D2 Kolom D3 Kolom D4
Beda baris atau beda kolom 1 5 3 2 3 0 1
4 dan 5 1 dan 6 6 dan 9 8 dan 10 1 dan 4 6 dan 6 5 dan 6
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 5 yaitu pada baris O2, biaya termurah kolom O2 adalah 1 yaitu pada sel O2D2. Oleh karena itu sel O2D2 ini diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum kapasitas O2 dan permintaan D2 yaitu 50. Dengan mengisi sel O2D2 sebesar 50, maka kapasitas O2 menjadi 40 dan permintaan D2 menjadi 0. Dengan demikian kolom D2 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.12. Tabel 2.12. Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2 12
D3 4
D4 9
D5 5
9
O1 8 O2 O3
1
6
6
Permintaan Beda Kolom
7
50
80 2
1
40 90
5
12
4
7
7
0 70
10
15
6
9
1 70
20 90 350
70
10
100
1
O4 0 50
Beda Baris
90
60
0 70
0
1
6
3
71
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut. Tabel 2.13. Beda baris dan beda kolom. Baris atau kolom
Beda baris atau beda kolom 4 0 3 2 0 1
Dua biaya termurah
Baris O1 Baris O2 Baris O4 Kolom D1 Kolom D3 Kolom D4
4 dan 9 6 dan 6 6 dan 9 8 dan 10 6 dan 6 5 dan 6
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada baris O1, biaya termurah baris O1 adalah 5 yaitu pada sel O1D4. Oleh karena itu sel O1D4 ini diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum sisa kapasitas O1 dan permintaan D4 yaitu 60. Dengan mengisi sel O1D4 sebesar 60, maka kapasitas O1 menjadi 40 dan permintaan D4 menjadi 0. Dengan demikian baris O4 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.14. Tabel 2.14.
D1
D2 12
D3 4
D4 9
O1 O2
5
1
6
Beda Kolom
9
6
7
50 1
12
4
7
7
10
15
6
9
1 70
10 80 2
0 50
0 90
60 0
1
0 70
Beda Baris
40 100
4
40 90
0
0 70
70
O4 Permintaan
D5
60 8
O3
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
20 90
3 350
72
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut. Tabel 2.15. Beda baris dan beda kolom. Baris atau kolom
Dua biaya termurah
Baris O1 Baris O2 Baris O4 Kolom D1 Kolom D3
Beda baris atau beda kolom 3 2 4 2 0
9 dan 12 6 dan 8 6 dan 10 8 dan 10 6 dan 6
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada baris O4, biaya termurah baris O4 adalah 6 yaitu pada sel O4D3. Oleh karena itu sel O4D3 ini diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum sisa kapasitas O4 dan permintaan D3 yaitu 20. Dengan mengisi sel O4D3 sebesar 20, maka kapasitas O4 menjadi 0 dan permintaan D2 menjadi 80. Dengan demikian baris O4 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.16. Tabel 2.16. Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2 12
D3 4
D4 9
O1 O2
1
Beda Kolom
9
6
6
7
50
2
40 100
3
40 90
2
4
7
7
0 70
10
15
6
9
1 70
20 0 90
0 70
350
20 80
Beda Baris
12
70
10
Kapasitas Pabrik
1
O4 Permintaan
5 60
8
O3
D5
0 50
70 90 0
0 60 1
4
73
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut. Tabel 2.17. Beda baris dan beda kolom. Baris atau kolom
Beda baris atau beda kolom 3 2 4 3
Dua biaya termurah
Baris O1 Baris O2 Kolom D1 Kolom D3
9 dan 12 6 dan 8 8 dan 12 6 dan 9
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada kolom D1, biaya termurah kolom O1 adalah 8 yaitu pada sel O2D1. Oleh karena itu sel O2D1 ini diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum sisa kapasitas O2 dan permintaan D1 yaitu 10. Dengan mengisi sel O2D1 sebesar 10, maka kapasitas O2 menjadi 30 dan permintaan D1 menjadi 0. Dengan demikian baris D1 kita tandai dan tidak dimasukkan dalam program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita lihat pada Tabel 2.18. Tabel 2.18.
D1
D2 12
D3 4
O1
O3
Beda Kolom
9
10
50
D5 5
9
60
1
6
6
7
30
80 4
40 30 90
2
4
7
7
0 70
10
15
6
9
1
20 0
20 10
3
12
70
0
0 50
70 90
70 0 60
0 70
Beda Baris
40 0 100
1
O4 Permintaan
D4
40 8
O2
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
Tempat Asal
90 350
3
Terakhir kekurangan kebutuhan D3 dicukupi oleh sisa dari O1 sebanyak 40 dan sisa O2 sebanyak 30. Dengan demikian kita peroleh sistem transportasi sebagai berikut: X13 = 40,
74
X14 = 60, X21 = 10, X22 = 50, X23 = 30, X31 = 70, X43 = 20, dan X45 = 70. Besarnya biaya transportasi dengan metode VAM adalah 40 (9) + 60 (5) + 10 (8) + 50 (1) + 30 (6) + 70 (1) + 20 (6) + 70 (1) = 1230. b. Menentukan Nilai Optimal Dari ketiga metode tersebut di atas dapat kita lihat bahwa metode yang paling sederhana adalah metode NWC, tetapi hasil dari metode ini umumnya kurang memuaskan. Sedangkan dengan metode VAM hasilnya paling baik, tetapi perhitungannya cukup rumit. Metode Inspeksi secara perhitungan sederhana, tetapi hasilnya mendekati dengan matode VAM. Jika kita diberi pertanyaan, metode mana yang akan dipakai untuk menyelesaikan masalah transportasi?. Maka jawabnya tergantung banyaknya sumber (banyaknya tempat produksi), banyaknya tempat tujuan serta waktu yang disediakan untuk memutuskan. Bilamana diberi waktu yang cukup, maka akan digunakan metode VAM, tetapi apabila waktu untuk memutuskan sempit maka metode Inspeksi sudah cukup baik. Masalah yang perlu ditanyakan lagi ialah apakah dengan metode Inspeksi atau VAM telah mencapai biaya optimum?. Untuk menjawab pertanyaan ini, ada dua metode untuk mengetahui apakah sudah optimum atau belum, untuk mengetahui optimalitas model transportasi digunakan metode Steppingstone atau metode Modi. i.
Metode Steppingstone
Metode Steppingstone bekerja dengan mempertimbangkan ”opportinity cost” dari sel kosong, yaitu berkurangnya biaya akibat pemindahan model pengangkutan bilamana sel kosong itu diisi satu barang. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut: Tabel 2.19. Menghitung opportunity cost sel kosong Destination ( Tujuan)
Tempat Asal
D1
D2 10
O1
60
5 10
6 O2 Permintaan
60
7 30
4 50 60
Kapasitas
D3
100 9 50
30
75
Dari Tabel 2.19 di atas, sel kosong adalah sel O2D1 dan sel O2D3, dengan biaya transportasi = 60 (10) + 10 (5) + 30 (7) + 50 (4) = 1.060 Untuk sel O2D1. Tabel 2.19.a. D1 O1 O2
D2 10
-1
5 +1
6 +1
4 -1
Andaikan sel O2D1 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O1D1 dan sel O2D2 dikurangi satu dan sel O1D2 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D1 → O1D1 → O1D2 → O2D2. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan biaya adalah = 6 - 10 + 5 – 4 = -3. Jadi opportunity cost sel O2D1 adalah 3. Ini artinya bahwa apabila kita mengisi sel O2D1 satu barang, maka terjadi pengurangan biaya sebesar 3. Untuk sel O2D3. Andaikan sel O2D3 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O2D2 dan sel O1D3 dikurangi satu dan sel O2D1 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D3 → O2D2 → O1D2 → O1D3. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan biaya adalah = 9 - 4 + 5 – 7 = 3. Jadi opportunity cost sel O2D3 adalah -3. Ini artinya bila kita mengisi sel O2D3 satu barang, maka terjadi penambahan biaya sebesar 3. Dari perhitungan di atas, maka sel O2D1 harus diisi sebanyak mungkin, sedangkan sel O2D3 tidak perlu diisi sebab apabila diisi akan menambah biaya (merugi). Banyaknya barang yang dapat diisikan pada sel O2D1 adalah minimum isi sel yang terkurangi yaitu O1D1 dan O2D2, jadi sel O2D1 dapat diisi sebesar 50, sehingga terbentuk Tabel 2.19.b.
76
Tabel 2.19.b. Tempat Asal O1 O2 Permintaan
Destination (Tujuan) D1
D2 10
10
D3 5
60 6
50 60
Kapasitas
7 30
4 60
9
100 50
30
Dari Tabel 2.19.b di atas, sel kosong adalah sel O2D2 dan sel O2D3. Untuk sel O2D2. Andaikan sel O2D2 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O2D1 dan sel O1D2 dikurangi satu dan sel O1D1 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D2 → O2D1 → O1D1 → O1D2. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan biaya adalah = 4 - 6 + 10 – 5 = 3. Jadi opportunity cost sel O2D1 adalah -3. Ini artinya bila kita mengisi sel O2D2 satu barang, maka terjadi penambahan biaya sebesar 3. Untuk sel O2D3. Andaikan sel O2D3 ini diisi satu barang, maka supaya kondisi seimbang sel O2D1 dan sel O1D3 dikurangi satu dan sel O1D1 ditambah satu. Sekarang perhatikan loop O2D3 → O2D1 → O1D1 → O1D3. Berturut-turut tambah 1, kurang 1, tambah 1, kurang 1. Perubahan biaya adalah = 9 - 6 + 10 – 7 = 6. Jadi opportunity cost sel O2D3 adalah -6. Ini artinya bila kita mengisi sel O2D3 satu barang, maka terjadi penambahan biaya sebesar 6. Dari perhitungan ini, semua opportunity cost sel kosong adalah negatif, maka Tabel 2.19.b. di atas telah optimal, dengan biaya transportasi = 10 (10) + 60 (5) + 30 (7) + 50 (6) = 910. Ini cocok bila kita hitung dari 1060 – 910 = 150, berasal dari pemindahan 50 satuan barang dengan opportunity cost 3. Untuk kasus di atas, kita dapat bekerja mulai hasil dari NWC, Inspeksi, atau VAM. Apabila kita mulai dari NWC, langkah pada metode NWC nya mudah, tetapi akan menjadi sukar pekerjaan di Steppingstone, apabila kita mulai dari VAM, maka akan sukar pada langkah di VAM nya, tetapi mudah pada langkah Steppingstone. Langkah yang cukup bijaksana
77
(meskipu tidak harus), adalah langkah awalnya dengan metode Inspeksi, sebab metode Inspeksi perhitungannya mudah dan hasilnya sudah dekat dengan langkah pada VAM. Dari langkah awal metode Inspeksi diperoleh hasil seperti Tabel 2.19.c. Tabel 2.19.c Tempat Asal
D1
D2 12
O1
D3 4 30
O2
1 50
D5 5
9
60 6
100 6
7
40
90
1
12
4
7
7
10
15
6
9
1
70
70
O4 Permintaan
D4 9
10 8
O3
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
20 80
50
90
60
70
90
70
350
Dari Tabel 2.19.c di atas kita buat tabel opportunity cost sel kosong seperti pada Tabel 2.19.d berikut: Tabel 2.19.d. Hasil perhitungan opportunity cost sel kosong No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sel kosong O1D2 O1D5 O2D1 O2D4 O2D5 O3D2 O3D3 O3D4 O3D5 O4D1 O4D2 O4D4
Loop
Perubahan biaya
O1D2→O1D3→O2D3→O2D2 O1D5→O4D5→O4D3→O1D3 O2D1→O1D1→O1D3→O2D3 O2D4→O2D3→O1D3→O1D4 O2D5→O4D5→O4D3→O2D3 O3D2→O3D1→O1D1→O1D3→O2D3→O2D2 O3D3→O3D1→O1D1→O1D3 O3D4→O3D1→O1D1→O1D4 O3D5→O4D5→O4D3→O1D3→O1D1→O3D1 O4D1→O1D1→O1D3→O4D3 O4D2→O2D2→O2D3→O4D3 O4D4→O4D3→O1D3→O1D4
4-9+6-1=0 9-1+6-9=5 8-12+9-6=-1 6-6+9-5=4 7-1+6-6=6 12-1+12-9+6-1=19 4-1+12-9=6 7-1+12-5=13 7-1+6-9+12-1=14 10-12+9-6=1 15-1+6-6=14 9+6+9-5=7
Opportunity cost 0 -5 1 -4 -6 -19 -6 -13 -14 -1 -14 -7
78
Dari tabel 2.19.d. di atas, terlihat bahwa opportunity cost terbesar adalah pada sel O2D1 sehingga sel ini harus diisi sebanyak mungkin. Sel ini diisi sebanyak minimun dari sel O1D1 dan O2D3 yaitu sebanyak 10. Sehingga Tabel 2.19.d. menjadi Tabel 2.19.e berikut: Tabel 2.19.e. Tempat Asal
D1
D2 12
D3 4
10
1 50
1
9
6
6
7
4
7
7
60
100
30 12
90
70
70 10
15
6
9
20
O4 Permintaan
D5 5
40 8
O3
D4 9
O1 O2
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
80
50
90
1 70
60
70
90 350
Dari Tabel 2.19.e. di atas kita buat tabel opportunity cost semua sel kosong sehingga diperoleh Tabel 2.19.f berikut: Tabel 2.19.f. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sel kosong O1D1 O1D2 O1D5 O2D4 O2D5 O3D2 O3D3 O3D4 O3D5 O4D1 O4D2 O4D4
Loop
Perubahan biaya
O1D2→O1D3→O2D3→O2D1 O1D2→O1D3→O2D3→O2D2 O1D5→O4D5→O4D3→O1D3 O2D4→O2D3→O1D3→O1D4 O2D5→O4D5→O4D3→O2D3 O3D2→O3D1→O2D1→O2D3 O3D3→O3D1→O2D1→O2D3 O3D4→O3D1→O2D1→O2D3→O1D3→O1D4 O3D5→O4D5→O4D3→O2D3→O2D1→O3D1 O4D1→O2D1→O2D3→O4D3 O4D2→O2D2→O2D3→O4D3 O4D4→O4D3→O1D3→O1D4
12-9+6-8=1 4-9+6-1=0 9-1+6-9=5 6-6+9-5=3 7-1+6-6=6 12-1+8-1=18 4-1+8-6=5 7-1+8-6+9-5=12 7-1+6-6+8-1=13 10-8+6-6=2 15-1+6-6=14 9+6+9-5=7
Opportunity cost -1 0 -5 -3 -6 -18 -5 -12 -13 -2 -14 -7
79
Dari Tabel 2.19.f. terlihat bahwa tidak ada lagi sel kosong yang mempunyai opportunity cost positif, ini berarti bahwa Tabel 2.4.f telah optimal, dengan biaya transportasi =40 (9) + 60 (5) + 10 (8) + 50 (1) + 30 (6) + 70 (1) + 20 (6) + 70(1) = 1.230. Sebagai catatan bahwa opportunity cost sel O1D2 adalah nol, ini berarti bahwa sel ini diisi maupun tidak, tidak akan menambah atau mengurangi biaya transportasi.
ii. Modified Distribution Method (MODI) Pada penyelesaian metode Steppingstone umumnya akan mengalami kesulitan utama pada menentukan “loop”, apalagi kalau banyaknya sumber (tempat asal) atau tempat tujuan banyak. Metode Modi meniadakan loop yang banyak, dimana pada metode Modi ini setiap langkah mencari opportunity cost terbesar hanya memerlukan satu kali loop. Untuk membahas metode ini, perlu dikenalkan beberapa istilah / singkatan yang akan digunakan untuk merumuskan masalah transportasi. Misalkan banyaknya tempat asal adalah m dan banyaknya tempat tujuan n, dan misalkan Oi = tempat asal ke i, dimana i = 1, 2, ..., m. Dj = tempat tujuan ke j, dimana j = 1, 2, ..., n. Cij = besarnya biaya satuan pengiriman barang dari Oi ke Dj. Vi = bilangan baris, dimana i = 1, 2, ..., m. Uj = bilangan kolom, dimana j = 1, 2, ..., n. Kij = bilangan sel kosong. Langkah-langkah menghitung opportunity cost sel kosong. 1. Menghitung Vi dan Uj berdasarkan sel yang telah terisi sehingga dengan hubungan Cij = Vi + Uj. Dimana pertama kali kita dapat memberikan sebarang bilangan pada salah satu Vi atau Uj. 2. Menghitung Kij pada sel kosong dengan ketentuan Kij = Vi + Uj. 3. Menghitung opportunity cost sel kosong dengan ketentuan Opportunity cost = Kij – Cij. Sebagai ilistrasi perhatikan tabel berikut:
80
Tabel 2.19.f Destination ( Tujuan)
Tempat Asal
D1 10
O1
O2
D2
60
7
10
30 4
6
Bil Baris (Vi)
100
0
50
–1
D3 5
K21
Kapasitas
K23
9
50
Permintaan
60
60
30
Bil Kolom (Uj)
10
5
7
Misalkan kita ambil sebarang bilangan untuk V1 = 0, maka kita kita peroleh: U1 = C11 – V1 = 10 – 0 = 10 U2 = C12 – V1 = 5 – 0 = 5 U3 = C13 – V1 = 7 – 0 = 7 V2 = C22 – U2 = 4 – 5 = –1 K21 = V2 + U1 = (–1) + 10 = 9 K23 = V2 + U3 = (–1) + 7 = 6 Opportunity cost sel O2D1 = K21 – C21 = 9 – 6 = 3 Opportunity cost sel O2D3 = K23 – C23 = 6 – 9 = –3 Selanjutnya kita akan menghitung opportunity cost sel kosong pada masalah di atas dengan Modi. Pertama misalkan kita ambil Tabel hasil dari metode Inspeksi yaitu seperti Tabel 2.19.g berikut:
81
Tabel 2.19.g. Tempat Asal
D1
D2 12
D3 4
D4 9
10
O1
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
30 8
1
5
9
60 6
50
O2
D5
12
6
7 90
4
7
7
70
O3
70 10
15
6
9
20
O4 Perminta an Bil. Kolom
0
100
40
1
Bil Baris (Vi)
80
50
1 70
90
60
90 350
70
Misalkan kita ambil V1 = 0, maka U1 = 12, U3 = 9, U4 = 5. Dari U1 = 12, diperoleh V3 = -11, dari U3 = 9, diperoleh V2 = -3, dan V4 = -3, dari V2 = -3, diperoleh U2 = 4, dan dari V4 = -3, diperoleh U5 = 4. Selanjutnya dengan menghitung Kij = = Vi + Uj, maka kita peroleh Tabel 2.19.h. Tabel 2.19.h. Tempat Asal
D1
D2 12
O1
D4 9
10
30 1
1
D5 5
9
60 6
50
O2
100 6
7
40 12
90 4
7
7
70
70 10
O4 Perminta an Bil. Kolom
D3 4
8
O3
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan)
15
6
9
20 80 12
50 4
90 9
1 70
60 5
70 4
90 350
Bil Baris (Vi) 0 -3 -11 -3
82
Tabel 2.19.i. Hasil Perhitungan Opportunity cost sel kosong No Sel kosong Opp cost
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
O1D2 O1D5 O2D1 O2D4 O2D5 O3D2 O3D3 O3D4 O3D5 O4D1 O4D2 O4D4 0
-5
1
-4
-6
-19
-6
Dari hasil ini, bandingkan dengan Tabel 2.19.d. Perhitungan selanjutnya sama dengan metode Steppingstone.
-13
-14
-1
-14
-7
83
c. Penyelesaian Masalah Transportasi dengan Program Komputer i. Program Lindo Seperti pada penyelesaian program Linear dengan Lindo, masalah transportasi juga dapat dikerjakan dengan Lindo, yaitu dengan memandang masalah transportasi sebagai program Linear. Berikut akan dibahas masalah transportasi yang sama di atas, tetapi solusinya dengan Program Lindo. Tempat Asal
Destination (Tempat Tujuan) D1
D2 12
D3 4
D4 9
Kapasitas Pabrik
D5 5
9 100
O1 8
1
6
6
7
O2
90 1
12
4
7
7
10
15
6
9
1
O3
70
O4
90
Permintaan 80
50
90
60
70
350
Misalkan banyaknya barang pada sel Xij yaitu banyaknya barang yang dikirim dari pabrik Oi ke permintaan Dj, dan cij adalah biaya satuan pengiriman dari pabrik Oi ke permintaan Dj, maka basarnya biaya pengiriman adalah: Z = ∑ X ijcij
∑ X = per min taan D Untuk setiap i, ∑ X ij = kapasitas O i .
Dengan syarat untuk setiap j,
ij
j
, dan
Dari ketentuan ini, untuk kasus masalah transportasi ini, maka kita peroleh model. Minimumkan biaya: 12X11 + 4X12 +9 X13 + 5X14 + 9X15 + 8X21 + 1X22 + 6X23 + 6X24 + 7X25 + 1X31 + 12X32 + 4X33 + 7X34 + 7X35 + 10X41 + 15 X42 + 6X43 + 9X44 + 1X45 Dengan syarat X11 + X21 + X31 + X41 = 80 X12 + X22 + X32 + X42 = 50 X13 + X23 + X33 + X43 = 90
84
X14 + X24 + X34 + X44 = 60 X15 + X25 + X35 + X45 = 70 Dan
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 =100 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 90 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 =70 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 90 Xij ≥ 0, untuk setiap i dan j.
Dalam menyelesaikan program linear maupun masalah transportasi, indeks ditulis sejajar dengan variabelnya sehingga dalam penulisan pada Lindo sebagai berikut. MIN
12X11+4X12+9X13+5X14+9X15+8X21+1X22+6X23+6X24+7X25 +1X31+12X32+4X33+7X34+7X35+10X41+15X42+6X43+9X44+1X45
SUBJECT TO X11+X12+X13+X14+X15=100 X21+X22+X23+X24+X25=90 X31+X32+X33+X34+X35=70 X41+X42+X43+X44+X45=90 X11+X21+X31+X41=80 X12+X22+X32+X42=50 X13+X23+X33+X43=90 X14+X24+X34+X44=60 X15+X25+X35+X45=7 END
Setelah program Lindo dijalankan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut. LP OPTIMUM FOUND AT STEP
8
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X11 X12 X13 X14 X15 X21 X22 X23 X24 X25
1230.000 VALUE 0.000000 40.000000 0.000000 60.000000 0.000000 10.000000 10.000000 70.000000 0.000000 0.000000
REDUCED COST 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 6.000000
85
X31 X32 X33 X34 X35 X41 X42 X43 X44 X45
ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
70.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 20.000000 0.000000 70.000000
0.000000 18.000000 5.000000 12.000000 13.000000 2.000000 14.000000 0.000000 7.000000 0.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
DUAL PRICES 0.000000 3.000000 10.000000 3.000000 -11.000000 -4.000000 -9.000000 -5.000000 -4.000000
8
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE X11 X12 X13 X14 X15 X21 X22 X23 X24 X25 X31 X32 X33 X34 X35 X41 X42 X43 X44 X45
ROW 2
CURRENT COEF 12.000000 4.000000 9.000000 5.000000 9.000000 8.000000 1.000000 6.000000 6.000000 7.000000 1.000000 12.000000 4.000000 7.000000 7.000000 10.000000 15.000000 6.000000 9.000000 1.000000
CURRENT RHS 100.000000
OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE DECREASE INFINITY 1.000000 0.000000 4.000000 INFINITY 0.000000 4.000000 INFINITY INFINITY 5.000000 1.000000 5.000000 4.000000 0.000000 0.000000 2.000000 INFINITY 4.000000 INFINITY 6.000000 5.000000 INFINITY INFINITY 18.000000 INFINITY 5.000000 INFINITY 12.000000 INFINITY 13.000000 INFINITY 2.000000 INFINITY 14.000000 2.000000 5.000000 INFINITY 7.000000 5.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ALLOWABLE INCREASE 0.000000
ALLOWABLE DECREASE 0.000000
86
3 4 5 6 7 8 9 10
90.000000 70.000000 90.000000 80.000000 50.000000 90.000000 60.000000 70.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Tampilan yang muncul pada layar editor di atas merupakan penyelesaian suatu masalah transportasi yang dapat diartikan sebagai berikut. 1. Biaya minimum yang diperlukan untuk pengangkutan barang adalah 1.230 yang dapat dibaca dari OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
1230.000
2. Alokasi pengiriman barang dapat diketahui dari nilai value pada hasil berikut. VARIABLE X11 X12 X13 X14 X15 X21 X22 X23 X24 X25 X31 X32 X33 X34 X35 X41 X42 X43 X44 X45
VALUE 0.000000 40.000000 0.000000 60.000000 0.000000 10.000000 10.000000 70.000000 0.000000 0.000000 70.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 20.000000 0.000000 70.000000
REDUCED COST 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 6.000000 0.000000 18.000000 5.000000 12.000000 13.000000 2.000000 14.000000 0.000000 7.000000 0.000000
a. Dari O1 (tempat asal) dikirimkan ke D2 (tempat tujuan) sebanyak 40 unit, dan ke D4 sebanyak 60 unit. b. Dari O2 dikirimkan ke D1 sebanyak 10 unit, ke D2 sebanyak 10 dan dikirim ke D3 sebanyak 70
87
c. Dari O 3 dikirimkan sebanyak 70 unit ke D1. d. Dari O 4 dikirimkan sebanyak 20 unit ke D3, dan 80 unit ke D5 Reduced Cost adalah lawan dari opportunity cost, jadi apabila Reduced Cost = 4, maka opportunitu costnya = -4. Dengan demikian dari hasil di atas, tidak ada opportunity cost yang positif, jadi program optimal. Pada masalah transportasi keadaan pasar seimbang artinya jumlah permintaan akan barang sama dengan jumlah kapasitas produksi, maka dual price tidak memiliki makna khusus. Selanjutnya hasil berikut menunjukkan perubahan yang dibolehkan agar sistem transportasi tetap, dengan biaya optimal. RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE X11 X12 X13 X14 X15 X21 X22 X23 X24 X25 X31 X32 X33 X34 X35 X41 X42 X43 X44 X45
CURRENT COEF 12.000000 4.000000 9.000000 5.000000 9.000000 8.000000 1.000000 6.000000 6.000000 7.000000 1.000000 12.000000 4.000000 7.000000 7.000000 10.000000 15.000000 6.000000 9.000000 1.000000
OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE DECREASE INFINITY 1.000000 0.000000 4.000000 INFINITY 0.000000 4.000000 INFINITY INFINITY 5.000000 1.000000 5.000000 4.000000 0.000000 0.000000 2.000000 INFINITY 4.000000 INFINITY 6.000000 5.000000 INFINITY INFINITY 18.000000 INFINITY 5.000000 INFINITY 12.000000 INFINITY 13.000000 INFINITY 2.000000 INFINITY 14.000000 2.000000 5.000000 INFINITY 7.000000 5.000000 INFINITY
Misalnya c11 dapat turun sampai 11 atau naik sampai tak berhingga, c12 dapat turun sampai 0 dan tidak boleh naik, dan seterusnya.
88
Hasil terakhir yaitu ROW
CURRENT RHS
2 3 4 5 6 7 8 9 10
100.000000 90.000000 70.000000 90.000000 80.000000 50.000000 90.000000 60.000000 70.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ALLOWABLE INCREASE
ALLOWABLE DECREASE
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Menunjukkan bahwa jumlah produksi maupun jumlah permintaan adalah tetap karena memang keadaan pasar seimbang.
ii. Program Lingo untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi Lingo adalah salah satu program (software) dibawah Winston satu set bersama-sama dengan Lindo. Program Lingo lebih luas cakupannya, namun output (hasil keluaran) nya tidak selengkap program Lindo. Pada program Lingo, dapat mengolah data atau rumusan non-linear, seperti membuat grafik fungsi sinus, fungsi logarirmis, fungsi eksponen, dan lain-lain. Bentuk pemrograman Lingo juga lebih rumit sedikit, tetapi akan lebih efisien apabila digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi dengan banyak variabel. Karena pada program Lingo disediakan perintah (command) looping dengan perintah for ... loop. Sebagai contoh masalah transportasi yang sudak kita bahas di atas akan dikerjakan dengan program Lingo. Permasalahan transportasi di atas supaya lebih jelas, kita tulis lkembali tabelnya sebagai berikut.
89
Tabel Trasportasi Tempat Asal
Kapasitas Pabrik
Destination (Tempat Tujuan) D1
D2 12
D3 4
D4 9
D5 5
9 100
O1 8
1
6
6
7
O2
90 1
12
4
7
7
O3
70 10
15
6
9
1
O4 Permintaan
90 80
50
90
60
70
350
Dengan program Lingo, maka perintah untuk menyelesaikan masalah transportasi ini adalah. Model: Sets: ariable /O1, O2, O3, O4/:Asal; Permintaan/D1, D2, D3, D4, D5/ :Demand ; Links(Kapasitas,Permintaan) :Ship, Cost ; Endsets Min=@sum(Links:Ship*Cost); @for(Permintaan(j) :@sum(Kapasitas(i) :Ship(i,j))>Demand(j)) ; @for(Kapasitas(i) :@sum(Permintaan(j) :Ship(i,j))
Dari program di atas nampak bahwa, program Lingo ini sangat baik untuk masalah transportasi khususnya untuk banyak ariable, karena dengan Lingo, kita tidak usah mendefinisikan nama ariable. Perhatikan bahwa bentuk program Lingo untuk menyelesaikan masalah transportasi ini. Bentuk program sudah baku dan tidak perlu mengganti variabel/ menambah variabel. Perubahan program hanya mengubah banyaknya Kapasitas, Permintaan, dan perubahan pada data saja.
90
Setelah program dijalankan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut. Rows = 10 Vars = 20 No. integer vars = 0 ( all are linear) Nonzeros= 69 Constraint nonz= 40( 40 are +- 1) Density=0.329 Smallest and largest elements in absolute value = 1.00000 100.000 No. < : 4 No. =: 0 No. > : 5, Obj=MIN, GUBs <= 5 Single cols= 0 Optimal solution found at step: 15 Objective value: 1230.000 Variable ASAL( O1) ASAL( O2) ASAL( O3) ASAL( O4) DEMAND( D1) DEMAND( D2) DEMAND( D3) DEMAND( D4) DEMAND( D5) SHIP( O1, D1) SHIP( O1, D2) SHIP( O1, D3) SHIP( O1, D4) SHIP( O1, D5) SHIP( O2, D1) SHIP( O2, D2) SHIP( O2, D3) SHIP( O2, D4) SHIP( O2, D5) SHIP( O3, D1) SHIP( O3, D2) SHIP( O3, D3) SHIP( O3, D4) SHIP( O3, D5) SHIP( O4, D1) SHIP( O4, D2) SHIP( O4, D3) SHIP( O4, D4) SHIP( O4, D5) COST( O1, D1) COST( O1, D2) COST( O1, D3) COST( O1, D4) COST( O1, D5) COST( O2, D1) COST( O2, D2) COST( O2, D3) COST( O2, D4) COST( O2, D5) COST( O3, D1) COST( O3, D2) COST( O3, D3) COST( O3, D4) COST( O3, D5) COST( O4, D1) COST( O4, D2) COST( O4, D3) COST( O4, D4) COST( O4, D5)
Value 100.0000 90.00000 70.00000 90.00000 80.00000 50.00000 90.00000 60.00000 70.00000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 40.00000 60.00000 0.0000000E+00 10.00000 50.00000 30.00000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 70.00000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 20.00000 0.0000000E+00 70.00000 12.00000 4.000000 9.000000 5.000000 9.000000 8.000000 1.000000 6.000000 6.000000 7.000000 1.000000 12.00000 4.000000 7.000000 7.000000 10.00000 15.00000 6.000000 9.000000 1.000000
Reduced Cost 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.000000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 5.000000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 4.000000 6.000000 0.0000000E+00 18.00000 5.000000 12.00000 13.00000 2.000000 14.00000 0.0000000E+00 7.000000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00
91
Row
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1230.000 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00
Dual Price 1.000000 -11.00000 -4.000000 -9.000000 -5.000000 -4.000000 0.0000000E+00 3.000000 10.00000 3.000000
Makna hasil keluaran Lingo mirip dengan hasil keluaran dari Lindo, pembaca dipersilahkan mengartikan makna hasil keluaran di atas (sebagai latihan)
92
iii. Program Solver untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi Untuk menyelesaikan masalah transportasi dengan Solver, maka kita buat tabel biaya, kapasitas, dan permintaan pada lembar kerja excel seperti berikut.
Langkah awal adalah membuat Tabel biaya pengiriman, kapasitas produksi dan permintaan. Tabel ini kita copy dan diletakkan dibawahnya, dengan mengganti menjadi Tabel Benyaknya Pengiriman Barang. Nilai awal yang diberikan kepada banyaknya barang yang dikirim dari Oi ke Dj adalah 0. Sedangkan banyaknya barang yang dikirim dari Oi adalah jumlah banyaknya barang yang dikirim dari Oi ke Dj untuk suatu i. Jadi dalam hal ini sel G16 ditulis dengan formula “=SUM(B16:F16)”. Formula ini di-copy-kan ke sel G17 sampai G19. Selanjutnya banyaknya Penerimaan Barang adalah jumlah barang yang
93
diterima dari Oi ke Dj untuk suatu j. Jadi dalam hal ini sel B20 ditulis dengan formula “=SUM(B16:B19)”. Formula ini di-copy-kan ke sel C20 sampai F20. Biaya Pengiriman merupakan kelipatan yang seletak antara banyaknya barang yang dikirim dengan biaya satuan pengiriman. Oleh karena itu pada sel B22 kita tuliskan formula “ =SUMPRODUCT(B6:F9,B16:F19)”.
Menjalankan Solver Setelah persiapan pada lembar kerja Excel selesai, saatnya menjalankan Solver, yaitu Tools, Solver, maka akan keluar menu Solver.
Hasil perhitungan total biaya kita letakkan pada sel B2, dan ini tidak diubah ke sel lain oleh karena itu semua hasil kita tetapkan dengan menambahkan tanda $ pada sel tempat perumusan hasil atau sumber. Sehingga untuk sel Set Target Cell kita ini dengan $B$22. Masalah yang kita cari adalah masalah minimumkan biaya transportasi, sehingga pada Equal To kita pilih Min. Selanjutnya pada By Changing Cells meminta bagian (kelompok) sel yang merupakan variabel. Pada masalah ini adalah menentukan banyaknya barang pada sistem transportasi, oleh karena itu kita isikan B18 sampai F19 sehingga kita tulis $B$16:$F$19. Subject to the Constraints meminta syarat pembatas. Dalam masalah ini ada dua syarat pembatas yaitu pembatas permintaan (penerimaan barang) dan Kapasitas Pabrik (Banyaknya barang yang dikirim), oleh karena itu. Pembatas permintaan yaitu permintaan harus dipenuhi, jadi permintaan kurang dari atau sama dengan penerimaan barang. Sehingga $B10:$F$10 <= $B20:$F$20.
94
Pembatas kapasitas menyatakan bahwa barang yang dikirim akan kurang dari atau sama dengan kapasitas pabrik. Sehingga $G$16:$G$19 <= $G$6:$G$9. Selanjutnya dengan memilih/mengisikan keterangan berikut pada menu solver, dan dengan mengisi options asumsi linear dan non-negatif variable. maka setelah dijalankan atau meng-klik Solve akan diperoleh hasil berikut.
Hasil ini menunjukkan bahwa Biaya Pengiriman sebesar 1.230, dengan sistem pengiriman: Produksi dari O1 sebanyak 100 unit, dikirim ke D2 sebanyak 40 unit, dan ke D4 sebanyak 60 unit. Produksi dari O2 sebanyak 90 unit, dikirim ke D1 sebanyak 10 unit, ke D2 sebanyak 10 unit, dan ke D3 sebanyak 70 unit. Produksi dari O3 sebanyak 70 unit, dikirim semuanya ke D3 yaitu sebanyak 70 unit. Produksi dari O4 sebanyak 90 unit, dikirim ke D3 sebanyak 20 unit dan ke D5 sebanyak 70 unit.
95
d. Masalah Transportasi Pasar Tidak Seimbang Kenyataan di lapangan, keadaan seimbang sangatlah langka. Keadaan yang sering terjadi adalah tidak seimbang. Ini desebabkan karena sangat sukar menentukan secara tepat kebutuhan lapangan yang sebenarnya. Ketidak seimbangan ada dua macam yaitu keadaan jumlah barang yang diproduksi lebih besar daripada kebutuhan lapangan atau sebaliknya kebutuhan di lapangan yang lebih besar daripada jumlah barang yang diproduksi.
Penyelesaian Masalah Transportasi Pasar Tidak Seimbang 1. Jumlah produksi lebih besar daripada permintaan pasar Apabila jumlah produksi lebih besar daripada jumlah permintaan di pasar, maka perlu ditambah tempat permintaan dummy yaitu permintaan yang tidak sebenarnya yang besarnya sama dengan selisih antara jumlah produksi dan jumlah permintaan, dan dalam tabel transportasi diberi biaya transportasi sebesar 0. Dalam kenyataan permintaan dummy ini adalah gudang perusahaan. Sebagai contoh, perhatikan masalah transportasi berikut: PT “Cocacola” memproduksi Coco cola, Fanta, dan Sprite di empat kota di Pulau Jawa untuk memenuhi permintaan masyarakat, yaitu kota P, Q, R, dan S berturut-turut 50, 70, 30, dan 80 truk setiap hari. Untuk mempermudah pemasaran, barang-barang produksi tersebut dikirim ke lima agen besar yaitu Agen A, B, C, D, dan E berturut-turut 40, 60, 30, 45, dan 50 truk. Jarak antara pabrik dan agen terlihat pada tabel berikut: Tabel Jarak antara Pabrik dan Agen (dalam km) Kota Tujuan / Permintaan A
B
C
D
E
P
40
105
70
20
40
Q
60
80
80
20
60
R
90
30
40
25
70
S
130
100
60
25
45
96
Dalam rangka penghematan penggunaan bahan bakar minyak (BBM), perusahaan akan mengirimkan barang-barang produksi tersebut dengan biaya terkecil, yaitu dengan meminimumkan jarak tempuh armada truknya. Di lain pihak, perusahaan ini memberi pelayanan kepada masyarakat sebaik mungkin, sehingga setiap truk hanya digunakan untuk mengirim satu kali. Buatlah sistem Transportasi untuk PT Cocacola ini dan berikan komentar saudara tentang sistem produksi pada perusahaan ini?. Dari masalah di atas, apabila tabel dilengkapi dengan permintaan virtual maka akan diperoleh tabel berikut. Kota Tujuan / Permintaan A
B
C
D
E
Dummy
Produksi
P
40
105
70
20
40
0
50
Q
60
80
80
20
60
0
70
R
90
30
40
25
70
0
30
S
130
100
60
25
45
0
80
Permintaan
40
60
30
45
50
5
230
Penyelesaian masalah ini deserahkan kepada pembaca. 2. Jumlah produksi lebih kecil daripada permintaan pasar Dalam hal jumlah produksi lebih kecil daripada permintaan pasar, maka ada tempat permintaan yang tidak dikirim barang secara penuh. Dalam menyelesaikan masalah ini, dapat ditambahkan pabrik dummy yang memproduksi sebanyak selisih antara jumlah permintaan dan jumlah kapasitas produksi, pada tabel biaya transportasi, kapasitas produksi dan permintaan dilengkapi dengan pabrik virtual dengan biaya transportasi 0. Kemudian tempat permintaan yang dikirim dari pabrik dummy ini akan mengalami kekurangan barang sebanyak produksi virtual tersebut. Contoh masalah dan penyelesaiannya diserahkan kepada pembaca.
97
Penerapan Metode Transportasi Selanjutnya kita bahas masalah transportasi pada PT Aqua Golden Mississippi di Jawa Barat. Data Permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut: Tabel 2.5.a. Data Lokasi Pabrik dan Kapasitas Produksi di Jawa Barat dalam 1 Tahun No
Lokasi Pabrik
Aktivitas
Kapasitas Produksi
1
Bekasi
Produksi AQUA
250.000.000 Liter
2
Citeurep (Bogor)
Produksi AQUA
200.000.000 Liter
3
Cimelati (Sukabumi)
Produksi AQUA
200.000.000 Liter
4
Kuningan
Produksi AQUA
100.000.000 Liter
Kapasitas Produksi dalam 1
Tahun
750.000.000 Liter
Sumber: PT. Tirta Babakan Pari Cimelati (Sukabumi) Produksi AQUA
Tabel 2.5.b Data Jarak Lokasi Pabrik dengan 12 kota Daerah Pemasaran dan Demand Tujuan Pengiriman Lokasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bekasi
119
140
29
0
84
87
148
154
217
261
260
229
Citeurep (Bogor)
148
118
58
87
163
0
61
129
192
194
235
259
Cimelati (Sukabumi)
209
179
119
148
136
61
0
96
159
261
202
226
Kuningan
383
404
293
261
235
194
261
165
192
0
185
35
40
40
195
50
55
40
35
145
35
30
35
50
Pabrik
Kebutuhan Permin taan (Demand)
Keterangan : Angka pada kolom 1 sampai dengan kolom 12 adalah nama kota tujuan pengiriman: 1) Serang; 2) Pandeglang; 3) Jakarta; 4) Bekasi; Sukabumi; 8) Bandung; 9) Garut
5. Purwakarta; 6. Bogor ; 7.
; 10) Kuningan; 11) Tasikmalaya; 12) Cirebon.
98
Angka yang ada dalam kolom dibawah kolom nama kota adalah angka jarak antara pabrik dengan kota tujuan pengiriman dalam kilometer ( Km ), sedangkan biaya angkut dihitung dalam puluhan ribu rupiah (Rp 10.000,-) per satu juta liter kilometer. Jumlah kebutuhan atau permintaan dalam juta liter per tahun untuk tiap kota yang menjadi tujuan pengiriman. Setelah informasi/data di atas tersedia maka langkah selanjutnya menuliskan permasalahan yang ada ke dalam bentuk tabel biaya pengangkutan atau jarak. Pada PT.AQUA di Jawa Barat seperti terlihat pada tabel 4. untuk kapasitas produksi per tahun dan pada tabel 5. untuk jarak antara lokasi pabrik dengan kota tujuan pengiriman, sedangkan biaya dihitung dalam Rp 10.000,- per satu juta liter kilometer. Kemudian merumuskan dan menuliskannya pada papan editor dalam bentuk persamaan linear untuk fungsi tujuan, fungsi kendala, dan penyelesaian non negatif. Data pada PT.AQUA Golden Mississippi Jawa Barat seperti tercantum pada tabel 2.5.a. dan tabel 2.5.b
bentuk
penulisan pada papan editor LINDO untuk diolah sebagai berikut: MIN 119X11+140X12+29X13+84X15+87X16+148X17+154X18+217X19+261X110 +260X111+229X112+148X21+118X22+58X23+87X24+163X25+61X27+129X28 +192X29+194X210+235X211+259X212+209X31+179X32+119X33+148X34 +136X35+61X36+96X38+159X39+261X310+202X311+226X312+383X41 +404X42+293X43+261X44+235X45+194X46+261X47+165X48+192X49 +185X411+35X412 SUBJECT TO X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X110+X111+X112 = 250 X21+X22+X23+X24+X25+X26+X27+X28+X29+X210+X211+X212 = 200 X31+X32+X33+X34+X35+X36+X37+X38+X39+X310+X311+X312 = 200 X41+X42+X43+X44+X45+X46+X47+X48+X49+X410+X411+X412 = 100 X11+X21+X31+X41
=
40
X12+X22+X32+X42
=
40
X13+X23+X33+X43
=
X14+X24+X34+X44
=
50
X15+X25+X35+X45
=
55
X16+X26+X36+X46
=
40
X17+X27+X37+X47
=
35
195
99
X18+X28+X38+X48
=
X19+X29+X39+X49
=
145 35
X110+X210+X310+X410 = 30 X111+X211+X311+X411 = 35 X112+X212+X312+X412 = 50 End
Jika tidak ada kesalahan, maka proses dapat dilanjutkan untuk mencari jawaban yang optimal. Langkah untuk mencari jawaban optimal adalah dengan menggunakan Solve Solve. Kemudian secara otomatis LINDO akan membuka papan editor report. Pada kasus PT.AQUA Golden Mississippi di atas akan muncul tampilan sebagai berikut. LP OPTIMUM FOUND AT STEP
17
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X11 X12 X13 X15 X16 X17 X18 X19 X110 X111 X112 X21 X22 X23 X24 X25 X27 X28 X29 X210 X211 X212 X31 X32 X33 X34 X35 X36 X38 X39 X310
51320.00 VALUE 0.000000 0.000000 145.000000 55.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 40.000000 40.000000 50.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 30.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 145.000000 5.000000 0.000000
REDUCED COST 0.000000 51.000000 0.000000 0.000000 116.000000 144.000000 54.000000 54.000000 240.000000 54.000000 173.000000 0.000000 0.000000 0.000000 58.000000 50.000000 28.000000 0.000000 0.000000 144.000000 0.000000 174.000000 94.000000 94.000000 94.000000 152.000000 56.000000 94.000000 0.000000 0.000000 244.000000
100
X311 X312 X41 X42 X43 X44 X45 X46 X47 X48 X49 X411 X412 X14 X26 X37 X410 ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)
15.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 20.000000 50.000000 50.000000 40.000000 35.000000 30.000000
0.000000 174.000000 285.000000 336.000000 285.000000 282.000000 172.000000 244.000000 278.000000 86.000000 50.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
DUAL PRICES 29.000000 0.000000 33.000000 50.000000 -148.000000 -118.000000 -58.000000 -29.000000 -113.000000 0.000000 -33.000000 -129.000000 -192.000000 -50.000000 -235.000000 -85.000000
17
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE X11 X12 X13 X15 X16 X17 X18 X19 X110 X111 X112 X21 X22
CURRENT COEF 119.000000 140.000000 29.000000 84.000000 87.000000 148.000000 154.000000 217.000000 261.000000 260.000000 229.000000 148.000000 118.000000
OBJ COEFFICIENT RANGES ALLOWABLE ALLOWABLE INCREASE DECREASE INFINITY 0.000000 INFINITY 51.000000 0.000000 50.000000 50.000000 INFINITY INFINITY 116.000000 INFINITY 144.000000 INFINITY 54.000000 INFINITY 54.000000 INFINITY 240.000000 INFINITY 54.000000 INFINITY 173.000000 0.000000 INFINITY 51.000000 INFINITY
101
X23 X24 X25 X27 X28 X29 X210 X211 X212 X31 X32 X33 X34 X35 X36 X38 X39 X310 X311 X312 X41 X42 X43 X44 X45 X46 X47 X48 X49 X411 X412 X14 X26 X37 X410
58.000000 87.000000 163.000000 61.000000 129.000000 192.000000 194.000000 235.000000 259.000000 209.000000 179.000000 119.000000 148.000000 136.000000 61.000000 96.000000 159.000000 261.000000 202.000000 226.000000 383.000000 404.000000 293.000000 261.000000 235.000000 194.000000 261.000000 165.000000 192.000000 185.000000 35.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
ROW
CURRENT RHS 250.000000 200.000000 200.000000 100.000000 40.000000 40.000000 195.000000 50.000000 55.000000 40.000000 35.000000 145.000000 35.000000 30.000000 35.000000 50.000000
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
50.000000 INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY 0.000000 INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY 0.000000 50.000000 INFINITY 0.000000 INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY 50.000000 173.000000 58.000000 94.000000 28.000000 144.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ALLOWABLE INCREASE 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 58.000000 50.000000 28.000000 0.000000 56.000000 144.000000 0.000000 174.000000 94.000000 94.000000 94.000000 152.000000 56.000000 94.000000 INFINITY 0.000000 244.000000 50.000000 174.000000 285.000000 336.000000 285.000000 282.000000 172.000000 244.000000 278.000000 86.000000 50.000000 144.000000 INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY
ALLOWABLE DECREASE 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
102
Hasil pengolahan data tersebut di atas, dapat diartikan sebagai berikut: 1. Biaya minimum yang diperlukan untuk pengangkutan dan distribusi air mineral AQUA di Jawa Barat dalam satu tahun sebesar Rp 513.200.000,2. Alokasi pengiriman barang (air AQUA) dari lokasi pabrik sampai ke tempat tujuan pengiriman dapat digambarkan dalam Tabel 2.5.c berikut: Keterangan Tabel 2.5.c 1) Bilangan dalam kolom kanan atas adalah data jarak pabrik dengan kota tujuan pengiriman (dalam Km); 2) Angka yang dicetak merah dalam kolom adalah alokasi pengiriman ke kota tujuan selama satu tahun (dalam juta liter); 3) Biaya dalam puluhan ribu rupiah per juta liter kilometer; 4) Kapasitas pabrik dalam juta liter per tahun; 5) Kebutuhan permintaan dalam juta liter per tahun Proporsi pengiriman barang atau alokasi pengiriman barang yang diperlukan agar biaya yang ditanggung oleh PT. AQUA minimal/ efisien adalah sebagai berikut: a. Dari lokasi pabrik Bekasi di kirim ke Jakarta sebanyak 145 juta liter, untuk kota Bekasi sendiri dipenuhi oleh pabrik Bekasi sebanyak 50 juta liter dan sebanyak 55 juta liter dikirim ke kota Purwakarta. b. Dari lokasi pabrik Citeurep (Bogor) dikirim ke Serang sebanyak 40 juta liter, dikirim ke Pandeglang sebanyak 40 juta liter, dan kekurangan kebutuhan kota Jakarta sebanyak 50 juta liter dipenuhi oleh pabrik Bogor, untuk kota Bogor dipenuhi dari Bogor sendiri sebanyak 40 juta liter, dan sebanyak 30 juta liter dikirim ke Garut. c. Dari lokasi pabrik
Cimelati (Sukabumi) untuk memenuhi permintaan kota
Sukabumi sendiri sebanyak 35 juta liter, dikirim ke Bandung sebanyak 145 juta liter, dikirim ke Garut sebanyak 5 juta liter dan 15 juta liter dikirim ke Tasikmalaya. d. Dari lokasi pabrik
Kuningan untuk memenuhi kebutuhan permintaan kota
Kuningan sendiri sebanyak 30 juta liter, dikirim ke Tasikmalaya sebanyak 20 juta liter dan 50 juta liter dikirim ke Cirebon.
103
Tabel 2.5.c Hasil Akhir Perhitungan dengan LINDO dan Alokasi Pengiriman Barang
Lokasi Pabrik
Tujuan Pengiriman Serg
Pandl
Jakt
119
140
29
Bekasi
145
Citeurep
148
118
58
(Bogor)
40
40
50
Cimelati
209
179
119
Bks
Pwkt 0
50 87
84
Bgr
Skb 87
Bdg
148
163
0
61
404
293
129
40 148 261
217
Kng
Tasik
261
260
Cirb
136 235
Pabrik
229 250
61 194
192
194
235
259
30 0 35
383
154
Gart
55
(Sukabumi) Kuningan
Kapasitas
261
96 145 165
159
200 261
5 192
202
226
15 0
185
200 35
30
20
50
100
30
35
50
750
Kebutuhan Permintaan (Demand)
40
40
195
50
55
40
35
145
35
104 Penyelesaian dengan Solver seperti terlihat berikut. Tabel Awal Lokasi
Tujuan Pengiriman
Kapasitas
Serg
Pandl
Jakt
Bks
Pwkt
Bgr
Skb
Bdg
Gart
Kng
Tasik
Cirb
Pabrik
Bekasi
119
140
29
0
84
87
148
154
217
261
260
229
250
Citeurep
148
118
58
87
163
0
61
129
192
194
235
259
200
Cimelati
209
179
119
148
136
61
0
96
159
261
202
226
200
Kuningan
383
404
293
261
235
194
261
165
192
0
185
35
100
(Demand)
40
40
195
50
55
40
35
145
35
30
35
50
750
Pabrik
Penyelesaian sistem transportasi Lokasi
Tujuan Pengiriman
Dikirim
Serg
Pandl
Jakt
Bks
Pwkt
Bgr
Skb
Bdg
Gart
Kng
Tasik
Cirb
Pabrik
Bekasi
0
0
145
50
55
0
0
0
0
0
0
0
250
Citeurep
40
40
50
0
0
40
0
0
15
0
15
0
200
Cimelati
0
0
0
0
0
0
35
145
20
0
0
0
200
Kuningan
0
0
0
0
0
0
0
0
0
30
20
50
100
Diterima
40
40
195
50
55
40
35
145
35
30
35
50
750
Pabrik
Total Biaya
51320
Bandingkan hasil ini dengan penggunaan Lindo, selanjutnya perhitungan secara konvensional atau dengan program Lingo diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal-soal 1. CV “Aneka Ukir” membuat sejumlah ukiran di empat kota dan akan dikirim ke empat kota lain. Dari keempat kota pembuat itu berturut-turut membuat 18, 4, 6, dan 12 set ukiran. Permintaan ke empat kota itu berturut-turut 6, 14, 15, dan 5 set ukiran. Biaya transportasi dari kota pembuat ke kota permintaan terlihat pada Tabel 1 berikut: Tabel 1. Biaya pengiriman tiap set ukiran (dalam ribuan rupiah) Kota
Kota Tujuan / Permintaan
105 Pembuat
A
B
C
D
P
9
7
12
8
Q
15
12
12
15
R
8
6
9
12
S
14
12
11
12
Tentukan sistem pengiriman ukir agar diperoleh biaya pengiriman minimum. 2. Tabel 2 dan Tabel 3 berikut adalah hasil perhitungan suatu model transportasi. Tabel 2. Hasil perhitungan I.
Kota A
Kota B 6
Pabrik I
30
8
Kapasitas 10
40 11
Pabrik II Kebutuhan
Kota C
30
70 6
8
20
30
60
30
50
Tabel 3. Hasil perhitungan II.
Kota A
Kota B 6
Pabrik I
30
8 10
11 Pabrik II
Kebutuhan
Kota C 10 30
70
6
8
50
30
60
Kapasitas
50
30
Manakah hasil yang paling menguntungkan dari hasil perhitungan model transportasi di atas. Berikan komentar saudara tentang hasil kedua perhitungan tersebut (Tabel 2 dan Tabel 3)!
106 3. Perusahaan Karoseri Mobil “Arifin” akan membuat sejumlah mobil pengangkut untuk melayani sebuah perusahaan Travel. Mesin yang digunakan adalah mesin jenis mesin disel seri ENG450, mesin ini harus didatangkan dari perusahaan ”ANY”. Perusahaan Arifin membuat kontrak kerja dengan perusahaan pengangkutan untuk mengambil mesin dan menyimpanya bila tidak segera dipasang (diinstall). Semua mobil tersebut harus diselesaikan sampai akhir bulan keempat. Perusahaan pengangkutan itu menjadwalkan pengantaran mesin jet seperti pada Tabel 2 di bawah. Secara komulatif pada akhir bulan ke 1, 2, 3, dan 4 berturut-turut sekurangkurangnya 10, 25, 50, dan 70 buah mesin. Jumlah mesin yang didatangkan tiap bulan paling banyak terlihat pada kolom ketiga pada Tabel 2. Sedangkan biaya produksi (dalam ratusan juta rupiah) tiap mobil tiap bulannya berbeda dan terlihat pada kolom keempat. Biaya penyimpanan mesin yang tidak dipasang pada bulan yang bersangkutan 150,000 tiap bulannya, dan terlihat pada kolom paling kanan pada Tabel 2. Tabel 2. Data jadwal dan biaya produksi mobil Pemasangan
Produksi
Biaya satuan
Biaya satuan
yang dijadwalkan
maksimum
produksi
penyimpanan
1
10
25
1.08
0.015
2
15
35
1.11
0.015
3
25
30
1.10
0.015
4
20
10
1.13
Bulan ke
Manajer perusahaan ingin membuat jadwal pembuatan pesawat, agar biaya produksi dan biaya penyimpanan minimum. 4. Perusahaan mobil akan menanamkan modalnya untuk membuat tiga pabrik di kota A, B, dan C berturut-turut mempunyai kapasitas produksi 2000, 1300, dan 1600 unit setiap tahunnya. Mobil-mobil itu akan dijual di kota-kota P, Q, R, dan S dengan permintaan berturut-turut 1000, 1500, 1200, dan 700 unit tiap tahunnya. Biaya pengiriman tiap unit dari pabrik ke tempat penjualan terlihat pada Tabel 3 berikut:
107 Tabel 3. Biaya pengiriman tiap-tiap unit mobil (dalam ribuan rupiah) Pabrik pembuat-an Mobil
Kota Penjualan Mobil P
Q
R
S
A
1000
8000
1800
2000
B
400
700
900
1400
C
800
1200
900
1100
Tentukan model trasnportasi agar diperoleh biaya pengiriman mobil minimal. 5. Perusahaan Motor Nasional akan dibuat di tiga kota yaitu Kota A, Kota B dan Kota C. Hasil Produksi Motor tersebut akan disalurkan ke 4 Agen besar, yaitu Agen W, Agen X, Agen Y dan Agen X. Biaya satuan pengiriman Motor, Jumlah produksi dan Jumlah kebutuhan Agen terlihat pada tebel berikut. Tabel Biaya satuan pengiriman Motor, Jumlah produksi dan Jumlah kebutuhan Agen Agen W
Agen X
Agen Y
Agen Z
Kapasitas Produksi
Kota A
100
800
180
200
20000
Kota B
40
70
90
140
13000
Kota C
80
120
90
110
16000
10000
15000
12000
7000
Permintaan
Buatlah sistem transportasi agar biaya pengiriman Motor minimum!
108 F. Penugasan Masalah penugasan bermula dari penempatan para pekerja pada bidang yang tersedia agar biaya yang ditanggung perusahaan dapat diminimalkan. Jika pekerja dianggap sebagai sumber dan pekerjaan dianggap sebagai tujuan, maka model transportasi akan sama dengan masalah transportasi, dimana jumlah sumber dan tujuan sama, setiap sumber hanya menghasilkan satu demikian pula setiap tujuan hanya memerlukan satu. Untuk lebih mudah memahami, marilah kita perhatikan contoh berikut: Sebuah perusahaan yang berada di tiga kota yaitu Banjarmasin, Solo, dan Denpasar memerlukan tenaga ahli untuk menyelesaikan pekerjaan tertentu. Ketiga ahli itu berada di Jakarta, Surabaya, dan Ujung Pandang. Biaya ketiga orang ahli tersebut adalah seperti Tabel 2.6.a. Tabel 2.6.a.
Asal Ahli
Tujuan Banjarmasin
Solo
Denpasar
Jakarta
30
36
40
Surabaya
20
25
29
Ujung Pandang
27
24
22
Cara menentukan total biaya minimum adalah dengan mengurangkan setiap baris dengan bilangan terkecil dari baris itu sendiri, sehingga kita peroleh tabel berikut: 0
6
10
0
5
9
5
2
0
Selanjutnya dikurangi dengan bilangan terkecil menurut kolom-kolomnya, sehingga diperoleh tabel berikut: 0
4
10
0
3
9
5
0
0
109 Selanjutnya dibuat garis sesedikit mungkin menurut baris atau kolom sehingga menutup semua bilangan nol (0). Bilamana jumlah garis masih lebih kecil dari banyaknya baris atau kolom, maka belum dapat disusun tabel optimalnya. Dalam hal diatas diperlukan dua garis, sehingga harus dilakukan langkah berikutnya yaitu: Mengurangi semua bilangan yang tidak tertutup garis dengan bilangan terkecil, dan menambahkan bilangan tersebut kepada persilangan garis penutup. Pada masalah diatas, diperoleh tabel berikut: 0
1
7
0
0
6
8
0
0
Dari tabel di atas, bagaimanapun caranya mencoret bilangan nol, paling sedikit diperlukan tiga buah garis. Langkah selanjutnya memilih sel nol untuk setiap baris atau kolom. Caranya ialah ada dua yaitu menurut baris atau menurut kolom. Pilih sel yang baris/kolom yang bilangan nolnya hanya satu (paling sedikit) Buang baris dan kolom pada sel yang terpilih. Lakukan terus sampai selesai. Dari tabel diatas misalnya kita lakukan pada baris, maka sel pada baris 1 kolom 1 adalah set pertama yang dipilih, jadi baris 1 dan kolom 1 dibuang (diabaikan) 0 0 8
*
1 0 0
7 *
6 0
*
Setelah kita lakukan proses diatas, maka sel yang terpilih adalah sel (1,1), (2,2), dan (3,3). Sehingga total biaya minimal yang diperlukan adalah 30 + 25 + 22 = 77. Dimana Banjarmasin mendatangkan ahli dari Jakarta, Solo mendatangkan ahli dari Surabaya, dan Denpasar mendatangkan ahli dari Ujung Pandang.
110 Masalah penugasan ini juga dapat digunakan untuk masalah maksimum, yaitu dengan mengubah sedikit masalah maksimum ke minimum. Untuk lebih mudahnya kita ambil contoh berikut: Sebuah Perusahaan akan memberi tugas kepada tiga orang ( A, B, C) untuk menduduki jabatan tertentu (X,Y, Z). Keuntungan dari ketiga orang pada ketiga jabatan tersebut sebagai berikut: Jabatan
Pekerja
X
Y
Z
A
20
26
30
B
10
15
19
C
17
14
12
Langkah pertama adalah membuat tabel regrete, yaitu tabel karena tidak mengambil tindakan terbaik. Cara membuat adalah dengan mengurangkan setiap sel dengan bilangan terbesar tiap barisnya. Langkah ini menghasilkan tabel berikut: 10
4
0
9
4
0
0
3
5
Selanjutnya kita lakukan langkah-langkah seperti pekerjaan minimum, sehingga kita peroleh tabel berikut: 6
0
0
4
0
0
0
3
9
Penugasan optimal dicapai pada 6
0
4
0
0
*
3
0 *
0 9
*
Pekerja A pada jabatan Z, Pekerja B pada jabatan Y, Pekerja C pada jabatan X, dengan keuntungan = 30 + 15 + 17 = 62
111 Atau 6
0
4
0
0
3
9
0
*
*
Pekerja A pada jabatan Y, Pekerja B pada jabatan Z, Pekerja C pada jabatan X, dengan keuntungan = 26 + 19 + 17 = 62
0 *
Tabel Pekerja dan Jabatan Jabatan
Pekerja
X
Y
Z
A
20
26
30
B
10
15
19
C
17
14
12
Penyelesaian dengan Lindo. Dengan komputer (program Lindo) juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah penugasan ini yaitu seperti permasalahan pada transportasi. Program perhitungan dipersilahkan kepada pembaca sebagai latihan. MAX
20 AX + 26 AY + 17 CX + 14 SUBJECT TO 2) AX + 3) BX + 4) CX + 5) AX + 6) AY + 7) AZ + END
+ 30 AZ + 10 BX + 15 BY + 19 BZ CY + 12 CZ AY BY CY BX BY BZ
+ + + + + +
AZ BZ CZ CX CY CZ
= = = = = =
1 1 1 1 1 1
Hasil perhitungan dengan Lindo diperoleh sebaga berikut: LP OPTIMUM FOUND AT STEP
7
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE AX AY AZ
62.00000 VALUE 0.000000 0.000000 1.000000
REDUCED COST 9.000000 0.000000 0.000000
112 BX BY BZ CX CY CZ
ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7)
0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000
8.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 6.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
DUAL PRICES 0.000000 -11.000000 -12.000000 29.000000 26.000000 30.000000 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
62.00000
VARIABLE BX BY BZ CX CY CZ AX AY AZ
ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7)
VALUE 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
REDUCED COST 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 8.000000 14.000000 1.000000 0.000000 0.000000
DUAL PRICES 0.000000 5.000000 9.000000 21.000000 10.000000 17.000000
3
Diselesaikan dengan Solver, maka kita buat tabel dan hasilnya sebagai berikut. Seperti pada penyelesaian masalah transportasi, masalah Penugasan dikerjakan dengan memulai mengisi nilai awal = 0. sehingga tabel awalnya sebagai berikut
113
Setelah solver dijalankan dengan mengisi / memilih seperti gambar berikut.
Selanjutnya dengan memilih Solve, maka akan diperoleh hasil seperti berikut.
114
Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa Pendapatan optimun terjadi apabila A ditempatkan pada jabatan Z, B pada jabatan Y dan C pada jabatan X. Dengan pendapatan sebesar 62.
Soal-soal 1.
Suatu perusahaan memerukan 4 orang untuk 4 pekerjaan, sebut saja pekerjaan P, Q, R, dan S. Pekerjaan-pekerjaan itu akan diisi oleh 4 calon, yaitu: A1, A2, A3, dan A4. Prediksi pendapatan tiap bulan yang diperoleh apabila pekerjaan diserahkan kepada pekerja tersebut adalah seperti Tabel 3 berikut: Tabel 3. Prediksi pendapatan dari Pekerjaan Pekerjaan
Kode Pelamar A1
A2
A3
A4
P
100
120
85
100
Q
70
110
70
80
R
95
110
90
90
S
90
115
80
100
115 Gaji yang diminta tiap bulan dari pekerja tersebut adalah seperti Tabel 4 berikut: Tabel 4. Data permintaan gaji pelamar Pekerjaan
Gaji
Kode Pelamar A1
A2
A3
A4
50
60
50
45
Berikan penyelesaian tentang posisi pekerjaan para pekerja tersebut agar pendapatan perusahaan maksimum.
2.
Sebuah Kantor akan mengangkat empat Kepala SubBagian (Kasubag) dari empat orang, yaitu Keuangan, Rumah Tangga, Pelayanan Masyarakat, dan Kerja Sama. Keempat calon adalah A1, A1, A3, dan A4. Dari keempat orang tersebut mengajukan anggaran seperti terlihat pada Tabel 4 berikut: Tabel 4. Usulan dana berkenaan jabatan Jabatan
Calon Pejabat Kasubag A1
A2
A3
A4
Keuangan
100
90
90
100
Rumah Tangga
70
65
85
90
Pelayanan Masyarakat
80
70
70
90
Kerja Sama
75
65
80
95
Tentukan posisi jabatan masing-masing agar biaya pengelolaan pekerjaan minimal. Adakah posisi lain yang sama-sama menguntungkan?.
3.
Untuk melayani transportasi Anak Sekolah/Pegawai Kantor, sebuah perusahaan kereta api listrik akan membeli empat buah lokomotif yang akan ditempatkan pada tiga tempat yang menyebar dalam kota itu, yaitu tempat I, II, dan III, masing-masing sebuah lokomotif kecuali tempat III sebanyak dua buah lokomotif. Lokomotif-lokomotif itu akan melayani perjalanan dari kota asal menuju tempat tujuan di pagi hari, dan pulang di siang hari. Jarak antara tempat asal dan tempat tujuan terlihat pada Tabel 2 berikut:
116 Tabel 2. Jarak antara tempat asal dengan tempat tujuan.
Tempat Asal
Tempat tujuan A
B
C
D
I
13
35
42
9
II
6
61
18
30
III
15
10
5
9
Tentukan jaringan rel kereta api, agar total panjang rel minimum. 4.
Suatu perusahaan memerlukan 5 orang untuk 5 pekerjaan, sebut saja pekerjaan P, pekerjaan Q, pekerjaan R, pekerjaan S, dan pekerjaan T. Untuk memenuhi pekerjaan itu, perusahaan membuka lowongan kerja, dan ternyata yang melamar ada 7 orang, kemudian diberi kode: A1, A2, ..., A7. Prediksi pendapatan tiap bulan yang diperoleh apabila pekerjaan diserahkan kepada pelamar adalah seperti Tabel 2 berikut: Tabel 2. Prediksi pendapatan dari Pekerjaan Pekerjaan
Kode Pelamar A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
P
100
120
85
100
90
130
90
Q
70
110
70
80
100
120
90
R
95
110
90
90
60
140
100
S
90
115
80
100
80
150
80
T
70
100
80
75
100
120
75
Para pelamar disuruh mengajukan gaji yang diminta setiap bulannya. Hasil permintaan gaji pelamar adalah seperti Tabel 3 berikut: Tabel 3. Data permintaan gaji pelamar Pekerjaan
Gaji
Kode Pelamar A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
50
60
50
45
45
60
35
Tentukan 5 calon yang harus diterima agar keuntungan perusahaan maksimum.
