Metode Transportasi
BAB VII METODE TRANSPORTASI
Pada umumnya masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan, dengan permintaan tertentu, pada biaya transport minimum. Karena hanya ada satu macam barang, suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaanya dari satu atau lebih sumber. Asumsi dasar model ini adalah bahwa biaya transport pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan. Unit yang dikirimkan sangat tergantung pada jenis produk yang diangkut. Yang penting, satuan penawaran dan permintaan akan barang yang diangkut harus konsisten. Contoh. Sebuah perusahaan Negara berkepentingan mengangkut pupuk dari tiga pabrik ke tiga pasar. Kapasitas penawaran ketiga pabrik, permintaan pada ketiga pasar dan biaya transport perunit adalah sebagai berikut:
Pabrik Permintaan
1 2 3
1 8 15 3 150
Pasar 2 5 10 9 70
Penawaran
3 6 12 10 60
120 80 80 280
Masalah diatas diilustrasikan sebagai suatu model jaringan pada gambar sebagai berikut: Suplay S1 = 120
S2 = 80
S3 = 80
Demand
1
1
2
2
3
3
N=3 Teknik Riset Operasi- GRR
D1 = 150
D2 = 70
D3 = 60
N=3 Page 46
Metode Transportasi
Masalah diatas juga dapat dirumuskan sebagai suatu masalah LP sebagai berikut: Minimumkan: Z = 8X11 + 5X12 + 6X13 + 15X21 + 10X22 + 12X23 + 3X31 + 9X32 + 10X33 Batasan:
X11 + X12 + X13 = 120 (penawaran pabrik 1) X21 + X22 + X23 = 80 (penawaran pabrik 2) X31 + X32 + X33 = 80 (penawaran pabrik 3) X11 + X21 + X31 = 150 (permintaan pabrik 1) X12 + X22 + X32 = 70 (permintaan pabrik 2) X13 + X23 + X33 = 60 (permintaan pabrik 3)
Table Transportasi Table 1.1 (Table Transportasi) Ke Dari
1
2 8
3
Penawaran (S)
5
6
1
120 15
10
12
2
80 3
9
10
3
Permintaan (D)
80
150
70
60
280
A. Solusi Awal Transportasi 1. Metode North–West Corner
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: a. Mulai pada pojok kiri atas (barat laut table) dan alokasikan sebanyak mungkin tanpa menyimpang dari batasab penawaran dan permintaan.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 47
Metode Transportasi
b. Hilangkan baris atau kolom yang tidak dapat dialokasikan lagi, kemudian alokasikan sebanyak mungkin ke kotak didekat baris atau kolom yang tidak dihilangkan, jika kolom atau baris sudah dihabiskan, pindahkan secara diagonal kekotak berikutnya. c. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dan keperluan permintaan telah dipenuhi. Solusi awal dengan menggunakan metode north – west corner pada masalah diatas ditunjukkan oleh table 1.2. Table 1.2 (Table Solusi Awal Metode North-West Corner) Ke Dari
1 (1) 1
8
5
Penawaran (S) 6 120
15
30
3
150
(3)
10
12 80
50 3
Permintaan (D)
3
120 (2)
2
2
(4)
9
(5)
10
20
60
80
70
60
280
Dari table 1.2 diatas dapat diketahui bahwa biaya transport total adalah sebagai berikut: Z = (8 x 120) + (15 x 30) + (10 x 50) + (9 x 20) + (10 x 60) = 2690 Ingat, ini hanya solusi awal, sehingga tidal perlu optimum.
2. Metode Least-Cost Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: a. Pilih variable Xij (kotak) dengan biaya transport (cij) terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. Ini akan menghabiskan baris i atau kolom j. b. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau dihilangkan) pilih cij terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. c. Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi. Teknik Riset Operasi- GRR
Page 48
Metode Transportasi
Solusi awal dengan menggunakan metode north – west corner pada masalah diatas ditunjukkan oleh table 1.3.
Table 1.3 (Tabel Solusi Awal Metode Least-Cost) Ke Dari
1
2 8
(2)
3 5
1
2
15
6 120
50
70 (5)
(3)
Penawaran (S)
10
(4)
12
10
80
70 (1)
3
80
Permintaan (D)
150
3
9
10 80
70
60
280
Dari table 1.3 diatas dapat diketahui bahwa biaya transport total adalah sebagai berikut: Z = (3 x 80) + (5 x 70) + (6 x 50) + (12 x 10) + (15 x 70) = 2060
3. Metode Aproksimasi Vogel (VAM) Proses VAM dapat diringkas sebagai berikut: a.
Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost untuk setiap baris ke-i dihitung dengan mengurangkan nilai cij terkecil pada baris tersebut dengan nilai cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama. Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang sama. Biaya-biaya ini adalah pinalti karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum.
b. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar, pilih secara sembarang. Alokasikan sebanyak mungkin kekotak dengan nilai cij minimum pada baris atau kolom yang dipilih. c. Hilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan. d. Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali kelangkah pertama dan hitung kembali opportunity cost yang baru. Teknik Riset Operasi- GRR
Page 49
Metode Transportasi
Solusi awal dengan menggunakan metode VAM pada masalah diatas ditunjukkan oleh table 1.4. Table 1.4 (Table Solusi Awal Metode VAM) Ke
Penawaran
Dari
1 (2) 1
2 8
3 (3)
5
70 (4)
2
(5)
10
70
3
6
50 15
(1)
(S)
3
120
1
1 1
80
2
2 2
80
6
‐
12
10 9
Penalty cost baris
10
80
‐
Permintaan (D) Penalty cost kolom
150 5
7 ‐
Teknik Riset Operasi- GRR
70 4
5 5
60 4
280
6 ‐
Page 50
Metode Transportasi
Biaya transport model VAM adalah sebagai berikut: Z = (3 x 80) + (8 x 70) + (6 x 50) + (10 x 70) + (12 x 10) = 1920 Biaya total untuk solusi awal dengan metode VAM merupakan biaya awal terkecil yang diperoleh dari ketiga metode solusi awal. Kenyataannya, solusi ini juga optimum, suatu keadaan yang akan ditunjukan pada pembahasan mencari solusi optimum.
B. Menentukan Solusi Optimum 1. Metode Stepping Stone Beberapa hal penting yang perlu diperhatikan dalam penyusunan jalur stepping stone untuk mencari variable masuk. a. Arah yang diambil boleh searah atau berlawanan arah jarum jam. b. Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong. c. Jalur harus mengikuti kotak terisi, kecuali pada kotak kosong yang sedang dievaluasi. d. Baik kotak terisi maupun kotak kosong dapat dilewati dalam penyusunan jalur tertutup. e. Suatu jalur dapat melintasi dirinya. f. Sebuah penambahan dan pengurangan yang sama besar harus kelihatan pada setiap baris dan kolom pada jalur itu. •
Penambahan atau pengurangan biaya dari jalur tertutup X12: C12 = 5 – 10 + 15 – 8 = +2
•
Penambahan atau pengurangan biaya dari jalur tertutup X13: C13 = 6 – 10 + 9 – 10 + 15 - 8 = +2
•
Penambahan atau pengurangan biaya dari jalur tertutup X23: C23 = 12 – 10 + 9 – 10 = +1
•
Penambahan atau pengurangan biaya dari jalur tertutup X31: C31 = 3 – 15 + 10 – 9 = -11
Analisis diatas menunjukan bahwa C31 memiliki perubahan biaya negative, sehingga X31 menjadi variable masuk. Jika terdapat dua atau lebih Xij dengan nilai Cij negative, Teknik Riset Operasi- GRR
Page 51
Metode Transportasi
maka pilih satu yang memiliki perubahan penurunan biaya terbesar (negative terbesar), dan jika terdapat nilai kembar, pilih sembarang.
Table 1.5 (Tabel Solusi Optimum Metode Stepping Stone – Jalur Tertutup X13) Ke Dari
1 -1 1
8
5
+1
Penawaran (S) 6 120
15
30
-1
10
12
50 3
3
Permintaan (D)
3
120 +1
2
2
150
+1
80 9
-1
10
20
60
80
70
60
280
Table 1.6 (Tabel Solusi Optimum Metode Stepping Stone – Jalur Tertutup X23) Ke Dari
1
2 8
1
30
3
Teknik Riset Operasi- GRR
6 120
150
-1
10
+1
12
50 3
Permintaan (D)
5
Penawaran (S)
120 15
2
3
+1
80 9
-1
10
20
60
80
70
60
280
Page 52
Metode Transportasi
Table 1.7 (Tabel Solusi Optimum Metode Stepping Stone – Jalur Tertutup X31) Ke Dari
1
2 8
1
3 5
Penawaran (S) 6
120 -1
2
120 15
30 +1
10
12
50 3
3
Permintaan (D)
+1
150
-1
80 9
10
20
60
80
70
60
280
Jumlah yang dialokasikan kedalam variable masuk dibatasi oleh permintaan dan penawaran, serta dibatasi pada jumlah minimum pada suatu kotak yang dikurangi pada jalur tertutup. Dari contoh diatas dapat diketahui bahwa variable X31 merupakan variable masuk, maka: X31 minimum = (X21, X32) = min (30, 20) = 20, sehingga table transportasi menjadi: Table 1.8 (Tabel Solusi Optimum Metode Stepping Stone – Alokasi Variable Masuk X31) Ke Dari
1
2 8
1
5
Penawaran (S) 6
120 -20
2
3
120 15
+20 10
30 – 20 = 10
50 + 20 = 70
+20
-20
3
12 80
9
10
3
0 + 20 = 20
20 – 20 = 0
60
80
Permintaan (D)
150
70
60
280
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 53
Metode Transportasi
Solusi optimum dicapai disaat tidak ada calon variable masuk bernilai negative, dengan kata lain Cij bernilai positif. Solusi optimum dicapai melalui tiga iterasi: Table 1.9 (Tabel Solusi Optimum Metode Stepping Stone – Iterasi Kedua) Ke Dari
1
2 8
1
3 5
Penawaran (S) 6
120 -10
120 15
10 – 10 = 0
2
+10
10 70
3
3
20 + 10 = 30
Permintaan (D)
150
+10 12 0 + 10 = 10
9
70
-10
80
10
60 – 10 = 50
80
60
280
Table 1.10 (Tabel Solusi Optimum Metode Stepping Stone – Iterasi Ketiga; Optimum) Ke Dari
1 -50 1
2 8
3 5
120 – 50 = 70 10 70 +50
30 + 50 = 80
Permintaan (D)
150
Teknik Riset Operasi- GRR
70
120
12 10
9
3
3
6
0 + 50 = 50
15 2
+50
Penawaran (S)
-50
80 10
50 – 50 = 0
80
60
280
Page 54
Metode Transportasi
Table 1.11 diatas memberikan nilai Cij positif untuk semua kotak kosong, sehingga tidak dapat diperbaiki lagi. Solusi optimum pada table 1.11 memberikan biaya transport terkecil, yaitu:
Z = (8 x 70) + (6 x 50) + (10 x 70) + (12 x 10) + (3 x 80) = 1920
2. Metode Modified Distribution (Modi) Tabel 1.11. Contoh: solusi awal menggunakan north – west corner. Ke Dari
1
2
3
8 1
5
120
30
10
12 80
50 3
3
Permintaan (D)
6
120 15
2
Penawaran (S)
150
9
10
20
60
80
70
60
280
Metode MODI memberikan Ui dan Vj yang dirancang untuk setiap baris dan kolom. Dari table diatas dapat diketahui bahwa: X11 : U1 + V1 = C11 = 8, misalkan U1 = 0, maka:
0 + V1 = 8, V1 = 8
X21 : U2 + V1 = C21 = 15
U2 + 8 = 15, U2 = 7
X22 : U2 + V2 = C22 = 10
7 + V2 = 10, V2 = 3
X32 : U3 + V2 = C32 = 9
U3 + 3 = 9, U3 = 6
X33 : U3 + V3 = C33 = 10
6 + V3 = 10, V3 = 4
Nilai perubahan untuk setiap variable non dasar Cij, ditentukan melalui: Cij = cij – Ui – Vj, sehingga: C12 = 5 – 0 – 3 = +2
C23 = 12 – 7 – 4 = 1
C13 = 6 – 0 – 4 = +2
C31 = 3 – 6 – 8 = -11
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 55
Metode Transportasi
Nilai C31 negatif terbesar (-11) menunjukan bahwa solusi yang ada tidak optimal dan X31 sebagai variable masuk. Jumlah yang dialokasikan ke X31 ditentukan sesuai dengan prosedur stepping stone, selanjutnya Ui, Vj, dan Cij pada table baru dihitung kembali untuk uji optimalitas dan menentukan variable masuk.
C. Model Penugasan
Pertimbangkan situasi dimana m pekerjaan (atau pekerja) ke n mesin. Pekerjaan i (i = 1, 2, 3,…m) ketika ditugaskan ke mesin j (j = 1, 2, 3, …n) memerlukan biaya Cij. Tujuannya adalah menugaskan pekerjaan-pekerjaan tersebut ke mesin-mesin (satu pekerja satu mesin) dengan biaya total terendah. Situasi ini dikenal sebagai masalah penugasan.
Dengan kata lain, masalah penugasan menyangkut penempatan para pekerja pada bidang yang tersedia atau mesin agar biaya yang ditanggung dapat diminimumkan. Disini pekerjaan mewakili “sumber” dan mesin (bidang yang tersedia) mewakili “tujuan”. Penawaran yang tersedia disumber adalah 1 dan permintaan yang diperlukan oleh tujuan adalah 1. Biaya pekerjaan i ke mesin i adalah Cij. Struktur khusus dari model penugasan memungkinkan pengembangan sebuah teknik pemecahan yang efisien yang disebut metode hungaria. Metode ini akan diilustrasikan berdasarkan contoh sebagai berikut: Table 1.12. Matriks Biaya Cij atau Biaya Pekerjaan i ke Mesin j mesin 1
2
3
1
25
31
35
2
15
20
24
3
22
19
17
Pekerjaan
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 56
Metode Transportasi
Langkah pertama mencari solusi pola penugasan adalah menyusun total Opportunity cost table, caranya kurangi elemen pada setiap baris dengan elemen terkecil pada baris yang bersangkutan. Pengurangan baris menghasilkan: 0
6
10
0
5
9
5
2
0
Berikutnya dilakukan pengurangan kolom dan dihasilkan (ingat biaya tidak boleh bernilai negative): 0
4
10
0
3
9
5
0
0
Penugasan dapat ditempatkan pada sel yang bernilai nol. Solusi optimum dicapai jika setiap pekerjaan dapat ditugaskan pada setiap mesin dan setiap mesin dikerjakan oleh satu pekerja. Untuk mengetahui apakah opportunity cost table sudah optimum dapat diperiksa melalui cara berikut: tutup semua angka nol dengan menarik garis datar atau tegak dengan jumlah garis paling efisien. Jika jumlah garis itu lebih kecil dari jumlah baris atau kolom, berarti penugasan optimum belum dapat ditemukan. Langkah selanjutnya kurangkan semua angka yang tidak tertutup garis dengan angka terkecil yang tidak tertutup. Tambahkan angka terkecil tersebut pada angka yang menempati posisi silang, sehingga menghasilkan: 0
1
7
0
0
6
8
0
0
Jumlah garis minimum yang diperlukan adalah 3, sehingga penugasan optimum sudah dapat dibuat, dengan demikian maka: Pekerja 1 akan bekerja pada mesin 1, pekerja 2 akan bekerja pada mesin 2, dan pekerja 3 akan bekerja pada mesin 3, dengan biaya total: 25 + 20 + 17 = 62
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 57
