B A B II SOLUSI P E R I O D I K DAN BIFIIRKASI
2.1
SOLUSI PERIODIK SISTEM
MANDIRI/AUTONOMOUS
M i s a l suatu sistem iinier m a i i d i r i :
.v'= A \ , dengan
veil"
(2.1.1)
maka kcstabilan t i t i k v = 0 ditentukan oleli nilai eigen dari m a t r i k s A Misalkan (i).
.lika
/ L , dan
/ i . , dan
A , nilai eigen dari m a t r i k A di ( 2.1 )
/ l - , dan keduanya
u n t u k x , .A-, < 0 .
dan
tak
l i i l dan beilanda sama. maka
stabil
untuk
X
X.
> 0.
.v - 0 stabil
Orbit
disekitar
.Y = 0 merupakan simpul.
(ii) .
Jika /t, dan / I . keduanya r i i l berbeda tanda. maka .v = 0 berupa t i t i k pelana.
(iii)
Jika
a
x, dan
/ i , kompleks
^ 0 ^ /?, maka
sekawan.
dengan
.v = 0 stabil u n t u k a <0
, =
± ,//.
dimana
dan tak stabil u n t u k a > 0 dan
orbit disekitar .v = 0 berupa s])iral.
(iv)
Jika x, dan
imajiner m u n i i ( yaitu /. - ± ,/:?./>'
0 ), maka v = 0 stabil
seragam tapi tak asimtotik dan orbit di sekitar .v = 0 berupa senter.
Sistem m a n d i r i di R'^ se|)eiti ( 2.1.1) dapat ditulis dalam b e n t u k : •V' = / ( . v . . r ) .
dimana . v . i \ / . dan g ska la i-ska 1 a i'.
(2.1.2)
Akaii
dicari kritcria tciUaiig adaiiya sc/esaiaii
periodik
dari ( 2 . 1 . 2 ) . y a i t u
suatu
selesaian sedeniikian seliingga : . v ( t + T ) = \ ( t ) . dan D i s i n i T disebut Perioda
y(t + T) = y(t). Vt
(2.1.3)
dari selesaian . Orbit dari selesaian p e r i o d i k berupa k u i v a
teitutup i)ada bidang fase. Perhatikan contoli-contoh berikut : 1. M i s a l skstem :
^ < ' ^ ' ' ' v' = - x ( l + i = )
dimana
,2,1.4,
r'^ = \ ^ + y " . .lika d i l a k u k a n transformasi ke k o o r d i n a t polar (/• ,6*), dengan ,Y
= r cos 9
. . y = r sui U
(2.1.5)
maka ( 2 . 1 . 4 ) menjadi : /•' = 0 , ^' = - l - r ^
(2.1.6)
dan akan diperoleli selesaian :
(2.1.7)
Persamaan (2.1.7) berupa keluarga selesaian p e r i o d i k yang masing-masing lingkaran pada lingkaran jiada bidang fase dengan jari-jari /•„.
8
berupa
Gambar 1. Selesaian sistem ( 2.1.4 ) 2. M i s a l k a n siiatu |)ersamaan diferensial : u' + ( \r +u''
- 1 ) i r + ii = 0
(2.1.8)
Jika d i a m b i l substitusi : .V = u
,
(2.1.9)
y = u maka ( 2.1.8 ) menjadi : .Y'=
V (2.20)
y' = - \ - ( r" - 1 ) y
dimana r" = x " + y " . Dengan substitusi koordinat polar sepeiti ( 2.1.5 ). diperoleli :
/•' = - r ( r^ - I )sin " .9 (2.21) ^; = -
- 1 )sin O.cosO
Satu-satiniya t i t i k tetap adalah t i t i k pangkal bahwa
r = l dan 6^ = i 9 , ) - t
( 0 . 0 ) yang tak .stabil. Perhatikan
adalah suatu sele.saian p e r i o d i k dengan periode
l/r
dan
beiupa lingkaran dengan j a r i - j a r i 1 dalam bidang fase. I n i m e m p a k a n satii-satunya selesaian
periodik.
karena
r ' < 0 u n t u k r > 1 dan 9^0
r ' < 0 m i t u k r > l dan r ' > 0 m i t u k r < l . atau /t . r' > 0
untuk r < I dan 9 ^ 0
atau
Khusiisnya /r.
dan r' = 0 u n t u k 9 = 0 atau TT A k i b a t n y a selesaian p e r i o d i k stabil asimtotik.
Dua umumnya
contoh
diatas
berupa keluarga
menunjukan
bahwa
suatu
sele.saian
periodik
])ada
selesaian-selesaian p e r i o d i k sejieiti (2.1.4) atau han\a
satu selesaian p e r i o d i k terisolasi sepeiti (2.20). Contoh yang kedua i n i m e m b a w a kita kepada detlnisi berikut : Definisi
2.1 :
Limit
Cycle adalah suatu orbit dari selesaian p e r i o d i k terisolasi.
Y a n g diniaksud dengan selesaian
periodik
terisolasi
adalah bahwa t i d a k ada
selesaian p e r i o d i k lain dalani suatu sekitar yang k e c i l dari selesaian p e r i o d i k i t u .
10
Selaiijutiiya niemutuskan
akan
tentang
dikaji
ada
bcberai)a
tidaknya
lial
yang dapat
selesaian
periodik
nienibantu kita itu.
dan
untuk
menentukan
keslabilannya. Teorema 1 : .Si.stcm persamaan daerah dimana ( / ,
(2.1.2) tak m e m p u n y a i .selesaian
p e r i o d i k dalam suatu
+ t;^, ) tak berganti tanda.
Bukti : M i s a l C suatu orbit daji selesaian
p e r i o d i k yang m e l i n g k u n g i daerah
S.
Dengan Teorema Green pada bicjang maka.
1 ( f ^ + g ^ ) d \ d y = n ( f d y - g d \ ) . T e t a p i pada orbit C ( 2 . 1 . 2 ) dipenulii
'> ( f d y - g d \ ) = >' ( x ' d y - y ' d x ) = 0 sehingga
sehingga
t\ + g ^ harus berganti tanda dalam S.
Tcoreniii 2 : , v.. _.-...iV^
Orbit daii selesaian p e r i o d i k terisolasi paling sedikit satu l i t i k tetap.
'
( liniil/yycTe ) harus
nielingkungi
' ^^•yJ*ti:t^^''^^••••'•'^^V^'4j.•'*^ ^'
Bukti : Misalkan
S adalah
daerah
m e l i n g k u n g i t i t i k tetap, maka / '
didalani
+ g'
orbit
periodik
C.
Andaikan
C
tak
^ 0 dalam S. M i s a l k a n (P suatu .sudut antara
v e k t o r singgung pada C dengan sumbu x. Maka " cld) = 2n dan taixh-'— = . J.r' /
II
seliiimga
f dv df —^—^^^-^
dif)
(;
d(f) =
.Dcnaan
fdg-gdf
teorema
f
f ' + g
Green
pada
,9
+
bidang
maka.
dfdg
dg
r + g -
Tetapi integran dalam integral p a l i n g kanan b e m i l a i n o l . Terjadi k o n t r a d i k s i dan pengandaian diingkar. T e r b i i k t i bahwa orbit p e r i o d i k m e l i n g k i n i g i p a l i n g sedikit satu t i t i k tetap. T c o i a n i a ( Poincare-Bendixson ) 3 : M i s a l R daerah teitutup dan terbatas yang tak memual t i t i k tetaj) dari (2.1.2 ) dan
/ , ge
y t>0.
c'
pada R sedemikian hingga ada orbit p yang t e i i e t a k d i d a l a m R .
maka p beiui)a o r b i t teitutuj) atau mendekati orbit teitutuj) untuk f —>• cc .
Bukti : M i s a l orbit ]) adalah
[fxfU.yfu]
dengan
/>0.
Jika p suatu
t e i t u t u p , maka b u k t i selesai. A n d a i k a n p bukan orbit t e i t u t u p . M i s a l k a n dan V,, =y(ii). Karena
dan
terbatas.
(x„ , v„ ) & R. Jadi y O 0 3
maka
N e ^
barisan
(x,i .y„ )
untuk
dan tegak
t>0.
.Selanjutnya
lurus p,,. Jika
itu memuat
j \ .Y„ - .Y„ | < /; dan
M i s a l k a n po suatu orbit yang m e l a l u i (x,, , v,; ; R
\\^=x(ii)
maka ('.Y,, , V„ ) adalah barisan t i t i k - t i t i k pada p yang ada d i d a l a m R .
R teitutuj)
didalam
orbit
/
Iniat
pada
m e m o t o n g / m e m p u n y a i arah yang sania.
12
limit
| V„ -.v„ | <
/ = 0.
segmeii
cukup pendek
titik
, \/
ii>N
Karena itu PD berada
garis
. maka
katakaii
A yang sennia
melalui
orbit
yang
Karena
(x,i ,y„ )
t i t i k l i m i t barisan (x,, , i „ ) . maka \) harus m e m o t o n g / sebanyak
tak hingga kali jika / ^
oo. Orbit
pini harus m e m o t o n g / sebanyak tak hingga kali
j i k a / —> CO, sebab j i k a po tidak m e m o t o n g / setelah / = t^. maka setiap orbit yang cukup
dekat
dengan
(x„ , v„ )
tidak
memotong
/
untuk t y a n g
cukup
besar,
sehingga p tidak m e m o t o n g / setelah t yang cukup besar. I n i tidak n n m g k i n .
M i s a l (x*,y*)
M a k a (x*.y*)=
diantara
t i t i k pertama
(x,i,y„)
(x„,y„)
m e m o t o n g /sesudah
T-v,^ ..v,; j
.
. sebab j i k a tidak d e m i k i a n , a m b i l /* bagian dari /
dan
|)einah m e m o t o n g /
dimana
(x'*.y'*).
M a k a p,, melewati
/*
pada
rv*,v*;dan
lagi Jika t naik. teiniasuk |).Dengan d e m i k i a n ('.v,, , r,; )
tak
bukan
t i t i k l i m i t p . K o n t r a d i k s i . .ladi ( .v* r * ) --•( v* r } . Dengan d e m i k i a n pu suatu orbit pn untuk / —> co .
2.2
BIFIIRKASI DAN O R B H SOLUSI
PERIODIK
Dalam bentuk yang p a l i n g u m u m , teori bifurkasi adalah suatu teori tentang selesaian-
selesaian
dimaksudkan.
asimtotik
sebagai
contoh
daii
|)er.samaan
selesaian
nonlinier.
keseimbangan.
Sele.saian
-selesaian
asimtotik
peiiodik,
dan
selesaian h a m p i r j i e i i o d i k . Disini
hanya
akan
dibicarakan
bifurkasi
disekitar
titik
tetap
atau
orbit
periodik saja. sehingga disebut bifurkasi lokal. Kita perhatikan sistem per.samaan differensial : .Y' = ./;, { X )
dengan
.v e R.
u e R''
D i s i n i .Y merupakan Nariabcl.bebas dan / /
|)aiameter.
(2.2.1)
Definisi 2.2 : .V dikatakan titik tetap daii ( 2.2 ). Jika
Misalkan
.v suatu t i t i k tetap dari
fungsi i m p l i s i l mengakibatkan fungsi
licin
f,i(x
)
dari
//
, yaitu
yang
j \ , ( x)
bervariasi. niaka
teorema
balnva t i t i k tetap-titik tetaj) itu merupakan
fungsi-
melewati
D,./// (^'^
( x ) = 0 .
Karena
titik-titik
//
i t u . Jika
matriks
Jacobian
dari
m e m p u n y a i nilai cigen n o l , grafik setiap fungsi i n i
merupakan cabang dari t i t i k tetap (2.2.1).
Pada suatu t i t i k tetaj) (x^.p,,
) dimana D , . / , , m e m p u n y a i nilai eigen n o l . beberapa
cabang t i t i k tetap bisa beipotongan bersama-sama dan dikatakan babwa
(x^.p,,)
suatu t i t i k bifurkasi. Kita i)erhatikaii beberajia contoh : a. M i s a l /'„ (x )= iix-x'
.
Jika // < 0. satu-satuiiya t i t i k tetap adalah
adalah
x = 0 dan x = ±y[p
barn
X = ±-^fp
Pada
titik
Dyfu >
untuk
p>0.
DJ\, ( tyjp
. Jadi untuk // >0
akan m u i i c u l sepasang t i t i k tetaj)
• Kita h i t u n g D , / , , fx ) = / / - 3x' .
tetap
jika
.v = 0 . Jika // > 0 maka t i t i k tctapnya
x = 0
,
D^.f,JO)=ii
.sehingga
D,/„
p > 0 . Jadi t i t i k tetap .v = 0 stabil u n t u k / / <0.
Untuk
) = -2p.
p>0.
nuincul
Sehingga
titik
titik
tetaj)
tetap
baru
x = ±^/
/i < 0
Dan tak stabil
x = ±^Jp
stabil
.v> O.dan/,^ fx ) > 0 . U n t u k . v < 0 . Jadi untuk / / = 0 t i t i k x = 0 stabil. /•
14
dan
dimana
untuk
D i s i n i titiiv ( 0,0 )nierupakan t i t i k bifurkasi. G a m b a r diagram bifurkasinya adalah
L i L i k
bjrur>/"a3i
C0,0)
Gambar 2.a. D i a g r a m bifurkasi
b. M i s a l ,/;, (X ) =
f;v ; = / A " - . v '
/i-x-.
maka t i t i k tetapnya adalah .Y = ± i / / / y a n ^ tedetinisikan hatiya u n t u k u > 0 .
f Disini
D^.f
D^.fjx)
( X )> 0
= -2x
. Sehingga
diperolch
u n t u k . Y < 0 . Jadi t i t i k tetap .v = ^
tak stabil. U n t u k jn > 0.
D,f,,(x)<0
untuk
x> 0
Ai
stabil dan t i t i k tetap x = -
semua selesaian yang berawal diatas t i t i k tetap stabil dan
diantara t i t i k tetap stabil dan t i t i k tetap tak stabil akan m e i u i j u ke t i t i k tetap stabil i t u , sedang selesaian yang berawal U n t u k / / m a k a
maka / ' , (x )=
D^./^i
(x)<
dibawah
t i t i k tetap tak stabil akan menuju
0 . semua selesaian menuju
-.v"' sehingga / „ I'.v ) >0.
- c o . Untuk
-co. u = 0.
untuk .v < 0 dan /,;Y.v ) < <^ untuk x > 0
Jadi u n t u k n = 0 t i t i k x= 0 stabil.
15
D i s i n i titiiv pangiva!
( 0 . 0 ) meru|)alvan satu-safiniya
t i t i k bifurkasi. G a m b a r d i a g r a m
bifurkasi dari persamaan diatas adalah sebagai berikut :
Gambar 2.b. D i a g r a m bifurkasi
(x J = ,u - x'
c. M i s a l / „ (x ) = /I 'X - .v'
maka t i t i k tetapnya adalah . Y = 0 dan .v = ± / / dan D^f^Jx)
D\fu
(
J =
>
untuk // ^0
D^.f^,(±yfu)=-2;r<0
,u ^0.
J\i
(x ) < 0 untuk x>0.
-3x
'
j a d i t i t i k tetap .v= 0 tak stabil u n t u k / /
untuk
U n t u k / / = ( 9 , maka
= //'
ff,(yj=
u ^0.
sehingga t i t i k tetap .Y = ± / /
- x'
sehingga f^Jx)>0,
.
^0.
stabil u n t u k
m i t u k x<0
dan
.ladi t i t i k jiangkal ( 0.0 ) stabil. G a m b a r d i a g r a m b i f i u k a s i
adalah :
16
Gambar 2.c. D i a g r a m bifuikasi
2.3
(x ) = u ' x - x"
BIFURKASI IIOPF D a l a m iiraian sebelumiiya telah d i s i n g g i m g sedikit tentang selesaian p e r i o d i k
terisolasi atau l i m i t cycle. Perhatikan sistem : ^' = fJ^)
Dengan .v e/?" dimana
D/„,,
± i(0 , CO > 0
( 2.3.1)
dan
fungsi licin y a n g m e m p u n y a i t i t i k tetap p(
mempunyai
pasangan
eigen
sederhana
imajiner
munii
, dan tak ada nilai eigen yang bagian r i i h i y a n o l . Teorema
i m p l i s i t menjamin bahwa untuk setiap Pf.'-'ii)
nilai
) .
//
dekat / / „ ada t i t i k tetap
pfp
fungsi )dk\ekal
y a n g licin terhadap / / . D i m e n s i m a n i f o l d stabil dan m a n i f o l d tak stabil
p( p ) berubah j i k a n i l a i eigen
c/ffpfpjj
m e l e w a t i sumbu imajiner pada
Perubahan k u a l i t a t i f dalam orbit lokal di dekat pf p)
p,,.
dilandai oleh pcrubahan lokal
bidang fase yang tak melibatkan t i t i k tetap. Suatu petinijuk tentang apa yang terjadi dalam masalah bifurkasi jiada t i t i k tetap dengan nilai eigen imajiner m u n i i dapat
17
diperoleli dengan
mengiiji
sistem
liniei' dimana
ada
perubahan
yang d e m i k i a n .
Perhatikan sistem : .Y = / A ' -
foy
.( 2.3.2)
y' = rux + //!• yang m e m p u n y a i selesaian berbenluk : cos rut
- .s7// rut
si/i rut
cos rut
.(2.3.3) _y(t
)^
Jika / /
/.' > 0,
berupa
sele.saian berujia
spiral yang meninggalkan t i t i k pusat , dan jika
/ / = 0,
selesaian
senter ( p e r i o d i k ). Dengan transformasi k o o r d i n a t yang l i c i n , uraian taylor derajat tiga sistem bisa dibawa kebentuk .Y' =
( 2.3.1 )
norma/:
( <-/// +a ( X' + y - ))x -( ru + c/i + h ( x'
+y -
))y .( 2.3.4 )
y' = ( ru + cj.1 +b(
x' + y'
)) x - (dp +a ( x' + v" )) y
Jika ditransformasi ke koordinat polar, (2.3.4) menjadi :
r' = ( dii +ar'
)r .( 2.3.5 )
6' •=( ru + cii +
br-)
Karena /•' bebas terhadap i9, maka ada orbit p e i i o d i k beru|)a lingkaran r = konslan, yang di dapat dari selesaian tak nol dari /•' = 0. Jika a ^ 0 ^ d,
ini berada di sepanjang parabola periodik
mempunyai
// =~ar'
garis singgung
d.
kuadratis
dalani K ' \ R.
18
selesaian -selesaian
Hal ini mengakibatkan dengan
bidang
orbit-orbit
singgung
// = 0
Teoreina
bifurkasi
llopf
inenyalakaii
sifal-sifal
kualitatif
dari
sistem
persamaan diatas di dekat t i t i k pangkal yang tak berubali Jika suku-suku order t i n g g i ditambabkan dalam sistem. T e o r e m a ( l l o p f ( 1942 )) 4 : M i s a l k a n sistem ( 4 ) m e m i ) u n y a i t i t i k tctaj) ^.v,,,,!',; ) y a n g m e m e n u l i i sifatsifat : (111). D^J], (\'„ )
m e m p u n y a i sejiasang nilai eigen imajiner m u r n i sederhana dan
tak ada nilai eigen lain dengan bagian r i i l n o l . maka ( H I ) mengakibatkan ada .suatu k u i v a licin
{\( /.t ) . u)
dengan
A( p ) dan /.( II) dari D^.f,,^,(x(ii))
f.i(x„
) - .v„. N i l a i eigen - n i l a i eigen
menjadi imajiner pada // = po
yang
l i c i n terhadap / / . Jika lebih lanjut :
( H 2 ) . ~ - ( RL'A(
maka
R"
ada
a ))
manifold
= cl
pusat tunggal dimensi tiga yang
melalui
(x^./ioj
dalam
X R dan suatu sistem k o o r d i n a t licin ( yang mengawetkan b i d a n g // = konstan ),
dimana ekspansi T a y l o r derajat tiga pada m a n i f o l d pusat d i b e r i k a n oleh :
.v' = ( dp +a(
X- + y' ))x -( m +ca + bf x'
+ v" v \ • .v - (dp + a ( x- + y )) y • ,
r ' = ( ru + cp + b (.v Jika
a ^
0.
maka
ada
+ v" suatu
selesaian
p e r i o d i k dalam
( 2.3.6 )
manifold
m e m p u n y a i persinggungan kuadratik dengan ruang eigen ( /.( p„ ),A(
dengan
order kedua. dengan
paraboloida
maka sclesaian-.selesaian p e r i o d i k pcnolak.
IQ
/ / =-(a
pusat
p^^ ))
d )f x~ + y' ) . Jika
yang
.scsuai
r/<0.
Teorema
i n i tidak
d i b u k t i k a n di sini,
Pada
contoh-contoli
berikut
akan
ditunjukan proses terjadinya bifurkasi H o l f sepeili disebutkan dalam teorema diatas. C'ontoh 1 : .v' = - y + jLK-x(xv'=
x + ^r\--y{
Titik ( \ , y )
+ y- J . \ X- +y- )
( 0,0 ) y a i t u s u i n b u / /
(2.3.7)
meru])akan t i t i k tetap. M a t r i k s Jacobian dari
l)eliiiieran di ( 0,0 ) adalah : // Df(0.0)
-1 .(2.3.8)
=
sehingga nilai eigennya adalah : X,.: - / /
±/
( 2.3.9)
Dari pelinieran disekitar t i t i k tetap ( 0,0 ), maka t i t i k //< 0
dan tak stabil u n t u k
murni.
Selanjutnya
/ / > 0. Namun
jika d i h i t u n a , — ( Re/if cf/i
pada
n ))
// = 0 nilai
( 0,0 ) stabil u n t u k eigennya
^ , = 1. dan i n i m e m e n u h i ( H 2 ) "
dalam teorema ( 4 ) . Dengan d e m i k i a n semua kondisi teorema ( 4 ) d i p e n u l i i . D i a g r a m bifurkasi dari contoh I adalah sebagai berikut :
20
imajiner
Bebeiapa gambar bidang fase dari persamaan ( 2.3.7 ) u n t u k parameter// t e i t e n t u ;
Gambar 2.3. l.a. B i d a n g fase persamaan ( 2.3.7 ) u n t u k / / < 0 T i t i k ( 0.0 ) stabil.
21
nilai-nilai
