PENERAPAN METODE CARATHÉODORY UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERIODIK PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA
ROSITA DWI NUGRAHASTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
ABSTRAK ROSITA DWI NUGRAHASTI. Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO. Persamaan diferensial takotonom merupakan persamaan diferensial yang secara eksplisit memuat variabel bebas. Persamaan diferensial ini jika diberikan kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Pada karya ilmiah ini akan dipelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki syarat batas periodik. Berdasarkan penggunaan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua adalah solusi dari minimizer persamaan variasional. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6.
ABSTRACT ROSITA DWI NUGRAHASTI. Application of the Carathéodory Method to Determine the Periodic Solutions of Second Order Nonautonomous Differential Equations. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and ALI KUSNANTO. Nonautonomous differential equations contain explicitly independent variables. Those equations which have periodic boundary values also have periodic solutions. This paper was to study the application of Carathéodory method to find the periodic solution of second order nonautonomous differential equation. The Carathéodory method showed that the periodic solution is equivalent to the solution obtained via the method of minimizer variational equation. Graphical analysis of the periodic solution obtained for the second order nonautonomous differential equation were visualised using a computer software Mathematica 6.
PENERAPAN METODE CARATHÉODORY UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERIODIK PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : ROSITA DWI NUGRAHASTI G54104049
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul
:
Nama NRP
: :
Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua Rosita Dwi Nugrahasti G54104049
Menyetujui: Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. NIP. 131 842 411
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 131 913 135
Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman. Karya ilmiah ini berjudul Penerapan Metode Carathéodory Untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1. Ibu Endar H. Nugrahani selaku Pembimbing I dan Bapak Ali Kusnanto selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai, Bapak Paian Sianturi selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan. 2. Bapak dan Ibu tercinta, atas segala doa, dukungan, restu dan segala kasih sayang yang telah diberikan hingga sekarang; kakak-kakakku mba Ia, mas Hari dan calon keponakanku, atas semangat dan doanya. 3. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika. 4. Dian, Ndhiet, Rite yang selalu ada selama kurang lebih 4 tahun, makasih atas semuanya. 5. Teman-teman sebangsa, setanah air dan seperjuangan, Matematika 41 : Abank, Uwie, Deedee, Ami, Ayu, Liay, Ani, Echi, Momo, Neng, Roma, Ennie, Tities, Fitri, Liam, Mas Eli, Fred, Kokom, Jali, Mamah, Great, Aji, Nene’, Mukti, Janah, Iyank, Eeph, Roro, Enyon, Syifa, Kurenz, Rina, Darwisah, Nidia, Ika, Maryam, Mahar, Tia, Dika, Cumi, Udin, Iboy, Mazid, Chubby, Racil, Deny, Idris, Yaya, Triyadi, Mimin, Amin, Yos, Yeni, Hendri. Makasih atas kekeluargaannya selama 4 tahun di Departemen Matematika, I will miss you, guys. 6. Rina Fisika 41 (makasih pinjaman bukunya), K’Arie 39 (makasih bantuan Mathematicanya), Mate 40, Mate 42. 7. Warga Ponytail : Ponytail’s angels (Mb Mitoel, Mb Ratna, Mb Umi), Mb Empit, Mb Ninit, Dian, Nira, Mb Neni, Ratih, Mb Dian, Mb Uli, Maya, Mb Susi, Mb Nana, Ike. 8. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Semoga penulisan karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembaca.
Bogor, Mei 2008
Rosita Dwi Nugrahasti
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 22 Juli 1986 dari pasangan Agus Suyono dan Sukari Tjiptaningsih. Penulis merupakan anak kedua dari dua bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan di SMU Negeri 5 Yogyakarta dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun yang sama, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2005-2006 sebagai staf divisi Sosial Informasi dan Komunikasi (SOSINKOM). Selama masa kepengurusan di himpunan profesi GUMATIKA, penulis sering mengikuti kepanitiaan berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2005, 2006, 2007, Try Out SPMB Nasional IKAHIMATIKA 2007.
3
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................... DAFTAR LAMPIRAN........................................................................................................ PENDAHULUAN................................................................................................................ Latar Belakang................................................................................................................ Tujuan.............................................................................................................................
Halaman ix ix 1 1 1
LANDASAN TEORI ........................................................................................................... PEMBAHASAN .................................................................................................................. Perumusan Masalah........................................................................................................ Metode Carathéodory ..................................................................................................... Contoh Kasus .................................................................................................................
1 5 5 5 8
KESIMPULAN ....................................................................................................................
10
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................
11
4
DAFTAR GAMBAR
1. Penyimpangan vertikal kurva y(x) ................................................................................. 2. Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory .........................................................................................
Halaman 3 8
1
⎛ 3 3sin x + cos x ⎞ 3 ............................................................ ( )⎟ ⎝ 10 ⎠
3. Grafik solusi y ( x ) = − ⎜
10
DAFTAR LAMPIRAN
1. 2. 3. 4.
Bukti lema dan teorema ................................................................................................. Mencari solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33)..................................................... Mencari solusi persamaan diferensial orde pertama....................................................... Perhitungan solusi persamaan (37).................................................................................
Halaman 13 17 19 22
1
⎛3 ⎞3 5. Program untuk menunjukkan grafik solusi y ( x ) = − ⎜ ( 3sin x + cos x ) ⎟ .............. ⎝ 10 ⎠
23
5
I. PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain. Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan
diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6. 2. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.
II. LANDASAN TEORI
Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)
Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum F ( x, y ′, y ′′) = 0
dy , dx
d2y y ′′ = 2 . dx
[Farlow, 1994]
Persamaan
orde
[Ji & Shi,2006]
Definisi 3. (Solusi Periodik)
dimana y diturunkan terhadap x , y′ =
Definisi 2. Takotonom)
T
⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ , ,..., ∇ yV ( x, y ) = ⎜ ⎟ y y yn ⎠ ∂ ∂ ∂ 2 ⎝ 1
(Persamaan
dua
Diferensial
y ′′ − ∇ yV ( x, y ) = 0
disebut persamaan diferensial takotonom dimana V : [ 0, T ] × n → kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,
Anggap bahwa
x = Φ (t )
adalah solusi
periodik untuk persamaan n dan terdapat bilangan x& = f ( x ) ; x ∈ D ⊂ positif
T,
Φ (t + T ) = Φ (t )
sedemikian untuk
∀t ∈
sehingga n
maka
Φ ( t ) disebut solusi periodik dari x = Φ ( t )
dengan periode T. Jika
Φ (t )
memiliki
periode T, maka Φ ( t ) juga memiliki periode 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T. [Verhulst, 1990]
6
L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) )
Definisi 4. (Nilai Batas)
Bentuk
Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas. [Rice & Strange, 1994]
Lagrangian.
disebut fungsi [Wan, 1995]
Definisi 7. (Panjang atau Norm Vektor)
Panjang atau norm dari suatu vektor x = ( x1 , x2 ,..., xn ) di dalam
Definisi 5. (Kalkulus Variasi)
Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah
n
didefinisikan
sebagai =
x
x1 + x2 + ... + xn 2
2
2
.
Rumus diatas dinamakan norm Euclidean. [Mathews, 1992]
b
I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx
Definisi 8. (Hasil kali dalam)
a
y′ =
dengan
dy
dan
y ( x ) ∈ C [ a, b ] .
Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah
1
dx Fungsi L diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua argumennya. Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan a = 0, b = T . Sehingga bentuk integral di atas dapat diubah menjadi
x , y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xm ym m
x, y =
∑x y i
i
i =1
Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi T
x y = x1 y1 + x2 y 2 + ... + xm y m .
T
I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx
[Beezer, 2006]
0
y ( x ) ∈ C [ 0, T ] . 1
dengan
Masalah
selanjutnya adalah memilih fungsi
y ( x)
Definisi 9. (Himpunan konveks dan Fungsi Konveks)
titik ujung peubah y ( x ) ditetapkan yaitu
Misalkan C ⊂ n adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua x, x ' ∈ C terdapat λ ∈ [ 0,1]
y ( 0 ) = y0
maka
dalam C [ 0, T ] dengan syarat T dan kedua 1
dan
y ( T ) = yT ,
agar
I ( y ) optimum (maksimum atau minimum)
[Wan, 1995] Definisi 6. (Fungsi Lagrangian)
Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah
(1 − λ ) x + λ x′ ∈ C . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan f
( (1 − λ ) x + λ x′ ) ≤ (1 − λ ) f ( x ) + λ f ( x′ ) .
T
I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx
Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika
0
dengan y ′ =
dy dx
dan y ( x ) ∈ C [ 0, T ] . 1
∇ 2 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ C
7
dan merupakan strictly convex jika
x2
I =
∇ 2 f ( x ) > 0, ∀x ∈ C .
∫ f ( x, y, y′ ) dx
(1)
x1
Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk y ( x ) dengan membandingkan nilai I yang
[Hanum, 2006] Definisi 10. (Persamaan Euler-Lagrange)
sesuai untuk pendekatan fungsi y ( x ) . Ide
Persamaan
utamanya yaitu
∂f ∂y
−
y ( x)
memberikan nilai
minimum untuk I, I akan bertambah jika y ( x ) diubah-ubah. Perubahan ini disusun
d ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟=0 dx ⎝ ∂y ′ ⎠
sebagai berikut. Misalkan η ( x ) adalah sembarang fungsi
disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian f ( x , y , y ′ ) .
dengan diketahui η ′′ ( x ) fungsi kontinu dan
[Simmons, 1991]
η ( x1 ) = η ( x2 ) = 0
(2)
Jika α adalah parameter, kemudian
Definisi 11. (Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi)
y ( x ) = y ( x ) + αη ( x )
Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991]. Diasumsikan fungsi yang y ( x)
(3)
menggambarkan kelompok satu parameter dari fungsi y ( x ) . Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva y ( x ) yang meminimumkan I
meminimumkan integral
αη ( x ) , ditunjukkan pada gambar berikut. yaitu
y
( x1, y1 )
y ( x ) = y ( x ) + αη ( x )
y ( x)
( x2, y2 ) αη ( x )
η ( x) x1
x
x2
x
Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)
Maksud dari persamaan (3) bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk masing-masing nilai pada fungsi η ( x ) ,
fungsi
y ( x)
yang
meminimumkan
I
termasuk kelompok satu parameter dan sesuai dengan nilai parameter α = 0 .
8
η ( x)
Dengan
tetap,
y ( x ) = y ( x ) + αη ( x )
dan
y ′ ( x ) = y ′ ( x ) + αη ′ ( x ) disubstitusikan ke
x2
∂f
∫ ∂y′ x1
= −∫η ( x ) x1
x2
∫ f ( x, y , y′ ) dx
x2
∫
f [ x, y ( x ) + αη ( x ) , y′ ( x ) + αη ′ ( x )] dx
x1
Saat α = 0 , persamaan (3) menghasilkan dan karena y ( x) = y ( x) , y ( x) meminimumkan integral, diketahui bahwa I (α ) harus minimum saat α = 0 . Dengan kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan turunan I ′ (α ) saat α = 0 yaitu I ′ ( 0 ) = 0 . I ′ (α )
Turunan
dapat
dihitung
dengan
menurunkan persamaan (4)
I ′ (α ) =
⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ ∂y′ ⎠ d
⎡ ∂f
x2
⎛ ∂f ⎞⎤
d
⎟ ⎥ dx = 0 . ∫ η ( x ) ⎢⎣ ∂y − dx ⎝⎜ ∂y′ ⎠⎦
(8)
∂
x2
∫ ∂α f ( x, y , y′ ) dx .
=
∂f ∂x ∂x ∂α ∂f ∂y
+
x2
⎡ ∂f
d ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟=0 dx ⎝ ∂y ′ ⎠
(9)
∂f ∂y ∂y ∂α
η ( x) +
∂f ∂y ′
+
∂y ′ ∂α
s = Fy ′ ( x , y , y ′ ) .
[Wan, 1995]
η′( x) . Definisi Jacobi)
⎤
∂f
letakkan
Persamaan H ( x , y , s ) = s , y ′ − F ( x , y , y ′ ) disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan F ( x, y , y ′ ) adalah fungsi Lagrangian dan
(6)
x1
jadi
∂y
−
∂f ∂y ′
∫ ⎢⎣ ∂y η ( x ) + ∂y′ η ′ ( x )⎥⎦ dx .
I ′(0) = 0 ,
∂f
Definisi 12. (Fungsi Hamiltonian)
Jadi persamaan (5) dapat ditulis
I ′ (α ) =
Meskipun demikian karena integral pada persamaan (8) harus menjadi nol untuk setiap fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol. Sehingga dihasilkan
(5)
Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh f ( x, y , y ′ ) =
Penarikan kesimpulan pada masalah ini berdasarkan pada nilai tetap fungsi η ( x ) .
yang disebut sebagai persamaan EulerLagrange.
x1
∂α
1
x1
(4)
∂
x2
karena persamaan (2). Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk
x1
=
∂f ⎤ d ⎛ ∂f ⎞ − ∫ η ( x ) ⎜ ⎟ dx ⎥ dx ⎝ ∂y′ ⎠ ∂y′ ⎦ x x1
x2
integral (1), dan diperoleh fungsi dari α
I (α ) =
x2
⎡ ⎣
η′ ( x ) dx = ⎢η ( x )
α =0
pada
persamaan (6) menghasilkan
∂f ⎡ ∂f ⎤ ∫ ⎢⎣ ∂y η ( x ) + ∂y′ η ′ ( x )⎥⎦ dx = 0 . x
Untuk
13.
(Persamaan
fungsi
Hamiltonian
HamiltonianH ( x, y , s ) ,
persamaan diferensial H ( x , y , ϕ y ) + ϕ x = 0 disebut dengan
ϕ:
×
persamaan ϕ ( x, y ) n
→
Hamiltonian-Jacobi adalah fungsi
.
x2
(7)
1
Pada persamaan ini turunan η ′ ( x ) muncul bersama dengan fungsi η ( x ) . η ′ ( x ) dapat dieliminasi dengan mengintegralkan bagian kedua,
[Wan, 1995]
9
Lema 14 S : [ 0, T ] ×
Misal
→
n
adalah fungsi
yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi S ( 0, y ) = S ( T , y ) ,
∂S ∂x
( 0, y ) =
∂S ∂x
n
(T , y ) ,
y∈
n
,
∂S ∂x n
×
n
,
setiap ( x, y ) ∈ [ 0, T ] × , persamaannya L% ( x, y , q ) = 0 mempunyai n
Untuk
q = q ( x, y )
solusi
memenuhi
q ( 0, y ) = q ( T , y ) .
Misal q = q ( x, y ) solusi dari L% ( x, y , q ) = 0 q ( 0, y ) = q ( T , y ) .
yang memenuhi y* : [ 0, T ] →
Teorema 15
Asumsikan bahwa S : [ 0, T ] × → dari persamaan Hamiltonian-Jacobi
sehingga syarat berikut dipenuhi (1) Untuk setiap ( x, y , y ′ ) ∈ [ 0, T ] × L% ( x, y , y ′ ) ≥ 0 (2)
maka y * ( x ) adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. [bukti lihat Lampiran 1]
solusi
( x, y ) + H ( x, y , ∇ S ( x, y ) ) = 0 y
q : [ 0, T ] ×
dan
n
→
n
memenuhi
∇ q L ( x, y , q ( x, y ) ) − ∇ y S ( x, y ) = 0
Jika y* : [ 0, T ] →
n
solusi
y ′ ( x ) = q ( x , y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
(12)
y ( 0 ) = y (T )
(13)
kemudian y * ( x ) minimizer dari persamaan
Jika T
n
min I ( y ) , I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx ,
solusi
y ∈Ω
0
y ′ ( x ) = q ( x , y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
(10)
y ( 0 ) = y (T )
(11)
maka y * ( x ) solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. [bukti lihat Lampiran 1]
kemudian y * ( x ) minimizer dari persamaan T
min I ( y ) , I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx , y ∈Ω
0
III. PEMBAHASAN 1. Perumusan Masalah
Didefinisikan takotonom
persamaan
diferensial
y ′′ − ∇ yV ( x, y ) = 0
dimana
V : [ 0, T ] ×
diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik y ( 0 ) = y (T ) ,
y′ ( 0 ) = y′ (T ) .
(15)
(14) n
→
kontinu
dan
periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y T
⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ , ,..., ∇ yV ( x, y ) = ⎜ ⎟ . ∂yn ⎠ ⎝ ∂y1 ∂y2 Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan
2. Metode Carathéodory
Pada teori kalkulus variasi [Simmons, 1991], dijelaskan bahwa diasumsikan ada fungsi y ( x ) yang meminimumkan integral x2
I ( y ) = ∫ L ( x, y, y ′ ) dx. x1
(16)
10
Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk y ( x ) yang berbentuk ∂L d ⎛ ∂L ⎞ − ⎜ ⎟=0 ∂y dx ⎝ ∂y ′ ⎠
(17)
yang disebut sebagai persamaan EulerLagrange. Fungsi L ( x, y, y ′ ) pada integral (16) disebut sebagai fungsi Lagrangian. Didefinisikan fungsi Lagrangian
1 2 | y ′ | +V ( x, y ) , 2 ( x, y , y′ ) ∈ [ 0, T ] × n × n L ( x, y , y ′ ) =
L ( x, y , y ′ )
(18)
adalah
fungsi n
dan
q ( x, y ) adalah minimizer L ( x, y, y ′ ) dimana y ′ = q ( x, y ) .
Integral (16) dapat diubah persamaan variasional I : Ω →
menjadi
∫
∂S ( x , y ) + H x, y , ∇ y S ( x , y ) = 0 ∂x
(
{
(
n
(19)
Nilai batas periodik (15) merupakan syarat perlu persamaan variasional karena diasumsikan ada fungsi y ( x ) ∈ Ω yang meminimumkan I ( y ) . Untuk mencari minimizer dari persamaan variasional (19) dapat digunakan fungsi Hamiltonian dan persamaan HamiltonianJacobi. Didefinisikan fungsi Hamiltonian H ( x, y , s ) = s , q − L ( x, y , q )
(20)
dimana L ( x, y, q ) adalah fungsi Lagrangian, dan persamaan Hamiltonian-Jacobi
∂S ( x , y ) + H x, y , ∇ y S ( x , y ) = 0 ∂x dimana
H : [ 0, T ] ×
)
n
×
n
→
∂S ( x, y ) ∂x
∇ y S ( x, y ) , q − L ( x, y , q ) = − ∇ y S ( x , y ) q − L ( x, y , q ) = −
∂S ( x, y ) ∂x
∂S ( x, y ) ∂x
∇ y S ( x, y ) − ∇ q L ( x, y , q ) = 0 ∇ y S ( x, y ) = ∇ q L ( x, y , q )
∇ y S ( x, y ) = =
) y( 0) = y(T) , y′( 0) = y′(T)}.
(
)
)
0
dengan 1 Ω:= y( x) ∈C [ 0,T] ,
(22)
.
(23)
diperoleh
T
min I ( y ) , I ( y ) = L ( x, y, y ′ ) dx.
n
Fungsi Hamiltonian dapat disubstitusi ke persamaan Hamiltonian-Jacobi sehingga diperoleh solusi persamaan HamiltonianJacobi.
(
konveks untuk setiap ( x, y ) ∈ [ 0, T ] ×
y∈Ω
∂S ∂S ( 0, y ) = (T , y ) , y ∈ ∂x ∂x
H x, y , ∇ y S ( x, y ) = −
dimana | . | melambangkan norm Euclidean. Diasumsikan
S ( 0, y ) = S (T , y ) ,
∂ ⎛1 ⎞ | q |2 +V ( x, y ) ⎟ ∂q ⎜⎝ 2 ⎠ ∂ ⎛1 2 ⎞ q + V ( x, y ) ⎟ ∂q ⎜⎝ 2 ⎠
= q.
(24)
Jadi turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer dari persamaan variasional (19). Didefinisikan fungsi Lagrangian baru
∂S L% ( x, y, y′) = L ( x, y, y′) − ( x, y) − ∇y S ( x, y) , y′ ∂x dan T
I% ( y ) = L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx
∫ 0
dimana (21) adalah
fungsi Hamiltonian dan S adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi, untuk setiap yang dapat fungsi S : [ 0, T ] × n → diturunkan dan turunannya kontinu yang memenuhi
T
⎛ ∂S ∂S ∂S ⎞ , ,..., ∇ y S ( x, y ) = ⎜ ⎟ , ∂yn ⎠ ⎝ ∂y1 ∂y2 T
y ′ = ( y1′ , y2′ ,..., yn′ ) .
11
y ′ = q ( x, y ) . Karena persamaan variasional
Untuk setiap y ∈ Ω,
ekuivalen (25) sama dengan persamaan variasional (19) maka turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y juga merupakan minimizer dari persamaan variasional ekuivalen (25). Pada metode Carathéodory, dicari fungsi S yang memenuhi syarat berikut
T
I ( y ) − I% z( y ) = L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx
∫ 0
T
− L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx
∫ 0
T
⎡ ∂S = ⎢ ( x, y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y′ ( x ) ⎣ ∂x 0
∫ T
=
⎤ ⎥ dx ⎦
d
L% ( x, y , q ) = 0
0
T
×
n
,
(26) n
,
(27)
yang mempunyai solusi q = q ( x, y ) yang
0
= S (T , y (T ) ) − S ( 0, y ( 0 ) )
memenuhi q ( 0, y ) = q (T , y ) .
=0 Sehingga persamaan variasional (19) sama dengan persamaan variasional ekuivalen berikut T
∫
min I% ( y ) , I% ( y ) = L% ( x, y, y′ ) dx. y∈Ω
n
L% ( x, y , y ′ ) ≥ 0.
(2) Untuk setiap ( x, y ) ∈ [ 0, T ] ×
∫ dx S ( x, y ( x )) dx
= S ( x, y ( x ) )
(1) Untuk setiap ( x, y, y ′ ) ∈ [ 0, T ] ×
(25)
0
Diasumsikan L% ( x, y, y ′ ) fungsi konveks untuk setiap
( x, y ) ∈ [ 0, T ] ×
adalah
minimizer
dan
q ( x, y )
L% ( x, y , y ′ )
dimana
n
(28)
Turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer persamaan variasional. Dari teorema diperoleh bahwa solusi minimizer merupakan solusi periodik persamaan diferensial takotonom. Gambar berikut adalah skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory.
12
Persamaan diferensial takotonom
Fungsi Lagrangian
Fungsi Hamiltonian
Persamaan Hamiltonian-Jacobi
Persamaan variasional
solusi
Kalkulus variasi turunan pertama solusi
minimizer
minimizer = turunan pertama solusi
solusi minimizer = solusi periodik persamaan diferensial takotonom Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory
y ′′ − ∇ yV ( x, y ) = 0 .
3. Contoh Kasus
Akan dicari solusi periodik diferensial takotonom berikut
( F ( x ) − f ( x )) + 2 ( F ( x )) y ''− y + y2
y5
persamaan 2
= 0,
x ∈ [ 0, T ]
(29)
y ( 0 ) = y (T ) , y ′ ( 0 ) = y ′ (T ) ,
(30)
dimana T > 0, f : → fungsi kontinu yang memenuhi f ( x ) ≡ 0, f ( x + T ) = f ( x ) ,
F ( x) =
Dari persamaan diferensial takotonom (29) dapat diambil
∇ yV ( x, y ) = y −
F ( x) − f ( x) y2
−
2 ( F ( x))
1 2 F ( x ) − f ( x) ( F ( x )) y + + . 2 y 2 y4 2
V ( x, y ) =
0
Dengan demikian fungsi Lagrangian
Jawab.
Definisi persamaan diferensial takotonom
y5
sehingga
x
∫ f ( s ) ds
2
L ( x, y , y ′ ) =
1 2 | y ′ | +V ( x, y ) 2
13
F ( x) − f ( x) ( F ( x) ) 1 1 = y′2 + y2 + + . 2 2 y 2 y4
2⎞ 2 ⎛ ∂S 1 ⎛ ∂S ⎞ ⎜ 1 2 F ( x) − f ( x) ( F ( x) ) ⎟ + ⎜ ⎟ − y + + =0 ∂x 2 ⎝ ∂y ⎠ ⎜⎜ 2 y 2y4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ (33)
2
Fungsi Hamiltonian H ( x, y , s ) = s , q − L ( x, y , q )
dimana s = ∇ y S ( x, y ) . Diasumsikan solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi memiliki bentuk
⎛1 ⎞ = sq − ⎜ | q |2 +V ( x, y ) ⎟ ⎝2 ⎠ 2⎞ ⎛ 1 2 1 2 F ( x) − f ( x) ( F ( x) ) ⎟ ⎜ = sq − q + y + + . ⎜⎜ 2 y 2 2y4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ (31)
2⎞ ⎛ ∂ ⎜ 1 2 1 2 F( x) − f ( x) ( F( x) ) ⎟ q + y + ∇qL( x, y, q) = + 2 y ∂q ⎜⎜ 2 2y4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ = q.
Dari persamaan (23), ∇ q L ( x, y, q ) = s untuk fungsi Hamiltonian (31), berarti Eliminasi q dengan s, maka Hamiltonian (31) menjadi
q = s. fungsi
S ( x, y ) = h1 ( x ) y 2 + h2 ( x ) y + h3 ( x ) +
mensubstitusi persamaan (34) ke persamaan (33) diperoleh S ( x, y ) =
1 2 F ( x) +C y − 2 y
adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 2. Dari persamaan (24) q ( x, y ) = ∇ y S ( x, y )
⎛ F ( x) − f ( x) ( F ( x) ) ⎟ 1 1 H( x, y, s) = s2 −⎜ s2 + y2 + + ⎜⎜ 2 2 y 2y4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ F ( x) − f ( x) ( F ( x) ) ⎞⎟ 1 1 . (32) = s2 − ⎜ y2 + + 2 y 2y4 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎝ ⎠
= y+
)
menjadi
F ( x) . y2
Diperoleh y′ = y +
Persamaan Hamiltonian-Jacobi
(
, y (34)
dapat diturunkan dan hi ( x) dimana turunannya kontinu dan memenuhi i = 1, 2, 3, 4. Dengan hi ( x + T ) = hi ( x ) ,
2⎞
∂S ( x , y ) + H x, y , ∇ y S ( x , y ) = 0 ∂x
h4 ( x )
F ( x) y2
,
x ∈ [ 0, T ]
(35)
y ( 0 ) = y (T ) .
(36)
Dengan memperoleh solusi persamaan (35) maka akan diperoleh solusi periodik persamaan diferensial takotonom (29).
Diperoleh solusi persamaan (35) 1
⎛ exp ( 3x ) x ⎞3 exp ( 3 (T + x ) ) T y ( x) = 3 3 ⎜ exp − 3 s F s ds + exp − 3 s F s ds ⎟ . ( ) ( ) ( ) ( ) ⎜ 1 − exp ( 3T ) ∫0 ⎟ 1 − exp ( 3T ) ∫x ⎝ ⎠ Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 3.
Jika T = 4π , f ( x ) = cos x, F ( x ) = sin x maka persamaan (29) dan (30) menjadi
14
y ′′( x) − y +
(sin x − cos x ) (2 sin 2 x) + = 0, y2 y5
y (0) = y (4π ),
x ∈ [ 0, 4π ] ,
(37)
y '(0) = y '(4π ).
(38)
Dari hasil pada contoh kasus maka dapat diperoleh 1
4π exp (12π + 3 x ) ⎛ exp ( 3 x ) x ⎞3 3 in y ( x) = 3 ⎜ − s sds + − s sds exp 3 sin exp 3 s ( ) ( ) ⎟ ∫ ∫ 1 − exp (12π ) x ⎝ 1 − exp (12π ) 0 ⎠
1
⎛3 ⎞3 = − ⎜ ( 3sin x + cos x ) ⎟ ⎝ 10 ⎠
(39)
adalah solusi persamaan diferensial takotonom (37). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar berikut adalah grafik yang memperlihatkan solusi (39) periodik. y 1.0
0.5
2
3 2
2
5 2
3
7 2
x 4
0.5
1.0 1
⎛3 ⎞3 Gambar 3 Grafik solusi y ( x ) = − ⎜ ( 3sin x + cos x ) ⎟ ⎝ 10 ⎠ IV. KESIMPULAN Dengan menggunakan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua sama dengan solusi dari minimizer persamaan variasional yang termasuk dalam langkah-langkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Carathéodory dapat digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua. Pada contoh kasus telah ditunjukkan bahwa metode Carathéodory
digunakan untuk persamaan diferensial tak linear.
15
DAFTAR PUSTAKA Beezer, R. A. 2006. A First Course in Linear Algebra. Department of Mathematics and Computer Science: University of Puget Sound.
Purcell, E. J. 1987. Calculus with Analytic Geometry 5th Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Boas, M. L. 1983. Mathematical Methods in The Physical Sciences 2nd Edition. Singapore: John Willey & Sons Inc.
Rice, B. J. & Strange. J. D. 1994. Ordinary Differential Equation with Applications 3rd Edition. Belmont, California: Wadsworth, Inc.
Carathéodory, C. 1999. Calculus of Variations and Partial Differential of First Order 3rd Edition. USA: AMS Chelsea Publishing. Farlow, S. J. 1994. An Introduction To Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co. Hanum, F. 2006. Pengoptimuman (Pemrograman Tak Linear). Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB. Ji, S. G. & Shi, S. Y. 2006. Periodic Solutions for a Class of Second-Order Ordinary Differential Equations. Journal of Optimization Theory and Applications. 130: 125-137. Mathews, J. H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering 2nd Edition. California: Prentice-Hall International, Inc.
Simmons, G. F. 1991. Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition. Singapore: McGraw-Hill Inc. Stewart, J. 2003. Kalkulus, edisi ke-4 jilid 2. Gunawan H. & Susila I. N., alih bahasa; Mahanani N. & Safitri A., editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition. Tu, P. N. V. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications, Second Revised and Enlarged Edition. Berlin: Springer-Verlag. Verhulst, F. 1990. Non Linier Differential Equation and Dynamical Systems. Hiedelberg, Germany: Springer-Verlag. Wan, Y. M. 1995. Introduction to The Calculus of Variations and Its Application. USA: Chapman & Hall.
13
LAMPIRAN
14
Lampiran 1. Bukti Lema dan Teorema Lema 14.
Misal S : [ 0, T ] ×
→
n
adalah fungsi yang terturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi
S ( 0, y ) = S (T , y ) ,
∂S ∂S ( 0, y ) = (T , y ) , ∂x ∂x
y∈
n
,
sehingga syarat berikut dipenuhi (1) Untuk setiap ( x, y, y ′ ) ∈ [ 0, T ] × (2) Untuk setiap ( x, y ) ∈ [ 0, T ] ×
n
n
×
n
, L% ( x, y , y ′ ) ≥ 0
, persamaannya L% ( x, y, q ) = 0 mempunyai solusi q = q( x, y )
memenuhi q ( 0, y ) = q (T , y ) . Misal
q = q ( x, y )
y* : [ 0, T ] →
n
solusi dari
L% ( x, y , q ) = 0
yang memenuhi
q ( 0, y ) = q (T , y ) . Jika
solusi dari
y ′ ( x ) = q ( x, y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
(10)
y ( 0 ) = y (T )
(11)
kemudian y * ( x) minimizer dari persamaan variasional T
min I ( y ) , I ( y ) = L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx ,
∫
y∈Ω
0
maka y * ( x) adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti Lema 14. Misalkan y* : [ 0, T ] →
n
solusi persamaan (10)
dapat dilihat y *′ ( x ) = q ( x, y * ( x ) ) , y* ∈
n
y *′ ( 0 ) = q ( 0, y * ( 0 ) ) y * ( 0 ) = y * (T ) y *′ ( 0 ) = q ( 0, y * ( 0 ) ) = q (T , y * (T ) ) = y *′ (T )
sehingga dihasilkan y *′ ( 0 ) = y *′ (T ) , yang berarti y* ∈ Ω . Dengan syarat (1) dan (2), maka
(
)
L% ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) ≥ L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) = 0
Untuk setiap y ∈ Ω , T
I ( y ) − I ( y *) = ⎡⎣L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L ( x, y * ( x ) , y *′ ( x ) ) ⎤⎦ dx
∫ 0
T
∂S ⎡ ⎤ = ⎢L% ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) + x, y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y′ ( x ) ⎥ dx ( ∂x ⎣ ⎦ 0
∫
15
T
∂S ⎡ − ⎢L% ( x, y * ( x ) , y *′ ( x ) ) + ( x, y * ( x ) ) + ∇ y S ( x, y * ( x ) ) , y *′ ( x ) ∂x ⎣ 0
∫
⎤ ⎥ dx ⎦
T
= ⎡⎣L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% ( x, y * ( x ) , y *′ ( x ) ) ⎤⎦ dx
∫ 0
T
⎡ ∂S ⎤ + ⎢ ( x, y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y′ ( x ) ⎥ dx ⎣ ∂x ⎦ 0
∫
T
⎡ ∂S ⎤ − ⎢ ( x, y * ( x ) ) + ∇ y S ( x, y * ( x ) ) , y *′ ( x ) ⎥ dx ∂x ⎣ ⎦ 0
∫
T
(
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
T
⎡ ∂S ⎤ + ⎢ ( x, y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y′ ( x ) ⎥ dx ⎣ ∂x ⎦ 0
∫
T
⎡ ∂S ⎤ − ⎢ ( x, y * ( x ) ) + ∇ y S ( x, y * ( x ) ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎥ dx ∂x ⎣ ⎦ 0
∫
T
(
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
T
+
∫ 0
T
d d S ( x, y ( x ) ) dx − S ( x, y * ( x ) ) dx dx dx
∫ 0
T
(
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
+ S ( x, y ( x ) ) − S ( x, y * ( x ) ) T
T
T
0
0
(
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
+ ⎡⎣ S (T , y (T ) ) − S ( 0, y ( 0 ) ) ⎤⎦ − ⎡⎣ S (T , y * (T ) ) − S ( 0, y * ( 0 ) ) ⎤⎦
T
(
)
= ⎡ L% ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
≥0
jadi I ( y ) ≥ I ( y *) , y ∈ Ω Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional T
min I ( y ) , I ( y ) = L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx . y∈Ω
∫ 0
Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y * ( x) maka nilai batas periodik (11) dipenuhi. y * ( x) adalah solusi dari persamaan (10) dengan nilai batas periodik (11) maka y * ( x) adalah solusi periodik. Lema 14 terbukti.
16
Teorema 15
Asumsikan bahwa S : [ 0, T ] ×
n
→
solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi
∂S ( x , y ) + H x, y , ∇ y S ( x , y ) = 0 ∂x
(
dan q : [ 0, T ] ×
)
n
→
Jika y* : [ 0, T ] →
n
n
memenuhi ∇ q L ( x, y, q ( x, y ) ) − ∇ y S ( x, y ) = 0
solusi
y ′ ( x ) = q ( x, y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
y ( 0 ) = y (T )
kemudian y * ( x ) minimizer dari persamaan variasional T
min I ( y ) , I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx , y ∈Ω
0
maka y * ( x) solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti teorema 15 Dengan asumsi pada S dan q, syarat (1) dan (2) dipenuhi. Dengan Lema 14, teorema siap dibuktikan. Misalkan y* : [ 0, T ] → n solusi y ′ ( x ) = q ( x, y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
(12)
y ( 0 ) = y (T )
(13)
dapat dilihat y *′ ( x ) = q ( x, y * ( x ) ) ,
y* ∈
n
y *′ ( 0 ) = q ( 0, y * ( 0 ) ) y * ( 0 ) = y * (T ) y *′ ( 0 ) = q ( 0, y * ( 0 ) ) = q (T , y * (T ) ) = y *′ (T )
sehingga dihasilkan y *′ ( 0 ) = y *′ (T ) , yang berarti y* ∈ Ω . Dan juga, dengan (1) dan (2) maka
(
)
L% ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) ≥ L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) = 0
Untuk setiap y ∈ Ω , diperoleh T
I ( y ) − I ( y *) = ⎡⎣L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L ( x, y * ( x ) , y *′ ( x ) ) ⎤⎦ dx
∫
0 T
∂S ⎡ ⎤ = ⎢L% ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) + x, y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y′ ( x ) ⎥ dx ( ∂x ⎣ ⎦ 0
∫
T
∂S ⎡ − ⎢L% ( x, y * ( x ) , y *′ ( x ) ) + ( x, y * ( x ) ) + ∇ y S ( x, y * ( x ) ) , y *′ ( x ) ⎤⎥ dx ∂x ⎣ ⎦ 0
∫
17
T
= ⎣⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% ( x, y * ( x ) , y *′ ( x ) ) ⎤⎦ dx
∫ 0
T
⎡ ∂S + ⎢ ( x , y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y ′ ( x ) ⎣ ∂x 0
∫
⎤ ⎥ dx ⎦
T
⎡ ∂S − ⎢ ( x, y * ( x ) ) + ∇ y S ( x, y * ( x ) ) , y *′ ( x ) ⎣ ∂x
∫ 0
T
(
⎤ ⎥ dx ⎦
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
T
⎡ ∂S + ⎢ ( x , y ( x ) ) + ∇ y S ( x, y ( x ) ) , y ′ ( x ) ⎣ ∂x 0
∫
⎤ ⎥ dx ⎦
T
⎡ ∂S − ⎢ ( x , y * ( x ) ) + ∇ y S ( x, y * ( x ) ) , q ( x , y * ( x ) ) ⎣ ∂x 0
∫
T
(
⎤ ⎥ dx ⎦
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
T
T
0
0
d d + S ( x, y ( x ) ) dx − S ( x, y * ( x ) ) dx dx dx
∫
∫
T
(
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
+ S ( x, y ( x ) ) − S ( x, y * ( x ) ) T
T
T
0
0
(
)
= ⎡L% ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
+ ⎡⎣ S (T , y (T ) ) − S ( 0, y ( 0 ) ) ⎤⎦ − ⎡⎣ S (T , y * (T ) ) − S ( 0, y * ( 0 ) ) ⎤⎦
T
(
)
= ⎡ L% ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) − L% x, y * ( x ) , q ( x, y * ( x ) ) ⎤ dx ⎣ ⎦
∫ 0
≥0
jadi I ( y ) ≥ I ( y *) , y ∈ Ω . Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional T
min I ( y ) , I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx . y ∈Ω
0
Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y * ( x) maka nilai batas periodik (13) dipenuhi. y * ( x) adalah solusi dari persamaan (12) dengan nilai batas periodik (13) maka y * ( x) adalah solusi periodik. Teorema 15 terbukti.
18
Lampiran 2 Mencari Solusi Persamaan Hamiltonian-Jacobi (33)
Akan dicari solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi berikut
∂S ∂x
+
1 ⎛ ∂S ⎞
⎛1
2
⎟ −⎜
⎜
2 ⎝ ∂y ⎠
⎝2
y + 2
F ( x) − f ( x)
( F ( x )) ⎞ 2
+
y
2y
⎟ = 0. ⎠
4
(33)
Diasumsikan bahwa solusi memiliki bentuk S ( x, y ) = h1 ( x ) y + h2 ( x ) y + h3 ( x ) + 2
h4 ( x )
(34)
,
y
dimana hi ( x ) dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi hi ( x + T ) = hi ( x ) , i = 1, 2, 3, 4. Dari persamaan (34) ∂S ∂y
= 2 h1 ( x ) y + h2 ( x ) −
h4 ( x ) y
2
4h1 ( x ) h4 ( x ) 2h ( x ) h4 ( x ) h4 ( x ) ⎛ ∂S ⎞ 2 2 2 + h2 ( x ) − 2 + ⎜ ⎟ = 4h1 ( x ) y + 4h1 ( x ) h2 ( x ) y − 2 4 y y y ⎝ ∂y ⎠ 2
∂S ∂x
2
2 = h1′ ( x ) y + h2′ ( x ) y + h3′ ( x ) +
h4′ ( x ) y
disubstitusikan ke persamaan (33)
⎞ 1 2 F ( x ) − f ( x ) ( F ( x )) =− ⎜ + ⎟ + y + 4 ∂x 2 ⎝ ∂y ⎠ 2 y 2y
∂S
1 ⎛ ∂S
2
h1′ ( x ) y + h2′ ( x ) y + h3′ ( x ) + 2
= −2 h1
−
2
( x) y
h4
2
( x)
2y
4
h4′ ( x ) y
− 2 h1 ( x ) h2 ( x ) y +
2
+
1 2
y + 2
2
2 h1 ( x ) h4 ( x )
F ( x) − f ( x) y
−
y
+
h2
2
( x) 2
( F ( x )) 2y
+
h2 ( x ) h4 ( x ) y
2
2
4
kemudian
h1′ ( x ) = −2h12 ( x ) +
1 2
h1′ ( x ) + 2 h1
1
2
( x) =
,
(40)
2
h2′ ( x ) = −2 h1 ( x ) h2 ( x )
h2′ ( x ) + 2 h1 ( x ) h2 ( x ) = 0, 1 2 h3′ ( x ) = − h2 ( x ) 2
(41)
19
h3′ ( x ) +
1
h2
2
2
( x ) = 0,
(42)
h4′ ( x ) = 2 h1 ( x ) h4 ( x ) + F ( x ) − f ( x ) h4′ ( x ) − 2 h1 ( x ) h4 ( x ) = F ( x ) − f ( x ) ,
(43)
h2 ( x ) h4 ( x ) = 0,
(44)
−
h4
2
( x ) ( F ( x ))
2y
+
4
( h ( x ))
2y 2
4
2
=0
4
= ( F ( x )) . 2
(45)
Dari (40)-(45), diperoleh h1 ( x ) =
1 2
, h2 ( x ) = 0,
h3 ( x ) = C ,
h4 ( x ) = − F ( x ) ,
dimana C melambangkan konstanta sembarang. Sehingga diperoleh solusi S ( x, y ) =
1 2
y − 2
F ( x) y
+C.
20
Lampiran 3 Mencari Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertama y′ = y +
F ( x) y
2
x ∈ [ 0, T ] ,
,
(35)
y ( 0 ) = y (T )
(36)
y y′ = y + F ( x ) 2
3
u= y
misal
du
3
= 3y
dy
2
dx
dx
1 du 3 dx
= y
2
dy dx
y y′ = y + F ( x ) 2
3
1 du 3 dx du dx du dx
= u + F ( x)
= 3u + 3 F ( x ) − 3u = 3 F ( x )
exp ( −3 x )( u ′ − 3u ) = 3 F ( x ) exp ( −3 x )
d dx
( exp ( −3 x ) u ) = 3exp ( −3 x ) F ( x )
exp ( −3 x ) u = ∫ 3exp ( −3 x ) F ( x ) dx + C u = exp ( 3 x )
( ∫ 3exp ( −3 x ) F ( x ) dx + C )
1
y = u3
(
( ∫ 3exp ( −3x ) F ( x ) dx + C ) )
1
(
( ∫ exp ( −3x ) F ( x ) dx + C ) )
1
= exp ( 3 x )
= 3exp ( 3 x )
3
3
1
⎛ ⎛x ⎞ ⎞3 y ( x ) = ⎜ 3exp ( 3 x ) ⎜ ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + C ⎟ ⎟ ⎝ ⎝0 ⎠⎠
21
untuk x = 0 1
⎛ ⎛0 ⎞ ⎞3 y ( 0 ) = ⎜ 3 ⎜ ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + C ⎟ ⎟ ⎝ ⎝0 ⎠⎠ 1
= ( 3C ) 3 untuk x = T 1
⎛ ⎛T ⎞ ⎞3 y ( T ) = ⎜ 3exp ( 3T ) ⎜ ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + C ⎟ ⎟ ⎝ ⎝0 ⎠⎠ nilai batas periodik y ( 0 ) = y ( T ) 1
⎛ ⎛T ⎞ ⎞3 ⇔ ( 3C ) 3 = ⎜ 3exp ( 3T ) ⎜ ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + C ⎟ ⎟ ⎝ ⎝0 ⎠⎠ 1
⎛T ⎝0
⎞ ⎠
⇔ 3C = 3exp ( 3T ) ⎜ ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + C ⎟
⎛ ⎝
⎞ ⎠
T
⇔ 3C = 3 ⎜ exp ( 3T ) ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + exp ( 3T ) C ⎟ 0 T
⇔ C = exp ( 3T ) ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + exp ( 3T ) C 0 T
⇔ C − exp ( 3T ) C = exp ( 3T ) ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds 0 T
⇔ C (1 − exp ( 3T ) ) = exp ( 3T ) ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds 0
T
exp ( 3T ) exp ( −3s ) F ( s ) ds ⇔C=
∫ 0
1 − exp ( 3T )
Jadi 1
T ⎛ ⎛ ⎞ ⎞3 exp 3 T ( ) ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟ ⎟ ⎜ ⎜x 0 ⎟⎟ y ( x ) = ⎜ 3exp ( 3 x ) ⎜ ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + 1 − exp ( 3T ) ⎜ ⎜0 ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠
1
x T 3exp ( 3 ( T + x ) ) ⎛ ⎞3 = ⎜ 3exp ( 3 x ) ∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds + exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟ ∫ 1 − exp ( 3T ) 0 ⎝ ⎠ 0
22
1
T 3exp ( 3 ( T + x ) ) ⎛ 3exp ( 3 x ) − 3exp ( 3 ( T + x ) ) x ⎞3 =⎜ − s F s ds + s F s ds − exp 3 exp 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ∫ ∫ 1 − exp ( 3T ) 1 − exp ( 3T ) 0 ⎝ ⎠ 0
⎛ 3exp ( 3 x ) − 3exp ( 3 ( T + x ) ) x
=⎜
⎝
1 − exp ( 3T )
⎛ 3exp ( 3 x )
=⎜
⎝
x
∫ 1 − exp ( 3T ) 0
∫
exp ( −3s ) F ( s ) ds +
0
exp ( −3s ) F ( s ) ds +
3exp ( 3 ( T + x ) ) 1 − exp ( 3T )
x
∫
exp ( −3s ) F ( s ) ds +
0
3exp ( 3 ( T + x ) )
3exp ( 3 ( T + x ) ) 1 − exp ( 3T )
1
T
∫ x
1
T
⎞3
∫ exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟ 1 − exp ( 3T ) ⎠ x
1
T exp ( 3 ( T + x ) ) ⎛ ⎛ exp ( 3 x ) x ⎞ ⎞3 = ⎜ 3⎜ exp − 3 s F s ds + exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟ ⎟ ( ) ( ) ∫ ∫ 1 − exp ( 3T ) x ⎝ ⎝ 1 − exp ( 3T ) 0 ⎠⎠ 1
T exp ( 3 ( T + x ) ) ⎛ exp ( 3 x ) x ⎞3 3 = 3⎜ − s F s ds + exp 3 exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟ ( ) ( ) ∫ ∫ 1 − exp ( 3T ) x ⎝ 1 − exp ( 3T ) 0 ⎠ 1
T exp ( 3 ( T + x ) ) ⎛ exp ( 3 x ) x ⎞3 3 y ( x) = 3 ⎜ exp − 3 s F s ds + exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟ . ( ) ( ) ∫ ∫ 1 − exp ( 3T ) x ⎝ 1 − exp ( 3T ) 0 ⎠
⎞3
exp ( −3s ) F ( s ) ds ⎟
⎠
23
Lampiran 4 Perhitungan Solusi Persamaan (37) 1
4π exp (12π + 3 x ) ⎛ exp ( 3 x ) x ⎞3 3 in y ( x) = 3 ⎜ exp − 3 s sin sds + exp − 3 s s sds ( ) ( ) ⎟ ∫ ∫ 1 − exp (12π ) x ⎝ 1 − exp (12π ) 0 ⎠ 1
exp (12π + 3 x ) 1 ⎛ exp ( 3 x ) 1 ⎞3 = 3⎜ (1 − exp ( −3 x )( cos x + 3sin x ) ) + ( − exp ( −12π ) + exp ( −3 x )( cos x + 3sin x ) ) ⎟ 1 − exp (12π ) 10 ⎝ 1 − exp (12π ) 10 ⎠ 3
1
⎛ exp ( 3 x ) − ( cos x + 3sin x ) − exp ( 3 x ) + exp (12π )( cos x + 3sin x ) ⎞ 3 = 3 ⎜ ⎟ 10 ⎝ 1 − exp (12π ) ⎠ 3
=
3
1
1 − exp (12π ) ⎞ 3
⎛ ⎜ − ( cos x + 3sin x ) ⎟ 10 ⎝ 1 − exp (12π ) ⎠ 3
1
⎛3 ⎞3 = − ⎜ ( 3sin x + cos x ) ⎟ . ⎝ 10 ⎠
24
Lampiran 5 1
⎛3 ⎞3 Program Untuk Menunjukkan Grafik Solusi y ( x ) = − ⎜ ( 3sin x + cos x ) ⎟ ⎝ 10 ⎠ fgs[x_]:=If[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))<0, -Abs[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))]1/3, Evaluate[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))]1/3] Plot[fgs[x],{x,0,4π},PlotRange→Full, Ticks→{Table[i,{i,0,4 π,π/2}]},AxesLabel→{"x"},PlotLabel→"y"]
y 1.0
0.5
2 0.5
1.0
3 2
2
5 2
3
7 2
x 4
