B A B II SOLUSI P E R I O D I K DAN B I F D R K A S I
2.1 S O L U S I P E R I O D I K S I S T E M
MANDIRI/AUTONOMOUS
M i s a l suatu sisteni liiiier niaiuliri : x ' = A X , dengan
xe\V
(2.1.1)
niaka kestaliilan titik .v = 0 dilentukan oleh nilai eigen dari niatriksA
Misalkan (i) .
jika
nilai eigen dari niatrik A di ( 2.1 )
/t, dan
X, dan
dan keduanya
u n t u k / . , ./L2 < 0 .
dan
tak
riil dan bertanda sama. niaka
stabil
uiUuk
A, .
A, > 0 .
.v = 0
Orbit
stabil
disekitar
X = 0 merupakaii siiiipul. (ii) .
Jika A, dan
keduanya r i i l berbeda tanda. niaka x = 0 berupa t i t i k pelana.
(iii)
Jika
A.
a
/ , dan
^ 0 ^
^ , niaka
kompleks
sekawan.
dengan
x, ; - (/
± Jl.
diniana
.v = 0 stabil untuk (/ < 0 dan tak stabil u n t u k (/ > 0 dan
orbit disekitar .v = 0 berupa .sjiiral. (iv)
imajiner nninii ( yaitii A = ±
Jika X| dan
. p
^
0 ). maka .v = 0 stabil
seragani tapi tak asimtotik dan orbit di sekitar .v = 0 berupa senter.
Sistem m a n d i r i di .V' -
se|)eiti ( 2.1.1) da])at ditulis dalam bentuk :
/(.v.v).
dimana .v. v , . / , d a i i g
skalai-skalar.
Akan
dicari kriteria tentang
adanya selesaiaii
periodik
dari ( 2 . 1 , 2 ) . yaitii
suatu
selesaian sedeniikian seliingga : .\-( t + T ) = x ( t ), dan Disini T disebut Perioda
y ( t + ' 1 ' ) = y ( t ). V t
(2.1.3)
dari selesaian . Orbit dari selesaian p e r i o d i k berupa k u w a
teitutup pada bidang lase. Perhatikan contoh-contoh berikut : I . M i s a l sistcm ; ,v'=
Y(l+ r-) • , v' = - x ( 1 + r ' )
dimana
(2.1.4)
r'^ = x " + y ' . Jika dilakukan transformasi ke k o o r d i n a t polar {r,6).
dengan
.V = r c o s f i . . y = r sni 0
(2.1.5)
maka (2.1.4) menjadi : /•' = 0 , ^' = - l - r ^
(2.1.6)
dan akan diperoleli .selesaian : •' = '•() (2.1.7) ^; = ^ „ - ( r , ; + i ) t Persamaan (2.1.7) berupa keluarga selesaian p e r i o d i k yang niasisig-masing berupa lingkaran ])ada lingkaran [lada bidang fase dengan j a i i - j a r i
8
.
Gambar I . Selesaian sistem ( 2.1,4 ) 2. M i s a l k a n suatu persamaan diferensial :
u' + ( u ^ + u ' - - I ) u ' + u = 0
(2.1.8)
.lika d i a m b i l substitusi ; .V
= u , y = u
(2.1.9)
maka ( 2.1.8 ) menjadi ; .r'=
y (2.20)
y' = - \ - ( r^ - 1 ) y
dimana r ' = \ ' + y ' . Dengan substitusi k o o i d i n a t polar sepeiti ( 2.1.5 ), diperoleli :
/•' = - , • (
- 1 )sin - ,9 (2.21)
6*== - ! - ( r " - 1 )sin i9.cos6^ Satu-satunya t i t i k tetap adalah l i t i k pangkal bahwa
r = l dan (9 = 6',,-t
( 0 . 0 ) yang lak slabil. i*erliatikan
adalah suatu selesaian p e r i o d i k dengan periode
I K dan
berupa lingkaran dengan j a r i - j a r i 1 dalam b i d a n g fase. I n i m e n i p a k a n selesaian
periodik.
karena
r ' < 0 u n t u k r > I dan di^O
r ' < 0 u n t u k r > l dan r ' > 0 i m t u k r < l . atau K .x' > 0
satu-satunya Khususnya
u n t u k r < 1 dati d ^ Q atau rr,
dan r' = 0 i m t u k 6 = 0 atau n A k i b a t n y a .selesaian p e r i o d i k stabil a s i m t o t i k .
Dua
contoli
diatas
i i m i i m n y a berupa keluarga
menunjukan
balnva
suatu
selesaian
periodik
pada
selesaian-selesaian p e r i o d i k sepeiti (2.1.4) atau liaiiya
satii sele.saiaii p e r i o d i k terisolasi .sepeiti ( 2 . 2 0 ) . C o n t o l i yang kediia i n i m e m b a w a kita kepada deflnksi berikut : Definisi
2.1 :
Limit Cycle adalali suatu orbit dari selesaian p e r i o d i k terisolasi. Y a n g dimaksud dengan selesaian periodik
terisolasi
adalali bahwa t i d a k ada
selesaian p e r i o d i k lain dalam suatu sekitar yang kecil dari selesaian p e r i o d i k i t u .
10
Sclaiijiitnya nicnuitiiskan
akaii dikaji
tentang
ada
bebciai)a
tidaknya
lial
yang
selesaian
dapat
periodik
menibantii itii,
dan
kita
inituk
nienentukan
kestabilannya. Teorciiiii I : Sisteni persamaan (2.1.2) tak iiiem|)uiiyai selesaian |)eriodik dalam daerah dimana (
+
suatu
^i:,'-^ ) tak berganti tanda.
Bukti : M i s a l C suatu orbit dari selesaian p e r i o d i k yang m e l i u g k u n g i daerab S. Dengan
Teorema Green |)ada bidang makfi.
(f\+g^
) d \ d y = . ( f dy - g dx ) .Tetapi pada orbit C ( 2 . 1 . 2 ) d i p e i m l i i
1' ( f dy - g dx ) = f (x' dv - y' d x ) = 0 seliingga
f •
+
sebingga
liarus berganti tanda dalam S.
-
,
•^-••^'^^r^T^^'t
Teorema 2 :
Orbit dari selesaian j i e r i o d i k terisolasi:' f-.JMPJIii^'vyiS^^^^^ ivjW'^ n i e l i n g k u n g i paling .sedikit satu t i t i k leta|).
'
<
-
. ...:
Bukti : Misalkan
S adalali
daerah
didalam
m e l i n g k u n g i t i t i k tetap. maka / " + g'
.V'
i)eriodik C. A n d a i k a n
^ 0 dalam S. M i s a l k a n 0
v e k t o r singgung pada C dengan sumbu x.
J.'
orbit
,/•
11
C tak
suatu sudut aiitara
seliingga
d(j) =-—\—^^-^ ,/" +g'
f
dcf) =
fdg-gdf
Dengan
3
teorema
Green
,9
f
pada
bidane
maka,
S
Tetapi iiitegraii dalam integral |)aling kanaii b c n i i l a i n o l . Terjadi k o i i t r a d i k s i dan pengaiulaian diingkai'. T e r b i i k t i bahwa orbit | ) e r i o d i k m e l i i i g k m i g i p a l i n g .sedikit satu t i t i k tetap. T c o n i m a ( Poincnre-Bendixson ) 3 : M i s a l R daerah teitutu]) dan terbatas yang lak memual t i t i k tetap dari (2.1.2 ) dan
/ , g&
y t>0,
l'
pada R sedeniikian hiiigga ada orbit p yang l e i i e t a k d i d a l a m R,
maka p berupa orbit terlutup atau mendekati orbit t e i t u t u p untuk / —>• oo .
Bukti :
M i s a l orbit j) adalali
{(x(t),y(i
)]
dengan
t>0.
.lika p suatu
t e i t u t u p , maka b u k t i .selesai. A n d a i k a n p bukan orbit t e i t u t u | ) . M i s a l k a n
dan
v„ = y(iO,
Karena
(x„ ,y„ ) e R.hd\
dan
terbala.s.
\/ /: > 03
maka
N e
barisan
f.v,j , V,; )
untuk
dan
legak
t>0.
Selanjulnya
lurus p o . .lika
itu memual
^ \ x„ -x„ j < t: dan
M i s a l k a n p o .suatu orbit yang m e l a l u i f'.v^, , r,; )
R
x^^-x(ii)
maka (x^^ , v„ J adalah barisan t i l i k - t i l i k |)ada j) yang ada d i d a l a m R.
R leitutu])
didalam
orbit
/
bual
cukup
m e m o t o n g / m e m p u n y a i arali yang sama.
12
pada
limit
| )•„ - .v„ j <
f = 0.
segmeii
titik
katakan
, V//>yV
Karena itu p o berada
garis
peiidek . maka
A yimg
semua
melalui
orbit
yang
Karena
(x,, , v„ )
titik l i m i t barisan ^v,, , r „ ) . maka ]) hariis m e m o t o n g / sebanyak
tak liingga kali jika / - > co. Orbit
\mn liariis m e m o t o n g / sebanyak tak liingga kali
jika / - > CO, sebab jika pd tidak m e m o t o n g ciikiip
dekat
dengan
(x„.y„)
tidak
/ setelali I ~ I , , maka setiap orbit yang
memotong
/
untuk
t yang
cukup
besar,
seliingga p tidak m e m o t o n g / setelali t yang cukui) besar. Ini tidak m u n g k i i i . M i s a l (x*.y*)
Maka (x*,y*')=
diaiitara
t i t i k pertama dimana
(x„,y„)
(x,i.y„)
dan
pd m e m o t o n g
/sesudali
(>:„,yi,)
.
. .sebab jika tidak d e m i k i a n . a m b i l /* bagiaii dari /
(x*,y*).
Maka
\-)u melevvali
/*
pada
r v * v * ; d a i i tak
peniali m e m o t o n g /* lagi j i k a t naik. tennasuk p.Dengan d e m i k i a n r v , ; , v,; )
bukan
t i t i k l i m i t p . K o i i t r a d i k s i . .ladi r .v* v * y =r-V='- v * ; . Dengan d e m i k i a n 1)0 suatu orbit p(, p n t l | k / - >
2.2
B I F I I R K A S I DAN O R B I I SOLllSI
,
^ . . n--'-
PERIODIK
Dalam bentuk yang p a l i n g vinninv teori bifurkasi adalah suatu teori tentang selesaian-
selesaian
dimaksudkaii.
asimtotik
sebagai
contoli
dari
persamaan
selesaian
nonliiiier.
keseimbaiigaii.
Selesaian
-selesaian
asimtotik
periodik.
dan
.selesaian l i a m p i r i)eriodik. Disini
hanya
akan
dibicarakan
bifurkasi
disekitar
titik
tetap
atau
orbit
p e r i o d i k saja. seliingga disebut bifurkasi lokal. Kita p e i i i a t i k a i i skstem per.samaaii diffeieiisial : A-' = f^^ ( X )
dengan
.v e R,
u e R''
D i s i n i .Y merupakaii variabel .bebas dan // parameter.
13
(2.2.1)
Definisi 2.2 : .V dikatakan titik tetap dari ( 2.2 ). j i k a
Misalkan
.v suatu t i t i k tetap dari
J\i ( x )
/„ ( x ) = 0 .
Karena
//
berxariasi. maka
fungsi i m p l i s i l mengakibatkan bahwa t i t i k letap-titik tetap itu merupakan fungsi
licin
/ „ f .V j
dari
//
. yaitu
yang
D , . / , , (x)
melewati titik-titik
i t u . Jika
teorema
fimgsi-
m a t r i k s Jacobian
dari
m e m p i m y a i nilai eigen n o l , grafik setiap fungsi i n i
merupakan cabang dari t i t i k tetap (2.2.1).
Pada suatu t i t i k tetap ( x„,u„
) dimana Dy/,,
m e m p u n y a i n i l a i eigen n o l , beberapa
cabang l i t i k letap bisa berpotongan bersama-sama dan dikatakan bahwa
(Xu.ja,,)
suaUi t i t i k b i f m k a s i . Kita perhatikan beberapa contoh .
a. M i s a l /'„ (x )=
Jika / / < 0,
titik
D,/'„ >
untuk
letap
jika
(
. Y > O.dimf,,
x = 0
.
Untuk
) = ~2/i.
(X)
> 0
> 0 akan m u n c u l sepasang t i t i k tetap
(x ) - u - 3x' .
D^f^, ( 0) = u
/ / > (9 . Jadi t i t i k tetap
u>0.
.v = 0 . Jika ,// > 0 maka t i t i k tetapnya
Y = ± - / i / . Jadi u n t u k
X = ± - ^ 7 / . Kita h i t u n g
Pada
D/'„
satu-satunya t i t i k tetap adalah
.Y = 0 dan
adalah
baru
iix-x'.
/ / > 0,
x = 0
muncul
Seliingga
seliingga
titik
D^./', < 0 jika
stabil u n t u k / / < r ; . D a i i
titik
tetaj)
tela])
baru
x=^±-JJi
dan
tak .stabil
x~±.yfji
.stabil
. U n t u k . Y < 0 . Jadi untuk / / = 0 t i t i k .Y = 0 .stabil.
14
// < 0
dimana
untuk
D i s i n i t i t i l \ ( 0,0 )nieru|)ak.an utii< l i i l u r k a s i . Ganihai' diagram b i f i i r k a s i n y a adaiab ;
a L i L i k
(0,0)'^
b i f u r l / a n l
Gambar 2,a. Diagram bifurkasi / „ fx )=
b. M i s a l
f^v ) = u - x' ,
maka t i t i k teta|)iiya adalali .v = ± i / , / /
Disini
ux-x'
D^.J],
^ v / / ; ( ^' ) > ^
( x)
= - 2x
untuk x<0
tak stabil. U n t u k p > 0,
yang t e d c l l i i i s i k a i i liaiiya u n t u k / / > 0 •
. Seliingga
di|)crolcli
D^f^Jx)<0
untuk
x> 0
. Jadi t i t i k tetap v = ^fiu stabil dan t i t i k tetap x = -
dan
yfji
semua selesaian yang berawal diatas t i t i k tetap stabil dan
diantara t i t i k tetap stabil dan t i t i k tetap tak stabil akan menuju kc t i t i k tetap stabil i t u , sedang selesaian yang berawal U n t u k / / < (7. maka
maka
/ „ (x )=
dibavvali l i t i k tetap l a k stabil akan menuju
D^f^i(x)<0
- . v ' seliingga
, semua selesaian menuju
(x ) >0.
unluk .v < 0 dan
Jadi untuk .// - 0 t i t i k .v= 0 .slabil.
L5
-co.
- o o . Untuk / / = 0 .
/'„ (x )< 0 untuk v > 0
D i s i n i l i t i k pangkal
( 0 . 0 ) menipakan
satu-saUinya l i t i k bifurkasi. Gambar diagram
bifurkasi dari persamaan diatas adalali sebagai berikut :
Gambar 2.b. D i a g r a m bifurkasi
f^v ) - u - x'
c. M i s a l / „ (x ) = jii -X - .v'
maka t i t i k tetapnya adalali x= 0 dan .v = ± / / dan D^.f,,fx)-/r-3x'
D,fu
( )
=
> ^ untuk // ^0
D^.J]J±y[Ji)=-2a'<0
j.1 ^0.
(x )<
0 untuk x>0.
j a d i t i t i k tetap .v= 0 tak stabil u n t u k / / ^0 .
untuk
U n t u k / / - 0^ maka
.
fi,,(x)=
u ^0.
.seliingga t i t i k tetap .r = ± / /
--v" seliingga
fu(^
.stabil u n t u k
u n t u k .v < ^
dan
.ladi t i t i k pangkal ( 0.0 ) stabil. G a m b a r d i a g r a m bifurkasi
adalali :
16
Gambar I.e. D i a g r a m bifurkasi / „ (x ) - ,u ' x - v '
2.3
BIFIIRKASI
IIOPF
D a l a m uraian sebelumnya telah d i s i n g g u n g sedikit tentang selesaian p e r i o d i k terisolasi atau l i m i t cycle. Perhatikan sistem : X' = f j x )
Dengan x eR"
dimana
D/'^^,
± i(o . (0 > 0
dan
( 2.3.1)
fungsi licin y a n g m e m p u n y a i t i t i k tetap
mem|nuiyai
pasangan
imajiner
munii
. dan tak ada nilai eigen yang bagian r i i l n y a n o l . Teorema
fungsi
imi)lisit menjamin bahwa i m t u k setiap
p(
u „) yang licin lerhadaj)
p(
1.1) berubah j i k a nilai eigen
nilai
//
eigen
sederhana
p(Li„).
dekal / / n ada l i l i k letap
p(
a
)(\k\<:ki\i
/ / . D i m c n s i m a n i l b l d .slabil dan m a n i f o l d lak .stabil
df( p( u ) J m e l e w a t i sumbu i m a j i n e r pada / / .
Perubalian k u a l i t a t i f dalam orbit lokal di dekal p(,ii)
ditandai oleh perubalian lokal
b i d a n g fa.se yang tak melibatkaii t i t i k tetap. Suatu petunjuk tentang ai)a yang terjadi
dalam masalah bifurkasi pada t i t i k telaj) dengan
17
nilai eigen imajiner i m i n i i dapat
diperoleli deiigaii iiieiiguji
sisleiii liiiier dinuma ada
perubalian
yang d e m i k i a n .
Perhatikan sistem : .v'= iix -(ov , ' ^'
(2.3.2)
yang m e m p u n y a i selesaian berbenluk : cos rut
- sill tut
sin rut
cos cut
= e"' _y(f)j
Jika ,u < 0, selesaian berupa spiral yang menuju t i t i k pusat.. jika / / > 0. berupa
.spiral yang m e n i i i g g a l k a i i l i t i k pusat . dan jika
/ / = 0.
selesaian
selesaian
berupa
senter ( p e r i o d i k ). Dengan transformasi k o o r d i n a t yang l i c i n , uraian taylor derajat tiga sistem bisa dibawa kebentuk
x' = ( cii.1 + a (
iioniicil:
X'
+ y' ))x -( or + cii + h ( x' ,
,v' = f (77 +
CLi
( 2.3.1 )
+ b(
X-
+ y-
))
X
- (d^Li + a
f X-
+ y' )) v • , ' + y )) y
( 2.3.4 )
Jika ditransformasi ke koordinat polar, (2.3.4) menjadi :
\
0' = ( m + CU +hr'
(2.3.5) )
Karena /•' bebas terhadai) 0, maka ada orbit p e r i o d i k berupa lingkaran r = konstaii, yang di dapat dari selesaian tak nol dari /•' = 0. Jika a ^ 0 ^ d.
ini berada di sepanjaiig parabola periodik
mempunyai
// =-ar'
garis singgung
d.
kuadralis
dalam K ' x R.
18
.selesaian -selesaian
Hal ini mengakibatkan o r b i t - o r b i t dengan
bidang
singgung
// = 0
Tcoiema
bil'iirkasi
lloj)!"
mcnyatakan
sifat-sifal
kualitatif
dari
sistem
|)ersamaan diatas di dekat titik pangkal yang tak berubah j i k a suku-suku order t i n g g i ditambaiikan dalam sistem. T e o r e m a ( H o p f ( 1942 )) 4 : M i s a l k a n sistem ( 4 ) m e m p u n y a i t i t i k tetap
y a n g m c m e n u l i i sifat-
{Xii.}-,,)
sifat : (HI).
DyJ], fx,,)
m e m p u n y a i sepasang nilai eigen imajiner m u r n i sederhana dan
tak ada nilai eigen lain dengan bagian r i i l n o l . maka ( f(1) m e n g a k i b a t k a n ada suatu kiuA'a licin
// ),/i)
dengan
A( u ) dan ?f u ) dari D.J,,,,
iifx,, j = x,,. N i l a i eigen
nilai eigen
( x ( ii )) menjadi i m a j i n e r |)ada / / = uo
yang
licin terhadaj) / / . .lika lebih lanjut :
(H2).
( Ri'X(
maka
R"
ada
u ))
manifold
=f/
^
0
pusat t i m g g a l dimensi tiga y a n g m e l a l u i
(x^^.uo)
dalam
X R dan suatu si.stem koordinat licin ( yang mengavvetkan bidang / / ^ konstan ),
dimana ekspansi T a y l o r derajat tiga pada m a n i f o l d pusat diberikan oleh : -v' = ( dfi + a ( X' + y- ))x-(
m + cu + b{ x'
+ y- )j y ( 2.3.6 )
v' = ( 07 + cfi +b( .lika
(I ^ 0 .
maka
ada
X-
+ V"
suatu
)) X - (du selesaian
+
a ( x' + y- )) y •
|)eiiodik
dalam
manifold
m e m p u n y a i persinggimgan kuadratik dengan i i u u i g eigen ( /^( ,LI„
dengan
order kedua,
dengan
paraboloida
maka selesaian-selesaian p e r i o d i k |)enolak.
19
/ / - ~(a
d)(
pusat
yang
U^^ ) ) sesuai
x' + y' ) . .lika
<'/<0.
Tcoreina
ini tidak
dibuktikan
di sini.
Pada
contoh-conloii
berikut
akan
ditunjukan proses terjadinya bifurkasi H o i f sepeili disebutkan dalam teorema diatas. Contoli 1 : .v' = - v + iix-x{
X- + y- J . \
v'=
X- + V'
x + ^(\--y{
(2.3.7)
J
T i t i k ( \ , y ) = ( 0,0 ) yaitu s u m b u / /
merupakan
t i t i k tetap. M a t r i k s Jacobian dari
pelinieran di ( 0.0 ) adalah :
Df (0.0)
=
//
- I
I
//
.( 2 . 3 . 8 )
seliingga nilai eigeniiya adalah : = u ±'
( 2.3.9)
Dari pelinieran disekitar t i t i k tetap ( 0.0 ). maka t i t i k //< 0
dan tak stabil u n t u k
murni.
Selanjutnya
/ / > 0.
jika d i h i t u n g , — du
Namun
( ReA(
pada
ii)) '
// = 0 nilai
( 0.0 ) stabil luUuk eigeniiya
= I . dan i n i m e m e i u i l i i ( H 2 ) """
dalam teoiema ( 4 ) . Dengan d e m i k i a n semua koiidisi teorema ( 4 ) d i p e n u l i i . D i a g r a m bifurkasi dari contoh 1 adalah sebagai b e r i k u t :
20
imajiner
Beberapa gambar bidang fase dari persamaan
( 2.3.7 ) u n t u k
parameter// t e i t e n t u :
Gambar 2.3. l.a. B i d a n g fase persamaan ( 2.3.7 ) u n t u k / / < 0 . T i t i k ( 0.0 ) stabil.
21
nilai-nilai
