BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Matriks
Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks
adalah susunan segiempat dari skalar-
skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ …
Setiap skalar yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks atau
entri matriks. Entri ij atau elemen ij, muncul pada baris i dan kolom j. Biasanya =
matriks hanya ditulis sebagai
. Suatu matriks dengan m baris dan n
kolom disebut dengan matriks m kali n, ditulis disebut ukuran matriks. 2.2
× . Pasangan bilangan m dan n
Operasi Matriks Adapun macam- macam operasi matriks diantaranya sebagai berikut:
a.
Penjumlahan Matriks Penjumlahan dua matriks dapat dilakukan jika ukuran-ukuran matriksnya =
sama. Misalkan
dan
× . Jumlah
sama, misalnya
=
dan
adalah dua matriks yang ukurannya ditulis
+
, adalah matriks yang
diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesusaian dari dan yaitu:
+ b.
Perkalian Matriks
=
+ +
… +
+ +
… … …
… +
Definisi 2.2 (Lipschutz, 2006): Anggaplah
+
=
+ … +
dan
=
matriks-matriks yang sedemikian rupa sehingga banyaknya kolom dari dengan banyaknya baris dari
; Misalnya,
adalah sama
adalah matriks yang berukuran
II-1
×
dan
adalah matriks ×
berukuran dari
yang entri
. dengan Hasil kali
… … … … …
. .
=
-nya diperoleh dengan cara mengalikan baris ke-
+
… … … … …
. . .
Invers Matriks
+ ⋯+
≠
terdapat matriks
. . .
. . .
=
adalah matriks
.
Definisi 2.3 (Anton, 2004): Jika
, maka
. . .
… … … … …
tidak dapat ditentukan jika
matriks. × , dimana
dari
adalah matriks yang
dengan kolom ke- dari . Yaitu, .
2.3
× . Maka hasil kali
… …
. . .
… … ×
dan
adalah sebuah matriks bujursangkar, dan jika
yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga
dikatakan dapat dibalik (invertible) dan
. Jika matriks
adalah
=
=
dinamakan invers (inverse)
tidak dapat didefinisikan, maka
dinyatakan matriks
singular. Untuk mencari invers dari matriks
yang dapat dibalik, kita harus
mencari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi dan melakukan urutan operasi yang sama terhadap sehingga matriks akhir akan mempunyai bentuk Contoh 2.1 :
|
menjadi identitas
untuk memperoleh
,
.
Tentukan invers matriks di bawah ini: 1 −1 0 A = 1 0 − 1 −6 2 3
Penyelesaian:
Dengan menggunakan operasi baris elementer maka invers matriks dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1 1 −6
−1 0 1 0 0 0 − 1 0 1 0 2 3 0 0 1
II-2
Kalikan baris pertama dengan (− 1) dan tambahkan ke baris kedua 1 0 −6
− 1 0 1 0 0 1 − 1 − 1 1 0 2 3 0 0 1
Kalikan baris pertama dengan (6) dan tambahkan ke baris ketiga 1 0 0
− 1 0 1 0 0 1 − 1 − 1 1 0 − 4 3 6 0 1
Kalikan baris kedua dengan (1) dan tambahkan ke baris pertama 1 0 0
0 − 1 0 1 0 1 − 1 − 1 1 0 − 4 3 6 0 1
Kalikan baris kedua dengan (− 4) dan tambahkan ke baris ketiga 1 0 0
0 − 1 0 1 1 − 1 − 1 1 0 − 1 2 4
0 0 1
Kalikan baris ketiga dengan (− 1) 1 0 0
0 − 1 0 1 0 1 − 1 − 1 1 0 0 1 − 2 − 4 − 1
Kalikan baris ketiga dengan (1) dan tambahkan ke baris pertama 1 0 0
0 0 − 2 − 3 − 1 1 − 1 − 1 1 0 0 1 − 2 − 4 − 1
Kalikan baris ketiga dengan (1) dan tambahkan ke baris kedua 1 0 0
0 0 − 2 1 0 − 3 0 1 − 2
Sehingga diperoleh :
2.4
−3 −1 −3 −1 −4 −1
− 2 − 3 − 1 = − 3 − 3 − 1 − 2 − 4 − 1
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang mempunyai elemen-elemen nol kecuali elemen-elemen pada diagonal utamanya disebut matriks diagonal (Gere, 1987). Contoh untuk matriks seperti ini adalah:
II-3
=
0 … 0
0
… 0
… … … …
0 0 …
Invers matriks diagonal dapat diperoleh dengan mudah, yaitu matriks diagonal lain yang elemen pada diagonal utamanya berkebalikan dengan elemen yang sepadan pada matriks asal, sehingga: 1
=
2.5
0
…
1
0 …
… …
…
0
0
…
0
0 … 1
Sistem Persamaan Linear
Definisi 2.4 (Lipschutz, 2006): Persamaan linear dengan variabel tidak diketahui ,
,…
dengan
adalah persamaan yang dapat disusun dalam bentuk standar: ,
,…
dan
+
+ ⋯+
adalah konstanta.
=
Definisi 2.5 (Lipschutz, 2006): Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear dengan variable-variabel tidak diketahui yang sama. Secara khusus, sistem persamaan linear yang terdiri dari dengan
variabel tidak diketahui
standar
diketahui
dan
+ ⋯+
+
+ ⋯+
+ ⋯+
adalah konstanta. Huruf
pada persamaan
,…
+
+
dengan
,
dan
persamaan
,
,…
, dapat disusun dalam bentuk =
= =
adalak koefisien dari variable tidak
adalah konstanta dari persamaan
.
II-4
2.6
Rank Matriks
Definisi 2.6 (Ruminta, 2009): Rank dari suatu matriks berukuran
×
adalah
jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang bebas linear (independen linear). Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris (kolom) non-zero pada matriks tersebut.
matriks dapat digunakan untuk mengetahui
apakah suatu matriks itu singular atau non singular. Jika dengan dimensi × , maka: a.
matriks
b. matriks
adalah non singular apabilah merupakan matriks singular apabila
=
matriks bujur sangkar
<
Solusi sistem persamaan (baik untuk yang non homogen ataupun homogen) mempunyai beberapa bentuk solusi. Keadaan solusi, bahkan ada atau tidaknya solusi dapat ditentukan dengan menyelidiki rank dari dua macam matriks. Matriks yang pertama adalah matriks koefisien
dari persamaan
=
yang dinyatakan dengan . Matriks kedua, disebut matriks lengkap, yaitu matriks yang dilengkapi oleh suatu kolom yang unsurnya diambil dari vektor ruas kanan yang dinyatakan dengan
, yaitu: =
Tabel 2.1 Syarat-syarat Solusi Tipe Persamaan Persamaan konsisten
Persamaan tak konsisten Persamaan homogen
…
…
… … … …
Persamaan
Syarat dari Rank =
=
=
=
= <
Sumber: Aljabar Matriks untuk Para Insinyur
…
…
Keadaan Solusi Solusi tunggal
<
Banyak solusi
=
Solusi tunggal
<
Tidak mempunyai solusi
Banyak solusi
II-5
Contoh 2.2 : Tentukan
dari matriks dibawah ini: 1 2 = 2 3 3 5
Penyelesaian :
3 4 7
Dengan menggunakan operasi baris elementer kita dapat menentukan dari matriks
dengan cara melihat banyaknya baris tak nol pada matriks
elementer yang didapat. Maka perhitungannya dapat dilakukan sebagai berikut:
Jadi rank dari matriks 2.7
= 2
1 = 2 3 1 = 0 3 1 = 0 0 1 = 0 0
2 3 3 4 − 2 5 7 2 3 −1 −2 -3 5 7 2 3 − 1 − 2 −1 −2 2 3 −1 −2 0 0
Generalized Invers
Definisi 2.7 (Searle, 1971): Jika adalah generalized invers dari
adalah matriks berukuran =
Jika
×
dengan ukuran matriks
mempunyai invers, maka
× , kemudian
maka berlaku
(2.1)
dapat dikalikan dengan
kedua sisi dari persamaan (2.1) sehingga diperoleh =
=
Selanjutnya dari persamaan (2.1) diperoleh
artinya
=
terhadap
=
=
. Hal Ini membenarkan istilah generalized inverse. Selanjutnya
akan dilihat bahwa setiap matriks
berukuran
generalized inverse. Tetapi, jika matriks
×
setidaknya memiliki satu
berukuran
×
dan
memiliki
II-6
invers, ada banyak generalized inverse yang berbeda, sehingga
bersifat tidak
tunggal. Jika persamaan (2.1) dikali dengan =
, misalkan
=
=
dan ×
adalah matriks
adalah matriks proyeksi berukuran × .
berukuran
Secara umum jika =
(
) dan
kata lain, jika = { =
+
:
Jika
atas range
=
∈
dan ×
dan
, maka
=
, dan
dan −
=
, kita dapat mengatakan bahwa =
dengan ruang
Kedua proyeksi menunjukkan
dan
bagaimana
:
×
=
−
, maka
berlaku untuk
ada di dalam range
=
yang
adalah matriks proyeksi
× , maka untuk setiap
=
dan
merupakan matriks
adalah matriks
=
untuk semua
} (range dari ).
=
dan
adalah matriks proyeksi, maka
adalah matriks
∈
+ ,
=
=
maka berlaku untuk
disebut dengan matriks proyeksi. Sehingga proyeksi. Karena
=
yang berbentuk
−
∈ =
. Dengan
di dalam ruang −
memenuhi
= 0. Disebabkan
=
merupakan matriks proyeksi
= 0.
muncul pada hasil selanjutnya, yang
generalized
inverse
dapat
digunakan
untuk
menyelesaikan persamaan matriks. Contoh 2.3 : Diberikan matriks
Buktikan
=
dan
sebagai berikut:
1 2 dan 3 6
=
1 0 0 0
adalah generalized invers dari !
Penyelesaian: Akan ditunjukkan
adalah generalized invers dari
apabila berlaku
yaitu: =
1 3
2 1 0 1 6 0 0 3
2 1 = 6 3
sehingga disimpulkan bahwa
0 1 2 1 2 = = 0 3 6 3 6
=
,
adalah generalized invers dari .
II-7
Ada beberapa metode yang digunakan untuk menemukan generalized inverse dari suatu matriks, yaitu dengan metode pendiagonalan matriks dan aturan algoritma. 2.7.1 Metode Pendiagonalan Matriks (Searle, 1971) menyatakan bahwa matriks diagonal merupakan suatu matriks dimana semua elemen diluar diagonal utama mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama ≠ 0, biasanya diberi simbol . Jika
berdimensi
direduksi menjadi bentuk diagonal dapat dinyatakan
sebagai = ∆
Atau secara sederhana dinyatakan
0
= ∆
dengan : dan
≡
0 ≡
0
0
(
(
)
)
0 0
= operasi baris elementer
= rank matriks = matriks diagonal orde r. Secara umum apabila sebarang matriks diagonal
,…,
menyatakan elemen-elemen diagonal dari
, dengan menggunakan notasi
untuk
, dapat
dinyatakan:
0 ≡ … 0
Invers dari ∆ =
Maka
0
=
0
… 0
… … … …
0 0 ≡ …
dinyatakan dengan ∆
0 0
∆
.
≡
untuk = 1, … , .
yang ditulis
(2.2)
II-8
Adapun langkah-langkah aturan pendiagonalan matriks adalah sebagai berikut : a.
Diketahui matriks sembarang A yang berukuran n x n.
b.
Menentukan matriks P dengan melakukan operasi baris elementer (OBE) pada matriks
c.
dengan bentuk [ | ].
Menentukan matriks Q dengan menggunakan operasi kolom elementer (OKE) pada matriks
d.
Hitung
e.
Menentukan ∆ .
f.
yang telah di OBE dengan bentuk
.
= PAQ.
Selanjutnya cari G = Q∆ P dengan G adalah generalized inverse dari matriks tersebut.
Contoh 2.4 : 4 1 2 Diketahui matriks = 1 1 5 , dengan aturan pendiagonalan maka matriks 3 1 3 mempunyai generalized inverse sebagai berikut: Penyelesaian: a. Diketahui matriks sembarang A yang berukuran 3 × 3. 4 1 2 = 1 1 5 3 1 3
b. Akan dicari matriks P dengan melakukan operasi baris elementer (OBE) pada matriks
dengan bentuk | | |
|
, maka akan diperoleh :
4 1 = 1 1 3 1 1 1 = 4 1 3 1
1 1 = 4 1 0 −2
2| 5| 3| 5| 2| 3|
1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
5 | 2 | − 12|
0 0 1 0 0 1
↔ − 3
0 1 0 1 0 0 0 −3 1
− 4
II-9
| |
1 1 = 0 −3 0 −2
5 | − 18| − 12|
0 1
0 0
1 = 0 0
=
−
| 1 5 | − 3 − 18 0 0 |
2 3
1 −4 1 − 3
0 1 0 1 −4 0 0 −3 1 0 1 2 − 3
1 0 −4 0 1 − 1 3
−
2 3
1
c. Kemudian dengan melakukan operasi kolom elementer (OKE) pada matriks yang telah di OBE dengan bentuk
=
=
=
d. Setelah didapatkan
=
1 1 0 −3 0 0 − − 1 0 0 1 0 0 1 0 0 −3 0 0 − − 1 −1 0 1 0 0 1 0 0 −3 0 0 − − 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1 0 0 dan
, maka akan diperoleh : 5 − 18 0 − 0 0 1 0 − 18 0 − −5 0 1 0 0 0 − 1 −6 1 1 −6 1
− 5
− 6
selanjutnya akan ditentukan
dengan
menggunakan persamaan ∆=
II-10
∆ =
0 1
=
1 −4
4 1 2 1 1 1 5 0 1 − 1 3 1 3 0
2
−
0 0
3
1 0 ∆ = 0 − 3 0 0
3
0 0 0
−1 1 1 −6 0 1
e. Kemudian dicari ∆ , diperoleh : 1
0 0 1 ∆ = 0 − 0 3 0 0 0
f. Selanjutnya cari matriks
yaitu:
=
=
∆
∆
1 = 0 0
dengan
1 −1 1 1 − 6 0 0 1 0
1 1 −1 0 = −1 4 0 3 0 0 0 1 1 − 0 3 3 = −1 4 0 3 3 0 0 0
adalah generalized inverse dari
0
−
1 3
0
0
0 0
0 1
−
2 3
1 −4
−
1 3
0 0 1
2.7.2 Aturan Algoritma
(Searle, 1971) menyatakan bahwa dalam mencari invers suatu matriks terkadang matriks dibagi-bagi menjadi beberapa matriks yang lebih kecil yang disebut submatriks. Proses membagi-bagi matriks menjadi beberapa submatriks dinamakan partisi matriks. Sedangkan generalized inverse diperoleh berdasarkan penyusunan kembali invers submatriks non-singular dan null matriks yang memenuhi persamaan
=
.
II-11
| | = ____ ____ | | | =
| | − |
−
dengan :
____ _____
−
=
,
=
=
,
=
dengan submatriks dan
adalah non-singular berukuran
merupakan matriks nol.
Selanjutnya ditentukan invers dari submatriks sehingga diperoleh submatriks ( (
),
,
0
)
dengan rank ;
,
lalu di transposekan
) . Susun kembali submatriks submatriks
dengan ketentuan submatriks selain submatriks (
dan
dinolkan. (
×
)
0 0
Kemudian ditransposekan kembali untuk memperoleh generalized inverse dari matriks 0
sehingga 0 0
dengan bentuk di atas merupakan generalized inverse dari = =
yang memenuhi
yaitu :
Sehingga terbukti
0
=
0 0 .
=
II-12
Adapun langkah-langkah aturan algoritma adalah sebagai berikut : a.
Dalam matriks
dengan rank , temukan sembarang matriks minor non
singular dengan orde . Notasikan dengan b.
Temukan invers matriks
c.
Dalam matriks
, yaitu
.
kemudian transposkan,
, ganti setiap elemen matriks
.
dengan elemen matriks
dan ganti elemen lainnya dengan nol. d.
Transposkan matriks . Hasilnya berupa matriks
dan
adalah generalized
inverse dari . Contoh 2.5 : 4 1 2 = 1 1 5 , dengan aturan algoritma maka matriks 3 1 3
Diketahui matriks
mempunyai generalized inverse sebagai berikut Penyelesaian: Akan ditentukan rank dari matriks
dengan operasi baris elementer sebagai
berikut : 4 = 1 3 1 = 4 0 1 = 0 0
1 2 ↔ 1 5 1 3 1 5 1 2 − 2 − 12 1 5 − 3 − 18 0 0
Jadi rank matriks
a. Dalam matriks
1 = 4 3 1 = 0 0
− 4
adalah . dengan rank
, temukan sembarang matriks minor
nonsingular dengan orde . Notasikan dengan =
1 2 1 5
b. Temukan invers matriks =
1 5 − 3 1 2 1 3 1 5 − − 3 − 18 − 2 − 12
5 −2 ; −1 1
, yaitu =
.
kemudian transposkan,
−
.
−
II-13
c. Dalam matriks
, ganti setiap elemen matriks
dengan elemen matriks
dan ganti elemen lainnya dengan nol. 5 1 − 3 3 = 2 1 0 − 3 3 0 0 0 0
d.
Transposkan matriks
dan hasilnya berupa matriks
dan
adalah
generalized inverse dari . = 2.8
0
=
0 −
−
0 0 . 0
Solusi Umum Sistem Persamaan Linear dengan Generalized Inverse
Teorema 2.1 (S.Sawyer, 2008): Misalkan diasumsikan bahwa untuk i.
∈
adalah generalized invers dari =
,
∈
dan hanya jika =
+
−
=
, kita dapat gunakan Bukti: =
(i).
Diketahui
Jika
didalam range pada proyeksi =
Diketahui
dan
adalah solusi dari =
dan
=
dan
) . Maka
= =
=
=
(2.4) untuk
=
, akan dibuktikan
=
, artinya jika .
. Akan dibuktikan
(artinya, jika
adalah solusi dari
untuk ∈
catatan : jika kita ingin sebuah solusi tertentu dari
dan
)
mempunyai banyak solusi, maka =
=
jika dan hanya jika
ada didalam range pada proyeksi
jika dan hanya jika
×
(2.3)
∈
mempunyai solusi untuk
Jika
=
(berarti,
yang tetap
Persamaan
ii.
matriks berukuran
didalam range
. , maka
=
=
II-14
=
Jika berarti
=
, maka =
=
. Sehingga (
∈
memiliki solusi untuk (ii). −
Diketahui , kalikan −
Diketahui
=
+
=
=
dan
−
=
Jadi solusi
dari
Contoh 2.6 :
=
) =
+
−
=
dan = =
+
−
=
=
, akan dibuktikan
+
−
, akan dibuktikan =
=
adalah solusi khusus. Jika
terhadap persamaan (2.4) maka diperoleh , −
=
, sedangkan
. Selanjutnya, jika
yang diberikan, maka
Dari persamaan (2.4) ganti +
=
=
=
+
=
=
+ +
−
pada persamaan sisi kanan, maka diperoleh =
+
−
=
.
adalah persamaan (2.4) dengan =
.
Tentukanlah solusi dari sistem persamaan linear berikut: +
3 2 1 + 2 +
= 1
= 0 = 2
Penyelesaian: Sistem persamaan linear di atas dapat diubah menjadi matriks lengkap atau matriks yang diperluas (augmented matrix), yaitu: 1 1 3 1 = 2 1 1 2
| 1 | 0 | 2
akan ditentukan rank dari matriks
dengan operasi baris elementer sebagai
berikut : 1 1 3 1 = 2 1 1 2
| 1 | 0 | 2
− −
II-15
1
1 | 1 1 | −1 2 1 − | 1 2 1 | 1 1 | −1 2 0 | 0
= 0 0
1
= 0 0
Jadi rank matriks
+
adalah . Berdasarkan Tabel 2.1, jika
=
=
<
maka persamaan di atas mempunyai banyak solusi. Dengan aturan algoritma diperoleh generalized inverse sebagai berikut : a. Dalam matriks
dengan rank
, temukan sembarang matriks minor
nonsingular dengan orde . Notasikan dengan =
1
1 3 2
1
b. Temukan invers matriks =
3 −2 ; −2 2
c. Dalam matriks
, yaitu =
.
kemudian transposkan,
3 −2 −2 2
, ganti setiap elemen matriks
.
dengan elemen matriks
dan ganti elemen lainnya dengan nol. 3 −2 = −2 2 0 0
d. Transposkan matriks =
=
dan hasilnya berupa matriks .
3 −2 0 −2 2 0
Terakhir didapat bentuk solusi umum dari sistem persamaan linear sebagai berikut: =
dengan
+
=
−
3 −2 0 −2 2 0
II-16
maka diperoleh: 1 3 −2 0 = 0 + −2 2 0 2
=
3 + −2
ambil
,
1 0
= 0, maka
0 3 + 0 −2 3 = = −2 =
sehingga nilai sebagai
0 1 − 1 0
dan
= 3 dan
1 0
0 1
0 3 −2 − 1 −2 2
1 1 3 0 1 2 0 1 1 2
diperoleh dengan nilai = − 2.
dan − 2 atau dapat ditulis
II-17
