1
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Hakikat Belajar Matematika Morgan, dkk (dalam Walgito, 2004: 167) memberikan definisi mengenai belajar yaitu: “Learning can be defined as any relatively permanent change in behavior which occurs as a resut of practice or experience.”. Hal yang muncul dalam definisi ini ialah bahwa perubahan perilaku itu relatif permanen. Di samping itu juga dikemukakan bahwa perubahan itu sebagai akibat belajar karena latihan atau karena pengalaman. Pada pengertian latihan dibutuhkan usaha dari individu yang bersangkutan, sedangkan
pada pengertian pengalaman usaha
tersebut tidak tentu diperlukan. Ini mengandung arti bahwa dengan pengalaman seseorang atau individu dapat berubah perilakunya, disamping perubahan itu dapat disebabkan oleh latihan. Menurut Suparno (2000: 2) “belajar merupakan suatu aktivitas yang menimbulkan perubahan yang relatif permanen sebagai akibat dari upaya yang dilakukannya. Perubahan-perubahan tersebut tidak disebabkan faktor kelelahan, kematangan, ataupun karena mengkonsumsi obat tertentu. Belajar merupakan hal yang sangat dasar bagi manusia dan merupakan proses yang tidak henti-hentinya.” Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa belajar adalah penambahan pengetahuan individu sebagai akibat dari pengalaman dan latihan yang akan membawa pada perubahan tingkah laku. Menurut Uno dan Umar (2010: 109) “Matematika adalah sebagai suatu bidang ilmu yang merupakan alat pikir, berkomunikasi, alat untuk memecahkan
1
2
berbagai persoalan praktis, yang unsur-unsurnya logika dan intuisi, analisis dan kontruksi, generalitas dan individualitas, dan mempunyai cabang-cabang antara lain aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis”. Cockroft (dalam Abdurrahman 2003: 253) “mengemukakan bahwa matematika perlu diajarkan kepada siswa, karena (1) selalu digunakan dalam segala segi kehidupan; (2) semua bidang studi memerlukan ketrampilan matematika yang sesuai; (3) merupakan sarana komunikasi yang kuat, singkat, dan jelas; (4) dapat digunakan untuk menyajikan informasi dalam berbagai cara; (5) meningkatkan kemampuan berpikir logis, ketelitian, dan kesadaran keruangan; dan (6) memberikan kepuasan terhadap usaha memecahkan masalah yang menantang”. Berdasarkan
definisi
matematika
di
atas,
maka
peneliti
dapat
menyimpulkan secara sederhana, bahwa matematika adalah suatu cara yang digunakan seseorang untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perhitungan serta hubungan tentang konsep-konsep antara satu dengan yang lainnya berkesinambungan. Hakikat belajar matematika adalah suatu aktivitas yang digunakan untuk memahami arti dan memecahkan masalah yang berkaitan dengan simbol-simbol.
2.2
Penguasaan Matematika Kata “penguasaan” menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) berarti
“pemahaman” sedangkan “pemahaman” memiliki kata dasar “paham” yang berarti “tahu benar”. Pemahaman adalah (a) menerima arti, menyerap ide; (b) mengetahui
2
3
secara betul, memahami sifat dasar karakter; (c) mengetahui arti kata-kata seperti dalam bahasa; dan (d) menyerap dengan jelas atau menyadari fakta. Menurut Ernawati (dalam Harja, 2012) “mengemukakan pemahaman adalah
kemampuan
menangkap
pengertian-pengertian
seperti
mampu
mengungkapkan suatu materi yang disajikan dalam bentuk lain yang dapat dipahami, mampu memberikan interpretasi dan mampu mengklasifikasikan”. Berdasarkan uraikan di atas, penulis dapat menyimpulkan bahwa penguasaan matematika adalah suatu kemampuan siswa untuk dapat memahami maupun menjelaskan pemikiran abstrak yang digunakan untuk mengklasifikasi atau mengelompokkan suatu objek-objek, dan mampu menyusun kalimat yang tidak sama dengan konsep yang diberikan tetapi maksudnya sama.
2.3
Objek Matematika Menurut Begle (dalam Ismail, 1996) mengemukakan bahwa objek
matematika berupa fakta, konsep, operasi dan prinsip. Fakta merupakan kenyataan yang tidak bebas nilai. Hubungan 4 < 5 adalah fakta, namun a < b bukan fakta, karena a dan b bersifat bebas nilai. Konsep yaitu suatu ide atau gagasan yang dibentuk dengan memandang sifat-sifat yang sama dari sekumpulan objek tertentu. “segitiga” adalah suatu konsep. Suatu bangun geometri disebut segitiga atau bukan sebelumnya harus diperhatikan jumlah sisi, kelurusan sisi, bagaimana sisi itu saling terpadu dan lainnya. Operasi adalah fungsi yang menghubungkan objek-objek matematika dan menghasilkan objek matematika yang lainnya. Simbol kali (x) dalam pernyataan 2 x 3 = 6 yang menunjukkan perkalian bilangan 2 dan bilangan 3
3
4
menghasilkan 6. Prinsip menyatakan hubungan
antara dua atau lebih objek
matematika tersebut berupa fakta, konsep, operasi dan prinsip yang lain. Menurut Soedjadi (2000: 13) mengemukakan bahwa dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut objek mental. Objek dasar itu meliputi (1) fakta, (2) konsep, (3) operasi ataupun relasi, (4) prinsip. Adapun objek dasar tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut: 1) Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Simbol bilangan “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan “tiga”. Jika disajikan angka “3” orang sudah dengan sendirinya menangkap maksudnya yaitu “tiga”. Sebaliknya kalau seseorang mengucapkan “tiga” dengan sendirinya dapat disimbolkan dengan “3”. 2) Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. 3) Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya “penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. 4) Prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.
Menurut Suyono dan Hariyanto (2011: 146) “mengemukakan bahwa jenisjenis materi pembelajaran diklasifikasikan sebagai fakta, konsep, prinsip, prosedur, dan sikap. Fakta yaitu segala hal yang terwujud kenyataan dan kebenaran, meliputi nama-nama objek, peristiwa, lambang, nama tempat, nama orang, nama bagian, atau komponen suatu benda. Konsep yaitu segala yang berwujud pengertianpengertian baru yang timbul sebagai hasil pemikiran, meliputi definisi, pengertian, ciri khusus, hakekat, inti/isi dan sebagainya. Prinsip yaitu berupa hal-hal utama,
4
5
pokok, dan memiliki posisi terpenting, meliputi dalil, rumus dan teorema. Prosedur merupakan langkah-langkah sistematis atau berurutan dalam mengerjakan suatu aktivitas dan kronologi suatu sistem. Sikap atau nilai merupakan hasil belajar aspek sikap, misalnya nilai kejujuran, kasih sayang, tolong menolong dan kerja sama”. Untuk memudahkan siswa dalam memahami materi perlunya penguasaan matematika yang harus dimiliki oleh siswa. Untuk megetahui bahwa siswa sudah memahami tentang penguasaan fakta yaitu siswa harus mampu mengidentifikasi fakta-fakta yang terdapat dalam masalah tersebut. Misalnya siswa bisa membedakan unsur-unsur yang ada pada kubus dan balok. Jika siswa dihadapkan pada soal mampu menyebutkan pengertian, mampu menggolongkan ataupun mengklasifikasikan sekumpulan objek tersebut maka siswa dikatakan sudah mampu memahami penguasaan konsep yang terdapat pada masalah. Contohnya, dalam menggunakan rumus untuk kubus dan balok. Sedangkan untuk penguasaan operasi dimana siswa mampu menggunakan perhitungan atau bentuk operasi seperti penjumlahan pengurangan, perkalian dan pembagian, akan lebih mudah siswa untuk memahami dan menyelesaikan masalah tersebut. Selanjutnya untuk penguasaan prinsip yaitu siswa mampu mengungkapkan hubungan antara beberapa objek matematika, sehingga siswa dapat menyebutkan fakta-fakta yang ada, siswa juga mampu membedakan konsep, mampu menggunakan rumus antara volume kubus dan balok. Setelah itu akan dilanjutkan dengan cara operasi. Oleh karena itu pada penguasaan prinsip disini terdapat fakta, konsep, dan operasi.
5
6
2.3 Tinjauan Materi Kubus dan Balok 2.3.1 Kubus Kubus adalah sebuah bangun ruang yang semua sisinya berbentuk persegi dan semua rusuknya sama panjang (Agus, 2008: 184).. Pada gambar
2.1
menunjukkan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki memiliki unsur-unsur unsur sebagai berikut:
Gambar 2.1 Kubus (Nuharini dan Wahyuni, 2008: 201) a. Sisi/bidang Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus. Dari Gambar 2.1 2. terlihat bahwa kubus memiliki 6 buah sisi yang semuanya berbentuk persegi, yaitu ABCD (sisi bawah), EFGH (sisi atas), atas) ABFE (sisi depan), CDHG (sisi belakang), belakang) BCGF (sisi samping kiri), dan ADHE (sisi samping kanan). b. Rusuk Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangkan yang menyusun kubus. Pada Gambar 2.1 2. kubus ABCD.EFGH memiliki 12 buah rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG dan DH.
6
7
c. Titik Sudut Titik sudut kubus adalah titik potong antara dua rusuk. Dari Gambar 2.1 kubus ABCD.EFGH memiliki 8 buah titik sudut yaitu titik A, B, C, D, E, F, G, dan H. Perhatikan Gambar berikut ini.
Gambar 2.2 Titik Sudut Kubus (Nuharini dan Wahyuni, 2008: 205) 20 d. Diagonal Bidang Pada Gambar 2.2 2. kubus PQRS.TUVW terdapat garis TV dan UW yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu sisi/bidang. Ruas garis tersebut dinamakan sebagai diagonal bidang. e. Diagonal Ruang Pada Gambar 2.2 kubus PQRS.TUVW terdapat ruas garis PV dan TR yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu ruang. Ruas garis tersebut disebut diagonal ruang. f. Bidang Diagonal Pada Gambar 2.2 kubus PQRS.TUVW
yaitu TV dan UW. Ternyata,
diagonal bidang TV dan UW beserta dua rusuk kubus yang sejajar, yaitu TU dan
7
8
VW membentuk suatu bidang di dalam ruang kubus bidang pada kubus PQRS.TUVW . Bidang TVUW disebut sebagai bidang diagonal. Perhatikan Gambar berikut ini.
Gambar 2.3 Kubus
(Agus, 2008: 186)
Perhatikan pada Gambar 2.3 Untuk memahami sifat-sifat sifat kubus, yaitu sebagai berikut. a. Semua sisi kubus berbentuk persegi. Pada Gambar 2.3 sisi ABCD, EFGH, ABFE, dan seterusnya memiliki bentuk persegi dan memiliki luas yang sama. b. Semua rusuk kubus berukuran sama panjang. Rusuk-rusuk rusuk kubus AB, BC, CD dan seterusnya memiiki ukuran yang sama panjang. c. Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. Perhatikan Gambar 2.3 ruas garis BG dan CF merupakan diagoanal bidang kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran sama panjang. d. Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. Dari kubus ABCD.EFGH pada Gambar 2.3 terdapat dua diagonal ruang, yaitu HB dan DF yang keduanya berukuran sama panjang.
8
9
e. Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegi rsegi panjang. Pada Gambar 2.3 bidang diagonal ACGE terlihat jelas bahwa bidang diagonal tersebut memiliki bentuk persegi panjang. Perhatikan Gambar berikut ini:
s
s
s
s
s
s
s (a)
(b)
Gambar 2.4 2. (a) kubus dan (b) jarring-jaring kubus (Agus, 2008: 189) 18 Dari Gambar 2.4 terlihat suatu kubus beserta jaring-jaringnya. jaringnya. Untuk mencari luas permukaan kubus, berarti sama saja dengan menghitung luas jaringjaring jaring kubus tersebut. Oleh karena jaring-jaring jaring jaring kubus merupakan 6 buah persegi yang sama dan kongruen maka luas permukaan kubus = luas jarring-jaring kubus 6 s s 6 s 6 s L 6 s Jadi, luas permukaan kubus = 6s
9
10
Perhatikan Gambar berikut ini:
(a)
(b) Gambar 2.5 2. Kubus Satuan
(Agus, 2008: 190) 1
Untuk membuat uat kubus satuan pada Gambar 2.5 (b), diperlukan 2 x 2 x 2 = 8 kubus satuan, Dengan demikian, volume kubus dapat ditentukan dengan cara mengalikan panjang rusuk kubus tesebut sebanyak tiga kali. Sehingga Volume kubus = panjang rusuk panjang rusuk panjang rusuk s s s s
Jadi, volume kubus = s . Dengan s merupakan panjang rusuk kubus. 2.3.2
Balok Balok adalah bangun ruang yang memiliki tiga pasang sisi berhadapan yang sama bentuk dan ukurannya, dimana setiap sisinya berbentuk persegi panjang (Agus, 2008: 184). Perhatikan Gambar berikut ini:
Gambar 2.6 2. Balok
(Nuharini dan Wahyuni, 2008: 201)
10
11
Pada Gambar 2.6 2. menunjukkan sebuah Balok PQRS.TUVW yang memiliki unsur-unsur unsur sebagai berikut: a. Sisi/bidang Sisi balok adalah bidang yang membatasi balok. Dari Gambar 2.6 terlihat bahwa balok memiliki 6 buah sisi yang semuanya berbentuk persegipanjang, yaitu PQRS (sisi bawah), TUVW (sisi atas), PQTU (sisi depan),, RSVW (sisi belakang), QRVU (sisi samping kiri), kiri) dan PSTW (sisi samping kanan). b. Rusuk Rusuk balok sama dengan rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus. Pada Gambar 2.6 balok PQRS.TUVW S.TUVW memiliki 12 buah rusuk, yaitu PQ,, QR, RS, SP, TU, UV, VW, WT, PT, QU, RV, dan SW. c. Titik Sudut Titik sudut balok adalah titik potong antara dua rusuk. Dari Gambar 2.6 2. balok PQRS.TUVW memiliki 8 buah titik sudut, yaitu titik P, Q, R, S, T, U, V, dan W. Perhatikan Gambar berikut ini:
Gambar 2.7 Balok
11
12
d. Diagonal Bidang Pada Gambar 2.7 2. balok PQRS.TUVW terdapat garis TV dan UW yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu sisi/bidang. Ruas garis tersebut dinamakan sebagai diagonal bidang. e. Diagonal Ruang Pada Gambar 2.7 balok PQRS.TUVW terdapat ruas garis PV dan TR yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu ruang. Ruas garis tersebut disebut diagonal ruang. f. Bidang Diagonal Pada Gambar 2.9 balok
PQRS.TUVW
yaitu TV dan UW. Ternyata,
diagonal bidang TV dan UW beserta dua rusuk kubus yang sejajar, yaitu TU dan VW
membentuk suatu bidang di dalam ruang kubus bidang pada kubus
PQRS.TUVW . Bidang TVUW disebut sebagai bidang diagonal. Perhatikan Gambar berikut ini:
Gambar 2.8 Balok (Agus, 2008: 193) 1 Perhatikan pada Gambar 2.8 2. Untuk memahami sifat-sifatt balok, sebagai berikut:
12
13
a. Sisi-sisi balok berbentuk persegipanjang. Pada Gambar 2.8 sisi ABCD, EFGH, ABFE, dan seterusnya. Sisi-sisi tersebut memiliki bentuk persegipanjang. Dalam balok, minimal memiliki dua pasang sisi yang berbentuk persegipanjang. b. Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang. Rusuk-rusuk balok yang sejajarseperti AB, CD, EF, dan GH memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu juga dengan rusuk AE, BF, CG, dan DH memiliki ukuran yang sama panjang. c. Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran yang sama panjang. Dari Gambar 2.8 panjang diagonal sisi yang berhadapan yaitu ABCD dengan EFGH, ABFE dengan DCGH dan BCFG dengan ADHE memiliki ukuran yang sama panjang. d. Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang. Diagonal ruang pada balok ABCD.EFGH yaitu AG, EC, DF, HB memiliki panjang yang sama. e. Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegipanjang. Pada Gambar 2.10 bidang diagonal EDFC memiliki bentuk persegipanjang.
13
14
Perhatikan Gambar berikut ini:
Gambar 2.9 (a) Balok (b) Jarring-jaring balok
(Agus, 2008: 195) 1
Misalkan rusuk-rusuk rusuk pada balok diberi nama p (panjang), l (lebar), dan t (tinggi) seperti pada Gambar 2.9. 2. Luas permukaan balok = luas persegipanjang 1 + luas persegipanjang 2 + luas persegipanjang 3 + luas persegipanjang 4 + luas persegipanjang 5 + luas persegipanjang 6 = (p x l) + (p x t) + (l x t) + (p x l) + (p x t)) + (l ( x t) = (p x l) + (p x l) + (l x t) + (l x t) + (p x t)) + (p ( x t) = 2 (p x l) + 2 (l x t) + 2 (p x t) = 2 (pl +l t + p t) Jadi, luas uas permukaan balok = 2 (pl +l t + p t) Perhatikan Gambar dibawah ini:
(a)
(b) Gambar 2.10 2.1 Balok Satuan
14
(Agus, 2008: 197)
15
Untuk mencari volume balok caranya sama dengan volume kubus. Perhatika Gambar 2.10 yaitu diperlukan 2 x 1 x 2 = 4 balok satuan. Dengan demikian, volume balok dapat ditentukan dengan cara mengalikan ukuran panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut. Volume kubus = panjang × lebar × tinggi = ×l×t Jadi, volume balok = × × .
15
