BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1
Pengertian Bilangan Bulat Bilangan bulat menurut Wikipedia bahasa (2012) adalah terdiri dari
bilangan
cacah yaitu 0,1,2,3,… dan yang negatifnya yaitu -1,-2,-3,-4,…dan
seterusnya. Jadi bilangan-bilangan bulat yaitu …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…bilanganbilangan bulat negatif yaitu …,-4,-3,-2,-1 dan bilangan nol (0) yaitu bilangan yang tidak positif dan tidak pula negatif ( netral). Sedangkan bilangan-bilangan cacah adalah penggabungan bilangan-bilangan asli dengan nol (0). Hubungan antara bilangan-bilangan asli, cacah, nol, dan bulat secara singkatnya dapat disajikan sebagai berikut: Bilangan cacah
Dst..-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,…dst
Bilangan bulat negatif
bilangan bulat positif
Nol (bilangan yang tidak positif dan tidak negatif)
6
7
Kumpulan bilangan-bilangan bulat yang jumlahnya sangat banyak yaitu tak terhingga dapat dibagi ke dalam tiga kelompok besar, yaitu : 1. Kumpulan bilangan-bilangan bulat positif (bilangan asli): 1,2,3,4,5,… dan seterusnya. 1. Kumpulan bilangan-bilangan bulat negative :-1,-2-3,-4,-5,… dan seterusnya 2. Bilangan nol atau 0, yaitu bilangan bulat yang tidak positif dan tidak negatif. Setiap bilangan bulat mempunyai ‘tepat satu’ lawan yang juga merupakan bilangan bulat. Contohnya : 3
lawannya -3
12 lawannya -12 20 lawannya -20 Dua buah bilangan bulat dikatakan saling berlawanan jika hasil penjumlahan kedua bilangan itu sama dengan nol.
2.2 Operasi Hitung Penjumlahan Bilangan Bulat a. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif selalu menghasilkan bilangan positif. Contoh (1) : 1
+ 5=6
8
0 1
2
3
4
5
6 7
b. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif selalu menghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh (2): -3 + (-2) = -5
-5
-4
-3
2
-1
0
c. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat negatif, jika angka bilangan bulat negatif lebih besar dari pada angka bilangan bulat positif. Contoh (3) 2
+ (-5) = -3
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
Sebuah bilangan bulat dapat ditunjukkan dengan diagram panah pada garis bilangan yang mempunyai panjang dan arah. Panjang diagram panah menunjukkan banyaknya satuan, sedangkan arahnya menunjukkan positif atau negative. Jika diagram panah menuju kearah kanan, maka anak panah tersebut menunjukkan bilangan positif. Jika diagram panah menuju ke kiri, maka anak panah tersebut menunjukkan bilangan bulat negatif.
Menunjukkan bilangan positif 7
-3
-2
-1
0
1
2
-2
-1
3
4
5
6
7
Menunjukkan bilangan negatif -7
-7
-6
-5 -4
-3
0
1
2
3
4
5
2.3 Sifat-sifat Operasi Penjumlahan 1. Sifat Tertutup Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a + b + c dengan c juga bilangan bulat.
10
2. Sifat Pertukaran Dalam operasi penjumlahan untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a + b = b + a. Contoh : 8 + 2 = 10 dan 2 + 8 = 10 3 + (-9) = -6 dan -9 + 3 = -6 -2 + 7 = 5 dan 7 + (-2) = 5 -5 + (-4) = -9 dan -4 + (-5) = -9, dan seterusnya 3. Sifat Pengelompokkan Dalam operasi penjumlahan bentuk setiap a, b, dan c bilangan-bilangan bulat berlaku (a + b) + c = a + (b + c). Contoh : Apakah (9 + (-5) + (-2) = a) = (9 + (-5) + (-2) = 4 + (-2) =2 b) = 9 + (-5) + (-2) = 9 + (-7) =2 4. Sifat bilangan nol Untuk menjelaskan konsep dari sifat bilangan 0, dapat dilakukan dengan penjumlahan sembarang bilangan dengan 0. Misalnya 5 + 0 = …, 2 + 0 = …
11
Kesimpulannya bahwa setiap bilangan bulat ditambah dengan nol sama dengan dirinya sendiri. Hal ini dapat pula diperlihatkan dengan garis bilangan.Dengan demikian, Nol merupakan unsur satuan (identitas) dalam bilangan bulat untuk operasi penjumlahan. 5. Sifat Invers Untuk setiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0. Bilangan b ini disebut invers atau lawan dari a biasanya dinyatakan dengan lambang a. 6. Sifat Ketertambahan Jika a, b, c bilangan-bilangan bulat, dan a = b, maka a + c = b + c 7. Sifat Kanselasi Jika a, b, c bilangan-bilangan bulat, dan a + c = b + c, maka a = b.
2.4 Hakekat Kesalahan Menjumlahkan Bilangan Bulat Kesalahan menurut Kamus besar Bahasa Indonesia (2007:982) berasal dari kata dasar “salah” yang artinya tidak benar, tidak betul atau keliru. Menurut Sukirman, kesalahan merupakan penyimpangan terhadap hal yang benar yang sifatnya sistematis, konsisten, maupun insedental pada daerah tertentu. Kesalahan siswa perlu adanya deskripsi untuk mengetahui kesalahan apa saja yang banyak dilakukan dan mengapa kesalahan tersebut dilakukan siswa. Melalui deskripsi kesalahan akan diperoleh bentuk dan penyebab kesalahan siswa, sehingga akan mendapatkan gambaran yang jelas dan rinci atas tipe-tipe kesalahan siswa dalam menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat
12
Menurut
Sukirman (jurnal online 2011:21), kesalahan merupakan
penyimpangan terhadap hal yang benar yang sifatnya sistematis, konsisten, maupun insedental pada daerah tertentu. Sedangkan (Rahmat Basuki, 2006:21), kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal-soal adalah kesalahan konsep, kesalahan operasi dan kesalahan ceroboh, dengan kesalahan dominan adalah kesalahan konsep. Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa kesalahan adalah suatu penyimpangan terhadap jawaban yang sebenarnya yang bersifat sistematis. Hufeisen dan Neuner (2003:105) menjelaskan kesalahan-kesalahan siswa ini bisa terjadi dikarenakan beberapa hal diantaranya karena konsep, konsepsi, prakonsepsi dan miskonsepsi (http://repository.library.uksw.edu/). 1.Konsep Menurut Ausubel (1978:105) bahwa “konsep adalah benda-benda, kejadian-kejadian, situasi-situasi, atau ciri-ciri yang memiliki ciri-ciri khas dan yang
terwakili
dalam
setiap
budaya
oleh
suatu
tanda
atau
simbol.
(http://repository.library.uksw.edu/). Jadi konsep merupakan abstraksi dari ciri-ciri sesuatu yang mempermudah komunikasi antara manusia dan yang memungkinkan manusia berpikir (bahasa adalah alat berpikir). Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa konsep adalah suatu objek yang mempunyai ciri-ciri yang sama, ide atau gagasan yang dibentuk berdasarkan pengalaman manusia untuk mempermudah komunikasi dan memungkinkan manusia berpikir sesuai dengan peristiwa dan fakta.
13
2. Konsepsi Dalam (http://repository.library.uksw.edu/) konsepsi berasal dari kata “to conceive” yang artinya menerima. Konsepsi seseorang berbeda dengan konsepsi orang lain. Setiap siswa sebelum memasuki pelajaran ternyata siswa sudah mempunyai konsepsi atau teori mengenai konsep-konsep matematika melalui pengalaman dan pengetahuan konsepsi. Konsepsi disini bisa benar dan juga bisa salah. Jika konsepsi siswa terhadap sesuatu konsep sama dengan konsepsi para ilmuan, dikatakan siswa tersebut mempunyai konsepsi yang benar. Jika konsepsi siswa terhadap suatu konsep berbeda dengan konsep para ilmuan, dikatakan siswa mengalami miskonsepsi. Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa konsepsi adalah konsep yang dimiliki seseorang melalui pemikiran dan penalaran sendiri, konsep tersebut bisa salah dan juga bisa benar. 3. Prakonsepsi Prakonsepsi adalah konsepsi yang sudah tertanam dalam diri siswa. Sebelum mengikuti proses pembelajaran formal di sekolah, seorang siswa telah membawa konsep tertentu yang mereka kembangkan dalam pengalaman hidup mereka sebelumnya. sebelumnya. Pengetahuan awal atau prakonsepsi ini kita sebut skema yang bisa diartikan suatu struktur mental atau kognitif yang dengannya seseorang secara intelektual beradaptasi dan mengkoordinasi lingkingan sekitarnya. Jika prakonsepsinya tidak benar atau disebut miskonsepsi, maka prakonsepsi tersebut menjadi penghalang utama bagi siswa dalam belajar. Prakonsepsi yang salah perlu diatasi sehingga pemahaman siswa yang bersangkutan berubah menjadi benar. Untuk mengatasi hal ini guru perlu menciptakan kondisi belajar yang
14
kondusif. Salah satu langkanhya adalah mengetahui konsepsi awal siswa sebelum dilakukan
pembelajaran.
(http://repository.library.uksw.edu/).
Berdasarkan
pengertian diatas dapat disimpulkan prakonsepsi adalah konsep awal seseorang sebelum pembelajaran berlangsung atau tentang suatu objek. 4. Miskonsepsi Miskonsepsi atau salah konsep pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian yang diterima para pakar dalam bidangnya, misalkan di dalam bidang matematika apabila konsep tidak sesuai dengan pengertian dalam matematika maka terjadi miskonsepsi atau salah konsep. Miskonsepsi juga dapat diartikan suatu pengertian yang tidak akurat tentang konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah tentang penerapan konsep, pemaknaan konsep yang berbeda dan hubungan konsep yang tidak benar. Berdasarkan uraian diatas miskonsepsi adalah konsep yang tidak sesuai atau tidak diterima oleh para ilmuan, dan miskonsepsi bisa terjadi pada guru, siswa, buku, kontek dan cara mengajar.
15
2.5 Tipe - Tipe Kesalahan Menurut penyimpangan
Baradja
(1981:12)
yang sifatnya
kesalahan
sistematis,
adalah
penyimpangan-
konsisten dan menggambarkan
kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal-soal penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat menggunakan garis bilangan. Tipe-tipe kesalahan menurut Newman (dalam http://repository.library.uksw.edu/handle/) adalah sebagai berikut: 1. Corelles error, yaitu kesalahan karena kecerobohan atau kurang cermat. Dalam menyelesaikan soal metematika sering dijumpai kesalahan dalam
proses
penyelesaian. Kesalahan–kesalahan siswa dalam menyelesikan soal-soal matematika adalah tidak menguasai bahasa contohnya siswa tidak paham dengan pertanyaan dalam soal matematika, tidak memahami arti kata, tidak menguasai konsep dan kurang menguasai tehnik berhitung. 2. Weakness in process, skill yaitu kesalahan dalam keterampilan proses. Siswa dalam menggunakan kaidah atau aturan sudah benar, tetapi melakukan kesalahan dalam melakukan penghitungan atau komputasi. 3. Reading comprehension difficulaty, yaitu kesalahan memahami soal. Siswa sebenarnya sudah dapat memahami soal, tetapi belum menangkap informasi yang terkandung dalam pertanyaan, sehingga siswa tidak dapat memproses lebih lanjut solusi dari permasalahan. 4. Transform errors, yaitu kesalahan trasformasi. Siswa gagal dalam memahami soal-soal untuk diubah kedalam kalimat matematika yang benar.
16
5. Enconding errors, yaitu kesalahan dalam mengunakan notasi dalam hal ini siswa melakukan kesalahan dalam menggunakan notasi yang benar, didalam mengerjakan siswa menggunakan notasi yang salah. 6. Reading errors, yaitu kesalahan membaca. Siswa melakukan kesalahan dalam membaca kata-kata penting dalam pertanyaan atau siswa salah dalam membaca informasi utama, sehingga siswa tidak menggunakan informasi tersebut untuk menyelesaikan soal. Berdasarkan tipe-tipe kesalahan yang telah diuraikan di atas, dalam penelitian ini hanya akan berfokus pada tiga tipe kesalahan yaitu (1) Corelles error, yaitu kesalahan karena kecerobohan atau kurang cermat, (2) Weakness inprocess, yaitu kesalahan dalam keterampilan proses dan (3) Enconding error, yaitu kesalahan dalam menggunakan notasi. Tipe kesalahan corelles error, yaitu kesalahan karena kecerobohan atau kurang cermat, Weakness in process, yaitu kesalahan dalam keterampilan proses dan Enconding error, yaitu kesalahan dalam menggunakan notasi di gunakan oleh peliti dalam penelitian ini karena ketiga kesalahan sesuai dengan karakteristik siswa SD. Tahap berpikir siswa SD masih mengalami perkembangan dalam tingkat berpikirnya. Ini karena tahap berpikir mereka masih belum formal, sehingga ketiga tipe kesalahan ini paling tepat untuk dipakai dalam penelitian ini.
17
2.6 Kajian Penelitian Yang Relevan Dalam penelitian Nazil Ghofur (2011) “ berjudul Pemanfaatan Media Garis Bilangan Untuk Meningkatkan Pemahaman Siswa Dalam Pembelajaran Matematika Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat Pada Siswa Kelas V SD Negeri Seling Kecamatan Karangsembung Kabupaten Kebumen”. Hasil penelitian menunjukkan pada siklus 1, siswa yang mengalami ketuntasan belajar meningkat, dari 6 siswa atau (30%) menjadi 15 siswa atau (75%) dan siswa yang aktif dari 7 siswa atau (35%) menjadi 15 siswa atau (75%). Siklus II 19 siswa tuntas belajar atau (90%) dan keaktifan meningkat menjadi 20 siswa atau (100%). Dengan demikian, dapat disimpulkan
penelitian ini mempunyai persamaan dengan
penelitian yang dilakukan Nazil Ghofur yaitu mengkaji tentang Operasi Hitung Penjumlahan Bilangan Bulat.
