7
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Kemampuan Kemampuan berasal dari kata ”mampu” yang dalam kamus besar bahasa indonesia
yang
berarti
kuasa
(bisa,
sanggup,
melakukan
sesuatu,
dapat, berada, kaya, mempunyai harta berlebihan). Menurut Akhmat Sudrajat (dalam Hudju, 2011: 5) menghubungkan kemampuan dengan kata kecakapan. Setiap individu memiliki kecakapan yang berbeda-beda dalam melakukan suatu tindakan. Kecakapan ini mempengaruhi potensi yang ada dalam diri individu tersebut. Proses pembelajaran mengharuskan siswa mengoptimalkan segala kecakapan yang dimiliki. Sedangkan menurut Chaplin (dalam Sofi Sufiarti Amirsyah, 2008) ability (kemampuan, kecakapan, ketangkasan, bakat, kesanggupan) merupakan tenaga (daya kekuatan) untuk melakukan suatu perbuatan. Lebih lanjut Utari Munandar dkk (dalam Sofi Sufiarti Amirsyah, 2008:) menjelaskan kemampuan merupakan daya untuk melakukan sesuatu tindakan sebagai hasil dari pembawaan dan latihan, kemampuan menunjukan bahwa suatu tindakan dapat dilakukan sekarang. Istilah kemampuan dibedakan dari istilah bakat. Bakat pada umumnya diartikan sebagai bawaan, sebagai potensi yang masih perlu dikembangkan dan dilatih agar dapat terwujud. Sementara kemampuan merupakan suatu tindakan sebagai hasil dari pembawaan dan latihan (Munandar 1992:17). Kemampuan menunjukkan bahwa suatu tindakan dapat dilakukan sekarang, sedangkan bakat memerlukan latihan dan pendidikan agar suatu tindakan dapat dilakukan dimasa yang akan datang.
8
Kenyataan yang terjadi bahwa manusia berbeda satu dengan yang lainnya dalam berbagai hal termasuk dalam hal kemampuan. Dalam proses belajar mengajar di dalam kelas akan tampak perbedaan-perbedaan perorangan dalam belajar serta dalam diri siswa, yang dimaksud dengan perbedaan perorangan dalam proses belajar mengajar adalah perbedaan dalam kemampuan belajar yang tidak terlepas dari pengaruh perilaku dan cepat lambannya siswa menerima materi pelajaran. Dalam proses belajar mengajar secara perorangan, tidak akan timbul masalah karena dapat dengan mudah diadakan penyesuaian terhadap karakter dan kemampuan siswa tersebut. Sementara pada proses belajar mengajar yang terdiri dari sekian jumlah siswa, akan timbul berbagai masalah yang bervariasi yang disebabkan oleh bervariasinya karakter siswa dalam kelas tersebut. Dari uraian diatas kemampuan dapat diartikan sebagai suatu kesanggupan seseorang dalam melakukan sesuatu. Seseorang dikatakan mampu
apabila
seseorang tersebut bisa melakukan sesuatu yang harus ia lakukan sebagai hasil dari pembawaan dan latihan. 2.2 Penalaran Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran. Penalaran dalam Kamus Bahasa Indonesia diartikan sebagai pemikiran atau cara berfikir logis. Secara umum menurut The Liang Gie (2007: 21) penalaran adalah proses pemikiran manusia yang berusaha tiba pada pernyataan baru yang merupakan kelanjutan runtut dari pernyataan lain yang telah di ketahui. Pernyataan yang telah diketahui itu disebut pangkal fikir (premise), sedangkan pernyataan baru yang diturunkan dinamakan kesimpulan (conclusion). Soekadijo (2003: 3) menyatakan bahwa penalaran
9
adalah suatu bentuk pemikiran. Sedangkan menurut Shurter dan Pierce (dalam Shadiq, 2007) penalaran didefinisikan sebagai proses pencapaian kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang relevan.Dalam Ensiklopedi Wikipedia penalaran adalah proses berfikir yang bertolak dari pengamatan indera (observasi empirik) yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian. Sedangkan Shadiq (2004) menyatakan pada intinya, penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Adapun Suhartoyo Hardjosatoto dan Enadang Daruni Asdi (dalam Enika, 2011:11) memberikan definisi penalaran adalah proses dari budi manusia yang berusaha tiba suatu keterangan lain yang telah diketahui dan keterangan yang baru itu mestilah merupakan urutan kelanjutan dari sesuatu atau beberapa ketrangan yang semula itu. Mereka juga menyatan bahwa penalaran menjadi salah satu kejadian dari proses berfikir. Berfikir atau thinking adalah serangkaian proses mental yang banyak macamnya seperti mengingat-ingat kembali sesuatu hal, berkhayal, menghafal, menghitung, menghubungkan beberapa pengertian, menciptakan sesuatu konsep atau mengira-ngira berbagai kemungkinan. Penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya (Shadiq, 2004 : 2). Selanjutnya Ihsan (dalam Puspita, 20012) menyatakan bahwa penalaran sebagai suatu proses berpikir
10
didasarkan dua hal utama, yaitu logis dan analitis. Logis sebagai salah satu ciri dari penalaran mengandung pengertian bahwa setiap bentuk penalaran mempunyai logikanya masing-masing. Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa penalaran adalah suatu proses berpikir logis, di mana berpikir logis adalah suatu kegiatan berpikir menurut suatu pola tertentu atau logika tertentu. Analitis adalah ciri kedua dari penalaran, yaitu kegiatan berpikir yang mendasarkan diri pada suatu analisis. Sedangkan kerangka berpikir yang dipergunakan untuk analisis adalah logika penalaran yang bersangkutan. Artinya penalaran ilmiah suatu kegiatan analisis yang mempergunakan logika ilmiah, sedangkan penalaran yang lain tentunya akan menggunakan logikanya masing-masing. Soekadijo (Enika, 2011) membuat kronologi mengenai terjadinya penalaran. Proses berfikir dimulai dari pengamatan indera atau observasi empirik. Proses itu di dalam pikiran menghasilkan sejumlah pengertian dan proposisi sekaligus. Berdasarkan pengamatan-pengamatan indera yang sejenis, pikiran menyusun proposisi yang sejenis pula. Proses inilah yang disebut dengan penalaran. Sehingga penalaran dapat diartikan bahwa sejumlah proposisi yang diketahui atau dianggap benar kemudian digunakan untuk menyimpulkan sebuah proposisi baru yang sebelumnya tidak di ketahui (Enika, 2011). Selanjutnya, definisi penalaran menurut Keraf (dalam Shadiq, 2004: 2) menjelaskan penalaran (jalan pikiran atau reasoning) sebagai: “Proses berfikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan”. Lebih lanjut Shadiq mendefinisakan bahwa penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses ata suatu aktivitas berfikir
11
untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Berdasarkan uraian diatas tentang pengertian penalaran maka dapat dirumuskan bahwa penalaran adalah suatu proses berfikir seseorang dalam menarik kesimpulan berdasarkan fakta sebelumnya yang kebenarannya telah dibuktikan. 2.3 Kemampuan Penalaran Matematika Kemampuan
penalaran
merupakan
suatu
proses
penting
dalam
matematika. Ross (dalam Rochmad, 2008) menyatakan salah satu tujuan terpenting dari pembelajaran matematika adalah mengajarkan kepada siswa penalaran
logis
(logical
reasoning).
Bila
kemampuan
bernalar
tidak
dikembangkan pada siswa, maka bagi siswa matematika hanya akan menjadi materi yang mengikuti serangkaian prosedur dan meniru contoh-contoh tanpa mengetahui maknanya. Depdiknas (2002: 6) dalam Shadiq (2004) menyatakan bahwa “materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan, yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan dilatihkan melalui belajar materi matematika”. Berdasarkan pernyataan diatas apa yang akan terjadi dengan keterampilan berfikir jika tidak belajar matematika? Pola berfikir yang dikembangkan matematika seperti dijelasakan diatas memang membutuhkan dan melibatkan pemikiran kritis, sistematis, logis dan kreatif. Menurut Shadiq (2004) kemampuan bernalar tidak
12
hanya dibutuhkan para siswa ketika mereka belajar matematika maupun mata pelajaran lainnya, namun sangat dibutuhkan setiap manusia disaat memecahkan masalah ataupun disaat menentukan keputusan. Kemampuan bernalar ini akan dibutuhkan para siswa dan seluruh warga bangsa ini ketika mereka mempelajari matematika, ilmu lain, maupun mereka terjun langsung ke masyarakat. Kemampuan menalar merupakan suatu hal yang penting dalam mengetahui sesuatu. Karena setiap hal yang kita ketahui tidak semua dapat diserap atau diambil secara langsung tetapi kita harusnya menganalisis, mengabstraksi, dan menyimpulkannya dari logika-logika yang dinyatakan kebenaran sebelumnya. Jika seseorang malakukan penalaran, tentu maksudnya adalah untuk menemukan kebenaran. Dapat dikatakan seseorang yang memiliki kemampuan menalar jika seseorang memiliki kemampuan yaitu: a. Kemampuan yang unik dalam melihat persoalan atau situasi, dan bagaimana pemecahannya. b. Memiliki kemampuan yang baik di dalam memecahkan persoalan. c. Memiliki kemampuan berfikir secara logis. d. Mampu membedakan secara baik antara respon atau jawaban yang salah dengan yang benar. e. Mampu menerapkan pengetahuan terhadap persoalan yang khusus. f. Mampu meletakkan informasi dan teori-teori yang ada kedalam cara pandang yang baru. g. Mampu menyimpan sejumlah besar informasi kedalam ingatannya.
13
h. Mampu mengenal dan memahami adanya perbedaan maupun persamaan diantara berbagai hal. i.
Memiliki rasionalitas, yakni kemampuan bernalar secara jernih.
j.
Mampu menghubungkan dan membedakan diantara berbagai gagasan dan permasalahan. Menurut Baroody (dalam Puspita, 2012) beberapa keuntungan
penalaran dalam matematika antara lain adalah sebagai berikut : a. Siswa
diberi
kesempatan
untuk
menggunakan
keterampilan
bernalarnya dalam melakukan pendugaan-pendugaan atas dasar pengalamannya sendiri sehingga siswa akan lebih mudah memahami konsep-konsep materi yang diajarkan. b.
Siswa dituntut untuk menggunakan kemampuan bernalarnya. Ini akan semakin mendorong siswa untuk melakukan dugaan-dugaan sehingga membangkitkan rasa percaya diri dan menghilangkan ketakutan siswa ketika berhadapan dengan permasalahan matematika.
c. Membantu siswa dalam memahami nilai balikan yang negatif dalam memutuskan suatu jawaban, artinya bahwa siswa perlu memahami tebakan yang salah agar dapat mempersempit ruang pilihan jawaban ke arah pilihan yang benar. d. Mendorong siswa secara khusus dalam matematika. Siswa harus memahami bahwa penalaran intuisi, penalaran deduktif, pendugaan, dan pembuktian tugas atau penalaran deduktif berperan penting. Siswa harus menyadari bahwa intuisi merupakan dasar untuk
14
kemampuan tingkat tinggi dalam matematika dan juga ilmu pengetahuan lainnya. Adapun indikator yang menunjukkan kemampuan penalaran dijelaskan dalam dokumen Peraturan Dirjen Dikdasmen No. 506/C/PP/2004 (Depdiknas 2004) dalam Shadiq (2009), bahwa indikator yang menunjukkan kemampuan penalaran adalah : 1. Menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram. 2. Mengajukan dugaan. 3. Melakukan manipulasi matematika. 4. Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap beberapa solusi. 5. Menarik kesimpulan dari pernyataan. 6. Memeriksa kesahihan suatu argumen. 7. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi. Menurut Wardhani (dalam Puspita, 2012)Indikator pencapaian aspek kemampuan penalaran adalah penilaian yang menuntut siswa : 1. Melakukan manipulasi matematika. 2. Mengajukan dugaan. 3. Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi. 4. Menarik kesimpulan dari pernyataan.
15
5. Memeriksa kesahihan suatu argument. 6. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi. Berdasarkan uraian di atas, maka dapat dipahami bahawa pengertian kemampuan penalaran matematika adalah kemampuan seseorang dalam berfikir secara logis untuk menyelesaikan suatu permasalahan metematika berdasarkan konsep sebelumnya yang sudah dibuktikan. Dengan demikian, peneliti hanya memilih lima indikator yang utamanya mengukur kemampuan penalaran matematika adalah indikator yang menuntut siswa: 1) Menyajikan pernyataan matematika secara gambar, dan diagram. 2) Mengajukan dugaan. 3) Melakukan manipulasi matematika. 4) Menarik kesimpulan dari suatu pernyataan. 5) Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis. 2.4 Fungsi dan Persamaan Kuadrat 2.4.1 Fungsi 2.4.1.1 Pengertian Fungsi Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota pada himpunan B. Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambing f: A→ B. (Wirodikromo, 2006: 56) 2.4.1.2 Fungsi Linear Fungsi Linear adalah fungsi y= f(x) dengan f(x) = ax+b (a dan b∈ R) a≠0) untuk semua anggota x dalam daerah asalnya. (Wirodikromo, 2006: 62)
16
2.4.1.3 Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut: Misalnya a, b dan c bilangan real dan a≠0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f(x) = ax2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax2 + bx + c dan grafik fungsi kuadrat disebut sebagai parabola. Menggambar grafik fungsi kuadrat ada dua cara yaitu: a. Menggambar grafik fungsi kuadrat yang diketahui daerah asalnya. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut: 1) Mementukan pasangan titik (x, y) dengan cara menghitung nilai fungsi untuk x dengan mensubtitusikannya ke persamaan fungsi, dan biasanya lebih mudah disajikan dalam tabel. 2) Gambarkan titik-titik dari hasil langkah (1) tersebut pada bidang cartesius 3) Melalui titik-titik pada langkah(2), gambarkan kurva untuk yang berbentuk parabola. b. Menggambar grafik fungsi kuadrat secara umum. Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi kuadrat secara umum adalah sebagai berikut: 1) Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y 2) Menentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.
17
3) Menggambar koordinat titik-titik hasil langkah (1) dan langkah (2) pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka keatas atau kebawah. (Wirodikromo, 2006: 63-68) 2.4.1.4 Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat Untuk semua bilangan x bilangan riil, maka nilai f(x) selalu positif. Bentuk ax2 + bx + c yang bernilai positif untuk semua x bilangan riil disebut sebagai definit positif. Dengan demikian, syarat agar bentuk ax2 + bx + c definit positif adalah a > 0 dan D < , dengan D = b2 – 4ac. Demikian juga, bentuk ax2 + bx + c yang bernilai negatif untuk semua x bilangan riil disebut sebagai definit negatif, maka grafik f(x) = ax2 + bx + c seluruhnya harus dibawah sumbu dan syarat agar bentuk ax2 + bx + c definit negatif adalah a < 0, dan D < 0. (Wirodikromo, 2006: 98) 2.4.2 Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat didefinisikan sebagai berikut: Misalkan a, b c € R dan a≠0, maka persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam pubah x. Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x, dan c adalah suku tetapan. (Wirodikromo, 2006: 76-77) 2.4.2.1 Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b2 - 4ac
18
1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka keuda akarnya rasional b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner). (Wirodikromo, 2006: 85-86) 2.4.2.2 Jumlah dan hasil kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a≠0) ditentukan dengan rumus abc sebagai berikut: atau
………….. (1)
Berdasarkan rumus (1), dapat dikembangkan rumus jumlah akar-akar (x1+x2) dan hasil kali akar-akar (x1.x2) persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien a, b, dan c. Sifat: Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a≠0, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus: (Wirodikromo, 2006: 87-88)
dan
19
2.5 Kerangka Berpikir Berdasarkan kajian teori diatas maka dapat dikatakan penalaran adalah suatu bentuk pemikiran dan hal yang paling penting dalam kehidupan manusia dimana penalaran adalah suatu proses yang dimiliki seseorang dalam berfikir logis berdasarkan pengetahuan yang telah dibuktikan kebenaran sebelumnya. Matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik, atau tabel. Salah satu tujuan pembelajaran matematika adalah melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan. Sehingga dapat dikatakan bahwa penalaran sangat diperlukan dalam pembelajaran matematika untuk meningkatkan kualitas pendidikan dan sumber daya manusia dimana jika seseorang memiliki kemampuan penalaran dalam pembelajaran matematika maka ia akan mampu memahami makna dari konsep-konsep matematika yang nantinya akan mengembangkan kemampuan penalaran dalam pembelajaran matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Pembelajaran
matematika
yang
dapat
meningkatkan
kemampuan
penalaran matematika siswa adalah pembelajaran yang seharusnya siswa tersebut lebih aktif ketika proses pembelajaran dimana siswa diharapkan menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram; mengajukan dugaan; melakukan manipulasi matematika; menarik kesimpulan dari pernyataan; serta menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat
20
generalisasi. Karena hal ini dapat mengembangkan tingkat pemahaman dan kemampuan penalaran matematika dalam mempelajari dan mengaplikasikan matematika. Selain itu juga dapat mengembangkan ilmu pengetahuan matematika itu sendiri. Dengan berkembangnya kemampuan penalaran matematis tersebut, siswa diharapkan dapat lebih memaknai matematika. Matematika tidak hanya dianggap sebagai bahasa simbol tanpa makna, melainkan dapat berguna untuk membantu memudahkan permasalahan yang dihadapi baik dalam dunia sekolah atau kehidupan sehari-hari. Sesuai dengan berjalannya waktu, kemamuan siswa dalam belajar matematika serta sesuai dengan tingkat atau jenjang pendidikan maka tingkat kemampuan penalaran matematika siswa menjadi bervariasi atau bertingkat-tingkat.
