BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang. Fenomena gelombang Korteweg de Vries (KdV) merupakan suatu gejala yang penting untuk dipelajari, karena mempunyai pengaruh terhadap studi rekayasa yang terkait dengan ini, misalnya masalah gelombang gravitasi internal pada fluida yang terbagi dalam berberapa tingkatan, gelombang pada atmosfir yang berotasi (gelombang inersia Rossby), gelombang ion akustik pada plasma dan tekanan gelombang pada gas likuid- campuran gelembung gas [2].
Untuk perambatan
gelombang yang dibangkitkan oleh adanya gundukan terhadap suatu aliran, Cole [1] memodelkannya dalam persamaan yang dikenal sebagai force KdV . Model hampiran yang akan dibahas pada makalah ini adalah model hampiran berupa persamaan forced Korteweg de Vries. Persamaan ini dinyatakan dalam model matematis dengan persamaan differensial parsial non linear dengan orde turunan tertinggi adalah orde tiga. Salah satu solusi yang memenuhi persamaan KdV adalah soliton (gelombang soliter) yang dapat ditentukan secara analitik, akan tetapi untuk persamaan fKdV sampai saat ini belum diketahui analitiknya. Oleh karena itu, penyelesaian numerik merupakan alternatif lain untuk mengetahui karakteristik persamaan fKdV.
1.2. Rumusan Masalah. Cole menyatakan persamaan fKdV dengan menyatakan terlebih dahulu dengan bentuk integral dan persamaan konservasi yang digunakan untuk menguji hasil numeriknya. Metode lain untuk menyelesaikan persamaan fKdV dengan beda seperti yang dilakukan oleh R.H.J.
Grimshaw, D. –H.
Zhang dan K.W.
Chow [4], yaitu
menggunakan skema numerik eksplisit. Pada tugas akhir ini diberikan metoda beda hingga yang berbeda dengan yang diatas, yaitu skema numerik implisit yang telah dikembangkan oleh L. H. Wiryanto dan Warsoma Djohan [8]. Skema numerik yang dikerjakan disini lebih dahulu diuji dan membandingkan terhadap solusi analitik dari persamaan KdV dan juga hasil-hasil yang ada di [4]. Setelah itu, solusi numerik digunakan untuk mengamati perilaku gelombang yang lain.
1.3. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan penulis adalah metode deskriptif. Pendekatan yang dilakukan adalah studi literatur, yaitu studi berdasarkan sumbersumber kepustakaan seperti jurnal dan buku.
Makalah ini diselesaikan dalam
beberapa tahap yang tidak terlepas dari literatur yang diberikan. Pertama, penulis menjelaskan sifat fisis persamaan KdV yang diperoleh dari persamaan fKdV yang diturunkan oleh R.H.J. Grimshaw, D. –H. Zhang dan K.W. Chow [4] dengan mengambil ruas kanan bernilai nol.
Persamaan ini dapat
diselesaikan secara analitik yang salah satu solusinya adalah fungsi sekan hiperbolik. Untuk mendapatkannya penulis mengguanakan literatur buku Strauss [7]. Kemudian menjelaskan persamaan fKdV yang sampai saat ini belum memiliki solusi analitik dengan menggunakan metode numerik yang telah diselesaikan oleh R.H.J. Grimshaw, D. –H.
Zhang dan K.W.
Chow [4], serta mempelajari kerakter
pembentukan gelombang permukaan akibat gaya luar yang diberikan. Penulis mengkaji ulang hasil yang didapatkannya dengan skema numerik yang berbeda dari skema numerik yang digunakan [4]. Kedua Penurunan skema numerik yang digunakan penulis adalah jurnal L.H. Wiryanto dan Warsoma Djohan [8], Bao-Feng Feng dan Taketomo Mitsui [3] dan [5].
Penggunaan literatur ini digunakan untuk mempelajari proses penurunan
persamaan fKdV yang dinyatakan kedalam bentuk persamaan linier, yang dapat diselesaikan secara aljabar dengan menggunakan metode beda hingga implisit (ratarata dua tingkat). Sedangkan pemahaman untuk melinierisasi suku tak linier pada persamaan fKdV, penulis menggunakan literatur [3]. Terakhir, untuk melihat hasil simulasi dari skema numerik yang diturunkan, penulis menggunakan [6] untuk menyusun algoritma yang diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss. Hasil yang didapatkan akan dibandingkan dengan literatur [4].
1.4. Sistematika Pembahasan. Untuk mempermudah pemahaman terhadap studi yang dilakukan, maka perlu dijelaskan secara berurutan mengenai masalah tersebut bab demi bab. Dibawah ini, diberikan uraian singkat mengenai isi tiap bab :
BAB II KAJIAN TEORI Menjelaskan bentuk fisis gelombang permukaan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan fKdV. Bab ini dibagi menjadi tiga subbab. Subbab pertama, penjelasan persamaan KdV yang diperoleh dari persamaan fKdV yang dijelaskan diawal bab ini, yaitu dengan mengambil ruas kanan pada persamaan fKdV bernilai nol.
Subbab kedua, persamaan KdV dapat
diselesaikan secara analitik dan salah satu penyelesaian yang memenuhinya berupa fungsi sekan hiperbolik. Subbab ketiga, penjelasan mengenai fKdV, dimana gelombang permukaan ini melewati suatu gangguan pada titik tertentu. BAB III SKEMA NUMERIK Pada bab ini diberikan penurunan persamaan hampiran linier dengan menggunakan metode beda hingga Forward-Time dan Centre-Space (FTCS). Bab ini dibagi menjadi dua subbab. Skala merupakan penjelasan pada subbab pertama. Subbab kedua, penurunan skema numerik fKdV dilakukan dengan metode implisit beda hingga (rata-rata dua tingkat) untuk mengatasi kestabilan seperti yang dilakukan [8].
BAB IV SIMULASI NUMERIK Bab ini memberikan hasil perhitungan numerik yang diberikan oleh skema numerik pada bab sebelumnya, yang diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss. BAB V KESIMPULAN Memberikan kesimpulan dari hasil simulasi yang telah dilakukan pada babbab sebelumnya.
