BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Representasi grup adalah perumuman dari homomorfisma Gl(V ) ke GL(n, F ) menjadi homomorfisma sebarang grup G ke Gl(n, F ). Telah diketahui bahwa macammacam grup dapat dibedakan berdasarkan elemennya, diantaranya yaitu grup berhingga dan grup simetri. Oleh karena itu, pada skripsi ini akan dibahas representasi pada grup berhingga dan pada grup simetri. Berdasarkan buku yang ditulis oleh James dan Liebeck, bahwa sebarang grup dapat dibentuk representasinya. Jika diberikan suatu representasi grup maka dapat dibentuk suatu representasi grup baru. Kedua representasi ini memiliki hubungan yang ekivalen. Representasi grup yang memiliki kernel disebut kernel representasi. Kernel representasi ini memunculkan sifat yang baru pada representasi yaitu representasi setia (faithful). Dari bentuk representasi dapat dikonstruksikan bentuk F G-Modul, yaitu dengan mengoperasikan hasil representasi dengan suatu vektor. F G-Modul ini merupakan alat yang nantinya digunakan sebagai modal utama untuk representasi. Pada F G-Modul dapat dibentuk F G-Submodul. Selanjutnya F G-Submodul memiliki sifat F G-Submodul redusibel dan iredusibel. Pada representasi grup berhingga menurut James dan Liebeck, dijelaskan Teorema Maschke dan Lema Schur. Akibat dari Teorema Maschke ini adalah bahwa setiap F G-Modul tak nol dapat dibentuk sebagai penjumlahan langsung dari F GSubmodul iredusibel. Dari sini, akan dikhususkan menjadi setiap CG-Modul U dapat dibentuk sebagai penjumlahan langsung dari CG-Submodul Ui yang iredusibel. Dengan adanya CG-Modul, selanjutnya dapat dibentuk himpunan homomorfisma dari V ke W yang dinotasikan dengan HomCG (V, W ). Himpunan HomCG (V, W ) ini dapat dikonstruksi menjadi ruang vektor. Lema Schur ini mengakibatkan dimensi dari HomCG (V, W ) akan bernilai satu jika V dan W isomorfis dan akan bernilai 1
2 nol jika V dan W tidak isomorfis. Akibat dari Teorema Maschke dan Lema Schur ini adalah bahwa setiap CG-Modul U yang berbentuk sebagai penjumlahan langsung dari CG-Submodul Ui yang iredusibel ternyata isomorfis dengan suatu Ui , dengan banyaknya Ui yang isomorfis dengan U adalah sebanyak dim U. Berdasarkan paper yang ditulis oleh Mcnamara bahwa suatu representasi pada grup simetri dapat dipandang sebagai bentuk yang lain yaitu melalui modul Specht. Untuk mengkonstruksi modul Specht, diperlukan definisi partisi, diagram Young, tabel Young, tabloid, dan polytabloid. Setelah dikosntruksi modul Specht selanjutnya akan diselidiki hubungan nya dengan representasi. Modul Specht dapat dipandang sebagi suatu representasi. Oleh sebab itu, akan dijabarkan pula bahwa representasi yang terbentuk dari modul Specht merupakan representasi yang iredusibel. 1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mempelajari sifat-sifat terkait teori representasi. 2. Mempelajari sifat-sifat F G-Modul. 3. Mempelajari hubungan F G-Modul dengan representasi grup hingga. 4. Mempelajari Teorema Maschke dan Lema Schur serta kegunaanya dengan CG-Modul. 5. Mempelajari konstruksi dari modul Specht. 6. Mempelajari hubungan modul Specht dengan representasi grup simetri. Teori representasi merupakan salah satu ilmu yang sedang berkembang di 20 tahun terakhir ini. Oleh karena itu, penelitian pada teori representasi masih terbuka lebar dengan memandang bentuk khusus dari grup yaitu representasi pada grup abelian. Tidak menutup kemungkinan teori representasi dapat terjadi pada ring yaitu pada teori representasi ring. Dengan adanya penelitian ini, diharapkan dapat mendorong penelitian lebih lanjut terkait teori representasi.
3
1.3. Tinjauan Pustaka Dalam penyusunan tugas akhir ini, digunakan sejumlah buku dan paper sebagai sumber. Konsep dasar mengenai grup, ruang vektor, matriks representasi, dan modul menggunakan referensi Malik,dkk (1997), Nicholson(1993), Defranza dan Gafliardi (1950), serta Adkins dan Weintraub (1992). Pembahasan teori representasi merujuk pada buku yang ditulis oleh James dan Liebeck(1993). Mengenai contoh-contoh dari representasi dan sebagai sumber tambahan digunakan buku dari Stainberg(2012). Pembahasan Teorema Maschke dan Lema Schur digunakan buku yang ditulis oleh James dan Liebeck (1993). Sedangkan pembahasan tentang representasi pada grup simetri diambil dari paper yang ditulis oleh Mcnamara(2013). Khususnya, untuk penjabaran partisi, diagram Young, tabel Young, dan contoh dari modul Specht diambil dari paper yang ditulis oleh Zhao(2010). 1.4. Metode Penelitian Bagian ini memuat langkah-langkah yang ditempuh di dalam penyusunan skripsi ini adalah: 1. Mempelajari motivasi dari definisi teori representasi grup. 2. Mendefinisikan representasi grup. 3. Memahami bentuk-bentuk dari representasi pada grup. 4. Mempelajari bentuk F G-Modul. 5. Membentuk representasi dari F G-Modul. 6. Menyelidiki F G-Modul pada grup hingga. 7. Mempelajari Teorema Maschke dan Lema Schur. 8. Mempelajari aplikasi dan kegunaan Teorema Maschke dan Lema Schur pada CG-Modul.
4 9. Menyelidiki representasi pada grup simetri. 10. Mempelajari bentuk modul Specht. 11. Mempelajari modul Specht sebagai suatu representasi grup simetris. 12. Mempelajari sifat dari representasi modul Specht. 1.5. Sistematika Penulisan Pada skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sbagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan tentang latar belakang, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini membahas mengenai toeri-teori yang digunakan sebagai dasar dari skripsi ini. Pembahasan tersebut meliputi grup, ruang vektor, matriks representasi, dan modul yang difokuskan pada subruang,submodul, transformasi, dan homomorfisma. BAB III REPRESENTASI GRUP Pertama-tama, bab ini membahas representasi grup pada umumnya. Lebih lanjut, akan diselidiki sifat-sifat yang berlaku pada representasi grup. Pada representasi grup, alat utama yang digunakan adalah F G-Modul, selanjutnya didiskusikan bentuk representasi dari F G-Modul. BAB IV REPRESENTASI GRUP HINGGA Bab ini membahas representasi lebih khusus, yaitu representasi pada grup hingga. Karena F G-Modul merupakan modal utama untuk membentuk representasi, maka akan diselidiki lebih lanjut bentuk F G-Modul pada grup hingga. Pada grup hingga lebih ditekankan CG-Modul dari pada RG-Modul. Teorema Maschke dan Lema Schur merupakan point penting pada pembahasan ini karena dengan adanya Teorema Maschke dan Lema Schur ini dapat dikonstruksikan CG-Modul iredusibel sebagai penjumlahan langsung dari CG-submodul Ui yang iredusibel pula. Lebih lanjut, bahwa setiap CG-Modul akan isomorfis ke suatu CG-submodul Ui . BAB V REPRESENTASI GRUP SIMETRI Bab ini akan mendiskusikan representasi grup pada grup simetri. Pada pembahasan
5 ini alat yang digunakan untuk membentuk suatu representasi adalah modul Specht. Untuk memahami bentuk dari modul Specht akan dijelaskan bentuk dari diagram young, tabel Young, dan polytabloid.
BAB VI KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan dari hasil pembahasan dari BAB III,IV, dan V untuk mencapai tujuan penelitian.
