BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Pada tulisan ini diasumsikan semua ring merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, kecuali jika diberikan suatu pernyataan lain. Diberikan ring R dan P ideal sejati di R. Ideal P dikatakan prima jika ab ∈ P dengan a, b ∈ R maka berlaku a ∈ P atau b ∈ P . Contoh ideal prima, adalah {0} pada daerah integral, karena untuk setiap a, b ∈ R, jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0. Namun {0} belum tentu merupakan ideal prima pada sebarang ring. Misal pada ring yang memiliki elemen pembagi nol, {0} bukanlah ideal prima. Oleh karena itu didefinisikan ideal prima lemah yang merupakan generalisasi dari ideal prima. Ideal sejati P di R dikatakan ideal prima lemah jika kondisi ab ∈ P , ab 6= 0 dengan a, b ∈ R mengakibatkan a ∈ P atau b ∈ P . Telah diketahui bahwa ring R dapat dipandang sebagai R−Modul, sehingga ideal prima memotivasi munculnya submodul prima pada R−Modul M sebarang. Misalkan N submodul sejati di R−Modul M , N dikatakan submodul prima jika r ∈ R, m ∈ M dengan rm ∈ N mengakibatkan m ∈ N atau r ∈ Ann(M/N ). Seperti halnya pada ring, submodul prima pada R−Modul M juga dapat digeneralisasi menjadi struktur yang lebih umum yaitu submodul prima lemah. Submodul sejati N dari R−Modul M disebut submodul prima lemah jika rm ∈ N , rm 6= 0 dengan r ∈ R, m ∈ M maka m ∈ N atau r ∈ Ann(M/N ). Selanjutnya diberikan ulasan mengenai lokalisasi pada ring dan modul sebagai berikut. Misalkan R ring dan S himpunan bagian tertutup multiplikatif di R, maka dapat dibentuk ring RS , yaitu ring fraksi dari R dengan denominator di S. Khususnya, jika P ideal prima di R maka P C merupakan himpunan bagian tertutup multiplikatif di R. Ring RP C dinotasikan dengan RP yaitu lokalisasi dari R pada P . Analog misalkan M 1
2 modul atas R dan S himpunan bagian tertutup multiplikatif di R, dapat dibentuk RS −Modul MS . Sama halnya dengan ring, pada modul juga dapat dibentuk RP C −Modul MP C . Agar lebih efisien dinotasikan dengan RP −Modul MP yang disebut lokalisasi dari M pada P . Selanjutnya karena submodul N dari M merupakan subgrup aditif dari M dan merupakan R−Modul dibawah perkalian skalar yang didefinisikan pada M , sehingga juga dapat dibentuk RP −Modul NP , yaitu lokalisasi dari submodul N pada P . Akan didefinisikan suatu submodul yang merupakan generalisasi dari submodul prima dan prima lemah dengan menggunakan ide lokalisasi pada ring R dan R−Modul M . Misalkan N submodul dari suatu R−Modul M , P sebarang ideal maksimal di R, modul MP lokalisasi dari modul M pada P , submodul NP lokalisasi dari submodul N pada P , dan ring RP lokalisasi dari ring R pada P . Jika diambil sebarang elemen
r s
∈ RP dan
x p
∈ MP dengan
N submodul prima di R−Modul M akan diperoleh
x p
rx sp
∈ NP , karena
∈ NP atau (rM )P ⊆ NP .
Namun, submodul NP belum tentu merupakan submodul prima pada RP −Modul MP karena tidak ada jaminan bahwa submodul NP merupakan submodul sejati. Jika himpunan elemen yang tidak prima ke N yaitu S(N ) himpunan bagian dari P akan diperoleh NP submodul sejati dari RP −Modul MP . Dari uraian diatas dapat disimpulkan jika N submodul prima dari R−Modul M maka NP submodul prima dari RP −Modul MP dengan syarat S(N ) ⊆ P . Selanjutnya didefinisikan submodul prima lokal S(N ) dan submodul prima lemah S(N ) sebagai berikut. Submodul sejati N dari R−Modul M dsebut submodul prima lokal S(N ) jika NP submodul prima dari MP untuk setiap ideal maksimal P dari R dengan S(N ) ⊆ P dan submodul sejati N dari M dsebut submodul prima lemah S(N ) jika NP submodul prima lemah dari MP untuk setiap ideal maksimal P dari R dengan S(N ) ⊆ P . Dari definisi tersebut terlihat bahwa setiap submodul prima merupakan submodul prima lokal S(N ) dan setiap submodul prima lemah merupakan submodul prima lemah S(N ). Tujuan dari tulisan ini adalah menggeneralisasi submodul prima lemah ke submodul prima lemah S(N ), mempelajari hubungan submodul prima, prima lemah,
3 prima lokal S(N ), dan prima lemah S(N ), dan mengkaji sifat-sifat pada submodul prima lemah S(N ) yang digeneralisasi dari submodul prima lemah.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan utama penelitian ini adalah mempelajari dan meneliti submodul prima lemah S(N ). Untuk lebih jelasnya berikut adalah tujuan-tujuan dari penelitian yang akan dilakukan. 1. Mempelajari pendefinisian submodul prima lemah S(N ) sebagai generalisasi dari submodul prima lemah. 2. Mempelajari hubungan submodul prima, prima lemah, prima lokal S(N ), dan prima lemah S(N ) 3. Mengkaji sifat-sifat yang berlaku pada submodul prima lemah S(N ).
1.3. Tinjauan Pustaka Dalam penelitian ini diperlukan beberapa jurnal ilmiah dan buku sebagai referensi. Terdapat beberapa buku yang dapat digunakan untuk mempelajari teori ring dan teori modul namun penulis menggunakan buku karangan Adkins (1992), Max D. Larsen (1970), dan buku Wisbauer (1991) sebagai referensi. Selain itu juga digunakan jurnal tulisan dari A. J. Taherizadeh (2011) untuk mempelajari submodul prima dan jurnal Y. Hirano, dkk (2010) untuk mempelajari definisi dan sifat-sifat pada ideal prima lemah. Pembahasan mengenai lokalisasi pada ring dan modul menggunakan buku Huishi Li (2004) sebagai acuan utama. Dari buku ini dipelajari beberapa hal yaitu pendefinisian ring fraksi RS dari suatu ring R dengan S hipunan bagian tertutup multiplikatif di R, beberapa sifat yang berlaku pada ring RS , dan pendefinisian lokalisasi pada ring R. Selanjutnya dipelajari mengenai pembentukan modul fraksi RS −Modul MS dari suatu R−Modul M dengan S himpunan bagian multiplikatif di R. Terakhir dipelajari pendefinisian lokalisasi dari R−Modul M . Selain menggu-
4 nakan buku Huishi Li juga digunakan buku Max D. Larsen (1970) untuk mempelajari sifat-sifat pada lokalisasi modul. Terkait dengan sifat-sifat ini juga digunakan jurnal karya Azizi (2008) sebagai acuan. Pembahasan tentang submodul prima lemah menggunakan jurnal karya Ebrahimi Atani (2007), yang menjelaskan tentang definisi submodul prima lemah beserta contoh. Selain itu juga dipelajari sifat-sifat dan karakterisasi yang berlaku pada submodul prima lemah. Untuk mempelajari sifat-sifat ini diperlukan beberapa konsep tambahan, yaitu modul siklik menggunakan buku Adkins (1992), modul setia dan modul prima menggunakan jurnal karya Christian Lomp, Alirio J. Pena P (2011). Selanjutnya mengenai submodul prima lemah S(N ) menggunakan jurnal yang ditulis oleh Adil Kadir Jabbar (2013) sebagai referensi. Pada jurnal ini dibahas mengenai pendefinisian submodul prima lokal S(N ) dan submodul prima lemah S(N ), hubungan antara submodul prima, prima lemah, prima lokal S(N ), dan prima lemah S(N ), serta sifat-sifat dan karakterisasi dari submodul prima lemah S(N ) yang digeneralisasi dari sifat-sifat dan karakterisasi submodul prima lemah. Untuk mempelajari sifat dan karakterisasi ini juga diperlukan konsep tambahan yaitu submodul primal yang dibahas dalam jurnal tulisan Ebrahimi Atani dan A. Y. Darani (2008).
1.4. Metode Penelitian Langkah-langkah dalam penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Mempelajari teori ring, terutama yang berkaitan dengan ideal prima, ideal prima lemah, dan ideal maksimal. 2. Mempelajari submodul prima pada R−Modul M . Memahami bahwa submodul prima adalah generalisasi dari ideal prima pada ring R. 3. Mempelajari submodul prima lemah. Memahami bahwa submodul prima lemah merupakan generalisasi dari submodul prima dan ideal prima lemah dan mempelajari sifat-sifat yang berlaku pada submodul prima lemah. Dalam mempelajari sifat ini diperlukan konsep modul siklik, modul setia, dan modul prima.
5 4. Mempelajari lokalisasi pada ring serta sifat-sifatnya. 5. Mempelajari lokalisasi pada R−Modul M . Memahami proses pembentukan RS −Modul MS dan mempelajari sifat-sifat yang berlaku. 6. Mempelajari submodul prima lokal S(N ). 7. Mempelajari pendefinisian submodul prima lemah S(N ) yang digeneralisasi dari submodul prima lemah dengan menggunakan ide lokalisasi pada R−Modul M . Mempelajari hubungan antara submodul prima, prima lemah, prima lokal S(N ), dan prima lemah S(N ) dan sifat-sifat serta karakterisasi dari submodul prima lemah S(N ) yang digeneralisasi dari submodul prima lemah.
1.5. Sistematika Penulisan Untuk memperoleh deskripsi secara menyeluruh tentang tesis ini, berikut diberikan sistemetika penulisannya. BAB I berisi latar belakang masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan yang akan dilakukan dalam penyusunan tesis. BAB II berisi landasan teori yang dipergunakan sebagai alat untuk pembahasan pada BAB III. Landasan teori yang diberikan meliputi ideal pada ring R, submodul prima, submodul prima lemah, lokalisasi pada ring dan R−Modul M . Teori ini digunakan untuk memahami suatu struktur baru yaitu submodul prima lemah S(N ). BAB III berisi inti dari penelitian yang dilakukan, yaitu pendefinisian submodul prima lemah S(N ), mempelajari hubungan antara submodul prima, prima lemah, prima lokal S(N ), dan prima lemah S(N ), dan mempelajari sifat-sifat serta karakterisasi submodul prima lemah S(N ) yang merupakan generalisasi dari submodul prima lemah. BAB IV berisi kesimpulan dari hasil penelitian ini dan saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.
