BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang memiliki banyak manfaat, diantaranya sebagai salah satu ilmu bantu yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari dan juga memiliki peranan yang penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika merupakan sarana berpikir dan menumbuh kembangkan pola pikir logis, sistematis, obyektif, kritis dan rasional. Oleh karena itu, matematika harus mampu menjadi salah satu sarana untuk mengembangkan daya nalar dan dapat meningkatkan kemapuan memecahkan masalah dalam penerapan ilmu matematika di kehidupan sehari-hari. Persamaan diferensial merupakan salah satu ilmu matematika yang sudah berkembang sejak zaman Isaac Newton dan Leibnitz. Hingga saat ini persamaan diferensial memiliki peranan yang sangat besar dan banyak diterapkan di berbagai bidang ilmu seperti fisika, teknik, biologi, kimia, ekonomi dan ilmu-ilmu lainnya. Dalam sains dan teknologi sering ditemukan masalah-masalah yang penyelesainnya tidak dapat ditemukan hanya dengan menggunakan rumus atau konsep yang sudah ada. Persamaan diferensial digunakan untuk menyatakan hubungan yang kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika persamaan diferensial memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial biasa. Jika persamaan diferensial tersebut memuat turunan dari satu atau lebih terhadap dua atau lebih variabel bebas maka disebut sebagai persamaan diferensial 1
2 parsial. Salah satu persamaan diferensial parsial yang sering ditemui dalam bidang fisika adalah Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson merupakan salah satu bentuk dari persamaan diferensial parsial eliptik yang merupakan salah satu tipe dari persamaan diferensial parsial. Kedua persamaan tersebut tidak memiliki nilai awal sebagaimana persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan waktu, akan tetapi disertai dengan kondisi batas tertentu. Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace dua dimensi (2D) sering dijumpai pada masalah teknik dan fisika, seperti pada masalah fluida, potensial, elastisitas, konduksi panas, air tanah dan lain-lain. Seperti persamaan diferensial lainnya, kerumitan penyelesaian persamaan diferensial parsial dua dimensi terletak pada bentuk syarat batas yang menyertai persamaan diferensial tersebut. Dalam matematika modern terdapat berbagai aplikasi persamaan diferensial yang dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas atau lebih dikenal sebagai masalah syarat awal dan syarat batas (MSAB). Oleh karena itu untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferensial parsial dua dimensi, para ilmuwan telah mengembangkan berbagai metode baik secara analitik maupun numerik. Akan tetapi tidak semua masalah persamaan diferensial dapat diselesaikan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untuk memperoleh solusi pendekatannya. Salah satu metode numerik yang digunakan penulis untuk menyelesaikan permasalahan persamaan parsial dua dimensi adalah metode elemen hingga. Metode ini digunakan sebagai metode alternatif dalam penyelesaian masalah syarat batas persamaan diferensial parsial dua dimensi.
1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini yaitu : 1. Konsep-konsep pembentukan metode elemen hingga dimensi dua untuk persamaan diferensial parsial eliptik. 2. Prosedur pendiskritisasian domain (meshing) pada masalah persamaan dife-
3 rensial parsial eliptik dengan elemen segitiga. 3. Tingkat akurasi metode elemen hingga elemen segitiga untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial parsial eliptik jika dibandingkan dengan solusi analitik yang diperoleh dengan metode separasi variabel atau ekspansi fungsi eigen. 4. Pengaruh banyaknya elemen yang dibentuk dalam proses pendiskritisasian (kehalusan meshing) pada keakuratan hasil pendekatan.
1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada pemecahan masalah persamaan diferensial parsial linear order dua dimensi dua tipe eliptik, yaitu Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson. Dalam tugas akhir ini, penulis memberikan beberapa contoh permasalahan yang hasil perhitungan numeriknya dengan metode elemen hingga elemen segitiga dibandingkan dengan solusi analitiknya.
1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini mempunyai tujuan untuk : 1. menjelaskan konsep-konsep pembentukan metode elemen hingga dimensi dua persamaan diferensial parsial eliptik. 2. menjelaskan prosedur pendiskritisasian domain (meshing) pada masalah persamaan diferensial parsial eliptik dengan elemen segitiga. 3. menyelidiki keakuratan metode elemen hingga elemen segitiga untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial parsial eliptik jika dibandingkan dengan solusi analitik yang diperoleh dengan metode separasi variabel atau metode ekspansi fungsi eigen.
4 4. menyelidiki pengaruh banyaknya elemen yang dibentuk dalam proses pendiskritisasian (kehalusan meshing) untuk keakuratan hasil pendekatan.
1.5. Tinjauan Pustaka Reddy (2006) dalam bukunya menjelaskan tentang penyelesaiaan numerik persamaan diferensial parsial eliptik menggunakan metode elemen hingga. Dalam buku tersebut diberikan persamaan diferensial parsial eliptik secara umum, kemudian persamaan tersebut dikembangkan menjadi bentuk lemah. Bentuk lemah tersebut kemudian dikembangkan ke dalam model elemen hingga dan menggabungkankannya menjadi sistem global yang kemudian dilakukan perhitungan sehingga diperoleh solusi pendekatan masalah persamaan diferensial parsial diberbagai titik. Implemantasi dari penggunaan metode elemen hingga dapat dilihat dari contohcontoh persamaan diferensial parsial eliptik dimensi dua yang diberikan kemudian hasilnya dibandingkan dengan solusi analitiknya yang diperoleh dengan menggunakan metode separasi variabel atau metode ekspansi fungsi eigen yang mengacu pada buku karangan Asmar (2000). Penjelasan mengenai persamaan diferensial mengacu pada buku karangan Ross(1984). Konsep mengenai metode separasi variabel, deret Fourier dan beberapa jenis syarat batas mengacu pada buku karangan Humi dan Miller (1992). Konsep mengenai matriks mengacu pada buku karangan Anton (2004).
1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur dari beberapa buku terkait dengan integral, persamaan diferensial parsial, matriks, Teorema Green, masalah syarat batas, deret Fourier, metode separasi separabel dan metode ekspansi fungsi eigen. Awal dari pembuatan skripsi ini adalah mengenalkan bentuk model persamaan diferensial parsial orde dua secara umum, mendiskritkan domain menjadi elemen-elemen hingga, menentukan bentuk lemah dari model persamaan diferensi-
5 al parsial orde dua, menentukan model elemen hingga dengan menggunakan bentuk lemah, menentukan fungsi interpolasi pada setiap titik dari elemen hingga yang berupa elemen-elemen segitiga. Selanjutnya melakukan perhitungan matriks elemen segitiga linear dimana matriks elemen segitiga tersebut bergantung pada ukuran elemen dan penomoran simpul elemen-elemen tersebut kemudian menggabungkan elemen-elemen segitiga tersebut menjadi elemen global yang merupakan representasi dari domainnya. Selanjutnya diberikan beberapa contoh masalah Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson yang solusinya dicari dengan melakukan pendekatan numerik menggunakan metode elemen hingga yang berupa elemen-elemen segitiga kemudian membandingkan hasil pendekatan tersebut dengan solusi analitiknya yang diperoleh dengan menggunakan metode separasi variabel atau metode ekspansi fungsi eigen.
1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I
PENDAHULUAN
Penulisan skripsi ini dimulai dengan Bab I yang merupakan pendahuluan dan berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penelitian. BAB II
DASAR TEORI
Bab II skripsi ini merupakan landasan teori dari bab berikutnya yang memuat definisi, sifat dan teorema yang berkaitan dengan penyelesaian masalah syarat batas pada persamaan diferensial parsial orde dua dimensi dua eliptik. BAB III METODE ELEMEN HINGGA ELEMEN SEGITIGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINEAR ELIPTIK ORDER DUA Bab ini menjelaskan langkah-langkah untuk memperoleh formulasi elemen hingga dengan menggunakan elemen segitiga yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
6 persamaan diferensial parsial orde dua dalam dimensi dua yang bertipe eliptik dengan syarat batas Dirichlet, Neuman dan Robin. BAB IV
PENYELESAIAN MASALAH PERSAMAAN LAPLACE DAN PER-
SAMAAN POISSON MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA ELEMEN SEGITIGA Bab ini berisi contoh-contoh penyelesaian permasalahan Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson dengan menggunakan metode elemen hingga kemudian hasil pendekatan tersebut dibandingkan dengan solusi analitiknya yang diperoleh dengan menggunakan metode separasi variabel atau ekspansi fungsi eigen. BAB V PENUTUP Pada Bab V diberikan kesimpulan dari pembahasan pada bab sebelumnya dan juga saran yang dapat dilanjutkan sebagai penelitian.
