BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Model state space yang dikembangkan pada akhir tahun 1950 dan awal tahun 1960, memiliki keuntungan yang tidak hanya menyediakan metode yang efisien untuk analisis sistem kontrol dan sintesis, tetapi juga memberikan pemahaman tentang berbagai sifat sistem. Untuk mendapatkan model state space, diperlukan memilih beberapa variabel fisik seperti kecepatan, berat, suhu, atau percepatan, yang cukup untuk mengkarakterisasi sistem. Kemudian, beberapa persemaan dibentuk berdasarkan hubungan antara variable - variabel tersebut. Persamaan - persamaan yang terbentuk biasanya merupakan persamaan diferensial atau persamaan aljabar yang membentuk sebuah model matematika yang disebut dengan persamaan sistem state space. Adanya persamaan aljabar dalam persamaan sistem state space mengakibatkan persamaan sistem state space tidak dapat dinyatakan dalam persamaan sistem state space biasa dan hanya dapat dinyatakan dalam suatu persamaan sistem state space yang disebut dengan persamaan sistem deskriptor. Selain itu, pemilihan vektor keadaan yang akan dikendalikan juga dapat menyebakan munculnya persamaan sistem deskriptor. Dengan mendefinisikan vektor keadaan x(t) dan vektor masukan u(t), dibentuk persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut f (x(t), ˙ x(t), u(t), t) = 0
(1.1)
Pada bentuk khusus, persamaan (1.1) menjadi E(t)x(t) ˙ = H(x(t), u(t), t)
(1.2)
di mana H bersesuain dengan dimensi fungsi vektor di x(t), u(t), t. Dengan menganggap matriks E adalah singular dan H merupakan fungsi linear dari x(t) dan 1
2 u(t), bentuk khusus lain dari persamaan (1.2) adalah E(t)x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t)
(1.3)
yang disebut dengan sistem deskriptor linear kontinu, di mana x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , E, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m . Ketika matriks E nonsingular berakibat bentuk persamaan sistem deskriptor linear kontinu menjadi seperti berikut x(t) ˙ = E −1 Ax(t) + E −1 Bu(t)
(1.4)
dengan persamaan (1.4) merupakan suatu sistem linear biasa, sehingga sistem disebut dengan sistem deskriptor linear kontinu ketika matriks E merupakan matriks singular. Sistem deskriptor linear kontinu muncul dalam berbagai bidang, seperti dalam teknik aerospace, proses kimia, sistem sosial ekonomi, rangkaian listrik, analisis jaringan, sistem biologi, analisis kurun waktu, dan sebagainya. Pada skripsi ini hanya akan dibahas penerapan sistem deskriptor linear kontinu pada rangkaian listrik RL - RC. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Bagaimana cara menentukan solusi dari suatu sistem deskriptor linear kontinu?. 2. Bagaimana cara menstabilkan suatu sistem deskriptor linear kontinu yang tidak stabil?. 3. Bagaimana cara menerapkan sistem deskriptor linear kontinu pada persamaan rangkaian listrik RL - RC?. 1.3. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan un-
3 tuk mengetahui cara menentukan solusi dari suatu sistem deskriptor linear kontinu serta mengetahui cara apabila suatu sistem deskriptor linear kontinu tidak stabil dapat distabilkan. Selain itu, dapat menerapkan sistem deskriptor linear kontinu pada persamaan rangkaian listrik RL - RC yang kemudian dapat di cari solusinya dan dapat menganalisis kestabilannya. 1.4. Tinjauan Pustaka Tulisan pada skripsi ini mengacu pada artikel yang ditulis oleh Kaczorek (2013) berjudul Zeroing of state variables in descriptor electrical circuits by statefeedbacks. Dalam artikel ini dibahas tentang penerapan sistem deskriptor linear kontinu pada rangkaian listrik RL-RC untuk menentukan sifat kereguleran sistem. Mengingat penjelasan pada artikel yang kurang lengkap, diperlukan sumber dari literatur yang lain. Referensi utama yang digunakan untuk melengkapi adalah buku yang ditulis oleh Day (1989) dan Duan (2009) yang menjabarkan konsep mengenai keregularan sistem deskriptor linear kontinu dan kestabilan dari sistem deskriptor linear kontinu. Di dalam buku karangan Duan (2009) juga dijabarkan konsep terbentuknya dua subsistem dari suatu sistem deskriptor linear kontinu yaitu slow subsistem dan fast subsistem yang nantinya bisa digunakan untuk mencari solusi dari suatu sistem deskriptor linear kontinu. Selain buku yang ditulis oleh Day (1989) dan Duan (2009), penjelasan tentang sistem linear dirujuk dari buku karangan Ogata (1995) dan Bay (1999) yang menjelaskan tentang sifat sistem linear yang berupa kestabilan dan keterkendaliannya dan juga menjelaskan terbentuknya sistem single input single output dan sistem multi input multi output. Penjelasan mengenai transformasi laplace dirujuk dari buku Ross (1984). Sedangkan penjelasan tentang vektoreigen, rank dan cara menetukan matriks Jordan diambil dari buku karangan Anton (2000), Bronson (2007) dan Traczyk (2008). 1.5. Metodologi Penelitian Metode atau langkah-langkah yang dipelajari dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. Pertama-tama mempelajari konsep atau bentuk umum dari sistem deskriptor linear kontinu, kemudian dilanjutkan dengan mendefinisikan sifat agar
4 suatu sistem deskriptor linear mempunyai solusi tunggal. Kemudian berdasarkan persamaan ekuivalensi dari sistem deskriptor linear kontinu dan sifat ketunggalan solusi dari sistem deskriptor linear kontinu, dapat ditentukan dua slow subsitem dari sistem deskriptor linear kontinu tersebut. Lebih lanjut, kedua subsistem tersebut dinamakan menjadi slow subsistem dan fast subsistem. Selanjutnya ditelusuri mengenai solusi dari slow subsistem dan fast subsistem terbentuk, yang nantinya berguna untuk mencari solusi dari sistem deskriptor linear kontinu tersebut. Terbentuknya slow subsistem dan fast susbsitem juga berguna untuk menstabilkan suatu sistem deskriptor linear kontinu. 1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang penulisan, rumusan masalah, tujuan penilitian, manfaat penilitian, tinjauan pustaka, dan metodologi penelitian. BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini diuraikan tentang matriks nilpoten, nilai eigen, vektor eigen, rank, matriks jordan, transformasi Laplace, sistem linear, sistem Single Input Single Output (SISO), dan sistem Multi Input Multi Output (MIMO). BAB III SISTEM DESKRIPTOR LINEAR KONTINU Pada bab ini diberikan definisi dan teorema yang mendasari terbentuknya subsistem deskriptor linear kontinu, yang berguna untuk mencari solusi dari sistem deskriptor linear kontinu. Diberikan pula contoh mengenai cara menentukan solusi dari rangkaian listrik RL - RC. BAB IV STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINEAR KONTINU Pada bab ini diberikan definisi dan teorema yang mendasari cara agar sistem deskriptor linear kontinu dapat distabilkan. Diberikan pula contoh mengenai cara men-
5 stabilkan sistem pada rangkaian listrik RL - RC. BAB V
PENUTUP
Bab ini berisikan kesimpulan dan saran yang diperoleh dari materi yang telah dipaparkan pada bab-bab sebelumnya.
