BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Dalam analisis hubungan antara dua variabel random dependen, diperlukan asumsi dasar yaitu data berasal dari populasi berdistribusi normal. Asumsi kenormalan distribusi dalam metode analisis statistik sangat diperlukan agar memudahkan perhitungan metode estimasi. Umumnya untuk mengetahui dependensi antara dua variabel digunakan korelasi Pearson yang mensyaratkan kenormalan populasi, linearitas, dan homoskedastisitas (Walpole et al., 2011). Misalnya pada kasus bivariat, metode analisis sering mengasumsikan bahwa variabel randomnya berdistribusi normal bivariat. Namun seringkali dijumpai data yang tidak berdistribusi normal dan bahkan tidak diketahui distribusinya. Terkadang kasus-kasus yang distribusinya tidak normal tidak terlalu diperhatikan dan bahkan dipaksakan dengan asumsi berdistribusi normal. Hal ini mengakibatkan beberapa permasalahan pada saat pengujian statistik. Jika syarat-syarat penggunaan korelasi Pearson tidak dipenuhi, metode lainnya adalah korelasi Spearman. Walau demikian, korelasi Spearman mensyaratkan vektor random memiliki hubungan monoton. Padahal vektor random belum tentu memiliki hubungan yang monoton. Selain itu, permasalahan lain dalam pengujian adalah sulitnya menentukan distribusi bersama yang dapat menggambarkan hubungan antar variabel random. Untuk mengatasi masalah dependensi data distribusi kontinu yang tidak diketahui distribusinya, dapat digunakan pendekatan kopula. Dengan menggunakan kopula, dapat diketahui dependensi antar variabel. Kopula dapat digunakan pada vektor random yang distribusinya sebarang. Didalamnya termuat distribusi gabungan dan dependensi antar variabel sehingga dapat dijadikan sebagai alat yang tepat untuk memodelkan distribusi bersama yang biasanya sangat sulit menentukan dis-
1
2 tribusi bersama dari dua variabel dependen. Pada pendekatan kopula, dependensi antara variabel yang distribusinya tidak diketahui dapat diatasi dan estimasi kopula yang bersesuaian dengan variabel random yang akan diuji dapat diketahui tanpa mengetahui distribusinya (Syahrir, 2011). Metode estimasi kopula dapat didekati dengan model parametrik, semiparametrik, dan nonparametrik (Hagmann, 2003 dan Syahrir, 2011). Pada skripsi ini, dilakukan metode nonparametrik untuk meminimumkan asumsi dan dapat menguji vektor random berdasarkan sampel yang terdiri dari observasi-observasi dari beberapa populasi yang berlainan. Selain itu, metode nonparametrik juga dapat dilakukan terhadap sampel yang sifat distribusi bersamanya tidak diketahui secara pasti. Estimasi kopula yang bersesuaian dengan distribusi bersama antar variabel random dapat dilakukan dengan model nonparametrik berdasarkan proses empiris. Pada skripsi ini dilakukan uji monotonisitas stokastik dari vektor random bivariat kontinu untuk menguji apakah terdapat hubungan yang searah antar variabel tersebut berdasarkan sampel random independen dan berdistribusi identik dengan ukuran n ∈ N. Uji yang dibahas merujuk pada uji Kolmogorov-Smirnov dengan mengklaim bahwa norma supremum dari selisih proses kopula empiris dan least concave √ majorant-nya dengan rate n dapat dijadikan sebagai statistik uji dan menentukan nilai kritik sedemikian hingga uji tersebut konsisten. Kekonsistenan dari uji yang dibentuk dibuktikan dalam teorema utama pada Bab III yang menyatakan bahwa kesalahan tipe I tidak melebihi tingkat signifikansi α dan kesalahan tipe II konvergen ke 0 untuk ukuran sampel yang semakin besar dan distribusi bersamanya kontinu. Dalam skripsi ini dibahas uji monotonisitas stokastik untuk menguji apakah terdapat hubungan positif antara dua saham. Jika dua saham yang diuji ternyata terdapat hubungan positif, diharapkan bila salah satu saham mengalami kenaikan harga, maka saham lain juga mengalami kenaikan harga dengan tingkat kepercayaan tertentu. Sehingga diharapkan keuntungan semakin besar. Jika salah satu saham mengalami penurunan harga, maka saham yang lain juga mengalami penurunan harga dengan tingkat kepercayaan tertentu. Dengan demikian, dapat diketahui salah satu karakteristik antar saham yang dapat digunakan dalam analisis portofolio
3 optimal. Dalam skripsi ini diberikan implementasi uji pada saham PT. Indofood Consumer Branded Product (CBP) Sukses Makmur Tbk., PT. Pembangunan Perumahan (Persero) Tbk., dan PT. Adaro Energy Tbk., berdasarkan data harga penutupan mingguan dari awal Oktober 2010 sampai pertengahan Oktober 2016.
1.2. Perumusan Masalah Pada skripsi ini, penulis akan membahas mengenai uji monotonisitas stokastik dari 2 variabel random kontinu dengan menggunakan operator konkaf terkecil bila diberikan ukuran sampel adalah n. Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah : 1. Menentukan asumsi yang diperlukan dari uji yang akan dibentuk. 2. Menentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif yang akan diuji dalam bentuk distribusi bersyarat. 3. Mengkonstruksi kopula dari distribusi bersyarat. 4. Membawa hipotesis nol dan hipotesis alternatif ke dalam bentuk kopula. 5. Menentukan estimator dari kopula yang telah terbentuk berdasarkan sampel. 6. Mendefinisikan operator least concave majorant yang akan digunakan bersamaan dengan norma seragam dalam penentuan statistik uji berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov. 7. Menentukan tingkat signifikansi dan daerah kritik yang bersesuaian dengan tingkat signifikansi yang telah ditentukan. Nilai kritik dihitung dengan pendekatan melalui simulasi Monte Carlo. 8. Membuktikan bahwa uji yang dibangun merupakan uji yang konsisten.
1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada pembahasan mengenai metode pengujian hipotesis monotonisitas stokastik dari vektor random
4 bivariat kontinu berdasarkan sampel random independen dan berdistribusi identik dengan ukuran sampel adalah n ∈ N. Pengujian ini bertujuan untuk menguji apakah vektor random bivariat kontinu tersebut berkorelasi positif, berkorelasi negatif, atau independen. Namun, pembahasan tidak sampai kepada perhitungan korelasi dan perhitungan fungsi regresi. Pada uji monotonisitas stokastik dari vektor random bivariat kontinu, statistik uji dihitung sebagai norma seragam dari selisih proses √ kopula empiris dan least concave majorant-nya dengan rate n dan nilai kritik diperoleh dengan pendekatan melalui simulasi Monte Carlo. Perhitungan statistik uji dan nilai kritik dengan menggunakan Matlab.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian Secara umum penelitian ini bertujuan untuk mempelajari suatu metode pengujian hipotesis monotonisitas stokastik distribusi kontinu. Tujuan khusus penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Membahas metode pengujian monotonisitas dengan menggunakan distribusi empiris, kopula, dan least concave majorant. 2. Menjelaskan suatu cara untuk menghitung statistik uji dan menentukan daerah kritik. Statistik uji dihitung sebagai norma seragam dari selisih proses √ kopula empiris dan least concave majorant-nya pada rate n dengan n adalah ukuran sampel. Nilai kritik dihitung dengan pendekatan simulasi Monte Carlo. 3. Menunjukkan bahwa kesalahan tipe I tidak melebihi tingkat signifikansi dan kesalahan tipe II konvergen ke 0 untuk ukuran sampel yang semakin besar. 4. Memberikan aplikasi monotonisitas stokastik dalam kehidupan nyata. Adapun manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Memberikan kemanfaatan bagi pengembangan penelitian.
5 2. Memberikan informasi yang sangat bermakna pada bidang big data. Contohnya perusahaan konsumsi yang ingin meningkatkan hasil produksi dengan cara meningkatkan kuantitas produksi suatu produk yang dapat menaikkan pendapatan secara signifikan. 3. Menentukan faktor yang signifikan mempengaruhi pertumbuhan ekonomi atau tingkat inflasi suatu negara. 4. Menentukan hubungan atau dependensi antar variabel di bidang ekonomi dan finance.
1.5. Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi ini mengacu pada beberapa buku dan jurnal. Jurnal utama yang diacu dalam skripsi ini adalah jurnal karangan Delgado (2012) yang membahas metode uji monotonisitas stokastik dari vektor random bivariat kontinu yang didasarkan pada sampel random independen dan berdistribusi identik. Asumsi yang diperlukan dari uji yang diberikan adalah distribusi marjinalnya kontinu. Pada dasar teori skripsi ini, konsep-konsep dasar dari teori ukuran dan konvergensi ukuran penulis pelajari dari Billingsley (1971) dan Halmos (1974). Teori elemen random dan ruang Skorohod penulis dapatkan melalui buku karangan Billingsley (1999) dengan jurnal pendukung diperoleh dari Bass (1998) dan Lawler (2016) yang membahas tentang ruang ukuran probabilitas, serta buku penunjang dari Bartle (2011), Subanar (2013), dan Walpole (2011). Penulis mempelajari proses stokastik dan Brownian Bridge dari buku karangan Ross (1996) dan www.math.uah.edu. Teori proses empiris diperoleh dari Embrechts (2014) dan transformasi variabel random diperoleh dari Krieger (2008). Jurnal karangan Hagmann (2003) untuk mempelajari metode ekonometrik nonparametrik dengan tabel simulasi Monte Carlo 50.000 diperoleh dari Delgado (2010). Buku karangan Nelsen (2006) digunakan untuk memperoleh konsep-konsep dasar kopula beserta sifat-sifatnya dengan Schmitz (2003) dan Syahrir (2011) sebagai jurnal pendukung. Penulis mempelajari proses kopula empiris dan sifat-sifatnya pada jurnal karang-
6 an Fermanian (2004) yang dapat dijadikan sebagai pendukung dalam pembuktian teorema kekonsistenan dari uji yang dibangun. Penulis memberikan aplikasi uji monotonisitas stokastik positif distribusi kontinu pada pergerakan harga saham ICBP, PTPP, dan ADRO berdasarkan data harga penutupan mingguan yang diperoleh dari www.idx.co.id dan www.duniainvestasi.com, serta www.finance.yahoo.com sebagai pendukung dalam membandingkan volatilitas harga saham. Penulis juga melihat perkembangan ekspor Indonesia dan produk domestik bruto per kapita Indonesia atas dasar harga berlaku di www.bps.go.id dan www.liputan6.com. Sebagai tambahan, penulis mempelajari ruang bernorma, ruang metrik, ruang ukuran, teori sampel besar dan aplikasi uji monotonisitas stokastik dari pustaka lain.
1.6. Metode Penelitian Penulisan skripsi ini diawali dengan memahami jurnal-jurnal dan buku-buku terkait proses empiris, operator least concave majorant, kopula, ruang probabilitas, dan ruang Skorohod. Setelah penulis memahami hal-hal tersebut, selanjutnya adalah mempelajari proses stokastik dan Brownian Bridge. Selanjutnya, penulis melakukan langkah-langkah seperti memahami permasalahan yang diberikan, cara membangun uji monotonisitas stokastik vektor random bivariat kontinu melalui proses kopula empiris berdasarkan sampel random independen dan berdistribusi identik di setiap variabel random yang akan diuji, serta menentukan statistik uji dan daerah kritik agar uji yang dibangun merupakan uji yang konsisten dengan asumsi distribusi marjinalnya kontinu.
1.7. Sistematika Penulisan Untuk memperoleh deskripsi secara menyeluruh, diberikan sistematika penulisan sebagai berikut :
BAB I
PENDAHULUAN
Bab I berisi latar belakang permasalahan, perumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
7
BAB II
DASAR TEORI
Bab II membahas tentang teori-teori penunjang yang digunakan untuk pemecahan masalah pada bab selanjutnya. Teori-teori yang dibahas pada Bab II adalah sebagai berikut. 1. Subbab pertama membahas ruang Skorohod. 2. Subbab kedua membahas ruang probabilitas, elemen random, variabel random, dan proses empiris. 3. Subbab ketiga membahas proses stokastik, Brownian motion, dan Brownian Bridge. 4. Subbab keempat membahas kopula, teorema Sklar, dan proses kopula empiris. Teori-teori diatas diperlukan dalam memahami uji monotonisitas stokastik dari vektor random bivariat kontinu yang dibahas di Bab III.
BAB III
UJI MONOTONISITAS STOKASTIK
Bab III berisi pembahasan materi tentang uji hipotesis monotonisitas stokastik dari vektor random bivariat kontinu. Pada bab ini, penulis menjelaskan tentang operator least concave majorant serta membangun pengujian hipotesis dengan menggunakan proses kopula empiris, kopula, dan operator least concave majorant. Pengambilan keputusan dalam pengujian hipotesis berdasarkan hubungan statistik uji dan nilai kritik. Penulis menjelaskan perhitungan statistik uji berdasarkan uji KolmogorovSmirnov dan menjelaskan cara menghitung nilai kritik dengan pendekatan melalui simulasi Monte Carlo.
BAB IV
PENUTUP
Bab IV berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengkajian lebih lanjut mengenai uji monotonisitas stokastik.
