BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Dalam matematika dikenal konsep fungsi naik monoton dan fungsi turun monoton. Jika f : R → R merupakan fungsi naik monoton maka untuk setiap x, y ∈ R dengan x ≥ y berlaku hubungan: f (x) − f (y) ≥ 0. Dengan kata lain, jika f merupakan fungsi naik maka untuk setiap x, y ∈ R berlaku: (f (x) − f (y)) · (x − y) ≥ 0.
(1.1)
Dengan pengertian seperti yang dituliskan pada persamaan (1.1), konsep fungsi monoton dapat digeneralisasi untuk fungsi bernilai real yang terdefinisi di ruang yang lebih besar seperti Rn atau di ruang Hilbert. Salah satu caranya adalah dengan menggantikan perkalian di R dengan inner product yang bersesuaian. Lebih luas, sifat yang ditunjukkan pada persamaan (1.1) dapat didefinisikan untuk pemetaan dengan domain ruang Banach ke dualnya, dengan peran dari inner product digantikan dengan perkalian nilai-nilai fungsinya. Berangkat dari hal tersebut, teori mengenai pemetaan monoton dari ruang Banach ke dualnya terus berkembang di berbagai cabang ilmu matematika. Pada awalnya, pendefinisian pemetaan monoton hanya terbatas pada pemetaan bernilai tunggal (single valued). Akan tetapi karena pada fungsi f : R → R istilah ”monoton” seringkali dihubungkan dengan diferensial f maka pendefinisian pemetaan monoton secara umum mulai dihubungkan dengan generalisasi diferensial yaitu subdiferensial, yang merupakan fungsi bernilai himpunan (set valued mapping). Oleh karena itu, pendefinisian pemetaan monoton diperluas untuk pemetaan1
2 pemetaan yang bernilai himpunan (set valued mapping) dengan mendefinisikan melalui grafiknya (Zeidler, 1990). Pemetaan monoton T adalah pemetaan (dapat berupa set valued mapping) dari ruang Banach X ke ruang dualnya, yaitu X ∗ , sehingga grafik pemetaan T memenuhi sifat [T (x) − T (y)](x − y) ≥ 0
untuk setiap x, y ∈ X.
Dengan memahami pemetaan monoton berdasarkan grafiknya, setiap pemetaan monoton T dapat diperluas ke pemetaan monoton T¯ sehingga grafik pemetaan T merupakan himpunan bagian dari grafik pemetaan T¯. Pemetaan monoton yang grafiknya tidak memiliki perluasan sesuai dengan pengertian di atas disebut dengan pemetaan monoton maksimal. Berbagai sifat pemetaan monoton maksimal telah ditemukan sejak tahun 1962. Salah satu di antaranya adalah bahwa jumlahan dua pemetaan monoton maksimal merupakan pemetaan monoton maksimal dengan tambahan syarat tertentu (Rockafellar, 1970). Selain itu, dibuktikan bahwa subdiferensial fungsi konveks yang semikontinu bawah dan proper merupakan pemetaan monoton maksimal (Rockafellar, 1970) dan bahwa pemetaan monoton maksimal pada ruang Banach dengan tambahan syarat tertentu memiliki domain dengan interior dan klosurnya merupakan himpunan konveks (Rockafellar, 1969). Dengan menggunakan pengertian invers pemetaan bernilai himpunan, diperoleh bahwa klosur dan interior range suatu pemetaan monoton maksimal merupakan himpunan konveks (Phelps,1997). Tetapi hal ini hanya berlaku pada ruang Banach refleksif. Untuk ruang Banach nonrefleksif, Simon Fitzpatrick dapat memberikan contoh pemetaan monoton maksimal dengan interior range yang tidak konveks (Phelps,1997). Hal ini menjadikan dasar bahwa perlu diberikan ketentuan tambahan untuk pemetaan monoton maksimal pada ruang Banach nonrefleksif agar memiliki range yang interior dan klosurnya konveks. Gossez (1971) memperkenalkan pemetaan monoton maksimal bertipe D (dense) dan berhasil membuktikan bahwa pemetaan tipe ini mempertahankan beberapa sifat penting yang telah ditemukan oleh Rockafellar pada ruang Banach no-
3 nrefleksif. Fitzpatrick (1988) memperkenalkan tipe pemetaan monoton maksimal yang disebut locally maximal monotone (selanjutnya disebut tipe FP) dan membuktikan bahwa pemetaan tipe ini mempertahankan beberapa sifat penting yang telah ditemukan oleh Rockafellar di ruang Banach nonrefleksif. Selain kedua tipe di atas, masih banyak diperkenalkan tipe-tipe pemetaan monoton maksimal yang lain pada ruang nonrefleksif yang masih mempertahankan sifat penting tersebut. Dengan munculnya definisi tipe-tipe baru tersebut, sifat-sifat pemetaan monoton maksimal di ruang nonrefleksif semakin sulit untuk dihubungkan dengan contoh-contoh fungsi di dunia nyata. Untuk itu, perlu diselidiki hubungan antara tipe-tipe baru tersebut. Jika dapat diketahui bahwa salah satu tipe merupakan generalisasi dari tipe yang lain maka besar kemungkinan sifat-sifat baru pemetaan monoton maksimal di ruang nonrefleksif dapat diaplikasikan ke permasalahan di dunia nyata yang berkaitan dengan pemetaan monoton di ruang nonrefleksif.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian ini adalah 1. Memaparkan definisi, contoh-contoh dan sifat-sifat utama pemetaan monoton maksimal di ruang Banach refleksif. 2. Memberikan contoh kasus di ruang Banach nonrefleksif yang tidak memenuhi sifat yang telah dipaparkan sebelumnya. 3. Memberikan definisi pemetaan monoton maksimal tipe D dan tipe FP pada ruang Banach nonrefleksif. 4. Memaparkan bahwa pemetaan monoton maksimal tipe D dan tipe FP memiliki sifat yang sama. 5. Membuktikan bahwa setiap pemetaan monoton maksimal tipe D merupakan tipe FP.
4 Dengan mengacu pada tujuan penelitian di atas, diharapkan penelitian ini memberikan manfaat antara lain: 1. Menambah pemahaman dan pengetahuan mengenai teori pemetaan monoton di ruang Banach nonrefleksif. 2. Memberi motivasi untuk meneliti hubungan antara tipe-tipe pemetaan monoton maksimal yang lain. 3. Memberi motivasi untuk meneliti aplikasi pemetaan monoton maksimal.
1.3. Tinjauan Pustaka Konsep pemetaan bernilai himpunan (set valued mapping) telah banyak diperkenalkan dalam berbagai literatur matematika. Khususnya dalam Zeidler (1990) dijelaskan bahwa jika A dan B merupakan himpunan tak kosong maka pemetaan T : A → 2B adalah pemetaan yang memasangkan setiap anggota A ke suatu himpunan bagian dari B. Dalam sumber yang sama, disebutkan pula pengertian domain efektif, range, grafik, invers, restriksi, dan perluasan pemetaan bernilai himpunan. Selanjutnya, Phelps (1997) mendefinisikan pemetaan monoton T : X → ∗
2X sebagai fungsi bernilai himpunan dengan grafik T (selanjutnya disebut dengan G(T )) merupakan himpunan monoton. Suatu himpunan monoton dikatakan maksimal jika himpunan tersebut merupakan elemen maksimal dari himpunan monoton yang lain, dengan himpunan bagian sebagai urutan parsialnya. Pemetaan T dikatakan monoton maksimal jika G(T ) merupakan himpunan monoton maksimal. Dengan menggunakan lemma Zorn, dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap pemetaan monoton T dapat ditemukan pemetaan T¯ dengan T¯ merupakan pemetaan monoton maksimal sekaligus perluasan dari T . Dengan menggunakan Teorema Kategori Baire dan sifat-sifat himpunan konveks diperoleh sifat penting pemetaan monoton maksimal yaitu bahwa jika T pemetaan monoton maksimal dan int(co(D(T ))) 6= ∅ maka berlaku: 1. int(D(T )) = int(co(D(T )))
5 2. D(T ) = int(D(T )) 3. T terbatas lokal di setiap x ∈ int(D(T )). Akibatnya, jika T pemetaan monoton maksimal dan int(co(D(T ))) 6= ∅ diperoleh bahwa int(D(T )), D(T ) merupakan himpunan konveks. Sifat tersebut dibuktikan oleh Rockafellar (1969) pada ruang Hausdorff yang locally convex. Oleh Phelps (1997), bukti Rockafellar diadaptasi untuk ruang Banach. Lebih lanjut, Phelps (1997) membuktikan bahwa jika T pemetaan monoton maksimal pada ruang Banach refleksif maka range T memiliki interior dan klosur yang konveks. Kasus yang menunjukkan bahwa hal ini tidak berlaku pada ruang Banach nonrefleksif diberikan oleh Simon Fitzpatrick melalui tulisan Phelps (1997). Adanya contoh penyangkal pada ruang Banach nonrefleksif memberikan motivasi untuk mendefinisikan syarat tambahan agar pemetaan monoton maksimal pada ruang Banach nonrefleksif memiliki range dengan interior dan klosur yang konveks. Salah satu syarat tambahan yang diberikan membentuk pemetaan monoton tipe dense (D). Pemetaan monoton T dikatakan bertipe D jika untuk setiap (x∗∗ , x∗ ) ∈ X ∗∗ ×X ∗ yang monoton terhadap G(T ) dapat ditemukan net (xα , x∗α ) ∈ G(T ) dengan (xα ) terbatas dan xα → x∗∗ di topologi lemah dan x∗α → x∗ di topologi norma. Pemetaan monoton tipe D memiliki range dengan interior dan klosur yang konveks, meskipun di ruang nonrefleksif (Phelps, 1997). Sedangkan syarat tambahan lain yang diberikan membentuk pemetaan monoton tipe lokal (FP). Pemetaan monoton T dikatakan bertipe FP jika untuk setiap U ⊆ X ∗ dengan U terbuka, dan U ∩ R(T ) 6= ∅ dan untuk setiap (x, x∗ ) ∈ X × U dengan sifat untuk setiap (u, u∗ ) ∈ G(T ) dan s∗ ∈ U berakibat hx − u, x∗ − u∗ i ≥ 0 maka (x, x∗ ) ∈ G(T ). Pemetaan monoton tipe FP memiliki interior dan klosur yang konveks, meskipun di ruang nonrefleksif (Phelps dan Fitzpatrick, 1992). Selanjutnya, Simons (1998) menunjukkan bahwa pemetaan monoton maksimal memiliki karakteristik tertentu yang berhubungan dengan Teorema MaksimumMinimum. Dengan menggunakan hal ini, secara bertahap, Simons (1991) membuk-
6 tikan bahwa pemetaan monoton tipe D merupakan pemetaan monoton tipe FP.
1.4. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan tesis ini adalah studi literatur dengan mengumpulkan informasi dari beberapa buku dan jurnal. Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan tesis ini. 1. Memaparkan definisi, contoh-contoh dan sifat-sifat utama pemetaan monoton maksimal di ruang Banach refleksif. Untuk dapat memahami definisi dari pemetaan monoton, sebelumnya, pada dasar teori diberikan dahulu sekilas mengenai pemetaan bernilai himpunan meliputi pengertian dari domain efektif, range, grafik, invers, perluasan, dan restriksi pemetaan bernilai himpunan. Selanjutnya, diberikan definisi dan penjelasan mengenai topologi lemah dan topologi lemah* yang diperlukan ketika membuktikan beberapa sifat pemetaan monoton maksimal. 2. Memberikan contoh kasus di ruang Banach nonrefleksif yang tidak memenuhi sifat yang telah dipaparkan sebelumnya. Selain definisi, diberikan contoh dan sifat-sifat dasar dari pemetaan monoton maksimal. Diantara sifat-sifat tersebut terdapat sifat yang hanya berlaku pada ruang Banach refleksif. Hal ini diperjelas dengan memberikan contoh kasus pada ruang Banach nonrefleksif yang tidak memnuhi sifat tersebut. Untuk itu, diperlukan pengertian subdiferensial dan sifat-sifatnya. 3. Memberikan definisi pemetaan monoton maksimal tipe D dan tipe FP pada ruang Banach nonrefleksif. Untuk dapat memahami definisi pemetaan monoton tipe D dan FP diperlukan pengertian dari dual dan bidual suatu ruang bernorma. Selain itu diperlukan pengertian mengenai net dalam ruang topologis. Pengertian mengenai dual, bidual dan net dimasukkan dalam dasar teori. 4. Memaparkan bahwa pemetaan monoton maksimal tipe D dan tipe FP memi-
7 liki sifat yang sama. Untuk dapat membuktikan bahwa pemetaan tipe D dan tipe FP memiliki sifat yang sama diperlukan pengertian himpunan midpoint convex dan pengertian semikontinu atas untuk pemetaan bernilai himpunan dan bernilai tunggal. Hal ini diberikan pada dasar teori. 5. Membuktikan bahwa pemetaan monoton maksimal tipe D merupakan tipe FP. Teorema ini merupakan hasil akhir dan tujuan utama dari penelitian ini. Untuk membuktikannya, digunakan salah satu versi dari teorema maksimumminimum. Untuk dapat membuktikan teorema dan lemma tersebut diperlukan pemahaman mengenai ruang topologis Hausdorff, fungsi konveks, fungsi konkaf, fungsi affine, konjugat fungsi dan fungsi semikontinu atas. Hal-hal tersebut diberikan pada dasar teori.
1.5. Sistematika Penulisan Naskah tesis ini dibagi menjadi 6 bab. Bab I membahas mengenai latar belakang permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. Bab II berisi dasar teori yang digunakan pada bagian selanjutnya. Diantaranya adalah mengenai ruang topologis, ruang bernorma, pemetaan bernilai himpunan dan analisis konveks. Pendalaman materi setiap subbab yang dibahas disesuaikan dengan materi yang diperlukan pada bagian selanjutnya. Bab III berisi materi awal mengenai pemetaan monoton maksimal meliputi definisi, contoh-contoh, dan sifat-sifat dasar. Untuk memahami semua hal tersebut, sebelumnya diberikan materi mengenai topologi lemah dan topologi lemah*. Pada akhir bab ini diuraikan alasan perlunya membahas pemetaan monoton maksimal khusunya pada ruang Banach nonrefleksif. Bab IV berisi mengenai dua tipe pemetaan monoton maksimal pada ruang Banach nonrefleksif yaitu tipe D dan tipe FP. Dalam bab ini dibahas definisi dan sifat-sifat dasar kedua tipe tersebut. Tujuan utama bagian ini adalah menunjukkan
8 bahwa pemetaan monoton tipe D memiliki sifat yang sama dengan pemetaan tipe FP. Bab V berisi mengenai hubungan antara pemetaan monoton tipe D dan tipe FP. Untuk mengetahui hubungan antara kedua tipe tersebut sebelumnya dibahas mengenai Teorema Maksimum Minimum dan akibat teorema tersebut jika dihubungkan dengan pemetaan monoton. Selanjutnya, bab VI berisi kesimpulan dan saran.
