BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Derivatif memegang peranan penting dalam syarat optimalitas fungsi, yaitu untuk mencapai ekstrim, derivatif order satu fungsi tersebut harus bernilai nol. Hal tersebut tidak menjadi masalah untuk fungsi diferensiabel kontinu. Akan tetapi, tidak demikian untuk fungsi yang tidak diferensiabel. Dalam keadaan tertentu, optimisasi untuk fungsi yang tidak diferensiabel harus tetap dilakukan. Oleh karena itu diperlukan suatu metode optimisasi tanpa derivatif yang dapat diaplikasikan baik pada fungsi diferensiabel maupun fungsi yang tidak diferensiabel. Salah satu metode tanpa derivatif yang cukup mudah dipahami adalah metode pencarian langsung (direct-search). Metode ini dilakukan dengan mencoba mengevaluasi fungsi objektif di titik-titik sejumlah berhingga pada tiap iterasi. Kemudian membandingkan nilai-nilai hasil evaluasi tersebut dengan nilai yang diperoleh sebelumnya dan memutuskan tindakan apa yang dilakukan selanjutnya tanpa pendekatan derivatif atau pembentukan model yang eksplisit maupun implisit. Salah satu jenis metode pencarian langsung yang sederhana yaitu metode pencarian langsung yang menggunakan himpunan arah pencarian yang berbentuk basis positif untuk memperoleh titik-titik percobaannya. Metode ini disebut metode pencarian langsung berarah (directional direct-search).
1.2. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas di dalam skripsi ini adalah: 1. menyelidiki kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk fungsi diferensiabel kontinu dengan basis positif sebanyak berhingga dan tak hingga serta untuk fungsi yang tidak diferensiabel, 1
2 2. menyelidiki kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah dengan basis positif sebanyak berhingga yang memenuhi syarat bilangan bulat dan parameter step size yang memenuhi syarat bilangan rasional, dan 3. menyelidiki kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah dengan syarat penurunan cukup dalam mengambil titik iterasi baru.
1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah metode pencarian langsung berarah pada masalah optimisasi tanpa kendala dengan fungsi konveks sebagai fungsi objektifnya. Dalam skripsi ini tidak membahas masalah optimisasi dengan kendala dan masalah optimisasi yang fungsi objektifnya tidak konveks. Sebelum membahas metode pencarian langsung berarah ini, diharapkan pembaca telah memahami konsep-konsep dasar dalam teori optimisasi.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari salah satu jenis metode optimisasi tanpa derivatif yaitu metode pencarian langsung berarah beserta kekonvergenan global untuk beberapa kasus tertentu. Lebih lanjut, manfaat penelitian ini adalah sebagai ide dasar untuk mengembangkan metode pencarian langsung jenis lain.
1.5. Tinjauan Pustaka Metode pencarian langsung berarah menggunakan himpunan pembangun positif, khususnya basis positif, sebagai vektor arahnya. Beberapa sifat dasar dan teorema mengenai himpunan pembangun positif dan basis positif dapat ditemukan dalam Conn, dkk. (2009) dan Davis (1954) serta Lewis dan Torczon (1999). Di akhir pembahasan mengenai dua konsep tersebut dalam Conn, dkk. (2009), terdapat teorema yang menyatakan bahwa norma gradien fungsi f terbatas ke atas oleh ∆ dikalikan suatu konstanta positif yang bergantung pada konstanta Lipschitz dan
3 cm(D)−1 , yang dapat ditemukan dalam Kolda, dkk. (2003). Akibat dari teorema tersebut adalah untuk nilai α yang menuju nol, diperoleh bahwa gradien fungsi objektif juga konvergen ke nol, yang berarti memenuhi syarat optimalitas fungsi. Pembahasan mengenai kerangka kerja metode pencarian langsung berarah dalam Conn, dkk. (2009) sebagian besar berdasarkan pada kerangka kerja metode pencarian pola tergeneralisasi (generalized pattern-search) yang diperkenalkan oleh Audet dan Dennis (2003). Dalam pembahasan mengenai kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk fungsi nonsmooth atau fungsi yang tidak diferensiabel, variasi fungsi Dennis-Wood yang digunakan oleh Conn, dkk. (2009) serta pembahasan mengenai metode pencarian koordinat yang dapat gagal konvergen pada fungsi tersebut dapat ditemukan dalam Kolda, dkk. (2003). Definisi derivatif berarah tergeneralisasi serta subdiferensial tergeneralisasi untuk fungsi nonsmooth dan beberapa teorema mengenai kedua konsep tersebut diperkenalkan oleh Clarke (1983) dan dapat juga ditemukan dalam Makela dan Neittaanmaki (1992). Selanjutnya konsep tersebut digunakan oleh Conn, dkk. (2009) untuk menunjukkan kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk fungsi nonsmooth. Metode pencarian langsung berarah dengan basis positif yang memenuhi syarat bilangan bulat dan parameter step size yang memenuhi syarat bilangan rasional dapat menghasilkan barisan titik iterasi yang berada di dalam himpunan yang berbentuk lattice bilangan bulat. Konsep mengenai lattice di Rn dapat ditemukan dalam artikel Lenstra (2008). Kemudian contoh yang menunjukkan perlunya syarat bilangan bulat tersebut dapat ditemukan dalam Audet (2003). Metode pencarian langsung berarah menghasilkan titik-titik iterasi yang memenuhi lim inf k→+∞ k∇f (xk )k = 0 dan tidak dapat diperkuat menjadi limk→+∞ k∇f (xk )k = 0 tanpa modifikasi lebih lanjut pada algoritma untuk metode ini. Kedua asumsi untuk memodifikasi algoritma tersebut dapat ditemukan dalam Conn, dkk. (2009), Kolda, dkk. (2003), serta Torczon (1997), sedangkan bukti teorema yang menunjukkan bahwa hasil asimtotik tersebut dapat diperkuat diperoleh dari Kolda, dkk.
4 (2003). Pembahasan mengenai hasil asimtotik tersebut dilanjutkan dengan penyajian dua contoh fungsi diferensiabel kontinu di R2 yang dengan metode pencarian langsung berarah menghasilkan titik limit sebanyak tak hingga. Pada contoh yang pertama, gradien di salah satu titik limit tidak nol, sedangkan pada contoh kedua, algoritma masih dapat menghasilkan titik limit sebanyak tak hingga meskipun telah memenuhi kedua asumsi untuk memperkuat hasil asimtotik di atas. Kedua contoh tersebut dapat ditemukan dalam Audet (2003). Selanjutnya pembahasan mengenai syarat penurunan cukup beserta bukti teorema yang menunjukkan kekonvergenan globalnya dapat ditemukan dalam Kolda, dkk. (2003). Konsep-konsep dasar dalam teori optimisasi yang meliputi himpunan konveks, convex cone, dan hyperplane dapat ditemukan dalam beberapa buku tentang teori optimisasi yaitu Bazaraa, dkk. (2006) serta Boyd dan Vandenberghe (2004). Kemudian konsep-konsep lebih lanjut mengenai teorema, sifat, dan corollary yang mengaitkan antara himpunan konveks, cone, convex cone, dan hyperplane dapat ditemukan dalam Rockafellar (1970), salah satu teorema tersebut digunakan oleh Conn, dkk. (2009) untuk membuktikan sifat himpunan pembangun positif. Konsepkonsep analisis real yang digunakan di dalam skripsi ini dapat ditemukan dalam buku tentang analisis real, yaitu Lang (1983).
1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan studi literatur dari beberapa buku dan paper yang berkaitan dengan metode pencarian langsung berarah. Di dalam skripsi ini, yang akan dilakukan adalah melengkapi pembuktian teorema di dalam buku tersebut serta menambahkan beberapa contoh numerik penerapan metode pencarian langsung berarah pada beberapa fungsi yang diberikan. Tahap awal yang dilakukan adalah mendefinisikan himpunan pembangun positif dan basis positif beserta sifat-sifatnya dan dilanjutkan dengan penjelasan mengenai beberapa mekanisme sederhana untuk membentuk basis positif. Kemu-
5 dian akan dijelaskan mengenai alasan mengapa himpunan pembangun positif dan basis positif digunakan dalam metode pencarian langsung berarah. Selanjutnya dibahas mengenai estimasi gradien dalam metode pencarian langsung berarah yang diawali dengan mengenalkan definisi cosine measure untuk himpunan pembangun positif dan dilanjutkan dengan membuktikan teorema mengenai kekonvergenan global yang berkaitan dengan himpunan pembangun positif. Tahap berikutnya adalah mengenalkan salah satu metode pencarian langsung berarah yang paling sederhana, yaitu metode pencarian koordinat, dan dilanjutkan dengan penjelasan mengenai kerangka kerja metode pencarian langsung berarah secara umum. Kemudian akan dilakukan penyelidikan mengenai kekonvergenan global untuk fungsi diferensiabel kontinu yang meliputi metode pencarian langsung berarah dengan basis positif yang digunakan sebanyak tak hingga dan berhingga. Setelah itu dilanjutkan dengan menyelidiki kekonvergenan global untuk fungsi nonsmooth atau fungsi yang tidak diferensiabel. Selanjutnya adalah pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah yang dilengkapi dengan syarat penurunan sederhana dan basis positif sebanyak berhingga yang memenuhi syarat bilangan bulat serta parameter step size yang memenuhi syarat bilangan rasional, sehingga barisan titik-titik iterasi berada di dalam himpunan yang berbentuk lattice bilangan bulat. Kemudian akan dijelaskan mengenai modifikasi kerangka kerja metode pencarian langsung berarah untuk memperkuat hasil asimtotik dari titiktitik iterasi yang berkaitan dengan kestasioneran titik limitnya. Berikutnya adalah pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah yang dilengkapi dengan syarat penurunan cukup dan dilanjutkan dengan membuktikan beberapa teorema yang menunjukkan kekonvergenan global jika syarat penurunan cukup dikenakan pada metode tersebut.
1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, sistematika yang digunakan sebagai berikut.
6 BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang pengambilan topik mengenai metode pencarian langsung berarah, beberapa rumusan masalah yang akan dibicarakan di dalam skripsi ini, pembatasan masalah untuk metode pencarian langsung berarah, tujuan dan manfaat membahas metode pencarian langsung berarah, langkahlangkah peninjauan sumber pustaka untuk membahas metode pencarian langsung berarah, metodologi penelitian dalam pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah, dan urutan penulisan yang sistematis. BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai konsep yang mendasari pembahasan di bab-bab berikutnya. Konsep dasar yang dibahas pada bab ini antara lain: himpunan konveks, optimalitas fungsi, fungsi konveks, himpunan pembangun positif dan basis positif, serta estimasi gradien dalam metode pencarian langsung. BAB III METODE PENCARIAN LANGSUNG BERARAH Pada bab ini dibahas mengenai metode pencarian langsung berarah yang diawali dengan pembahasan mengenai salah satu metode pencarian langsung berarah yang paling sederhana, yaitu metode pencarian koordinat, dan kerangka kerja metode pencarian langsung berarah. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai kekonvergenan global untuk fungsi diferensiabel kontinu dan fungsi tidak diferensiabel. Selanjutnya adalah pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah dengan syarat penurunan sederhana dan lattice bilangan bulat. Lalu diakhiri dengan pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah dengan syarat penurunan cukup. BAB IV PENUTUP Pada bab ini dibahas mengenai hasil-hasil yang diperoleh dari BAB III, khususnya mengenai kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk beberapa kasus tertentu, serta saran-saran yang disampaikan penulis mengenai penelitian lebih lanjut yang dapat dilakukan.
