BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A ∈ Cm×n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L ∈ Cm×m matriks invertibel segitiga bawah dan U ∈ Cm×n matriks segitiga atas. Telah diketahui bahwa tidak semua matriks memiliki faktorisasi LU , ada matriks yang tidak dapat difaktorkan secara LU . Syarat suatu matriks dapat difaktorkan secara LU adalah matriks tersebut haruslah tereduksi bawah artinya matriks itu dapat dibawa ke bentuk eselon baris tanpa menggunakan operasi pertukaran baris dan operasi menambahkan kelipatan suatu baris ke baris yang lebih atas. Dari sini maka muncul permasalahan yang selanjutnya diambil menjadi pembahasan tugas akhir ini. Diketahui bahwa faktorisasi LU dari matriks singular tidak tunggal, dan algoritma faktorisasi LU biasa tidak dapat mendefinisikan semua faktorisasi LU tersebut. Pada pembahasan tugas akhir ini akan dicari semua koleksi faktorisasi LU dari sebarang matriks singular (namakan A) yang dapat difaktorkan secara LU , yaitu akan dicari matriks segitiga atas U dan matriks invertibel segitiga bawah L sedemikian sehingga A = LU merupakan faktorisasi LU dari A.
Untuk
mendapatkan kedua bentuk ini, maka digunakan suatu bentuk kanonik dari suatu matriks yang merupakan modifikasi dari bentuk eselon baris tereduksi pada eliminasi gauss yang dinamakan Rank Revealing Minimal Canonical Form (RRMCF). Bentuk RRMCF dapat diperoleh dari matriks A dengan memanfaatkan satu tipe operasi baris elementer yaitu operasi menambahkan kelipatan suatu baris ke baris yang lebih bawah, sedangkan matriks invertibel L adalah matriks unit segitiga bawah yang didefinisikan sebagai matriks segitiga bawah dengan elemen
1
2 diagonal utama bernilai 1. Dari sini maka, semua koleksi dari matriks L dapat diparameterisasi, dan matriks U didefinisikan sebagai U = L−1 A. Alat utama yang digunakan dalam pembahasan tugas akhir ini adalah suatu faktorisasi lain yang
dinamakan
faktorisasi
RRMCF
yang
akan
digunakan
untuk
memparameterisasi semua koleksi faktorisasi LU dari sebarang matriks A yang dapat difaktorkan secara LU .
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan utama dari tugas akhir ini adalah untuk memparameterisasi semua koleksi faktorisasi LU dari sebarang matriks singular yang dapat difaktorkan secara LU . Selain tujuan utama tersebut, tugas akhir ini juga bertujuan untuk menjelaskan pengertian matriks berbentuk RRMCF dan unit segitiga bawah beserta sifat-sifatnya, mendefinisikan faktorisasi RRMCF, menggunakan algoritma yang didapat dari pembahasan tugas akhir ini untuk menyelesaikan faktorisasi LU dari matriks singular yang tidak dapat dikerjakan dengan algoritma faktorisasi LU biasa dan memberikan contoh aplikasi faktorisasi LU untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
1.3. Tinjauan Pustaka Tulisan ini secara keseluruhan mengacu pada artikel ilmiah yang ditulis oleh Dopico et al.
(2006).
Dalam artikel ini dibahas tentang pembentukan
faktorisasi LU untuk matriks singular dengan memanfaatkan suatu bentuk kanonik dari matriks tersebut yang dinamakan Rank Revealing Minimal Canonical Form (RRMCF). Lebih lanjut, untuk dapat memparameterisasi semua kemungkinan faktorisasi LU pada matriks singular tersebut digunakan suatu faktorisasi lain yang dinamakan faktorisasi RRMCF yang dalam artikel ini telah dijelaskan secara terperinci. Bahan acuan lain yang cukup penting dalam penulisan tugas akhir ini adalah buku dari Nicholson (1995). Dari buku ini diperoleh penjelasan mengenai faktorisasi LU biasa seperti yang telah dikenal luas. Dalam buku ini juga terdapat
3 algoritma faktorisasi LU biasa serta pembuktian eksistensi faktorisasi LU serta contoh aplikasi faktorisasi LU . Selain kedua bahan acuan utama di atas, sebagian besar materi-materi dasar diperoleh dari buku Anton dan Rorres (2010). Dari buku tersebut diperoleh penjelasan lengkap tentang matriks berbentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi, matriks segitiga bawah, posisi pivot dan kolom pivot, dan rank matriks yang didefinisikan dari bentuk eselon baris tereduksinya. Selanjutnya dari buku ini juga diperoleh penjelasan tentang ruang vektor, ruang bagian, himpunan pembangun, himpunan bebas linear, basis, dimensi, dan ruang baris dari suatu matriks yang akan digunakan untuk mengkarakterisasi suatu matriks yang memiliki faktorisasi LU dengan matriks RRMCF nya berbentuk segitiga atas. Berikutnya dari buku yang ditulis Meyer (2000) diperoleh penjelasan tentang determinan matriks dan invers matriks secara lengkap, kemudian dari buku Gantmacher (1998) diperoleh penjelasan mengenai matriks dan operasi pada matriks serta hubungan antara rank dan bentuk eselon baris tereduksi dari suatu matriks.
1.4. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai faktorisasi LU untuk matriks singular. Pertama dipelajari materi-materi dasar yang terkait diantaranya tentang bentuk eselon suatu matriks serta keterkaitan antara rank dan bentuk eselon dari matriks tersebut. Selanjutnya dipelajari mengenai bentuk kanonik sederhana suatu matriks yang merupakan modifikasi dari bentuk eselon baris tereduksi pada Eliminasi Gauss, bentuk ini dinamakan Rank Revealing Minimal Canonical Form (RRMCF). RRMCF dan faktorisasi RRMCF yang nantinya akan digunakan untuk menentukan semua faktorisasi LU yang mungkin dari suatu matriks singular yang diketahui. Setelah itu dipelajari mengenai ruang vektor, ruang bagian dan ruang baris dari suatu matriks, yang digunakan untuk mengkarakterisasi suatu matriks apakah memiliki faktorisasi LU dengan bentuk RRMCF nya segitiga atas atau tidak.
4 Selanjutnya
dengan
menggunakan
materi
yang
telah
dipelajari,
diparameterisasi semua faktorisasi LU yang mungkin dari sebarang matriks yang dapat difaktorkan secara LU dengan bentuk RRMCF nya segitiga atas, kemudian menerapkan aplikasi dari faktorisasi LU untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.
1.5. Sistematika Penulisan Pada penulisan tugas akhir ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I. PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah yang menjadi alasan penulisan. Dibahas juga mengenai tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II. DASAR TEORI Pada bab ini diberikan materi-materi dasar yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Diantara materi tersebut yaitu bentuk eselon dari suatu matriks, rank matriks, ruang vektor, ruang bagian, ruang baris dan matriks unit segitiga bawah.
BAB III. FAKTORISASI LU PADA MATRIKS SINGULAR Pada bab ini akan diberikan hasil utama dari tulisan ini yaitu Teorema 3.3.5. Pertama akan dibahas mengenai RRMCF beserta faktorisasi RRMCF, kemudian mengkarakterisasi apakah matriks yang diberikan tersebut dapat difaktorkan secara LU atau tidak dengan menggunakan Teorema 3.3.2, selanjutnya dibuat langkah-langkah untuk memparameterisasi semua kemungkinan faktorisasi LU dari sebarang matriks tersebut, kemudian pada akhir bab ini akan diberikan aplikasi dari faktorisasi LU untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.
BAB IV. PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan, yaitu paparan garis besar isi dari tiap bab. Bab
5 ini juga berisi saran yang berguna untuk penelitian selanjutnya dengan materi yang masih berkaitan dengan skripsi ini.
