BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Persamaan Diferensial Parsial (PDP) digunakan oleh Newton dan para ilmuwan pada abad ketujuhbelas untuk mendeskripsikan tentang hukum-hukum dasar pada fisika. Jika ilmu-ilmu pada fisika lanjut (Advanced Physics) ditinjau kembali, maka akan ditemukan bahwa persamaan diferensial parsial berperan penting dalam penggambaran fisis dari benda-benda yang melibatkan besaran-besaran yang berubah terhadap ruang dan waktu. Salah satu persamaan diferensial yang banyak digunakan dalam bidang fisika terutama pada bidang mekanika kuantum adalah persamaan Schr¨odinger. Persamaan Schr¨odinger lahir dari seorang fisikawan berkebangsaan Australia bernama Erwin Schr¨odinger pada tahun 1925. Persamaan ini digunakan untuk mengamati perilaku suatu partikel yang berada dalam tingkatan atomik atau subatomik. Dalam mekanika klasik, perilaku suatu benda atau partikel dapat diamati jika fungsi posisi dan momentum dari benda tersebut diketahui. Namun untuk sebuah partikel yang sangat kecil seperti elektron, fungsi posisi dan momentum tidak dapat ditentukan dengan pasti dikarenakan oleh bentuknya yang bahkan tidak teramati langsung oleh mata. Penelitian terkait dengan perilaku elektron lalu dilakukan, diperoleh beberapa bukti bahwa suatu elektron memiliki sifat serupa dengan partikel dan serupa dengan gelombang yang selanjutnya disebut sebagai sifat dualitas partikel-gelombang. Elektron yang diasumsikan memiliki sifat seperti partikel ternyata memiliki sifat seperti gelombang juga karena dapat terdifraksi dan bergerak secara bebas. Pergerakan dari elektron tersebut selanjutnya disajikan dalam fungsi gelombang. Persamaan Schr¨odinger digunakan untuk menentukan fungsi gelombang yang sesuai. Jika fungsi gelombang yang terkait telah ditentukan,
1
2 maka informasi lain mengenai pergerakan dan perilaku gelombang selanjutnya dapat ditentukan. Schr¨odinger mendefinisikan persamaannya dalam dimensi satu sebagai berikut: i~
~2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) =− + V (x)Ψ(x, t) ∂t 2m ¯ ∂x2
dengan ~ merupakan bentuk modifikasi konstanta Planck, m ¯ merupakan massa, V (x) menyatakan energi potensial dan Ψ(x, t) menyatakan fungsi gelombang. Sedangkan persamaan Schr¨odinger dalam dimensi dua didefinisikan dalam Becerril, dkk (2008) sebagai berikut: ~2 ∂ 2 Ψ(x, y, t) ∂ 2 Ψ(x, y, t) ∂Ψ(x, y, t) =− + + V (x, y)Ψ(x, y, t) i~ ∂t 2m ¯ ∂x2 ∂x2 dengan ~ merupakan bentuk modifikasi konstanta Planck, m ¯ merupakan massa, V (x, y) menyatakan energi potensial dan Ψ(x, y, t) menyatakan fungsi gelombang. Diperhatikan bahwa persamaan Schr¨odinger memuat fungsi energi potensial V . Nilai dari V mempengaruhi domain pergerakan dari partikel yang fungsi gelombangnya akan dicari. Dalam Atkins dan Paula (2006) diberikan ilustrasi singkat mengenai kasus partikel yang bergerak bebas dengan V = 0 dan kasus osilasi harmonik dengan nilai V = 21 kx2 pada dimensi satu serta kasus osilasi harmonik dimensi dua dengan fungsi energi potensial V = 21 K (x2 + y 2 ). Dari pembahasan yang diberikan ternyata diperoleh kesimpulan bahwa nilai V mempengaruhi bentuk fungsi gelombang yang dihasilkan dan juga daerah pergerakan dari partikel. Untuk kasus V = 0 baik pada dimensi satu maupun dimensi dua, daerah pergerakan partikel berturut-turut akan dibatasi oleh dinding berbentuk persegi dan kubus yang terbentuk dari syarat batas persamaan yang ditentukan. Untuk kasus osilasi harmonik dimensi satu dan dimensi dua, daerah pergerakan dari partikel akan berupa parabola dan paraboloida. Bentuk dari daerah pergerakan ini juga akan mempengaruhi besar probabilitas menemukan partikel di suatu titik di dalam daerah pergerakan yang terbentuk. Hal ini yang kemudian mendasari penulis untuk membahas dan mengamati pergerakan dari partikel pada dimensi satu dan dua dengan kasus partikel yang bergerak bebas dan kasus osilasi harmonik.
3 Dalam buku yang ditulis Griffiths (1995) serta Atkins dan Paula (2006), dijabarkan mengenai hal yang melatarbelakangi pembentukan dari fungsi Schr¨odinger. Dituliskan juga secara singkat mengenai penyelesaian eksak serta interpretasi dari fungsi gelombang dari persamaan Schr¨odinger dimensi satu yang dikaitkan dengan pembelajaran mengenai pergerakan elektron.
1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, perumusan masalah yang akan dibahas antara lain: 1. Perumusan teori-teori yang mendasari perhitungan guna memperoleh penyelesaian eksak persamaan Schr¨odinger. 2. Penyelesaian eksak dari persamaan Sch¨odinger untuk permasalahan partikel dalam kotak dan osilasi harmonik dimensi satu. 3. Penyelesaian eksak dari persamaan Schr¨odinger untuk permasalahan partikel dalam kotak dan osilasi harmonik dimensi dua. 4. Simulasi serta interpretasi dari masing-masing fungsi gelombang yang diperoleh yang dikaitkan dengan pergerakan elektron.
1.3. Batasan Masalah Dalam skripsi ini penulis hanya membahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan Schr¨odinger dimensi satu dan dua beserta dengan simulasi menggunakan aplikasi Matlab. Pengembangan pembahasan mengenai permasalahan ini tidak dilakukan karena dibutuhkan analisa dan pembelajaran yang lebih mendalam
1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memberikan gambaran sederhana mengenai penyelesaian eksak dari persamaan
4 Schr¨odinger serta simulasi dan interpretasi terkait. Selain itu dapat juga digunakan sebagai bahan dasar untuk pembahasan-pembahasan lebih lanjut dengan topik yang hampir sama.
1.5. Tinjauan Pustaka Literatur utama yang digunakan dalam skripsi ini adalah karya ilmiah dari Becerril, dkk (2008). Dalam karya tersebut dibahas mengenai Penyelesaian Persamaan Schr¨odinger begantung waktu dimensi satu dan dua dengan menggunakan metode analitik dan metode numerik. Skripsi ini hanya akan meninjau penyelesaian analitik saja yang diberikan dalam karya tersebut. Sebagai landasan teori, Ross (1984) dan Pinchover dan Rubenstein (2005) menjelaskan mengenai persamaan diferensial serta klasifikasinya. Selain itu dijelaskan juga mengenai permasalahan syarat batas dan syarat awal serta metodemetode yang digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial. Persamaan Schr¨odinger pada pembahasan ini dipandang sebagai permasalahan syarat batas yang diselesaikan dengan menggunakan metode separasi peubah. Dalam permasalahan syarat batas terdapat kasus khusus yang dinamakan sebagai Masalah Sturm-Liouville. Definisi dan teorema Sturm-Liouville dijelaskan dalam Humi dan Miller (1992) dan Pinsky (1940). Selanjutnya, teori distribusi probabilitas yang mendasari interpretasi fungsi gelombang diberikan dalam Hogg dan Craig (1978). Definisi fungsi Gamma diberikan dalam Sebah dan Gourdon (2002). Fungsi Gamma merupakan suatu fungsi dengan argumen berupa suatu bilangan. Hasil dari fungsi Gamma dapat dinyatakan dalam bentuk faktorial. Persamaan Schr¨odinger diperkenalkan pada tahun 1925 oleh seorang ilmuwan berkebangsaan Australia yang bernama Erwin Schr¨odinger. Persaman Schr¨odinger memberikan suatu fungsi gelombang yang digunakan untuk mengamati perilaku partikel yang sangat kecil seperti elektron. Namun fungsi gelombang tersebut tidak dapat menginterpretasikan pergerakan partikel secara tepat sehingga dilakukan penginterpretasian fungsi gelombang dengan menggunakan konsep distribusi pro-
5 babilitas. Dari interpretasi tersebut akan diperoleh probabilitas keberadaan partikel pada suatu interval posisi tertentu (Griffiths, 1995). Dalam tulisan yang dikemukakan oleh Becerril, dkk (2008) diberikan penyelesaian persamaan Schr¨odinger pada dimensi satu dan dimensi dua. Selain itu, dilihat perilaku partikel berdasarkan fungsi energi potensial yang diberikan yaitu saat V (x) = 0 dan V (x) 6= 0. Fungsi gelombang yang diperoleh kemudian disimulasikan dengan menggunakan program Matlab. Penginterpretasian fungsi gelombang untuk permasalahan pergerakan elektron dilakukan dengan mengacu pada karya Atkins dan Paula (2006).
1.6. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan mengacu pada beberapa pustaka baik berupa buku ataupun karya ilmiah yang berkaitan dengan pembahasan mengenai penyelesaian persamaan Schr¨odinger bergantung waktu. Penelitian pada skripsi ini diawali dengan identifikasi persamaan Schr¨odinger, yang setelah ditelaah merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial parsial. Selanjutnya ditentukan fungsi energi potensial yang digunakan dan disubstitusikan ke dalam persamaan sehingga akan diperoleh bentuk yang lebih sederhana dan dapat ditentukan metode yang sesuai untuk mencari penyelesaiannya. Penyelesaian yang diperoleh ditentukan dengan menggunakan Teorema Masalah SturmLiouville dan Metode Separasi Peubah. Teori mengenai probabilitas juga dipelajari karena akan mendasari teori mengenai kondisi normal yang akan membantu dalam menginterpretasi pergerakan serta kemungkinan posisi elektron. Selanjutnya setelah diperoleh penyelesaian yang sesuai dan kondisi normal dipenuhi, dilakukan simulasi dengan menggunakan program Matlab untuk memperoleh gambaran mengenai pergerakan partikel secara umum. Selain itu, fungsi gelombang dan simulasi yang dilakukan akan dikaitkan dengan permasalahan tentang pergerakan elektron.
1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut :
6 BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakan penulisan skripsi, perumusan masalah, maksud dan tujuan penulisan, batasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang mendasari pembahasan permasalahan yang dilakukan. ¨ BAB III PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER DIMENSI SATU DAN DUA Pada bab ini dibahas penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Schr¨odinger dengan masing-masing gaya yang diberikan. Penyelesaian eksak dan dari persamaan Schr¨odinger bergantung waktu dimensi satu dibahas pada subbab pertama. Pada subbab kedua dibahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan osilasi harmonik dimensi satu. Selanjutnya, berturut-turut pada subbab ketiga dan keempat dibahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan Schr¨odinger bergantung waktu dan osilasi harmonik dimensi dua. BAB IV PENUTUP Pada bab ini diberikan kesimpulan berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dan disertakan pula saran yang dapat digunakan sebagai bahan untuk penelitian yang selanjutnya.
