BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Teori titik tetap merupakan salah satu hasil penelitian dalam bidang matematika analisis yang memiliki cukup banyak aplikasi. Salah satu aplikasi teori tersebut adalah untuk membuktikan eksistensi penyelesaian suatu sistem persamaan diferensial. Goebel dan Kirk (1990) menyatakan bahwa teorema titik tetap berawal dari ditemukannya Prinsip Kontraksi Banach (Banach Contraction Principle) dalam sebuah tesis pada tahun 1922, yaitu teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi. Seiring dengan perkembangan zaman banyak para peneliti yang memperumum teori titik tetap, mulai dari mengubah jenis pemetaannya sampai mengubah ruang pembicaraannya, misalnya ruang metrik cone, ruang metrik parsial, ruang modular, dan lain-lain. Pada tahun 1996, Kada, Suzuki dan Takahashi (1996) memperkenalkan konsep jarak-ω pada ruang metrik, yang merupakan perumuman dari metrik. Jika p merupakan jarak-ω, maka p(x, x) = 0 dan p(x, y) = p(y, x) tidak selalu berlaku seperti pada metrik. Apabila (X, d) ruang metrik, pemetaan T : X → X disebut pemetaan kontraksi jika terdapat r ∈ [0, 1) sehingga d(T (x), T (y)) ≤ rd(x, y), sedangkan dengan menggunakan konsep jarak-ω, pemetaan T : X → X disebut pemetaan kontraksi-p jika terdapat r ∈ [0, 1) dan jarak-ω p pada X sehingga p(T (x), T (y)) ≤ rp(x, y). Berbagai teorema titik tetap telah banyak dikembangkan ke konsep jarak-ω. Suzuki dan Takahashi (1996) melanjutkan penelitian mereka dan memberikan teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi bernilai banyak terhadap jarak-ω pada ruang metrik lengkap. Lebih lanjut, Suzuki dan Takahashi (1996) membuktikan karakterisasi ruang metrik lengkap terkait dengan pemetaan yang memiliki titik tetap terhadap jarak-ω.
1
2 Selain itu dapat juga dilakukan perumuman pada ruang dan pemetaan kontraksinya sekaligus, seperti yang dilakukan Kutbi dan Sintunavarat (2014). Hussain dkk (2014) memperkenalkan konsep ruang metrik lengkap-α. Dari konsep ruang metrik lengkap-α tersebut, Kutbi dan Sintunavarat (2014) memberikan teorema titik tetap pemetaan kontraksi bernilai banyak yang diperumum di ruang metrik lengkapα. Karena konsep jarak-ω lebih umum daripada metrik maka diharapkan aplikasi yang dihasilkan semakin luas. Dengan memperhatikan uraian di atas, dalam tesis ini akan dipelajari mengenai teori titik tetap dengan menggunakan konsep jarak-ω.
1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang akan dibahas dalam tesis ini adalah : 1. Eksistensi titik tetap dari beberapa jenis pemetaan yang terkait jarak-ω pada ruang metrik lengkap, di antaranya adalah pemetaan kontraksi-p. 2. Karakterisasi kelengkapan suatu ruang metrik berdasarkan pemetaan kontraksip yang memiliki titik tetap. 3. Eksistensi titik tetap untuk beberapa jenis pemetaan terkait jarak-ω pada ruang metrik lengkap-α. Kemudian beberapa teorema titik tetap yang selama ini pada ruang metrik lengkap, akan diperumum menjadi ruang metrik lengkapα, yang selanjutnya akan diteliti pembuktiannya.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Magister (S2) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari eksistensi titik tetap pada ruang metrik dengan menggunakan konsep jarak-ω, dan mengetahui perumuman pemetaan kontraksi terkait dengan jarak-ω, serta memberikan beberapa teorema titik tetap pada ruang metrik yang terkait dengan jarak-ω.
3 Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memperdalam dan memperluas wawasan mengenai teorema titik tetap, khususnya yang terkait dengan jarak-ω. Selanjutnya hasil dari penelitian ini diharapkan dapat berkontribusi dalam pengembangan teori titik tetap sehingga dapat digunakan oleh cabang-cabang ilmu yang aplikatif yang membutuhkan konsep mengenai jarak-ω dan teori titik tetap.
1.4. Tinjauan Pustaka Teori titik tetap merupakan salah satu teori yang mempunyai peranan dan aplikasi cukup penting dalam banyak bidang. Dalam mempelajari teori titik tetap, diperlukan beberapa konsep pada ruang metrik. Konsep-konsep di ruang metrik dapat dibaca di Royden (1989). Selanjutnya, pembahasan tentang teori titik tetap dijelaskan secara lengkap oleh Agarwal, dkk (2004) dan Almezel, dkk (2014). Penelitian mengenai teori titik tetap dikembangkan lebih lanjut oleh Meir dan Keeler (1969), Suzuki dan Takahashi (1996) dan Falset, dkk (2009). Dalam paper Meir dan Keeler (1996), digunakan pemetaan yang lebih umum dari pemetaan kontraksi yang selanjutnya disebut pemetaan Meir-Keeler. Dengan pemetaan MeirKeeler, dapat dibuktikan eksistensi titik tetap suatu pemetaan sama halnya dengan pemetaan kontraksi Banach. Kemudian pada tahun 1996, diperkenalkan teorema titik tetap yang menggunakan konsep jarak-ω dalam suatu ruang metrik. Beberapa jenis pemetaan pada teorema titik tetap dimodifikasi dari terkait metrik menjadi terkait jarak-ω, yaitu pemetaan kontraksi Banach, kontraksi Nadler, dan lainlain. Mengingat setiap metrik merupakan jarak-ω, maka teorema titik tetap yang dihasilkan lebih umum daripada teorema titik tetap yang selama ini hanya terkait metrik. Lebih lanjut diberikan karakterisasi ruang metrik lengkap berdasarkan pemetaan yang memiliki titik tetap (Suzuki dan Takahashi,1996). Penelitian mengenai titik tetap terkait jarak-ω terus bermunculan dengan mengembangkan jenis pemetaannya, salah satunya dikembangkan oleh Falset, dkk (2009), yang memberikan jenis pemetaan yang lebih umum daripada pemetaan (kontraksi-p) yang diberikan Suzuki dan Takahashi (2009). Berbeda dengan pemeta-
4 an kontraksi-p yang dikenalkan Suzuki dan Takahashi (2009) yang menggunakan konstanta pada kontraksinya, Falset, dkk (2009) menggunakan fungsi dari R ke R pada jenis pemetaannya. Selanjutnya beberapa teorema titik tetap yang diberikan oleh Latif dan Abdou (2009) dan (2011), Bano dan Naheed (2012) dan Mohammadi dkk (2013) menggunakan jenis pemetaan yang lebih umum dari kontraksi-p bernilai banyak. Untuk memahami teorema titik tetap terkait jarak-ω, diperlukan pemahaman mengenai limit inferior dan fungsi semikontinu yang dijelaskan di dalam McShane (1947). Selanjutnya, Hussain dkk (2014) memperkenalkan konsep ruang metrik lengkap-α yaitu kelengkapan suatu ruang metrik yang bergantung terhadap suatu fungsi α. Dari konsep ruang metrik lengkap-α tersebut, Kutbi dan Sintunavarat (2014) mengembangkan teorema titik tetap pada ruang metrik dengan menggunakan konsep jarak-ω, yaitu dengan menambahkan suatu pemetaan α sehingga memperumum kontraksi yang dikenalkan oleh Suzuki dan Takahashi (1996), dan memperumum dari ruang metrik lengkap menjadi ruang metrik lengkap-α.
1.5. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Penulis lebih banyak melengkapi bukti-bukti yang diberikan dalam jurnal-jurnal terkait. Selain itu, dilakukan modifikasi pada beberapa teorema titik tetap yang sudah ada dengan mengubah sedikit jenis pemetaannya dan mengurangi beberapa syarat. Adapun perumuman teorema pada pemetaan terkait metrik ke pemetaan terkait jarak-ω. Sebelum masuk pada materi terkait jarak-ω, terlebih dahulu dipelajari konsep ruang metrik dan semikontinu bawah, diantaranya definisi dari ruang metrik dan jarak-ω serta sifat-sifat yang akan digunakan pada teorema titik tetap. Selanjutnya, juga akan dipelajari mengenai teori titik tetap pada ruang metrik lengkap, dimulai dengan definisi titik tetap, definisi kontraksi dan definisi kontraksi yang diperumum. Selanjutnya dipelajari definisi dari jarak-ω dan eksistensi titik tetap dengan menggunakan konsep jarak-ω. Pada teorema yang akan dipelajari, pemetaan yang
5 akan sering digunakan adalah pemetaan bernilai banyak (multivalued mapping). Lebih lanjut, jenis pemetaan yang akan digunakan adalah jenis pemetaan yang lebih umum dari kontraksi yang dikenalkan oleh Banach, salah satunya adalah kontraksip. Kemudian, dari pemetaan kontraksi-p, diperoleh karakterisasi kelengkapan suatu ruang metrik berdasarkan pemetaan kontraksi-p yang memiliki titik tetap. Dalam tesis ini juga diberikan konsep ruang metrik lengkap-α yang lebih umum daripada ruang metrik lengkap. Dari definisi kontraksi-p pada pemetaan bernilai banyak, dibahas juga jenis pemetaan yang lebih umum dari kontraksi tersebut. Dari definisi kontraksi tersebut, akan dicari eksistensi titik tetap di ruang metrik lengkap-α.
1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis membagi menjadi empat bab. Pertama adalah Bab I yaitu Pendahuluan. Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, dan metodologi penelitian. Selanjutnya adalah Bab II yaitu Dasar Teori. Dalam dasar teori berisi mengenai pengertian dari ruang metrik dan semikontinu bawah. Selanjutnya diberikan pengertian pemetaan kontraksi dan perumumannya dalam ruang metrik dan beberapa teorema titik tetap untuk pemetaan-pemetaan tersebut. Terakhir diberikan definisi dan sifat-sifat dari jarak-ω yang akan digunakan pada teorema titik tetap terkait jarak-ω. Berikutnya adalah Bab III yaitu Teorema Titik Tetap. Bab ini terdiri dari dua subbab. Subbab pertama membahas tentang teorema titik tetap pada ruang metrik lengkap terkait jarak-ω. Sementara itu pada subbab kedua berisi teorema titik tetap pada ruang metrik yang diperumum dengan suatu fungsi α pada ruang metrik lengkap-α. Terakhir Bab IV yaitu Penutup. Bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran guna penelitian lebih lanjut.
