BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Integral tipe Stieltjes merupakan salah satu topik yang banyak dipelajari dalam matematika analisis. Beberapa di antaranya adalah integral Riemann-Stieltjes, integral Lebesgue-Stieltjes, integral Perron-Stieltjes, dan integral Henstock-Stieltjes. Pada tahun 1909, Riesz berhasil membangun teorema representasi yang menyatakan bahwa setiap fungsional linear pada ruang semua fungsi kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk integral tipe Stieltjes dengan integrator berupa fungsi bervariasi terbatas. Teorema tersebut dikenal dengan Teorema Representasi Riesz. Teorema Representasi Riesz memberikan fakta bahwa dual dari ruang fungsi kontinu adalah ruang fungsi bervariasi terbatas. Hal ini menyebabkan banyak peneliti, khususnya bidang integral, mulai tertarik mempelajari sifat-sifat yang dimiliki oleh integral tipe Stieltjes lebih lanjut. Integral Henstock-Stieltjes merupakan salah satu integral tipe Stieltjes yang sering dipelajari dalam kurun waktu belakangan ini. Sifat-sifat yang sering dipelajari di antaranya terkait syarat cukup fungsi terintegral Henstock-Stieltjes dan fungsional linear pada ruang fungsi terintegral Henstock-Stieltjes. Salah satu jenis fungsi yang banyak dipelajari terkait jenis fungsi terintegral Henstock-Stieltjes adalah fungsi teregulasi. Fungsi teregulasi merupakan perluasan dari fungsi kontinu yang hanya mensyaratkan limit kiri dan limit kanan dari fungsi di setiap titik ada. Dalam perkembangannya, telah diperoleh sifat bahwa setiap fungsi teregulasi terintegral Henstock-Stieltjes terhadap fungsi bervariasi terbatas dan setiap fungsi bervariasi terbatas terintegral Henstock-Stieltjes terhadap fungsi teregulasi. Lebih lanjut, dengan memanfaatkan teorema kekonvergenan seragam pada integral Henstock-Stieltjes, telah berhasil diperoleh suatu teorema representasi dari fungsional linear kontinu pada ruang semua fungsi teregulasi terkait dengan integral tipe Stieljes. Sementara pada kasus integral nonlinear, Aye (2002 dan 2004) berhasil 1
2 mengembangkan teori integral nonlinear tipe Henstock-Stieltjes untuk memberikan representasi dari fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi teregulasi dan bervariasi terbatas. Secara umum, limit titik-demi-titik barisan fungsi kontinu belum tentu merupakan fungsi teregulasi. Fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam limit titik-demititik suatu barisan fungsi kontinu dinamakan fungsi Baire-1. Setiap fungsi tergulasi merupakan fungsi Baire-1. Pada tahun 2000, Lee dkk. memperkenalkan alternatif definisi untuk fungsi Baire-1 dalam bentuk − δ. Berdasarkan definisi tersebut, Lee Yin (2001) membentuk integral Baire-1 dan mempelajari karakteristiknya terkait integral Riemann dan Henstock. Salah satu hubungan yang dimiliki oleh fungsi Baire dan integral Henstock adalah setiap fungsi Baire terbatas terintegral Henstock. Sejauh pengamatan penulis, penelitian terkait integral Henstock-Stieltjes dengan melibatkan fungsi Baire terbatas beserta teorema representasinya belum dikerjakan. Fakta bahwa fungsi Baire terbatas lebih umum daripada fungsi teregulasi memberikan peluang untuk melakukan penelitian mengenai syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes dan membangun teorema representasi untuk fungsional linear kontinu pada ruang fungsi Baire terbatas. Lebih lanjut, penulis berusaha melakukan penelitian terkait syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear dan membangun teorema representasinya.
1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam tesis ini meliputi: 1. Membangun teorema kekonvergenan terdominasi untuk integral HenstockStieltjes. 2. Membangun syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes. 3. Membangun teorema representasi untuk fungsional linear kontinu pada ruang fungsi Baire terbatas. 4. Membangun syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear.
3 5. Membangun teorema representasi untuk fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi Baire terbatas.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Penelitian ini bertujuan: 1. Membangun syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes. 2. Membangun teorema representasi untuk fungsional linear kontinu pada ruang fungsi Baire terbatas. 3. Membangun syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear. 4. Membangun teorema representasi untuk fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi Baire terbatas. Penelitian ini bermanfaat bagi pengembangan teori integral, khususnya integral Henstock-Stieltjes dan integral nonlinear, dan aplikasinya. Dengan berhasilnya memperumum syarat teregulasi menjadi Baire terbatas, akan memperluas ruang fungsi terintegral Henstock-Stieltjes. Dengan demikian, akan memberikan penyelesaian lebih luas pada permasalahan yang memerlukan integral Henstock-Stieltjes maupun integral nonlinear.
1.4. Tinjauan Pustaka Integral tipe Stieltjes merupakan perumuman dari integral yang telah dikenal pada analisis, seperti integral Riemann dan integral Lebesgue, yaitu dengan mengganti panjang v − u dari subinterval [u, v] yang digunakan pada pendefinisian integral dengan g(v) − g(u) untuk suatu fungsi g. Integral tipe Stieltjes pertama kali dikenalkan oleh Stieltjes pada tahun 1984, yaitu Integral Riemann-Stieltjes (Orge, 2014). Pada tahun 1909, Riesz berhasil membangun Teorema Representasi Riesz, yang menyatakan bahwa setiap fungsional linear kontinu pada ruang semua fungsi kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk integral Riemann-Stieljes dengan integrator
4 fungsi bervariasi terbatas (Riesz, 1909). Sejak saat itu, integral tipe Stieltjes menarik banyak peneliti, khususnya bidang integral, untuk mempelajari sifat-sifat yang dimiliki oleh integral tipe Stieltjes ini. McShane (1947) dan Hildebrandt (1963) memberikan pembahasan yang cukup lengkap mengenai karakteristik dari integral Riemann-Stieltjes dan integral Lebesgue-Stieltjes. Sementara, pembahasan mengenai karakteristik dari integral Henstock-Stieltjes diberikan oleh Henstock (1988), Lee (1989), Pfeffer (1993), Aye (2002 dan 2006) dan Indrati (2010). Integral Henstock-Stieltjes merupakan integral yang lebih luas daripada Riemann-Stieltjes maupun Lebesgue-Stieltjes (Indrati, 2010). Salah satu topik yang sering dipelajari oleh para peneliti terkait integral tipe Stieltjes di antaranya adalah terkait eksistensi dari fungsi terintegral tipe Stieltjes dan fungsional linear pada ruang fungsi terintegral tipe Stieltjes. Salah satu jenis fungsi yang banyak dipelajari terkait fungsi terintegral tipe Stieltjes adalah fungsi teregulasi. Fungsi teregulasi merupakan perumuman dari fungsi kontinu. Sifat-sifat terkait topologi dari fungsi teregulasi telah diberikan secara detail oleh Fraˇnkov´a (1991). Tvrd´y (1989) menggunakan pengertian fungsi teregulasi bernilai real untuk memberikan karakteristik integral jenis Perron-Stieltjes. Pada tahun 1996, Tvrd´y kembali menggunakan pengertian fungsi teregulasi untuk memberikan fungsional linear kontinu pada ruang fungsi teregulasi regular (regular regulated function) untuk integral jenis Perron. Khusus untuk fungsi teregulasi bernilai real pada [a, b] karakteristiknya terkait integral Henstock-Stieltjes diberikan lebih tuntas oleh Indrati (2010). Generalisasi pengertian fungsi teregulasi dari [a, b] ke R menjadi fungsi dari [a, b] ke ruang Hilbert dilakukan oleh Krejˇc´ı dan Laurenc¸ot (2001). Pembahasan yang dilakukannya menggunakan integral Young-Stieltjes. Pada tahun 2003, Brokate dan Krejˇc´ı berhasil membangun teorema representasi secara umum untuk fungsional linear kontinu pada ruang himpunan semua fungsi teregulasi dan memperoleh dual dari keluarga himpunan semua fungsi teregulasi. Di lain pihak, Aye (2002 dan 2006) menggunakan konsep kekonvergenan two-norm pada himpunan fungsi bervariasi terbatas untuk memperoleh fakta bahwa himpunan semua fungsi bervariasi terbatas regular dan himpunan semua fungsi teregulasi regular saling du-
5 al satu sama lain. Sebelumnya, konsep kekonvergenan two-norm digunakan oleh Hildebrandt (1966) untuk memberikan karakteristik fungsional linear kontinu pada himpunan bervariasi terbatas. Konsep kekonvergenan two-norm juga digunakan oleh Indrati (2011) untuk memperoleh teorema representasi untuk fungsional linear kontinu pada Lp , 1 ≤ p ≤ ∞. Pada kasus nonlinear, Aye (2002 dan 2004) berhasil mengembangkan teori integral nonlinear tipe Henstock-Stieltjes untuk memberikan representasi dari fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi tergulasi dan ruang fungsi bervariasi terbatas. Integral nonlinear tipe Henstock pertama kali diperkenalkan oleh Chew (1986) untuk memberikan representasi dari fungsional aditif ortogonal pada ruang L∞ dan ruang Denjoy (Lee, 1989). Dalam representasi fungsional aditif ortogonal pada ruang L∞ , eksistensi integral nonlinear untuk setiap fungsi anggota L∞ belum dijamin. Secara umum, limit titik-demi-titik dari barisan fungsi kontinu belum tentu merupakan fungsi kontinu maupun teregulasi. Fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam limit titik-demi-titik suatu barisan fungsi kontinu dinamakan fungsi Baire-1. Secara umum, suatu fungsi disebut fungsi Baire-k jika dapat dinyatakan ke dalam limit titik-demi-titik suatu barisan fungsi Baire-(k − 1) dan suatu fungsi disebut fungsi Baire jika fungsi tersebut adalah fungsi Baire-k untuk suatu bilangan asli k. Setiap fungsi tergulasi merupakan fungsi Baire. Konsep terkait fungsi Baire dibahas cukup detail oleh Goffman (1953) dan Natanson (1960). Pada tahun 2000, Lee dkk. memperkenalkan alternatif definisi untuk fungsi Baire-1 dalam bentuk − δ. Berdasarkan definisi tersebut, Lee Yin (2001) membentuk integral Baire-1 dan mempelajari karakteristiknya terkait integral Riemann dan Henstock. Tahun 2014, Orge dan Benitez membangun integral Baire-1 versi Stieltjes dan mempelajari karakteristiknya terkait integral Henstock-Stieltjes. Salah satu hubungan yang dimiliki oleh fungsi Baire dan integral Henstock adalah setiap fungsi Baire terbatas terintegral Henstock. Sampai saat ini, sejauh hasil pengamatan penulis, penelitian terkait integral
6 Henstock-Stieltjes dan fungsi Baire terbatas beserta teorema representasinya belum dikerjakan. Untuk itu dalam tesis ini dibahas syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes dan dibangun teorema representasi untuk fungsional linear kontinu pada ruang fungsi Baire terbatas. Lebih lanjut, hasil yang diperoleh akan dikembangkan untuk memberikan syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear dan membangun teorema representasinya. Beberapa konsep dasar yang diperlukan di antaranya konsep ruang bernorma, barisan pada bilangan real, fungsi real (fungsi teregulasi, fungsi bervariasi terbatas, fungsi Baire), partisi dan integral Henstock dan Henstock-Stieltjes serta fungsional linear. Konsep barisan pada bilangan real yang digunakan berdasarkan pembahasan Bartle dan Sherbert (2000). Konsep ruang bernorma yang digunakan berdasarkan pembahasan Royden dan Fitzpatrick (2010). Konsep terkait fungsi real yang digunakan berdasarkan pembahasan Goffman (1953), Natanson (1960), Gordon (1994), Lee dan V´yborn´y (2000), Indrati (2010) dan Kurtz (2012). Konsep partisi dan integral Henstock yang digunakan berdasarkan pembahasan Lee (1989) dan Kurtz (2012). Beberapa konsep terkait integral Henstock-Stieltjes dan fungsional linear yang digunakan berdasarkan pembahasan Hildebrandt (1963), Krejˇc´ı dan Laurenc¸ot (2001), Tvrd´y (2006), Indrati (2010), dan Tantrawan (2012). Konsep terkait integral nonlinear yang digunakan berdasarkan pembahasan Lee (1989).
1.5. Metodologi Penelitian Penelitian dilakukan dengan metode studi literatur. Hal pertama yang dilakukan adalah mempelajari karakteristik dari fungsi Baire terbatas, integral HenstockStieltjes dan integral nonlinear, serta membaca literatur-literatur hasil penelitian terkait integral Henstock-Stieltjes, integral nonlinear, dan fungsi Baire terbatas. Dilanjutkan dengan merumuskan masalah yang akan diteliti dalam tesis ini. Secara umum, penelitian tesis ini dibagi menjadi dua bagian. Pertama, penelitian difokuskan pada hubungan fungsi Baire terbatas dan integral Henstock-Stieltjes. Kedua, penelitian difokuskan pada hubungan fungsi Baire terbatas dan integral nonlinear.
7 Pada bagian pertama, penelitian dibagi menjadi dua tahap, yaitu membangun syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes dan teorema representasi untuk fungsional linear kontinu two-norm pada ruang fungsi Baire terbatas. Hal yang menjadi dasar dalam membangun syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes adalah fakta bahwa fungsi Baire terbatas memuat fungsi teregulasi dan fungsi Baire terbatas terintegral Henstock. Dalam perkembangan teori integral Henstock-Stieltjes, telah diperoleh bahwa setiap fungsi teregulasi terintegral Henstock-Stieltjes terhadap fungsi bervariasi terbatas (Tvrdˆ y (1989), Indrati (2010) dan Tantrawan (2012)). Secara umum, pembuktian fakta bahwa setiap fungsi teregulasi terintegral Henstock-Stieltjes dibagi menjadi dua tahap. Pertama, pembuktian sebarang fungsi tangga terintegral Henstock-Stieltjes. Tahap kedua, dengan memanfaatkan teorema kekonvergenan integral Henstock-Stieltjes dan fakta bahwa fungsi teregulasi dapat didekati secara seragam oleh barisan fungsi tangga, dapat dibuktikan fungsi teregulasi terintegral Henstock-Stieltjes. Hal yang sama belum tentu dapat dilakukan untuk fungsi Baire terbatas, sebab fungsi Baire terbatas hanya didekati secara titik-demi-titik oleh barisan fungsi tangga. Namun, pada integral Henstock, keterintegralan fungsi Baire terbatas dapat ditunjukkan dengan memanfaatkan teorema kekonvergenan terdominasi integral Henstock. Dari uraian tersebut, penelitian diawali dengan membangun teorema kekonvergenan terdominasi untuk integral Henstock-Stieltjes berdasarkan teorema kekonvergenan terdominasi yang dijelaskan oleh Kurtz dan Swartz (2012). Dengan memanfaatkan teorema kekonvergenan terdominasi yang diperoleh dan fakta fungsi teregulasi terintegral Henstock-Stieltjes, dapat dibangun syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes. Tahap selanjutnya adalah membangun teorema representasi untuk fungsional linear kontinu two-norm pada ruang fungsi Baire terbatas. Dalam perkembangannya, telah dibuktikan eksistensi dari fungsional linear kontinu dari ruang semua fungsi teregulasi dan teorema representasi melibatkan bentuk integral tipe Stieltjes (Brokate dan Krejˇc´ı, 2003). Teorema representasi ini melibatkan limit fungsi. Karena fungsi Baire terbatas belum tentu memiliki limit, maka dalam pembentukan teorema representasi terkait ruang fungsi Baire terbatas
8 digunakan konsep kekonvergenan two-norm seperti yang digunakan oleh Aye (2002 dan 2006) dan Indrati (2011). Pada bagian kedua, penelitian kembali dibagi menjadi dua tahap, yaitu membangun syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear dan membangun teorema representasi untuk fungsional aditif orthogonal dan boundedly continuous pada ruang fungsi Baire terbatas. Di dalam teori integral nonlinear, telah berhasil dibangun teorema kekonvergenan terkendali yang dapat digunakan untuk memberikan representasi dari fungsional aditif ortogonal dan boundedly continuous pada ruang L∞ , namun eksistensi integral nonlinear untuk sebarang fungsi anggota L∞ belum dapat ditunjukkan. Berdasarkan fakta tersebut, penelitian diawali dengan membangun syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear dengan memanfaatkan teorema terkendali yang telah diperoleh, selanjutnya membangun teorema representasi dari fungsional aditif ortogonal dan boundedly continuous pada ruang fungsi Baire terbatas berdasarkan teori yang dibahas oleh Lee (1989). Adapun gambaran umum langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut. 1. Mempelajari konsep integral Henstock-Stieltjes. 2. Membangun teorema kekonvergenan terdominasi untuk integral HenstockStieltjes. 3. Membangun syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes. 4. Membangun teorema representasi untuk fungsional linear kontinu pada ruang fungsi Baire terbatas. 5. Mempelajari konsep integral nonlinear. 6. Membangun teorema kekonvergenan terkendali untuk integral nonlinear. 7. Membangun syarat cukup fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear. 8. Membangun teorema representasi untuk fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi Baire terbatas.
9 Berikut ini adalah diagram alur penelitian yang dilakukan.
Gambar 1.1 Diagram Alur Penelitian
1.6. Sistematika Penulisan Pada bagian ini dijelaskan sistematika penulisan sebagai gambaran secara menyeluruh dalam penulisan tugas akhir ini. Tugas akhir ini terdiri dari lima bab, dengan gambaran masing-masing bab adalah sebagai berikut.
10 BAB I
PENDAHULUAN
Bab ini memuat latar belakang dan perumusan masalah, tujuan dan manfaat, tinjauan pustaka, dan metode penelitiaan dari tesis ini. Bab ini memberikan gambaran umum mengenai materi yang dibahas pada tesis ini. BAB II
TEORI DASAR
Bab ini memuat teori-teori yang menjadi dasar dalam proses pemecahan masalah yang diberikan dalam perumusan masalah pada Bab I. Beberapa teori yang dibahas, di antaranya ruang bernorma, fungsi real (yaitu: fungsi teregulasi, fungsi bervariasi terbatas dan fungsi Baire), partisi, integral Henstock-Stieltjes, integral nonlinear, dan fungsional linear. BAB III INTEGRAL HENSTOCK - STIELTJES FUNGSI BAIRE TERBATAS Pada bab ini dibahas mengenai pembentukan teorema kekonvergenan terdominasi untuk integral Henstock-Stieltjes dalam rangka membangun syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral Henstock-Stieltjes. Lebih lanjut, dibangun teorema representasi untuk fungsional linear pada ruang fungsi Baire terbatas. BAB IV INTEGRAL NONLINEAR FUNGSI BAIRE TERBATAS Pada bab ini dibahas mengenai syarat cukup agar fungsi Baire terbatas terintegral nonlinear. Lebih lanjut, dibangun teorema representasi untuk fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi Baire terbatas. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini memuat kesimpulan dan saran terkait dengan pembahasan yang diberikan pada bab III dan IV.
