BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Mortalitas merupakan salah satu sumber yang sangat penting dalam mengetahui resiko dari suatu penyusunan asuransi jiwa. Besarnya faktor resiko penyebab kematian dari satu individu dapat diketahui dari faktor kematian umum yang berasal dari kumpulan yang sama (berhubungan). Contohnya yaitu kesamaan umur, jenis kelamin, status kesehatan, pekerjaan, status merokok, dan lain-lain. Di antara faktor-faktor resiko individu, usia orang yang akan ikut asuransi selalu menjadi faktor yang digunakan dalam evaluasi aktuaria, yaitu bentuk usia yang berhubungan dengan mortilitasnya. Di dalam format usia diskrit, bentuk usia dari mortalitas disajikan dalam bentuk tabel kehidupan (life table), yang mana mengandung masing-masing informasi untuk tiap umur x, dari mulai 0 tahun sampai umur maksimum yang tersedia, biasanya disebut ”limiting age”, ω (biasanya dipilih antara 110-120), peluang qx yaitu peluang kematian yang terjadi diantara umur x sampai x + 1 (juga disebut tingkat kematian), atau banyaknya yang diharapkan lx yaitu orang yang hidup pada umur tertentu x yang biasanya berjumlah 100.000 untuk l0 dan disebut cohort (atau radix dalam life table). Data yang menunjang pembentukan life table ini biasanya berasal dari observasi cross-section. Sebuah life table yang telah diproyeksi mengandung sebuah perkiraan tren dari kematian pada waktu akan datang. Untuk memproyeksi suatu life table cara yang paling sederhana adalah mengekstrapolasi tren kematian dari data masa lalu dan kemudian akan diperoleh suatu pola kematian pada usia tertentu secara deterministik untuk tahun-tahun ke depannya. Sebaliknya, ketika kematian diobservasi maka kematian dipilih sebagai salah satu kemungkinan acak dari suatu kematian, sehingga bentuk usia kematian juga akan menjadi acak pada masa depan. Oleh
1
2 karena itu sebuah model stokastik untuk proyeksi mortalitas kemudian dibutuhkan. Salah satu model stokastik yang populer adalah model yang dikembangkan oleh Lee [1992]. Dikenal sebagai metode Lee-Carter yang mana menggambarkan sebuah contoh yang signifikan dari pengembangan untuk peramalan mortalitas dan merupakan satu dari model yang paling populer dan paling berpengaruh dalam peramalan mortalitas. Generalisasi dan pengembangan untuk mortalitas telah banyak dibahas mengikuti dan dikembangkan berdasarkan model dari metode LeeCarter tersebut. Bagian paling penting dalam metode Lee-Carter adalah faktor waktu κt yang dapat dipandang sebagai sebuah proses stokastik. Teknik Box-Jenkins kemudian digunakan untuk mengestimasi parameter pada model tersebut dan kemudian parameter κt diprediksi menggunakan model runtun waktu ARIMA. Dari prediksi ini yang mana diambil dari tingkat umum kematian, selanjutnya tingkat usia sebenarnya dapat diperkirakan. Hal ini yang menjadi dasar dalam memproyeksikan life table agar sesuai dengan yang diharapkan. Penyusunan life table yang baik adalah dengan mendasarkan pada karakteristik penduduk paling aktual, untuk itu basis data yang kokoh diperlukan sebagai fondasi dalam menentukan tingkat kematian. Pada penelitian ini, peneliti akan mengaplikasikan metode Bayesian untuk mengestimasi parameter dan meramalkan tingkat kematian penduduk pada masa depan berdasarkan usia dan jenis kelaminnya. Karena keterbatasan data kematian Indonesia, untuk itu pada studi kasus penelitian ini akan digunakan data negara lain. Hasil peramalan tingkat kematian dengan metode Bayesian tersebut selanjutnya akan digunakan untuk mencari probabilitas kematian sehingga dapat disusun proyeksi dari life table guna mencari angka harapan hidup penduduk pada masa akan datang.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan uraian di atas, penulis merumuskan beberapa permasalahan yang menjadi kajian dalam penelitian ini, yaitu:
3 1. Bagaimana menghitung tingkat kematian penduduk usia tertentu? 2. Bagaimana mengestimasi parameter pada model Poisson Log-Bilinear menggunakan Bayesian? 3. Bagaimana memproyeksi life table dengan menggunakan metode Bayesian?
1.3. Tinjauan Pustaka Menurut penelitian yang telah dilakukan oleh Brillinger [1986] dan Alho [2000], aproksimasi Poisson untuk banyaknya kematian yang terjadi dalam sebuah kotak dari diagram Lexis sangat mungkin dilakukan. Hal inilah yang kemudian menjadi landasan bagi Sithole [2000] dan Renshaw dan Haberman [2003] untuk mengimplementasikan sebuah pendekatan alternatif untuk peramalan mortalita: waktu kalender dimasukkan ke dalam model sebagai covariate yang diketahui dan sebuah model regressi yang didasari atas struktur kesalahan (error) heteroskedastisitas Poisson yang digunakan. Sebuah model yang sangat berhubungan dengan permasalahan tersebut telah ditunjukkan oleh Brouhns, Denuit dan Vermunt [2002], menggunakan bentuk LeeCarter log-bilinear untuk percepatan mortalitas. Secara spesifik, Brouhns, Denuit dan Vermunt [2002] menggunakan Dxt ∼ P oisson(Ext µx (t)) dengan µx (t) = exp(αx + βx κt )
(1.1)
dengan parameter X t
κt = 0 dan
X
βx = 1
(1.2)
x
Terdapat perbedaan mendasar di antara Renshaw dan Haberman [2003] dan Brouhns, Denuit dan Vermunt [2002] yaitu pada interpretasi waktunya: pada Brouhns, Denuit dan Vermunt [2002] waktu dimodelkan sebagai sebuah faktor sedangkan pendekatan yang dilakukan oleh Renshaw dan Haberman [2003] waktu dimodelkan sebagai covariate yang diketahui. Telah diketahui bahwa pendekatan bentuk dari model yang lebih baik adalah jika tidak diketahui batasan effek dari waktu terhadap beberapa bentuk fungsional yang telah diketahui. Perlu diketahui bahwa Renshaw
4 dan Haberman [2003] mempertimbangkan kedua kemungkinan (faktor dan covariate) dan telah memilih bahwa salah satu lebih baik dibandingkan yang lain sebagai dasar dari kualitas yang dipilih. Beralih ke model Lee-Carter yang menggunakan SVD untuk mengestimasi αx , βx dan κt , Brouhns, Denuit dan Vermunt [2002] mengestimasi parameter tersebut dengan mamaksimumkan log-likelihood yang didasari pada model 1.1. Sama seperti pendekatan Lee-Carter, model ARIMA kemudian digunakan untuk meramalkan κt . Di dalam semua penelitian yang dijelaskan sebelumnya, pemodelannya masih diproses dalam dua langkah: pertama indek mortalitas κt diestimasi dan kemudian diekstrapolasi menggunakan metode Box-Jenkins. Incoherence mungkin saja timbul dari prosedur dua langkah tersebut. Untuk menghilangkan hal ini, maka diintegrasikan langkah kedua ke dalam sebuah model Bayesian. Formula Bayesian mengasumsikan kemudahan dari umur dan efek dari periode untuk meningkatkan estimasi dan memfasilitasi prediksi. Secara intuitif, diharapkan variasi yang lebih smooth dari tingkat mortalita pada bidang Lexis. Untuk mengimplementasikan pemikiran ini dipilih sebuah model Bayesian yang mana bagian prior menyebabkan smooth dengan menghubungkan tingkat mortalitas untuk masing-masing bagian pada bidang Lexis. Sebagai konsekuensinya, tingkat estimasi untuk masing-masing umur dan tahun menjadi lebih terkait dari informasi di dalam bidang persegi yang berkaitan pada diagram Lexis. Sebuah keuntungan yang penting dari menggabungkan pemikiran dari smoothness adalah bahwa hal ini memungkinkan menggunakan model tersebut untuk tujuan dari memprediksi tingkat mortalita kedepannya. Pemodelan Bayesian menganggap semua parameter yang tidak diketahui αx , βx dan κt sebagi variabel random dan merupakan distribusi bersyarat yang informasinya diperoleh dari (Ext , Dxt ). Sampai sekarang analisis Bayesian tidak dapat dikomputerisasi dan metode pendekatan biasanya digunakan sebagai gantinya. Hal ini berubah di awal tahun 1990-an dengan menggunakan komputer metode simulasi Markov Chain Monte Carlo (MCMC) (Chib [2001] untuk ringkasan dan Gilks
5 [1996] untuk aplikasi). Pendekatan Monte Carlo diperbolehkan untuk dasar inferensi dalam sampling distribusi posterior dari parameter. Sebuah fitur menarik dari pendekatan ini adalah kemudahan dalam mengeksplorasi ketidakpastian yang berhubungan dengan estimasi dan peramalan. Beberapa analisis dari mortalita telah diberikan oleh beberapa peneliti, seperti Klugman [1989], Yashin [2000] dan Dellaportas [2001] beberapa dari sekian banyak peneliti tersebut. Bayesian proyeksi mortalita telah diteliti oleh Girosi dan King [2003]. Penelitian ini mengkaji metode Bayesian yang dikembangkan oleh Czado [2005].
1.4. Metode Penelitian Penelitian tentang proyeksi life table menggunakan metode Bayesian ini dilakukan dengan studi pustaka yang dilakukan dengan mengkaji dari literaturliteratur dan buku-buku yang diperoleh dari perpustakaan maupun dari internet. Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data sekunder yaitu data jumlah kematian berdasarkan jenis kelamin dan kelompok usia. Dari data tersebut kemudian akan disusun proyeksi dari life table untuk tahun-tahun kedepannya. Berdasarkan data jumlah kematian berdasarkan jenis kelamin tersebut akan dilakukan estimasi parameter untuk model Poisson Log-Bilinier menggunakan metode Bayesian. Setelah mendapatkan estimasi dari parameter model tersebut yang mendekati hasil empiriknya, kemudian akan dibuat proyeksi dari life table untuk tahun-tahun mendatang.
6
1.5. Sistematika Penulisan Tesis ini ditulis dengan sistematika sebagai berikut: BAB I
PENDAHULUAN Bab ini membahas latar belakang penelitian, perumusan masalah, batasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II
LANDASAN TEORI Bab ini berisi teori-teori yang digunakan dalam penelitian ini. Teorinya meliputi peluang, variabel random, distribusi Poisson, ekspektasi dari variabel random, fungsi survival, tabel kehidupan (life table), estimasi Bayesian, komputasi Bayesian.
BAB III
PEMBAHASAN Bab ini berisi pembahasan dari penelitian ini yaitu tentang estimasi parameter dari model Poisson Log-Bilinier menggunakan metode Bayesian dan proyeksi life table.
BAB IV
STUDI KASUS Bab ini menampilkan implementasi penelitian secara numerik dari model yang telah dibahas pada bab sebelumnya dan memperlihatkan hasil proyeksi life table untuk waktu yang akan datang.
BAB V
KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini dan saran untuk penelitian ini apabila masih terdapat beberapa kekurangan yang bisa dijadikan bahan penelitian lanjutan.
