BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan skripsi. 1.1. Latar Belakang Masalah Masalah optimisasi merupakan model matematika yang sering diterapkan dalam dunia nyata. Pada awalnya masalah optimisasi merupakan masalah yang sederhana. Namun, seiring berjalannya waktu masalah optimisasi semakin berkembang dan mempunyai berbagai macam jenis. Dalam dunia nyata sering kali terdapat masalah yang sangat kompleks, sehingga untuk menyelesaikannya tidak hanya membutuhkan satu fungsi obyektif, tetapi diperlukan beberapa fungsi obyektif. Masalah yang mempunyai fungsi obyektif lebih dari satu dinamakan masalah optimisasi multi-obyektif. Pada umumnya masalah tersebut bertujuan untuk mencari solusi sebagai berikut 𝑧̅ yang memenuhi kendala sebagai berikut, 𝑔𝑖 (𝑧̅) ≤ 0 ;
𝑖 = 1,2, … , 𝑙
ℎ𝑖 (𝑧̅) = 0 ;
𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑧̅ ∈ 𝑍
(1.1)
untuk meminimalkan fungsi obyektif, 𝑓 ̅(𝑧̅) = (𝑓1 (𝑧̅), 𝑓2 (𝑧̅), … , 𝑓𝑘 (𝑧̅)) ; dengan 𝑓𝑖 , 𝑔𝑖 , ℎ𝑖 fungsi yang didefinisikan pada 𝑅 𝑛 , 𝑋 ⊆ 𝑅 𝑛 , dan 𝑧̅ vektor dengan komponen 𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 .
1
2
Pada masalah dengan fungsi obyektif yang berjumlah lebih dari satu, sering kali terjadi pertentangan antara satu fungsi obyektif dengan fungsi obyektif lainnya, yang berarti bahwa jika suatu solusi menyebabkan satu atau beberapa fungsi obyektif mencapai nilai optimal maka fungsi obyektif yang lain tidak mencapai nilai optimal. Hal ini dapat menimbulkan kesenjangan antara fungsi obyektif yang mencapai nilai optimal dengan fungsi obyektif yang tidak mencapai nilai optimal. Oleh karena itu diperlukan numerik trade-off antar fungsi-fungsi tersebut. Tradeoff adalah suatu keadaan yang menunjukkan keseimbangan antara dua pihak yang bertentangan. Dalam skripsi ini akan dibahas metode pendekatan untuk numerik trade-off untuk masalah optimisasi multi-obyektif. Metode tersebut akan menghasilkan suatu solusi yang menunjukkan trade-off antar fungsi-fungsi obyektif yang saling bertentangan sehingga tercapai keseimbangan dan tidak ada lagi kensenjangan antar fungsi-fungsi tersebut. 1.2. Perumusan Masalah Pada skripsi ini, penulis akan membahas mengenai penyelesaian masalah optimisasi multi-obyektif dengan menggunakan teknik numerik trade-off untuk memperoleh solusi Pareto seimbang. Secara garis besar, permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Mempelajari konsep-konsep mengenai optimisasi multi-obyektif dan keoptimalan Pareto. 2. Menganalisis proses untuk mendapatkan trade-off antar fungsi-fungsi obyektif. 3. Merumuskan suatu metode untuk mendapatkan trade-off antar fungsifungsi obyektif. 1.3. Batasan Masalah Pokok pembahasan dalam skrispsi ini adalah pengambilan keputusan melalui numerik trade-off terhadap solusi-solusi Pareto yang telah ditemukan melalui suatu metode penyelesaian masalah optimisasi multi-obyektif, sehingga akan dipilih
3
suatu solusi Pareto yang bernilai seimbang untuk semua fungsi obyektif. Untuk memperoleh solusi-solusi Pareto tersebut, akan digunakan salah satu metode penyelesaian masalah optimisasi multi-obyektif yaitu metode pembobotan yang akan dijelaskan dalam dasar teori. 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari lebih lanjut mengenai masalah optimisasi multi-obyektif, yaitu dalam menentukan sebuah solusi Pareto yang akan dipilih dari himpunan solusisolusi Pareto yang dihasilkan dari penyelesaian masalah optimisasi multi-obyektif yang dapat mencapai tak hingga jumlahnya. Masalah tersebut diselesaikan dengan menggunakan numerik trade-off untuk menemukan suatu solusi Pareto yang bernilai seimbang untuk semua fungsi obyektif. 1.5. Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi ini merujuk pada beberapa jurnal, buku, dan artikel. Jurnal utama yang dirujuk dalam skripsi ini adalah jurnal karya Grierson (2008) yang berjudul Pareto Multi-Criteria Decision Making untuk mempelajari metode pengambilan keputusan pada masalah optimisasi
multi-obyektif
dengan
menggunakan teknik numerik trade-off. Selain itu ada beberapa jurnal, buku ,dan artikel pendukung sebagai referensi tambahan mengenai masalah optimisasi multiobyektif. Pada dasar teori skripsi ini, penulis menggunakan buku karya Boyd et al (2009) untuk mempelajari masalah optimisasi single obyektif. Kemudian, penulis mempelajari masalah optimisasi multi-obyektif dengan merujuk buku karya Collete et al (2003) yang berjudul Multiobjective Optimization : Principles and Case Studies dan artikel pada bab 6 di dalam buku Advances in Design Optimzation yang berjudul Multicriterion Structural Optimization karya Koski (2002). Selain itu, penulis menggunakan buku karya Schotter (2009) yang berjudul Microeconomics : A Modern Approach dan artikel karya Autor (2010) yang berjudul General Equilibrium in a Pure Exchange Economy untuk mempelajari kotak Edgeworth. Selanjutnya, penulis menggunakan buku karya Hoffman et al (1961) yang berjudul
4
Linear Algebra untuk mempelajari masalah interpolasi dan buku karya Wackerly (2008) yang berjudul Mathematical Statistics with Applications untuk mempelajari masalah mean square error. 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Penulis melakukan studi literatur mengenai masalah optimisasi multi-obyektif lalu mempelajari metode pendekatan pengambilan keputusan optimisasi multi-obyektif melalui numerik trade-off. Sebelum melakukan numerik trade-off diperlukan himpunan data nilai fungsi-fungsi obyektif dari solusi-solusi Pareto yang diperoleh melalui salah satu metode penyelesaian masalah optimisasi multi-obyektif yaitu metode pembobotan. Pemilihan koefisien pembobot pada metode tersebut disesuaikan sedemikian sehingga diperoleh himpunan data nilai fungsi-fungsi obyektif yang memiliki perbedaan nilai yang kecil. Hal ini bertujuan agar error yang dihasilkan oleh metode pendekatan melalui numerik trade-off tersebut juga semakin kecil, sehingga dapat menghasilkan solusi Pareto seimbang yang lebih akurat. Selanjutnya pada metode pengambilan keputusan optimisasi multi-obyektif tersebut terdapat beberapa langkah yang harus dilalui untuk mendapatkan solusi Pareto seimbang tunggal. Pertama, dibentuk sebuah kurva Pareto berdasarkan himpunan solusi Pareto yang diperoleh melalui metode pembobotan. Kedua, dilakukan transformasi pada kurva Pareto untuk menyederhanakan nilai-nilai fungsi obyektif dari himpunan solusi Pareto tersebut pada jangkauan [0,1]. Hal ini bertujuan untuk mempermudah perhitungan untuk memperoleh solusi Pareto seimbang. Ketiga, dibentuk kotak Edgeworth untuk menganalisa keberadaan titik dari solusi Pareto seimbang tersebut. Keempat, dilakukan transformasi pada kurva di dalam kotak Edgeworth yang berpotongan di dua titik menjadi kurva yang berpotongan di satu titik. Kelima, dilakukan reformulasi mundur dari titik perpotongan tunggal tersebut sehingga diperoleh solusi Pareto seimbang tunggal.
5
1.7. Sistematika Penulisan Sistematika yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut, BAB I
PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas materi yang mendasari pokok bahasan dari skripsi antara lain, optimisasi fungsi single-obyektif, optimisasi multi-obyektif, kotak Edgeworth, interpolasi, dan Mean Square Error. BAB III
PENGAMBILAN
KEPUTUSAN
OPTIMISASI
MULTI-
OBYEKTIF Pada bab ini dibahas pokok bahasan dari skripsi yaitu metode pendekatan pengambilan keputusan optimisasi multi-obyektif dengan teknik numerik trade-off. Pertama, akan dibahas konsep metode pengambilan keputusan optimisasi multiobyektif. Selanjutnya, dibahas metode untuk jumlah fungsi fungsi obyektif 𝑛 = 2, kemudian diperluas untuk 𝑛 ≥ 2. BAB IV
PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dan saran yang diperoleh dari materi-materi yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.
