BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Modul adalah generalisasi dari ruang vektor yaitu dengan memperluas struktur lapangan pada ruang vektor menjadi ring yang strukturnya lebih umum. Dengan kata lain, suatu himpunan tidak kosong M disebut modul atas ring jika M adalah grup abelian terhadap penjumlahan yang memenuhi aksioma-aksioma pergandaan skalar terhadap ring. Di lain pihak, setiap ring dapat dipandang sebagai grup abelian terhadap operasi penjumlahan. Oleh karena itu, setiap ring dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Hal ini membuka peluang bagi konsep-konsep pada teori ring untuk digeneralisasikan ke teori modul. Pada teori ring telah dikenal adanya konsep ideal prima yaitu suatu ideal sejati I di ring R dimana untuk setiap A, B ideal di R dengan AB ⊆ I berlaku A ⊆ I atau B ⊆ I. Pada kasus R adalah ring komutatif dengan elemen satuan definisi tersebut ekuivalen dengan untuk setiap a, b ∈ R jika berlaku ab ∈ I maka a ∈ I atau b ∈ I. Selanjutnya, dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri, maka perkalian ab ∈ I dapat dipandang sebagai perkalian a ∈ R (R sebagai modul) dan b ∈ R (R sebagai ring), sehingga jika I ideal prima, maka berlaku a ∈ I atau b ∈ I. Karena I ⊆ dari Ann(R/I) maka diperoleh b ∈ Ann(R/I). Hal ini memotivasi pendefinisian submodul prima di R-modul M . Submodul N dari Rmodul M dikatakan submodul prima jika N merupakan submodul sejati di M dan untuk setiap r ∈ R, m ∈ M jika rm ∈ N maka m ∈ N atau r ∈ Ann(M/N ). Salah satu contoh ideal prima adalah {0} pada daerah integral, karena untuk setiap a, b ∈ R, jika berlaku ab = 0, maka a = 0 atau b = 0. Namun, {0} belum tentu merupakan ideal prima pada sebarang ring. Contohnya pada ring yang 1
2 memiliki elemen pembagi nol maka {0} bukanlah ideal prima. Oleh karena itu, didefinisikan ideal prima lemah yang merupakan generalisasi dari ideal prima. Suatu ideal sejati I di ring komutatif R dikatakan prima lemah jika untuk setiap a, b ∈ R dengan sifat ab ∈ I dan ab 6= 0 berlaku a ∈ I atau b ∈ I. Selanjutnya, konsep ideal prima lemah ini digeneralisasi ke teori modul sehingga pada teori modul juga dikenal konsep submodul prima lemah. Submodul sejati N dari R-modul M disebut submodul prima lemah jika untuk setiap r ∈ R dan m ∈ M dengan sifat rm ∈ N dan rm 6= 0 berlaku m ∈ N atau r ∈ Ann(M/N ). Berdasarkan pendefinisian tersebut maka jelas bahwa setiap submodul prima adalah submodul prima lemah, tetapi kebalikannya belum tentu berlaku. Pada teori ring juga dikenal konsep ring Artin, yaitu suatu ring yang setiap rantai turun ideal-idealnya akan stasioner. Dengan memandang suatu ring Artin sebagai modul atas dirinya sendiri, berarti setiap ideal-idealnya merupakan submodul dari R-modul R. Akibatnya, submodul-submodul tersebut juga akan stasioner. Hal ini memotivasi munculnya pendefinisian modul Artin yaitu suatu modul yang setiap rantai turun submodul-submodulnya akan stasioner. Lebih lanjut, definisi tentang modul Artin dikembangkan ke konsep yang lebih umum yang disebut dengan modul Atin lokal. Suatu R-modul M disebut modul Artin lokal jika MP merupakan modul Artin untuk setiap P ideal maksimal di R. Pada beberapa buku telah dibahas beberapa sifat tentang submodul prima pada suatu modul atas ring komutatif. Dalam hal ini sifat-sifat tersebut berlaku pada modul secara umum. selain itu, beberapa penulis juga telah membahas dan mengembangkan sifat-sifat submodul prima, beberapa di antaranya adalah Azizi (2006), Azizi(2007), McCasland and Moore (1992), Tiras and Alkan (2003). Pada tesis ini dikaji tentang sifat-sifat dan karakteristik submodul prima namun dikhususkan pada modul Artin. Selanjutnya, karakteristik dari submodul prima pada modul Artin tersebut diberlakukan pada modul Artin lokal yaitu dengan menambah beberapa syarat yang harus dipenuhi.
3 Telah dijelaskan sebelumnya bahwa secara umum setiap submodul prima adalah submodul prima lemah, tetapi kebalikannya belum tentu berlaku. Oleh karena itu, pada tesis ini juga akan dipelajari suatu kondisi agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima. Namun sebelumnya terlebih dahulu akan dibahas beberapa sifat dan karakteristik submodul prima lemah.
1.2. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah pada penelitian ini adalah: 1. Bagaimana sifat-sifat dan karakteristik dari submodul prima pada modul Artin? 2. Syarat apa yang harus dipenuhi agar karaktersitik submodul prima pada modul Artin juga berlaku pada modul Artin lokal? 3. Bagaimana sifat-sifat dan karakteristik dari submodul prima lemah? 4. Syarat apa yang harus dipenuhi agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima?
1.3. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah mempelajari dan mengkaji sifat-sifat dan karakteristik submodul prima pada modul Artin dan selanjutnya akan dibahas lebih lanjut pada modul Artin lokal. Selain itu, akan dikaji pula hubungan antara submodul prima dengan submodul prima lemah, sehingga berdasarkan hubungan tersebut akan ditentukan syarat tambahan agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima.
1.4. Tinjauan Pustaka Dalam penyusunan tesis ini, digunakan sejumlah buku dan paper sebagai bahan referensi. Ada berbagai macam buku yang membahas tentang modul. Namun, dalam penulisan tesis ini, konsep dasar terkait ring, modul dan submodul
4 penulis menggunakan buku Adkins (1992) dan Wisbauer (1991) sebagai referensi utama. Selanjutnya buku Matsumura (1992), Hungerford (2000), dan Dummit (2004) sebagai referensi pendukung. Pembahasan tentang ideal prima lemah menggunakan paper yang ditulis oleh Anderson dan Smith (2007) dan paper yang ditulis oleh Herano dkk (2010). Sedangkan teori terkait submodul prima selain menggunakan Adkins dan Wisbauer penulis juga menggunakan paper yang ditulis oleh Dauns (1978). Selanjutnya, dasar teori terkait modul Artin selain menggunakan referensi utama juga menggunakan paper yang ditulis oleh Taherizadeh (2008) . Lebih lanjut, pembahasan mengenai sifat-sifat submodul prima pada modul Artin serta hubungan antara submodul prima dan submodul prima lemah digunakan paper yang ditulis oleh Azizi(2009) yang juga merupakan pembahasan utama dari penulisan tesis ini. Selanjutnya, pembahasan mengenai modul Artin lokal menggunakan paper yang ditulis oleh Jabbar (2012). Sedangkan teori terkait submodul prima lemah digunakan paper yang ditulis oleh Atani dan Farzalipour (2010). Selain itu, beberapa jurnal pendukung dalam penelitian ini antara lain, Azizi (2005), Azizi (2008) dan Jabbar (2013).
1.5. Metode Penelitian Di dalam tesis ini secara umum dibahas mengenai sifat-sifat submodul prima pada modul Artin yang kemudian diberlakukan pada modul Artin lokal dan juga dibahas tentang submodul prima lemah. Lebih lanjut, dibahas juga hubungan antara submodul prima dan submodul prima lemah. Konsep mendasar yang dipelajari terlebih dahulu adalah konsep ring dan modul, meliputi ideal, ideal prima, ideal prima lemah, ring Artin, submodul, submodul prima, dan modul Artin. Pada penelitian ini secara khusus akan dikaji mengenai karakteristik submodul prima pada modul Artin yaitu dengan mempelajari karakteristik ideal prima pada modul Artin. Untuk itu terlebih dahulu dipelajari beberapa sifat yang berlaku pada submodul prima pada modul Artin yaitu dengan berdasarkan pada sifat-sifat submodul prima pada modul atas ring komutatif secara umum. Dalam mempelajari
5 sifat-sifat submodul prima pada modul Artin terlebih dahulu akan dibahas konsep terkait modul siklik dan modul sederhana. Selanjutnya, mempelajari submodul prima lemah yang merupakan generalisasi dari submodul prima dan ideal prima lemah. selain itu, juga mempelajari sifat-sifat yang berlaku pada submodul prima lemah dan kemudian mempelajari hubugan submodul prima dengan submodul prima lemah. Berdasarkan hubungan keduanya, akan ditentukan syarat tambahan agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima.
Modul (Adkins 1992) Submodul prima (Adkins 1992, Dauns 1978) Modul Artin (Wisbauer 1991)
Modul Artin Lokal (Jabbar 2012)
Karakteristik submodul prima pada modul Artin (Azizi 2009)
Ring (Wisbauer 1991, Adkins 1992)
Ring Artin (Wisbauer 1991)
Ideal dan Ideal Prima (Adkins 1992, Wisbauer 1991) Ideal Prima Lemah (Anderson 2003, Hirano 2010) Submodul Prima Lemah (Atani 2007)
Hubungan submodul prima dan submodul prima lemah pada modul dengan submodul-submodul sikiknya memenuhi kondisi rantai turun ( Azizi 2009)
1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, metode penelitian, serta sistematika penulisan.
6 BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar dalam penelitian. Bab ini memuat penjelasan tentang Ideal pada ring R yang difokuskan pada ideal prima dan ideal prima lemah, submodul prima pada modul atas ring komutatif secara umum, ring Artin, serta modul Artin. BAB III SUBMODUL PRIMA PADA MODUL ARTIN DAN SUBMODUL PRIMA LEMAH Pada bab ini dibahas tentang karakteristik submodul prima pada Modul Artin serta teorema-teorema yang terkait. Selanjutnya dibahas juga tentang modul Artin lokal. Selain itu, dibahas juga sifat-sifat terkait submodul prima lemah yang kemudian dilanjutkan dengan pembahsan mengenai hubungan submodul prima dan submodul prima lemah guna untuk menjawab rumusan-rumusan msalah yang diberikan. BAB IV KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan atau jawaban dari rumusan masalah yang telah diberikan.
