BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Pada keseluruhan tulisan ini, ring yang digunakan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Modul merupakan perumuman struktur ruang vektor dengan memperlemah struktur lapangan menjadi sebarang ring. Dengan kata lain, modul merupakan grup aditif abelian yang dilengkapi sebuah operasi pergandaan skalar atas sebarang ring. Diberikan modul M atas ring R yang untuk selanjutnya ditulis sebagai R-modul M . Untuk setiap submodul A, B, dan C di M , kondisi A + (B ∩ C) ⊆ (A + B) ∩ (A + C) akan selalu terpenuhi. Akan tetapi, kondisi tersebut tidak berlaku sebaliknya. Misalkan diambil sebarang x ∈ (A + B) ∩ (A + C). Berarti x ∈ A + B dan x ∈ A + C. Karena x ∈ A + B maka x = a1 + b1 untuk suatu a1 ∈ A, b1 ∈ B. Selain itu, x ∈ A + C sehingga x = a2 + c1 untuk suatu a2 ∈ A, c1 ∈ C. Jika a1 = a2 , maka x = a1 + b1 = a1 + c1 sehingga b1 = c1 dan diperoleh b1 , c1 ∈ B serta b1 , c1 ∈ C sehingga b1 , c1 ∈ B ∩ C. Dengan kata lain, x ∈ A + (B ∩ C). Namun, kondisi tersebut belum tentu berlaku ketika a1 6= a2 sehingga kondisi (A + B) ∩ (A + C) ⊆ A + (B ∩ C) tidak selalu terpenuhi. Hal tersebut memotivasi munculnya definisi berikut. Jika untuk setiap submodul A, B, dan C di M berlaku A + (B ∩ C) = (A + B) ∩ (A + C) maka modul M disebut modul distributif. Contoh modul distributif adalah Z-modul Z dan Z-modul Zp , sedangkan contoh bukan modul distributif adalah k[x, y]-modul k[x, y]. Di lain pihak, jika setiap submodul A di M berlaku A = IM untuk suatu ideal I di R maka modul M disebut modul multiplikasi. Submodul A di M disebut submodul prima di M jika untuk setiap r ∈ R dan m ∈ M berlaku rm ∈ A, beraki1
2 bat r ∈ Ann(M/A) atau m ∈ A. Jika suatu modul tidak memiliki submodul prima atau setiap submodul prima P di M berlaku P = JM untuk suatu ideal J di R maka modul M disebut modul multiplikasi lemah. Barnard (1981) telah membuktikan dalam penelitiannya bahwa modul M distributif jika dan hanya jika setiap submodul dari M yang dibangun secara berhingga adalah modul multiplikasi. Secara umum modul distributif M belum tentu merupakan modul multiplikasi. Berangkat dari fakta tersebut, perlu dikaji apakah modul distributif merupakan modul multiplikasi lemah. Selanjutnya, untuk suatu ideal I di R, radikal dari I dinotasikan dengan
√
I
dan didefinisikan sebagai himpunan anggota r di R dengan rn ∈ I untuk suatu √ n ∈ N. Jelas bahwa I merupakan ideal. Pendefinisian radikal dari ideal I dapat √ dinyatakan dalam bentuk lain. Diambil sebarang r ∈ I. Misalkan P ideal prima √ yang memuat I maka rn ∈ I ⊆ P sehingga r ∈ P . Karena setiap ideal prima me√ rupakan ideal radikal, yang berarti P = P , maka r ∈ P . Hal ini mengakibatkan √ √ T I ⊆ P sehingga I ⊆ {P C R|P ideal prima yang memuat I}. Sebaliknya, √ T jika r ∈ / I dapat ditunjukkan bahwa r ∈ / {P C R|P ideal prima yang memuat I}. Dapat disimpulkan bahwa pendefinisian radikal I dapat dinyatakan sebagai irisan dari ideal prima yang memuat I. Dengan mengasumsikan R sebagai modul atas dirinya sendiri, diperoleh I sebagai submodul dari R dan radikal dari I dapat dinyatakan sebagai irisan dari semua submodul prima di R yang memuat I. Selanjutnya, jika diberikan R-modul M dan sebarang submodul A di M diperoleh radikal dari A yang didefinisikan sebagai irisan dari semua submodul prima di M yang memuat A dan dinotasikan dengan radM (A). Jika tidak terdapat submodul prima di M yang memuat A maka radM (A) = M . Penggeneralisasian pendefinisian radikal suatu ideal pada versi modul dapat dinyatakan sebagai envelope dari suatu submodul. Envelope dari A, dinotasikan dengan EM (A), didefinisikan sebagai himpunan rm ∈ M untuk suatu r ∈ R, m ∈ M dengan rn m ∈ A untuk suatu n ∈ N. Pada umumnya, EM (A) bukan merupakan submodul, adapun submodul hEM (A)i selalu termuat dalam radM (A). Namun,
3 kondisi tersebut belum tentu berlaku sebaliknya. Suatu modul disebut memenuhi formula radikal jika hEM (A)i = radM (A). El-Bast dan Smith (1988) telah membuktikan pada penelitiannya bahwa setiap modul multiplikasi memenuhi formula radikal. Dari hal ini, perlu diselidiki apakah modul distributif juga memenuhi formula radikal.
1.2. Rumusan Masalah 1. Apakah setiap modul distributif merupakan modul multiplikasi lemah? 2. Apakah setiap modul distributif memenuhi formula radikal?
1.3. Tujuan Penelitian Dalam penelitian ini akan diselidiki dua hal. Pertama, apakah modul distributif merupakan modul multiplikasi lemah, dan kedua, apakah modul distributif memenuhi formula radikal. Untuk menyelidiki kedua hal tersebut, perlu dikaji beberapa sifat submodul prima pada modul distributif. Secara garis besar tujuan dari penelitian ini adalah menyelidiki beberapa sifat submodul prima pada modul distributif.
1.4. Tinjauan Pustaka Dalam penyusunan tesis ini, digunakan sejumlah buku dan paper sebagai bahan. Dasar teori terkait modul, submodul, dan homomorfisma modul diperoleh dari Adkins Weintraub (1992). Sedangkan teori ring, ring fraksi, modul fraksi, lokalisasi, dan modul faktor digunakan buku Northcott (1968). Beberapa paper yang digunakan sebagai dasar penulisan tesis ini adalah Dauns (1978) yang membahas konsep seputar submodul prima serta karakterisasi dari submodul prima, Barnard (1981) yang membahas tentang modul multiplikasi dan menunjukkan syarat perlu dan cukup modul distributif, El-Bast dan Smith (1998) yang menunjukkan bahwa setiap modul multiplikasi memenuhi formula radikal, dan Azizi (2003) yang mempelajari modul multiplikasi lemah.
4 Untuk mendukung pembahasan, dipelajari terlebih dahulu generalisasi dari submodul prima, yaitu submodul primer pada buku Northcott (1968). Northcott juga membahas sifat submodul primer yang berkaitan dengan modul fraksi dan syarat cukup adanya korespondensi satu-satu antara submodul primer di M dan submodul primer di MS . Spesialisasi dari korespondensi satu-satu pada submodul primer tersebut dibahas pada paper Lu (1995) sebagai korespondensi satu-satu antara submodul prima di M dan submodul prima di MS . Selanjutnya, paper Azizi (2003) menerapkan korespondensi submodul prima tersebut dalam membahas karakterisasi modul multiplikasi lemah yang berkaitan dengan lokalisasi dari modul yang diberikan. Pada ring komutatif R, Matsumura (1989) menjelaskan tentang radikal dari suatu ideal di ring R serta definisi yang ekuivalen. Generalisasi dari dua definisi yang ekuivalen tersebut pada R-modul M , oleh Azizi (2007), secara berturut-turut dinyatakan sebagai envelope dari suatu submodul di M dan radikal dari suatu submodul di M . Pada dua generalisasi tersebut, sifat ekuivalen tidak berlaku. Di samping itu, Tavallaee dan Varmazyar (2008) membahas mengenai generalisasi dari submodul prima yang lain, yaitu submodul semiprima. Parkash dan Maloo (2011) selanjutnya menyebutkan syarat cukup envelope dari suatu submodul di M merupakan submodul semiprima atau M . Sharif, Sharifi, dan Namazi (1996) menyebutkan pada awal papernya bahwa R-modul M disebut memenuhi formula radikal jika radikal dari setiap submodul A di M dibangun oleh envelope dari submodul A. Lebih lanjut, dibahas sifat dan karakterisasi modul yang memenuhi formula radikal yang berkaitan dengan lokalisasi dan modul faktor dari modul yang diberikan. Modul distributif M atas ring R, pada paper Stephenson (1974), didefinisikan sebagai modul yang memenuhi sifat distributif. Pada paper tersebut juga diberikan definisi yang ekuivalen yang selanjutnya digunakan untuk membahas sifat modul distributif, salah satunya sifat yang menyatakan bahwa jika M modul distributif atas ring lokal R maka submodul dari M terurut total. Di lain pihak, Erdogdu (1987) mencantumkan pada papernya bahwa lokalisasi dan modul faktor dari modul distributif merupakan modul distributif. Karena setiap ring RP merupakan ring
5 lokal, seperti disebutkan oleh Northcott (1968), maka RP -modul MP dapat disebut sebagai modul distributif atas ring lokal. Parkash dan Maloo (2011) kemudian mengasumsikan demikian untuk menjawab dua rumusan permasalahan yang telah disebutkan di awal. Secara garis besar, tulisan ini membahas kembali beberapa poin pada Paper Parkash dan Maloo (2011) dengan melengkapi beberapa bukti.
1.5. Metode Penelitian Konsep mendasar yang dipelajari terlebih dahulu adalah konsep ring dan modul, meliputi ideal, ideal prima, submodul, submodul prima, ring fraksi, modul fraksi, lokalisasi, serta konsep dasar modul distributif. Modul distributif M atas ring R, didefinisikan sebagai modul yang memenuhi sifat distributif. Sifat tersebut menurun pada lokalisasi dan modul faktor dari modul distributif. Terdapat definisi yang ekuivalen, yaitu dengan memberikan homomorfisma modul dari R-modul K ke M sehingga prapeta dari homomorfisma tersebut mengawetkan operasi jumlahan setiap dua submodul di M . Dengan menggunakan definisi tersebut, dibahas sifat modul distributif. Target dari penelitian ini ada dua macam, yaitu menunjukkan apakah setiap modul distributif merupakan modul multiplikasi lemah dan menunjukkan apakah setiap modul distributif memenuhi formula radikal. Dari sifat modul distributif yang telah diperoleh, maka penelitian pada modul multiplikasi lemah dan modul yang memenuhi formula radikal akan dikonsentrasikan pada karakterisasi atau sifat yang berkaitan dengan lokalisasi dari modul yang diberikan. Untuk menjawab target pertama, hal pertama yang dikerjakan adalah mempelajari konsep dasar modul multiplikasi lemah. Untuk menunjukkan karakterisasi modul multiplikasi lemah, dipelajari terlebih dahulu generalisasi dari submodul prima, yaitu submodul primer. Terdapat syarat cukup adanya korespondensi satu-satu antara submodul primer di M dan submodul primer di MS . Selanjutnya, korespondensi satu-satu antara submodul prima di M dan submodul prima di MS digunakan dalam membahas karakterisasi modul multiplikasi lemah. Dengan mengasumsikan
6 M sebagai modul distributif atas ring lokal dan memanfaatkan sifat bahwa setiap submodul dari M terurut total, untuk setiap submodul prima A di M akan ditunjukkan eksistensi ideal I di ring lokal R sehingga A = IM . Untuk menjawab target kedua, hal pertama yang dikerjakan adalah mempelajari konsep dasar terbentuknya modul yang memenuhi formula radikal, yaitu radikal dari submodul dan envelope dari submodul. Modul M disebut memenuhi formula radikal jika untuk setiap submodul A di M , radikal dari A dibangun oleh envelope A. Lebih lanjut, diselidiki sifat bahwa untuk sebarang ideal maksimal P di R, jika MP memenuhi formula radikal maka M memenuhi formula radikal. Dengan mengasumsikan M sebagai modul distributif atas ring lokal, diselidiki sifat envelope dari submodul {0}. Selanjutnya, dengan memanfaatkan karakterisasi modul yang memenuhi formula radikal, cukup diselidiki bahwa radikal dari submodul {0} termuat di envelope dari submodul {0}. Dengan begitu, hubungan modul distributif dengan modul yang memenuhi formula radikal dapat ditemukan.
7
1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta sistematika penulisan. BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar dalam penelitian. Bab ini memuat penjelasan mengenai lokalisasi pada modul atas ring komutatif dengan elemen satuan, submodul prima, semiprima dan primer, serta ring lokal. BAB III MODUL MULTIPLIKASI DAN FORMULA RADIKAL Pada bab ini dibahas mengenai modul yang memenuhi formula radikal, modul multiplikasi, termasuk di dalamnya modul multiplikasi lemah. BAB IV MODUL DISTRIBUTIF Pada bab ini dibahas mengenai modul distributif dan sifat submodul prima pada modul distributif. BAB V KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan atau jawaban dari rumusan masalah yang telah diberikan.
