BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.
A.
Ring Embedding
Definisi 3.1 (Malik et al. 1997: 318) Suatu ring R dikatakan embedded ke dalam suatu ring S jika ada suatu monomorfisma ring dari R ke S .
Definisi di atas mengandung arti bahwa suatu ring R dikatakan embedded ke dalam suatu ring S jika ada suatu subring T di S sehingga R ≅ T .
Proposisi 3.2 Untuk setiap ring R , himpunan S = R ×
dengan operasi
( a , p ) + ( b, q ) = ( a + b, p + q ) ( a, p )( b, q ) = ( ab + qa + pb, pq ) , ∀a, b ∈ R, ∀p, q ∈ merupakan ring dengan elemen kesatuan. Selain itu, θ : a a ( a, 0 ) merupakan suatu homomorfisma injektif (monomorfisma) dari R ke S .
Bukti: Misalkan R suatu ring dan S = R ×
. ∀ ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R × , definisikan
( a, p ) + ( b, q ) = ( a + b, p + q ) ( a, p )( b, q ) = ( ab + qa + pb, pq ) , 14
∀a, b ∈ R, ∀p, q ∈ .
15
a) Akan ditunjukkan bahwa R ×
merupakan suatu ring dengan elemen
kesatuan. R×
dikatakan ring dengan elemen kesatuan jika memenuhi:
I. R ×
≠∅
Karena R,
merupakan suatu ring, maka R,
suatu grup abelian
akibatnya ada elemen nol, 0 R ∈ R dan 0 ∈ , sehingga ( 0 R , 0
II.
(R×
)∈ R×
.
, + ) grup abelian
i. Memenuhi sifat tertutup Ambil sembarang ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R × , dengan a, b ∈ R dan p, q ∈ .
( a, p ) + ( b, q ) = ( a + b, p + q ) = ( c, r ) . Karena R dan
p+q = r∈
merupakan suatu ring maka a + b = c ∈ R
dan
sehingga diperoleh ( c, r ) ∈ R × .
ii. Memenuhi sifat Asosiatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
berlaku
( a, p ) + ( ( b, q ) + ( c, r ) ) = ( ( a, p ) + ( b, q ) ) + ( c, r ) . Ambil sembarang
( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
, dengan a, b, c ∈ R dan
p, q, r ∈ .
( a, p ) + ( ( b, q ) + ( c, r ) ) = ( a, p ) + ( b + c, q + r ) = ( a + (b + c) , p + ( q + r ))
16
= ( ( a + b ) + c, ( p + q ) + r ) = ( a + b, p + q ) + ( c, r ) = ( ( a, p ) + ( b, q ) ) + ( c, r ) . iii. Terdapat elemen nol yaitu ( 0 R , 0
)∈ R×
, dengan 0 R ∈ R dan 0 ∈
merupakan elemen nol. Ambil sembarang
( a, p ) ∈ R ×
, dengan a ∈ R dan p ∈ . Sehingga,
( a, p ) + ( 0 R , 0 ) = ( a + 0 R , p + 0 ) = ( a, p ) . iv. Memiliki elemen invers terhadap penjumlahan Ambil sembarang ( a, p ) ∈ R × , a ∈ R, p ∈ , misalkan
( x, y )
invers
dari ( a, p ) . Sehingga,
( a, p ) + ( x, y ) = ( 0 R , 0 ) ( a + x, p + y ) = ( 0 R , 0 ) . Perhatikan, karena a ∈ R, p ∈
(− p) ∈
dan R,
merupakan ring maka ∃ − ( a ) ∈ R, dan
. Sehingga,
a + x = 0R
p+ y =0
− ( a ) + a + x = − ( a ) + 0R
(− p) + p + y = (− p) + 0
0R + x = − ( a ) x = −(a)
0 + y = (− p) y = (− p)
17
diperoleh ( x, y ) = ( − ( a ) , − p ) . Jadi, ∀ ( a, p ) ∈ R × , ∃ ( − ( a ) , − p ) ∈ R ×
berlaku
( a , p ) + ( − ( a ) , − p ) = ( a − a, p + ( − p ) ) = ( 0R , 0
).
v. Memenuhi sifat komutatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R ×
berlaku
( a, p ) + ( b, q ) = ( b, q ) + ( a, p ) . Ambil sembarang ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R × , dengan a, b ∈ R dan p, q ∈ .
( a, p ) + ( b, q ) = ( a + b, p + q ) = ( b + a, q + p ) = ( b, q ) + ( a , p ) . Karena i, ii, iii, iv, dan v terpenuhi maka ( R × , + ) grup abelian.
III.
(R×
, × ) memenuhi sifat:
i. asosiatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
berlaku
( a, p ) ( ( b, q )( c, r ) ) = ( ( a, p )( b, q ) ) ( c, r ) . Ambil sembarang p, q, r ∈
( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
.
( a, p ) ( ( b, q )( c, r ) ) = ( a, p )( bc + rb + qc, qr )
, dengan a, b, c ∈ R dan
18
= ( a ( bc + rb + qc ) + qra + p ( bc + rb + qc ) , p ( qr ) ) = ( abc + arb + aqc + qra + pbc + prb + pqc, ( pq ) r ) = ( ( abc + aqc + pbc ) + ( arb + qra + prb ) + pqc, ( pq ) r ) = ( ( ab + qa + pb ) c + ( ab + qa + pb ) r + pqc, ( pq ) r ) = ( ab + qa + pb, pq )( c, r ) = ( ( a, p )( b, q ) ) ( c, r ) . ii. Terdapat elemen kesatuan yaitu ( 0 R ,1) ∈ R × , dengan 0 R ∈ R merupakan elemen nol dan 1∈ Ambil sembarang
merupakan elemen kesatuan.
( a, p ) ∈ R ×
, a ∈ R dan p ∈ . Sehingga,
( a, p ) . ( 0R ,1) = ( a.0R + 1.a + p.0R , ( p.1) ) = ( a, p ) . IV. Bersifat distributif penjumlahan terhadap perkalian i. Distributif kiri Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
berlaku
( a, p ) ( ( b, q ) + ( c, r ) ) = ( a, p )( b, q ) + ( a, p )( c, r ) . Ambil sembarang
p, q, r ∈
( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
, dengan a, b, c ∈ R dan
.
( a, p ) ( ( b, q ) + ( c, r ) ) = ( a, p )( b + c, q + r ) = ( a (b + c ) + ( q + r ) a + p (b + c ) , p ( q + r )) = ( ab + ac + qa + ra + pb + pc, pq + pr )
19
= ( ( ab + qa + pb ) + ( ac + ra + pc ) , pq + pr ) = ( ab + qa + pb, pq ) + ( ac + ra + pc, pr ) = ( a, p )( b, q ) + ( a, p )( c, r ) . ii. Distributif kanan Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
berlaku
( ( a, p ) + ( b, q ) ) ( c, r ) = ( a, p )( c, r ) + ( b, q )( c, r ) . ( a, p ) , ( b, q ) , ( c, r ) ∈ R ×
Ambil sembarang p, q, r ∈
, dengan a, b, c ∈ R dan
.
( ( a, p ) + ( b, q ) ) ( c, r ) = ( a + b, p + q )( c, r ) = ( ( a + b ) c + r ( a + b ) + ( p + q ) c, ( p + q ) r ) = ( ac + bc + ra + rb + pc + qc, pr + qr ) = ( ( ac + ra + pc ) + ( bc + rb + qc ) , pr + qr ) = ( ac + ra + pc, pr ) + ( bc + rb + qc, qr ) = ( a, p )( c, r ) + ( b, q )( c, r ) . Karena I, II, III, dan IV terpenuhi maka R ×
merupakan ring dengan elemen
kesatuan. b) Misalkan R × {0} ⊆ R × , selanjutnya akan ditunjukkan bahwa R × {0} subring dari S = R ×
.
R × {0} dikatakan suatu subring jika memenuhi:
20
i. R × {0} ≠ ∅ Karena R merupakan suatu ring, maka R suatu grup abelian. Akibatnya terdapat elemen nol, yakni 0 R ∈ R sehingga ( 0 R , 0 ) ∈ R × {0} . Dengan kata lain, R × {0} ≠ ∅ . ii. Ambil sembarang ( a, 0 ) , ( b, 0 ) ∈ R × {0} .
( a, 0 ) − ( b, 0 ) = ( a − b, 0 ) ,
karena a, b ∈ R
dan R
suatu ring maka
∃ − ( b ) ∈ R sehingga a − b ∈ R , akibatnya ( a − b, 0 ) ∈ R × {0} . iii. Ambil sembarang ( a, 0 ) , ( b, 0 ) ∈ R × {0} .
( a, 0 )( b, 0 ) = ( ab, 0 ) ,
karena a, b ∈ R dan R suatu ring maka ab ∈ R
sehingga ( ab, 0 ) ∈ R × {0} . Karena i, ii, iii terpenuhi maka R × {0} subring dari R × . c) Misalkan θ : R → R × {0} , ∀r ∈ R definisikan θ : r a θ ( r ) = ( r , 0 ) . Akan ditunjukkan θ merupakan homomorfisma injektif (monomorfisma). i. θ well defined Ambil sembarang r1 , r2 ∈ R , misalkan r1 = r2 r1 − r2 = 0
θ ( r1 − r2 ) = θ ( 0 )
( r1 − r2 , 0 ) = ( 0,0 )
21
( r1 , 0 ) − ( r2 , 0 ) = ( 0, 0 ) ( r1 , 0 ) = ( r2 , 0 ) θ ( r1 ) = θ ( r2 ) . ii. θ homomorfisma ring Ambil sembarang r1 , r2 ∈ R ,
θ ( r1 + r2 ) = ( r1 + r2 , 0 ) = ( r1 , 0 ) + ( r2 , 0 ) = θ ( r1 ) + θ ( r2 )
θ ( r1 . r2 ) = ( r1 . r2 , 0 ) = ( ( r1 . r2 + 0 . r1 + r2 . 0 ) , 0 ) = ( r1 , 0 ) . ( r2 , 0 ) = θ ( r1 ) . θ ( r2 ) . iii. θ pemetaan injektif Akan ditunjukkan jika θ ( r1 ) = θ ( r2 ) maka r1 = r2 . Ambil sembarang θ ( r1 ) ,θ ( r2 ) ∈ R × {0} dengan r1 , r2 ∈ R
θ ( r1 ) = θ ( r2 )
( r1 , 0 ) = ( r2 , 0 ) ( r1 , 0 ) − ( r2 , 0 ) = ( 0, 0 ) ( r1 − r2 , 0 − 0 ) = ( 0, 0 )
22
r1 − r2 = 0 r1 = r2 . Karena i, ii, dan iii terpenuhi maka θ suatu monomorfisma. Selanjutnya akan disajikan suatu teorema yang menunjukkan bahwa setiap ring dapat embedded ke dalam suatu ring yang memuat elemen kesatuan.
Teorema 3.3 Setiap ring R dapat diembedded ke dalam suatu ring S dengan elemen kesatuan sedemikian sehingga R merupakan ideal di S . Jika R komutatif maka S komutatif.
Pada karya tulis ini, pembuktian hanya dibatasi pada ring yang bersifat komutatif. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa suatu ring komutatif dapat embedded ke dalam ring komutatif yang memuat elemen kesatuan.
Bukti: Misalkan R suatu ring dan S = R ×
. ∀ ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R × , definisikan
( a , p ) + ( b, q ) = ( a + b, p + q ) ( a, p )( b, q ) = ( ab + qa + pb, pq ) ,
∀a, b ∈ R, ∀p, q ∈ .
Telah dibuktikan sebelumnya pada Proposisi 3.2 bahwa S = R ×
merupakan
suatu ring dengan elemen kesatuan. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Jika R komutatif maka S komutatif, artinya ∀ ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R ×
berlaku
( a, p )( b, q ) = ( b, q )( a, p ) . Ambil sembarang ( a, p ) , ( b, q ) ∈ R × , dengan a, b ∈ R dan p, q ∈ .
23
( a, p )( b, q ) = ( ab + qa + pb, pq ) = ( ba + aq + bp, qp ) = ( b, q )( a, p ) . Karena R ×
bersifat komutatif maka R ×
merupakan ring komutatif dengan
elemen kesatuan. Misalkan R × {0} ⊆ R × , pada pembuktian Proposisi 3.2 diketahui bahwa
R × {0} subring dari R × . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa R × {0} ideal di R× .
Ambil sembarang ( r , 0 ) ∈ R × {0} dan ( a, p ) ∈ R × .
( a, p )( r , 0 ) = ( ra + pr , 0 ) ∈ R × {0} .
Karena
R×
( a, p )( r , 0 ) = ( r , 0 )( a, p ) = ( ra + pr , 0 ) ∈ R × {0} ,
bersifat komutaif maka
sehingga R × {0} merupakan
ideal di R × . Misalkan θ : R → R × {0} , ∀r ∈ R definisikan θ ( r ) = ( r , 0 ) . Akan ditunjukkan θ merupakan suatu isomorfisma, berdasarkan Proposisi 3.2 diketahui bahwa θ merupakan suatu monomorfisma, dan karena ∀ ( r , 0 ) ∈ R × {0}
∃ r ∈ R ∋ θ ( r ) = ( r , 0 ) maka θ merupakan pemetaan surjektif. Akibatnya θ suatu isomorfisma, sehingga R ≅ R × {0} . Berdasarkan Definisi 3.1, maka R dikatakan embedded ke dalam suatu ring S dengan elemen kesatuan. Karena
r ∈ R dengan ( r , 0 ) ∈ R × {0} sehingga dapat dipandang R ideal di S .
24
Berikut akan diberikan suatu contoh embedding ring, di mana contoh tersebut sangat menunjang pada bab berikutnya.
Contoh 3.4 merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan 1.
Diketahui bahwa
p = { pr r ∈ , dan p elemen prima di
}
merupakan subring dari
yang
tidak memuat elemen kesatuan. Akan ditunjukkan bahwa p ×
dengan operasi biner
( pr1 , r2 ) + ( pr3 , r4 ) = ( pr1 + pr3 , r2 + r4 ) ( pr1 , r2 ) ⋅ ( pr3 , r4 ) = ( pr1. pr3 + r4 . pr1 + pr3 .r2 , r2 .r4 ) dengan pr1 , pr3 ∈ p
dan r2 , r4 ∈ , merupakan ring komutatif dengan elemen
kesatuan.
(p
× , +, ⋅) dikatakan ring dengan elemen kesatuan jika memenuhi:
I.
p ×
≠∅
Karena
merupakan suatu ring dan p
subring dari
maka p dan
merupakan suatu grup abelian akibatnya terdapat elemen nol, yakni 0 R ∈ R dan 0 ∈ , sehingga ( 0 R , 0
II.
(p i.
)∈ R×
.
× , + ) grup abelian Memenuhi sifat tertutup Ambil sembarang
r2 , r4 ∈ ,
( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) ∈ p
× , dengan pr1 , pr3 ∈ p
dan
25
( pr1 , r2 ) + ( pr3 , r4 ) = ( pr1 + pr3 , r2 + r4 ) . merupakan suatu ring karena pr1 , pr3 ∈ p
Perhatikan bahwa p dan dan r2 , r4 ∈ ,
maka pr1 + pr3 = p ( r1 + r3 ) = pr ∈ p , r2 + r4 = r ∈ . Sehingga
( pr1 , r2 ) + ( pr3 , r4 ) = ( pr1 + pr3 , r2 + r4 ) = ( pr , r ) ∈ p × . ii.
Memenuhi sifat asosiatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p ×
berlaku
( ( pr , r ) + ( pr , r ) ) + ( pr , r ) = ( pr , r ) + ( ( pr , r ) + ( pr , r ) ) . 1
Ambil
2
3
sembarang
pr1 , pr3 , pr5 ∈ p
4
5
6
1
2
3
4
5
( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p
×
,
6
dengan
dan r2 , r4 , r6 ∈ ,
( ( pr , r ) + ( pr , r ) ) + ( pr , r ) = ( pr , r ) + ( ( pr , r ) + ( pr , r ) ) 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
= ( pr1 + pr3 , r2 + r4 ) + ( pr5 , r6 ) = ( ( pr1 + pr3 ) + pr5 , ( r2 + r4 ) + r6 ) = ( pr1 + ( pr3 + pr5 ) , r2 + ( r4 + r6 ) ) = ( pr1 , r2 ) + ( ( pr3 , r4 ) + ( pr5 , r6 ) ) . iii.
Terdapat elemen nol yaitu
0 ∈
(0
p
,0
)∈ p
×
, dengan 0 p ∈ p
merupakan elemen nol.
Ambil sembarang
( pr1 , r2 ) ∈ p
× , pr1 ∈ R dan r2 ∈ . Sehingga,
dan
26
( pr1 , r2 ) + ( 0 p
,0
) = ( pr + 0 1
, r2 + 0
p
)
= ( pr1 , r2 ) . iv.
Memiliki elemen invers terhadap penjumlahan Ambil sembarang
( pr1 , r2 ) ∈ p
× , pr1 ∈ R dan r2 ∈ , dan misalkan
( px, y ) invers dari ( pr1 , r2 ) , sehingga ( pr1 , r2 ) + ( px, y ) = ( 0 p
,0
)
( pr1 + px, r2 + y ) = ( 0 p
,0
).
Perhatikan, karena
pr1 ∈ p dan r2 ∈
∃ − ( pr1 ) ∈ p , dan ( − r2 ) ∈
serta
R,
merupakan
ring
sehingga,
pr1 + px = 0 p
r2 + y = 0
− ( pr1 ) + pr1 + px = − ( pr1 ) + 0 p
( −r2 ) + r2 + y = ( −r2 ) + 0
0 p + x = − ( pr1 )
0 + y = ( − r2 )
x = − ( pr1 )
y = ( − r2 )
diperoleh ( px, y ) = ( − ( pr1 ) , − r2 ) . v.
Memenuhi sifat komutatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) ∈ p ×
berlaku
( pr1 , r2 ) + ( pr3 , r4 ) = ( pr3 , r4 ) + ( pr1 , r2 ) .
maka
27
Ambil sembarang
( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) ∈ p
× , dengan pr1 , pr3 ∈ p
dan
r2 , r4 ∈ .
( pr1 , r2 ) + ( pr3 , r4 ) = ( pr1 + pr3 , r2 + r4 ) = ( pr31 + pr , r4 + r2 ) = ( pr3 , r4 ) + ( pr1 , r2 ) . Karena i, ii, iii, iv, dan v terpenuhi maka ( p × , + ) grup abelian.
III.
(p i.
× , × ) memenuhi sifat: asosiatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p ×
berlaku
( pr1 , r2 ) ( ( pr3 , r4 )( pr5 , r6 ) ) = ( ( pr1 , r2 )( pr3 , r4 ) ) ( pr5 , r6 ) . Ambil
sembarang
pr1 , pr3 , pr5 ∈ p
( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p
×
,
dan r2 , r4 , r6 ∈ .
( pr1 , r2 ) ( ( pr3 , r4 )( pr5 , r6 ) ) = ( pr1 , r2 )( pr3 . pr5 + r6 . pr3 + r4 . pr5 , r4 .r6 ) pr1 ( pr3 . pr5 + r6 . pr3 + r4 . pr5 ) + r4 .r6 . pr1 = + r ( pr . pr + r . pr + r . pr ) , r ( r .r ) 3 5 6 3 4 5 2 4 6 2 pr1. pr3 . pr5 + pr1.r6 . pr3 + pr1.r4 . pr5 + r4 .r6 . pr1 = + r2 . pr3 . pr5 + r2 .r6 . pr3 + r2 .r4 . pr5 , ( r2 .r4 ) r6 ( pr1. pr3 . pr5 + pr1.r4 . pr5 + r2 . pr3 . pr5 ) = + ( pr .r . pr + r .r . pr + r .r . pr ) + r .r . pr , ( r .r ) r 1 6 3 4 6 1 2 6 3 2 4 5 2 4 6
dengan
28
( pr1. pr3 + r4 . pr1 + r2 . pr3 ) pr5 = + ( pr . pr + r . pr + r . pr ) r + r .r . pr , ( r .r ) r 1 3 4 1 2 3 6 2 4 5 2 4 6
= ( pr1. pr3 + r4 . pr1 + r2 . pr3 , r2 .r4 r6 )( pr5 , r6 ) = ( ( pr1 , r2 )( pr3 , r4 ) ) ( pr5 , r6 ) . ii.
(0
Terdapat elemen kesatuan yaitu merupakan elemen nol dan 1∈
p
,1) ∈ p × , dengan 0 p ∈ p
merupakan elemen kesatuan.
Ambil sembarang ( pr1 , r2 ) ∈ p × , dengan pr1 ∈ R dan r2 ∈ . Sehingga
( pr1 , r2 ) . ( 0 p ,1) = ( pr1.0 p iii.
+ 1. pr1 + r2 .0 p , ( r2 .1) ) = ( pr1 , r2 ) .
Komutatif Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) ∈ p ×
berlaku
( pr1 , r2 ) + ( pr3 , r4 ) = ( pr3 , r4 ) + ( pr1 , r2 ) . Ambil sembarang
( pr1 , r2 ) dan ( pr3 , r4 ) ∈ p
× , dengan pr1 , pr3 ∈ p
dan r2 , r4 ∈ ,
( pr1 , r2 )( pr3 , r4 ) = ( pr1. pr3 + r4 . pr1 + pr3 .r2 , r2 .r4 ) = ( pr3 . pr1 + r2 . pr3 + r4 . pr1 , r4 .r2 ) = ( pr3 , r4 )( pr1 , r2 ) .
IV. Bersifat distributif penjumlahan terhadap perkalian i.
Distributif kiri Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p ×
berlaku
( pr1 , r2 ) ( ( pr3 , r4 ) + ( pr5 , r6 ) ) = ( pr1 , r2 )( pr3 , r4 ) + ( pr1 , r2 )( pr5 , r6 ) .
29
Ambil
( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p
sembarang
pr1 , pr3 , pr5 ∈ p
×
,
dengan
dan r2 , r4 , r6 ∈ .
( pr1 , r2 ) ( ( pr3 , r4 ) + ( pr5 , r6 ) ) = ( pr1 , r2 )( pr3 + pr5 , r4 + r6 ) = ( pr1 ( pr3 + pr5 ) + ( r4 + r6 ) pr1 + ( pr3 + pr5 ) r2 , r2 ( r4 + r6 ) ) = ( pr1. pr3 + pr1. pr5 + r4 . pr1 + r6 . pr1 + pr3 .r2 + pr5 .r2 , r2 .r4 + r2 .r6 ) = ( ( pr1. pr3 + r4 . pr1 + pr3 .r2 ) + ( pr1. pr5 + r6 . pr1 + pr5 .r2 ) , r2 .r4 + r2 .r6 ) = ( pr1. pr3 + r4 . pr1 + r2 . pr3 , r2 .r4 ) + ( pr1. pr5 + r6 . pr1 + r2 . pr5 , r2 .r6 ) = ( pr1 , r2 )( pr3 , r4 ) + ( pr1 , r2 )( pr5 , r6 ) . ii.
Distributif kanan Akan ditunjukkan bahwa ∀ ( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p ×
berlaku
( ( pr , r ) + ( pr , r ) ) ( pr , r ) = ( pr , r )( pr , r ) + ( pr , r )( pr , r ) . 1
Ambil
2
3
4
6
1
2
2
3
6
3
4
5
×
,
dengan
dan r2 , r4 , r6 ∈ .
( ( pr , r ) + ( pr , r ) ) ( pr , r ) = ( pr + pr , r 1
5
( pr1 , r2 ) , ( pr3 , r4 ) , ( pr5 , r6 ) ∈ p
sembarang
pr1 , pr3 , pr5 ∈ p
5
4
5
6
1
3
2
+ r4 )( pr5 , r6 )
= ( ( pr1 + pr3 ) pr5 + r6 ( pr1 + pr3 ) + ( r2 + r4 ) pr5 , ( r2 + r4 ) r6 ) = ( pr1. pr5 + pr3 . pr5 + r6 . pr1 + r6 . pr3 + r2 . pr5 + r4 . pr5 , r2 .r6 + r4 .r6 ) = ( ( pr1. pr5 + r6 . pr1 + r2 . pr5 ) + ( pr3 . pr5 + r6 . pr3 + r4 . pr5 ) , r2 .r6 + r4 .r6 ) = ( ( pr1. pr5 + r6 . pr1 + r2 . pr5 ) , r2 .r6 ) + ( ( pr3 . pr5 + r6 . pr3 + r4 . pr5 ) , r4 .r6 ) = ( pr1 , r2 )( pr5 , r6 ) + ( pr3 , r4 )( pr5 , r6 ) .
6
30
Karena I, II, III, dan IV terpenuhi maka p ×
merupakan ring komutatif dengan
elemen kesatuan. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa θ : p → p × , dengan θ ( pr ) = ( pr , 0 ) merupakan suatu monomorfisma. I. θ suatu pemetaan Ambil sembarang pr1 , pr2 ∈ p .
pr1 = pr2 pr1 − pr2 = 0
θ ( pr1 − pr2 ) = θ ( 0 )
( pr1 − pr2 , 0 ) = ( 0, 0 ) ( pr1 , 0 ) − ( pr2 , 0 ) = ( 0, 0 ) ( pr1 , 0 ) = ( pr2 , 0 ) . II. θ suatu homomorfisma Ambil sembarang pr1 , pr2 ∈ p .
θ ( pr1 + pr2 ) = ( pr1 + pr2 , 0 ) = ( pr1 , 0 ) + ( pr2 ,0 ) =θ ( pr1 ) + θ ( pr2 )
θ ( pr1. pr2 ) = ( pr1. pr2 , 0 ) = ( pr1. pr2 + 0. pr1 + pr2 .0, 0 )
31
= ( pr1 , 0 ) . ( pr2 , 0 ) = θ ( pr1 ) . θ ( pr2 ) . III. θ pemetaan injektif Ambil sembarang ( pr1 , 0 )( pr2 , 0 ) ∈ θ ( p
).
( pr1 , 0 ) = ( pr2 , 0 ) ( pr1 , 0 ) − ( pr2 , 0 ) = ( 0, 0 ) ( pr1 − pr2 , 0 − 0 ) = ( 0, 0 ) pr1 − pr2 = 0 pr1 = pr2 . Karena I, II dan III terpenuhi maka θ suatu monomorfisma, sehingga berdasarkan Definisi 3.1 p
B.
dapat embedded ke p × .
■
Faktorisasi Tunggal pada Ring Komutatif tanpa Elemen Kesatuan Sebelum membahas faktorisasi tunggal pada ring komutatif tanpa elemen
kesatuan, terlebih dahulu akan diulas generalisasi dari definisi sifat-sifat elemen pada ring komutatif yang memuat elemen kesatuan. B.1
Definisi dan Contoh Elemen Neo-Irreducible dan Associate Di bawah ini merupakan generalisasi dari definisi elemen irreducible dan
elemen associate yang sangat menunjang terhadap faktorisasi tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.
32
Definisi 3.4 (Fletcher and Agargun, 1997: 402) Misalkan R merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan, p ∈ R dan p bukan unit disebut elemen neo-irreducible jika p dapat dinyatakan sebagai yp = ya1...an , ∀ y ∈ R , maka yai
yp , untuk suatu i .
Pada bab sebelumnya telah dibuktikan bahwa p × , dengan p elemen prima di
merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan. Proposisi berikut
memberikan gambaran mengenai elemen neo-irreducible di p × . Proposisi tersebut sangat menunjang pada pembuktian proposisi selanjutnya.
Proposisi 3.5 p elemen prima di
Misalkan
, elemen neo-irreducible di p ×
yakni, i.
( − ρ ± 1, ρ ) ,
dengan
ρ
merupakan suatu elemen prima di
dan
ρ
merupakan suatu elemen prima di
dan
ρ ≡ ±1( mod p ) ; ii.
( ρ m 1, ±1) ,
dengan
ρ ≡ ±1( mod p ) ; iii.
(σ − τ ,τ ) , dengan σ , τ
merupakan elemen prima di
σ ≡ τ ( mod p ) ; iv.
( 0, ± p ) , ( ± p, 0 ) , ( ±2 p, m p ) ;
v.
( ± p, m p ) .
dan σ ≡/ ±1( mod p ) ,
33
Bukti: i. Akan ditunjukkan ( − ρ ± 1, ρ ) , dengan ρ merupakan suatu elemen prima di dan ρ ≡ ±1( mod p ) merupakan elemen neo-irreducible. a) Untuk ( − ρ + 1, ρ ) dengan ρ prima di
dan ρ ≡ 1( mod p ) .
Karena ρ ≡ 1( mod p ) maka p ρ − 1 jika dan hanya jika ρ − 1 = pk , untuk suatu k ∈
. Dengan kata lain, ρ = pk + 1 .
Diperoleh, ( − ρ + 1, ρ ) = ( − pk , pk + 1) . Karena pk + 1 prima maka faktor dari pk + 1 hanya 1 dan dirinya sendiri.
Sehingga
( − pk , pk + 1) = ( 0,1)( − pk , pk + 1) .
Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p ×
berlaku
( pz, z )( − pk , pk + 1) = ( pz, z )( 0,1)( − pk , pk + 1) . Karena
( pz, z )( − pk , pk + 1) ( pz, z )( − pk , pk + 1) ,
maka
( pz, z )( − pk , pk + 1) ( pz, z )( − pk , pk + 1) .
begitu juga sebaliknya Sehingga
( − ρ + 1, ρ )
merupakan neo-irreducible di p × . b) Untuk ( − ρ − 1, ρ ) dengan ρ prima di
dan ρ ≡ −1( mod p ) .
Karena ρ ≡ −1( mod p ) maka p ρ + 1 jika dan hanya jika ρ + 1 = pk , untuk suatu k ∈
. Dengan kata lain, ρ = pk − 1 .
Diperoleh, ( − ρ − 1, ρ ) = ( − pk , pk − 1) . Karena pk − 1 prima maka faktor dari pk − 1 hanya 1 dan dirinya sendiri.
34
( − pk , pk − 1) = ( 0,1)( − pk , pk − 1) .
Sehingga
Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p × ,
berlaku
( pz, z )( − pk , pk − 1) = ( pz, z )( 0,1)( − pk , pk − 1) . Karena
( pz, z )( − pk , pk − 1) ( pz, z )( − pk , pk − 1) ,
maka
( pz, z )( − pk , pk − 1) ( pz, z )( − pk , pk − 1) .
begitu juga sebaliknya Sehingga
( − ρ − 1, ρ )
merupakan neo-irreducible di p × . ii. Akan ditunjukkan ( ρ m 1, ±1) , dengan ρ merupakan suatu elemen prima di dan ρ ≡ ±1( mod p ) merupakan elemen neo-irreducible . a) Untuk ( ρ − 1,1) dengan ρ prima di
dan ρ ≡ 1( mod p ) .
Karena ρ ≡ 1( mod p ) maka p ρ − 1 jika dan hanya jika ρ − 1 = pk , untuk suatu k ∈
.
Diperoleh, ( ρ − 1,1) = ( pk ,1) . Karena faktor dari 1 hanya dirinya sendiri maka
( pk ,1) = ( 0,1)( pk ,1) . Misalkan ∀ ( pz, z ) ∈ p
× , berlaku
( pz, z )( pk ,1) = ( pz, z )( 0,1)( pk ,1) . Karena
( pz, z )( pk ,1) ( pz, z )( pk ,1) ,
begitu
juga
sebaliknya
( pz, z )( pk ,1) ( pz, z )( pk ,1) . Sehingga diperoleh ( ρ − 1,1)
merupakan neo-
irreducible di p × .
b) Untuk ( ρ + 1, −1) dengan ρ prima di
maka
dan ρ ≡ −1( mod p ) .
35
Karena ρ ≡ −1( mod p ) maka p ρ + 1 jika dan hanya jika ρ + 1 = pk , untuk suatu k ∈
.
Diperoleh,
( ρ + 1, −1) = ( pk , −1) .
sendiri, sehingga
Karena faktor dari -1 hanya 1 dan dirinya
( pk , −1) = ( 0,1)( pk , −1) .
Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p × ,
berlaku
( pz, z )( pk , −1) = ( pz, z )( 0,1)( pk , −1) . Karena
( pz, z )( pk , −1) ( pz, z )( pk , −1) ,
( pz, z )( pk , −1) ( pz , z )( pk , −1) .
begitu juga sebaliknya maka
Sehingga diperoleh
( ρ + 1, −1)
merupakan
neo-irreducible di p × . iii. Akan ditunjukkan (σ − τ ,τ ) , dengan σ , τ merupakan elemen prima di dan σ ≡/ ±1( mod p ) dan σ ≡ τ ( mod p ) merupakan elemen neo-irreducible. Karena σ ≡ τ ( mod p ) maka p σ − τ jika dan hanya jika σ − τ = pk , untuk suatu k ∈
.
Diperoleh, (σ − τ ,τ ) = ( pk ,τ ) . Karena τ prima maka faktor dari τ hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga ( pk ,τ ) = ( 0,1)( pk ,τ ) . Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p × , berlaku
( pz, z )( pk ,τ ) = ( pz, z )( 0,1)( pk ,τ ) . Karena
( pz, z )( pk ,τ ) ( pz, z )( pk ,τ ) ,
( pz, z )( pk ,τ ) ( pz, z )( pk ,τ ) . neo-irreducible di p × .
begitu
juga
Sehingga diperoleh
sebaliknya
(σ − τ ,τ )
maka
merupakan
36
iv. Akan ditunjukkan
( 0, ± p ) , ( ± p,0 ) , ( ±2 p, m p )
elemen neo-irreducible di
p × .
a) Untuk ( 0, ± p ) , karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga, ( 0, ± p ) = ( 0,1)( 0, ± p ) . Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p ×
berlaku
( pz, z )( 0, ± p ) = ( pz, z )( 0,1)( 0, ± p ) . Karena
( pz, z )( 0, ± p ) ( pz, z )( 0, ± p ) ,
( pz, z )( 0, ± p ) ( pz , z )( 0, ± p ) .
begitu
juga
Sehingga diperoleh
sebaliknya
( 0, ± p )
maka
merupakan
elemen neo-irreducible di p × . b) Untuk ( ± p, 0 ) , karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga, ( ± p, 0 ) = ( 0,1)( ± p, 0 ) . Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p ×
berlaku
( pz, z )( ± p, 0 ) = ( pz, z )( 0,1)( ± p, 0 ) . Karena
( pz, z )( ± p, 0 ) ( pz, z )( ± p, 0 ) ,
( pz, z )( ± p, 0 ) ( pz , z )( ± p, 0 ) .
begitu
juga
Sehingga diperoleh
sebaliknya
( ± p, 0 )
maka
merupakan
elemen neo-irreducible di p × . c) Untuk ( ±2 p, m p ) , karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga, ( ±2 p, m p ) = ( 0,1)( ±2 p, m p ) . Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p ×
berlaku
37
( pz, z )( ±2 p, m p ) = ( pz, z )( 0,1)( ±2 p, m p ) . Karena
( pz, z )( ±2 p, m p ) ( pz, z )( ±2 p, m p ) ,
begitu juga sebaliknya maka
( pz, z )( ±2 p, m p ) ( pz , z )( ±2 p, m p ) . Sehingga diperoleh ( ±2 p, m p )
elemen
neo-irreducible di p × . v. Akan ditunjukkan bahwa ( ± p, m p ) elemen neo-irreducible di p × . Untuk ( ± p, m p ) , karena p prima maka faktor dari p hanya 1 dan dirinya sendiri. Sehingga, ( ± p, m p ) = ( 0,1)( ± p, m p ) . Misalkan ∀ ( pz , z ) ∈ p ×
berlaku
( pz, z )( ± p, m p ) = ( pz, z )( 0,1)( ± p, m p ) . Karena
( pz, z )( ± p, m p ) ( pz, z )( ± p, m p ) ,
( pz, z )( ± p, m p ) ( pz , z )( ± p, m p ) .
begitu juga sebaliknya maka
Sehingga diperoleh
( ± p, m p )
elemen
neo-irreducible di p × .
Definisi 3.6 (Fletcher and Agargun, 1997: 402) Misalkan R merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan, dan T ⊆ R . a, b ∈ R dikatakan ass (T ) jika ∀y ∈ T , ya
yb ditulis a
T
b.
T
merupakan relasi ekuivalen yang mereduksi ke relasi biasa jika 1 ∈ T .
B.2
Definisi dan Contoh UFR terhadap Suatu Monomorfisma Ring Misalkan R ring komutatif, R′ suatu ring komutatif dengan elemen
kesatuan, dan θ : R → R′ suatu monomorfisma ring. Melalui embedding ring
38
diperoleh bahwa R dapat di embedded ke dalam ring R′ dengan R ≅ θ ( R ) , sehingga faktorisasi elemen-elemen di R dapat ditentukan melalui faktorisasi elemen-elemen dari θ ( R ) di R′ .
Berikut ini merupakan definisi faktorisasi tunggal ring terhadap suatu monomorfisma.
Definisi 3.7 (Fletcher and Agargun, 1997: 403) Misalkan R suatu ring komutatif, R′ suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, serta θ : R → R′ suatu monomorfisma dengan θ ( R ) merupakan ideal di R′ . R dikatakan suatu UFR terhadap θ : R → R′ jika
UFR 1 : Setiap non unit elemen θ ( a ) di R′ mempunyai U-Decomposition dalam neo-irreducible di R′ . UFR 2 : Jika θ ( a ) =
( p1′... pk′ )( p1... pn )
=
( q1′...ql′ )( q1...qm )
merupakan dua
U-Decomposition pada non unit elemen θ ( a ) ∈ θ ( R ) maka m = n dan pi
θ ( R)
qi untuk i = 1,..., n setelah pengindeksan kembali pada
q. Karena setiap hasil kali dari elemen-elemen neo-irreducible dapat dinyatakan ke dalam suatu U-Decomposition, maka sifat dari UFR 1 ekuivalen dengan setiap non unit elemen θ ( a ) di R′ dapat dinyatakan sebagai hasil kali elemen-elemen neo-irreducible di R′ .
39
Berikut akan diuraikan beberapa proposisi yang merupakan contoh dari faktorisasi tunggal ring terhadap suatu monomorfisma.
Proposisi 3.8 Misalkan p elemen prima di
maka p
merupakan suatu UFR
terhadap θ : p → p × , dengan θ ( pr ) = ( pr ,0 ) . Bukti: I. Pada bab sebelumnya telah dibuktikan bahwa p ×
dengan operasi biner
pada Proposisi 3.2 merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan ( 0,1) , dan θ : p a ( pr , 0 ) merupakan suatu monomorfisma dari p
ke p × .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa θ ( pr ) = ( pr , 0 ) ideal di p × . a) Akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa θ ( p i. θ ( p Karena
)
subring dari p ×
)≠∅ merupakan suatu ring, maka
ada elemen nol, 0 ∈ . Ambil r = 0 ∈
( pr , 0 ) = ( p.0
suatu grup abelian akibatnya sehingga ,
, 0) = ( 0 , 0) ∈ p × .
ii. Ambil sembarang ( pr1 , 0 ) , ( pr2 , 0 ) ∈ θ ( p
( pr1 , 0 )( pr2 ,0 ) = ( pr1 . pr2 +
)
0 . pr1 + 0 . pr2 , 0 )
= ( pr1 . pr2 , 0 ) = ( p ( pr1r2 ) , 0 ) = ( pr , 0 ) ∈ θ ( p
)
40
( pr1 , 0 ) − ( pr2 , 0 ) = ( pr1 + ( − pr2 ) , 0 ) = ( pr1 − pr2 , 0 ) = ( p ( r1 − r2 ) , 0 ) = ( pr , 0 ) ∈ θ ( p b) Akan ditunjukkan bahwa θ ( p
)
Ambil sembarang ( pr1 , 0 ) ∈ θ ( p
).
ideal di p × .
) dan ( pr2 , r3 ) ∈ p
×
( pr1 , 0 )( pr2 , r3 ) = ( pr1 . pr2 + r3 . pr1 + 0 . pr2 , 0 ) = ( p ( pr1r2 ) + p ( r3 r1 ) , 0 ) = ( pr , 0 ) ∈ θ ( p Karena p ×
).
bersifat komutatif, maka
( pr2 , r3 )( pr1 , 0 ) = ( pr1 , 0 )( pr2 , r3 ) = ( pr , 0 ) ∈θ ( p ) . II. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa p
merupakan suatu UFR terhadap
θ:p →p × . i. Setiap elemen tak unit
( pr , 0 )
dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition
dari elemen neo-irreducible. Berdasarkan Proposisi 3.5 faktor-faktor dari
( pr , 0 )
adalah
( ρ m 1, ±1) , ( 0, σ ) , dan ( ± p, 0 ) . Misalkan
pr = p k r1...rl s1...sm
merupakan faktorisasi prima dengan ri ≡ ±1( mod p ) dan sγ ≡/ ±1( mod p ) , maka
( pr , 0 ) = ( p, 0 ) ( r1 m 1, ±1) ... ( rl m 1, ±1) ... ( 0, s1 ) ... ( 0, sm ) . k
41
ii. Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan elemen neo-irreducible pada
U ( pr , 0 ) dengan r ≠ 0 adalah
{( − ρ ± 1, ρ )} , jika
( ρ1 m 1, ±1) ... ( ρ h m 1, ±1)(σ 1 − τ 1 ,τ 1 ) ... (σ k − τ k ,τ k ) ... ( 0, ± p )l . ( ( − ρ ± 1, ρ ) ...) m n ( ± p , 0 ) ( ±2 p , m p ) Merupakan suatu U-Decomposition pada ( pr , 0 ) , maka diperoleh pr = ρ1...ρ hσ 1...σ k ( ± p ) ( ± p ) l
m
(± p)
n
,
dengan ρi ≡ ±1( mod p ) dan σ i ≡/ ±1( mod p ) . Karena h dan k tunggal, begitu juga dengan l + m + n . Sehingga UFR 2 terpenuhi karena neoirreducible pada bagian ii, iii, dan iv pada Proposisi 3.5 berkorespondensi dengan h, k dan l + m + n dan merupakan ass (θ ( p Jika r = 0 .
( pr , 0 ) = ( 0, 0 )
)) .
maka U-Decomposition pada
( 0, 0 )
dinyatakan
sebagai
( 0, 0 ) = ( beberapa elemen irreducible dengan jumlah terbatas ) ( ( ± p, m p )( ± p, 0 ) ) . Sehingga, pada
{( ± p, m p )( ± p, 0 )}
setiap pasangan elemen-elemen pada
( ± p, m p )
dan setiap pasangan elemen-elemen pada
ass (θ ( p
)) .
Karena I dan II terpenuhi maka
θ:p →p × .
p
( ± p, 0 )
merupakan
merupakan suatu UFR terhadap
42
Proposisi 3.9 Misalkan n elemen bukan unit dan bukan prima di
maka n
bukan
suatu UFR terhadap θ : n → n × , dengan θ ( nr ) = ( nr ,0 ) . Bukti: Karena n ∈
merupakan suatu elemen bukan unit maka θ ( n ) = ( n,0 ) bukan
unit . Karena n ∈
bukan prima maka n komposit, misalkan n = n1n2 dengan
1 < n1 , n2 < n dan n1 , n2 ∈
sehingga ( n, 0 ) = ( n1 , 0 )( n2 , 0 ) .
Akan diselidiki bahwa ( n, 0 ) elemen neo-irreducible. Misalkan ∀ ( y, 0 ) ∈ n × ,
( y, 0 )( n, 0 ) = ( y, 0 )( n1 , 0 )( n2 , 0 ) . Karena n1 , n2 faktor dari n dengan 1 < n1 , n2 < n , maka n /| n1 dan n /| n2 . Sehingga ( n, 0 ) /| ( n1 , 0 ) dan ( n, 0 ) /| ( n2 , 0 ) . Akibatnya ( y, 0 )( n, 0 ) /| ( y,0 )( n1 , 0 ) ,
( y, 0 )( n, 0 ) /| ( y, 0 )( n2 , 0 ) ( y, 0 )( n, 0 ) / ( y, 0 )( n2 , 0 )
dengan kata lain
( y, 0 )( n, 0 ) / ( y, 0 )( n1 , 0 )
dan
sehingga ( n, 0 ) bukan elemen neo-irreducible. Karena
setiap faktorisasi pada ( n, 0 ) adalah ( ± n, 0 ) akibatnya UFR 1 tidak terpenuhi. Jadi, n
B.3
bukan suatu UFR terhadap θ : n → n × .
Keterkaitan antara UFR pada Ring Komutatif dengan Elemen Kesatuan dan UFR terhadap Suatu Monomorfisma Ring Berikut ini akan diuraikan suatu lemma yang menjelaskan keterkaitan
antara elemen irreducible dengan elemen neo-irreducible pada suatu UFR . Serta
43
keterkaitan elemen irreducible dengan elemen neo-irreducible pada suatu UFR terhadap 1: R → R . Lemma tersebut merupakan penunjang untuk membuktikan bahwa suatu
UFR ekuivalen dengan UFR terhadap 1: R → R . Lemma 3.10 Misalkan R suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan. i. Jika R suatu UFR maka setiap elemen irreducible di R merupakan elemen
neo-irreducible. ii. Jika R merupakan suatu UFR terhadap 1: R → R maka setiap elemen
irreducible di R merupakan elemen neo-irreducible.
Bukti: i. Misalkan R suatu UFR , akan ditunjukkan setiap elemen irreducible di R merupakan elemen neo-irreducible. Ambil sembarang q ∈ R dengan q merupakan elemen irreducible . Sehingga
q dapat dinyatakan sebagai
q = a1...an , dengan ai merupakan faktor dari q untuk 1 ≤ i ≤ n . Misalkan ∀ y ∈ R berlaku
yq = ya1...an Akan ditunjukkan bahwa yq i.
...(1)
yai untuk suatu i , artinya yai yq dan yq yai .
Akan ditunjukkan yai yq . Untuk y ∈ R, y ≠ 0. Karena ai merupakan faktor dari q untuk suatu i , maka ai q sehingga yai yq .
44
Untuk y ∈ R, y = 0. Karena ai merupakan faktor dari q untuk suatu i , maka ai q untuk y = 0 diperoleh 0 . ai 0 . q = 0 0 artinya 0 = 0 . k , untuk setiap k ∈
.
ii. Akan ditunjukkan yq yai . a) Jika y merupakan nol atau unit . Karena y = 0 dan yq = ya1...an maka 0q = 0a1...an = 0 , sehingga diperoleh
0 0 , untuk setiap k ∈ . b) Jika y bukan nol dan bukan unit . Karena y ∈ R dengan y bukan elemen nol dan bukan elemen unit maka y dapat dinyatakan sebagai dekomposisi dari elemen-elemen irreducible , tulis y = y1... ys . Karena q merupakan elemen irreducible . Misalkan q ∈ U ( y1... ys ) akibatnya ∃ α ∈ R sehingga y1... ys = qα y1... ys , karena
y = y1... ys
maka
dapat
ditulis
y = qα y
dan
∀ai ∈ R ,
yai = yq (α ai ) . Dengan kata lain yq yai . Misalkan q ∉ U ( y1... ys ) , dalam hal ini melibatkan U-Decomposition. Tulis kedua sisi pada persamaaan (1) sebagai suatu U-Decomposition
( yt +1... ys )( y1... yt q ) = ( y j ... p j ...) ( yi ... pi ...) , dengan p merupakan faktor irreducible dari elemen- elemen a . Karena R suatu UFR , maka q
yi atau q
pi .
45
Misalkan
q
pi , maka pi = q β dan ai = q β ' sehingga yai = yq β ' ,
dengan kata lain yq yai . Misalkan q
yi , dalam hal ini dibagi dalam dua kasus.
Untuk t + 1 ≤ i ≤ s , maka yi ∈ U ( y1... yt q ) akibatnya ∃ γ ∈ R sehingga diperoleh y1... yt q = yiγ y1... yt q . Karena q
yi maka yi = qδ dan
y1... yt yi = y1... yt yiγδ q
y = yγδ q . Sehingga , yai = yq ( γδ ai ) dengan kata lain yq yai . Untuk 1 ≤ i ≤ t , maka
( yt +1... ys )( y1... yi ... yt q ) = ( y j ... p j ...) ( yi ... pi ...)
yi yang kedua dapat dipasangkan dengan q yang associate dengan suatu yk , dan proses diulang. Sehingga diperoleh q merupakan elemen neoirreducible. ii. Misalkan R suatu UFR terhadap 1: R → R , akan ditunjukkan bahwa setiap elemen irreducible di R merupakan elemen neo-irreducible. Ambil sembarang q ∈ R dengan q merupakan elemen irreducible . sehingga q dapat dinyatakan sebagai q = a1...an , dengan ai merupakan faktor dari q
untuk 1 ≤ i ≤ n . Misalkan ∀ y ∈ R berlaku yq = ya1...an
Akan ditunjukkan bahwa yq
... ( 2 )
yai untuk suatu i , artinya yai yq dan yq yai .
46
i. Akan ditunjukkan yai yq . Untuk y ∈ R dan y ≠ 0. Karena ai merupakan faktor dari q untuk suatu i , maka ai q sehingga yai yq . Untuk y ∈ R dan y = 0. Karena ai merupakan faktor dari q untuk suatu i , maka ai q untuk y = 0 diperoleh 0. ai 0 . q = 0 0 artinya 0 = 0 . k untuk setiap k ∈
.
ii. Akan ditunjukkan yq ya i Misalkan
y1... ys .q1...qk = y j ... ys . pi ...
... ( 3)
Merupakan hasil kali dari elemen neo-irreducible pada UFR terhadap 1: R → R , dengan pi merupakan faktor neo-irreducible pada ai . Karena q irreducible di R maka q1 = qσ , dan q2 ...qk ∈ U ( q1 ) . Misalkan q1 ∈ U ( y1... ys ) maka ∃ α ∈ R sehingga y1... ys = q1α y1... ys , karena y1... ys = y maka y = q1α y = yqσα dan yai = yq (σα ai ) . Dengan kata lain yq yai . Misalkan q1 ∉ U ( y1... ys ) maka U-Decomposition akan berbentuk
( yt +1... ys q2 ...qk )( y1... yi ... yt q1 ) = ( y j ... p j ...) ( yi ... pi ...) untuk proses pembuktian selanjutnya, sama seperti pada proses pembuktian sebelumnya pada bagian i. Jadi, diperoleh bahwa q merupakan elemen neo-irreducible.
47
Teorema 3.11 Misalkan R merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan, R suatu UFR jika dan hanya jika R merupakan suatu UFR terhadap 1: R → R .
Bukti:
(⇒)
Jika R suatu UFR maka R suatu UFR terhadap 1: R → R .
i. Misalkan R suatu UFR , maka setiap elemen bukan unit pada R dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition dari elemen-elemen irreducible . Karena setiap elemen irreducible pada R merupakan elemen neo-irreducible (berdasarkan Lemma 3.10) maka elemen bukan unit pada R dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition dari elemen neo-irreducible. ii. Misalkan
( p1′... pk′ )( p1... pn )
=
( q1′...ql′ )( q1...qm )
dua U-Decomposition dari
elemen-elemen neo-irreducible, maka berdasarkan Lemma 3.10 diperoleh U-
Decomposition dari elemen-elemen irreducible . Karena R suatu UFR , maka setelah pengindeksan kembali pi
R ⊆ R maka diperoleh pi
qi untuk i, dengan i = 1...n , dan karena
qi adalah ass ( R ).
Karena i dan ii terpenuhi maka R suatu UFR terhadap 1: R → R .
( ⇐)
Jika R suatu UFR terhadap 1: R → R maka R suatu UFR .
i. Misalkan R suatu UFR terhadap 1: R → R , maka setiap elemen bukan unit pada R dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition dari elemen-elemen neoirreducible. Karena setiap elemen neo-irreducible pada R merupakan elemen irreducible (berdasarkan Lemma 3.10) maka elemen bukan unit pada R dapat dinyatakan sebagai U-Decomposition dari elemen-elemen irreducible .
48
ii. Misalkan
( p1′... pk′ )( p1... pn )
=
( q1′...ql′ )( q1...qm )
dua U-Decomposition dari
elemen-elemen irreducible , maka berdasarkan Lemma 3.10 diperoleh UDecomposition dari elemen-elemen neo-irreducible. Karena R suatu UFR
terhadap 1: R → R , maka setelah pengindeksan kembali pi dengan i = 1...n . Karena i dan ii terpenuhi maka R suatu UFR .
qi untuk suatu i,
