JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 20 - 30, April 2004, ISSN : 1410-8518
INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN (THE MOORE PENROSE INVERSE OF MATRICES OVER COMMUTATIVE RING WITH UNITY) Titi Udjiani SRRM Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang Abstrak Jika A adalah matriks dengan elemen Ring komutatif dengan elemen satuan yang berukuran mxn maka matriks invers
dari A yang disebut dengan
matriks invers Moore Penrose dari A ditulis G(A) dapat diperoleh dengan memenuhi syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A Kata Kunci : invers matrik, ring komutatif
1.
PENDAHULUAN Sudah diketahui bahwa invers matriks bujur sangkar dengan determinan0
dapat diperoleh dengan menggunakan pertolongan matriks adjoint Pengertian matriks invers dari matriks berukuran mxn dengan elemen bilangan riil yang sekarang dikenal dengan sebutan matriks inverse Moore Penrose (Moore E. H., 1920 ). Tulisan ini membahas penentuan matriks invers Moore Penrose G(A) dari matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan A dan menentukan syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A.
2.
MATRIKS INVERS MOORE PENROSE Dalam tulisan ini, R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan
dengan involusi ... . Involusi ... adalah pemetaan a R a R sedemikian sehingga untuk setiap a, b R berlaku : (1) a b a b ; (2) a b a . b ; (3) a a
Selanjutnya MR adalah himpunan matriks atas ring R dengan involusi : (aij) (aij)* = (a ji ) , sedemikian sehingga berlaku : 21
INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING … (Titi Udjiani SRRM)
(i) (A + B)*
= A* + B*
(ii) (AB)*
= B*A*
(iii) A**
= A
dengan ukuran matriks A dan B memenuhi kondisi di atas.
Definisi 1 (R.B.Bapat,1992) Suatu matriks A MR dikatakan mempunyai invers Moore Penrose di MR jika terdapat matriks A+ MR sedemikian sehingga : (i) AA+A = A ; (ii) A+AA+ = A+ ; (iii) (AA+)* = AA+ ; (iv) (A+A)* = A+A Jika A+ ada maka tunggal dan disebut invers Moore Penrose dari A. Teorema 2(R.B.Bapat,1992) Diketahui A MR. Pernyataan di bawah ini berlaku untuk setiap invers Moore Penrose dari A a. (A++) = A b. (A*)+ = (A+)* c. (AA*)+ = (A+)* A+ dan (A*A)+ = A+(A*)+ d. AA+, A+A, I- AA+, I- A+A adalah hermit dan idempoten. Notasi: A MR yang berukuran m x n Qr, m adalah himpunan dari himpunan bagian berurutan α = (α1,α2, … αr) dengan 1 ≤ α1 < α2 < … < αr ≤ m Qr, n adalah himpunan dari himpunan bagian berurutan β = (β1, β2, … βr) dengan 1 ≤ β 1 < β2 < … < β r ≤ n
A βα adalah sub matriks A yang ditentukan oleh baris sesuai dengan α dan kolom sesuai dengan β. Jika α = (α1,α2, … αm) maka A βα cukup ditulis Aβ . Jika β = (β1, β2, … βn) maka A βα cukup ditulis Aα. A = (aji) MR yang berukuran m x n α = (α1,α2, … αr) Qr, m dan 1 ≤ j ≤ m, j α artinya terdapat indeks t sedemikian sehingga j = at untuk suatu indeks t atau t = j(α a) 22
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 20 - 30, April 2004, ISSN : 1410-8518 Demikian juga β = (β1, β2, … βr) Qr, n dan 1 ≤ i ≤ n, i β artinya terdapat indeks s sedemikian sehingga i = βs atau s = i(β) Jika j α dan i β maka kofaktor elemen aij submatriks A βα dari A(m x n) α
adalah (-1)j(α)+i(β) det A βij dengan αj Qr-1, mengabaikan baris ke j dan βi Qr-1,
berisi elemen-elemen α dengan
m
m
berisi elemen-elemen β dengan
mengabaikan kolom ke i. α
Selanjutnya jika j α dan 1 ≤ k ≤ m didefinisikan A β (jk) adalah matriks berukuran r x r yang sama dengan matriks A βα , kecuali pada elemen ajβ, dari baris j(α) diganti secara bersesuaian dengan elemen-elemen akβ.
Teorema 3 (R.B.Bapat,1992) Jika A = (aji) MR dengan rank r, α = (α1, α2, …, αr) Qr, m β = (β1, β2, …, βr) Qr, n, j α, 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ h ≤ n maka 1. Det A β (jk) =
(-1)
2. a kh det A =
a
α
j(α( i(β(
i β
j
α
a kidet Aβ ij
jh
det A ( j k ) .
Bukti : (1) Dengan menggunakan ekspansi baris ke k α
r
det A β (jk) =
(1) s 1
j( )s
α
a kβs det Aββsj =
(1)
j( )i (β )
iβ
α
a ki det Aβij
(2) Diambil A (( ,,kh)) adalah matriks berukuran (r + 1) x (r + 1) yang dibangun oleh baris-baris (1, 2, … , r, k) dan kolom-kolom (1, 2, … , r, h) dari A. Karena rank A = r maka semua minor yang berukuran (r + 1) x (r + 1) bernilai nol. Akibatnya A (( ,,kh)) = 0. Dengan menggunakan ekspansi kolom terakhir diperoleh : r
0=
(1) t 1
t ( r 1)
( ,k )
at ,h det A t
(1) ( r 1)( r 1) akh det A
23
INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING … (Titi Udjiani SRRM)
a kh det A =
r
(1)
t r
t 1
=
( ,k )
a t ,h det A t
(1)
j ( ) r
j
(1)
=
j ( ) r
j
( j ,k )
a jh det A
a
a jh (1) r j ( ) det A ( j k ) =
j
jh
det A ( j k )
(Terbukti)
Teorema 4 (R.B.Bapat,1992) Diketahui A MR (mxn) dengan rank r. Jika u(A) =
det A det A Qr , m Qr , n
mempunyai invers Moore Penrose u(A)+ di R dan gij
(1)
j ( )i ( )
Qr , m Qr , n j i
u(A)+
=
det A det Ai j . Maka G(A) = (gij(A)) adalah invers Moore
Penrose dari A jika dan hanya jika u(A) u(A)+A = A. Bukti : Selanjutnya untuk menyederhanakan penulisan
ditulis dengan
Qr , m
(1). (A G(A))kj
.
j j ( )i ( ) det A det Ai = aki g ij = aki u ( A) (1) i 1 i 1 j i n
n
n
= u ( A) det A (1) j ( )i ( ) aki det Ai j
j
i
= u ( A) det A det A j k
j
Jika j = k, det A j k = det A
sehingga (A G(A))jj = u ( A) det A det A
j
= A G(A) jj
Jika j k dan k , maka terdapat dua baris yang sama sehingga det A j j 0 Jika j k dan k , jk Qr,m adalah elemen-elemen dari dengan mengganti j dengan k.
24
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 20 - 30, April 2004, ISSN : 1410-8518
j ( ) k ( jk )
det A j k (1)
det A jk
jika = jk maka = kj.
AG(A)
kj
det A det A
( j k )
= u(A)+
j k
= u(A)+
(1)
j(α( k(α jk )
α
detAβα detAβ jk
α β jα kα
= u(A)+
(1)
j(γ kj ) k(γ(
γ
det A βkj det A βγ
γ β kγ jγ
= u(A)+
det A
γ β
γ
det Aβ(k j) = (A G(A))jk
γ β kγ jγ
Sampai di sini terbukti bahwa (A G(A))* = A G(A). m
(ii)(G(A) A)ih =
G a j 1
i
jh
m
=
u(A) (1)
j1
= u(A)+
α β jα iβ
α
det Aβα det Aβij a jh
det A (1) α β
α
= u(A)+
j(α(i(β(
β iβ
j ( )i ( )
a jh det Ai j
j jα
det A det A
( j h )
i
Jika i = h;
det A( j h ) = det A sehingga (G(A) A)ii = u(A)+
det A det A i
= u(A)+ u(A) = G(A)A ii Jika ih, h maka terdapat dua kolom yang sama sehingga det Aβα(ih) 0 Jika ih, h. ih Qr,m adalah elemen-elemen dari dengan mengganti i dengan h. Jika = ih maka = hi. 25
INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING … (Titi Udjiani SRRM)
G(A)A
ih
det A det A
= u(A)+
( i h )
β iβ hβ
= u(A)+
(1)
i ( ) h ( ih )
det A det Aih
(1)
i ( hi ) h ( )
det Ahi det A
β iβ hβ
= u(A)+
h i
= u(A)+
det A det A
= (G(A) A)ih
( i h )
h i
Terbukti (G(A) A)* = G(A) A m
(iii) (A G(A) A)
=
(A G(A))
ih
h 1
=
a hj
u(A) det A
α β
α
det Aβ (hi) a hj
α β hα
h
= u(A) det Aβα a hj det Aβ (hi) α
α
β
h hα
= u(A) det Aβα a ij det Aβα α
β
= u(A) ( det Aβα det Aβα ) a ij = u(A)+ u(A) aij. α
A G(A) A
β
= u(A)+ u(A) A = u(A) u(A)+ A = A n
(iv) (G(A) A G(A))ij =
m
g h 1 k 1
=
ik
a khg hj
u(A) (1)
k α i β
h
k
α β kα iβ
det Aβα det Aβαik x
γj j γ h δ γ det A δ det A δh akh x u(A) (1) γ δ jγ hδ
26
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 20 - 30, April 2004, ISSN : 1410-8518
= u ( A)
(1) 2
α
β γ iβ jγ
i β j γ
δ
det A det Aβ
α β
γ (1) k α h δ det Aβαik a kh det A δhj hδ kα
= u ( A)
(1) 2
α
β γ iβ jγ
i β j γ
δ
det A det A β
α
γ (1) k α h δ det A αδhk a kh det Aβij hδ kα
= u(A)
(1) β γ iβ jγ
i β j γ
det A det A γ β
γj βi
u ( A) (1) k α h δ a khdet A αδhk det A αδ α δ hδ kα
= u(A)+ u(A) gij = gij G(A) A G(A) = G(A) Dari (i),(ii),(iii) dan (iv) terbukti bahwa G(A) adalah invers Moore Penrose dari A. karena A G(A) A = u(A) u(A)+A; G(A) A G(A) = G(A); (A G(A))* = A G(A); (G(A) A)* = G(A) A maka A+ = G(A) jika dan hanya jika u(A) u(A)+A = A (terbukti).
Contoh :
2 2 2 4 Diberikan A = 2 0 2 0 M Z5 dengan rank r = 3. 3 4 3 1
27
INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING … (Titi Udjiani SRRM)
Akan ditentukan matriks invers Moore Penrose G(A) dari A.
2 2 2 j = 1, 2, 3 ; i = 1, 2, 3 ; det A = det 2 0 2 = 0 3 4 3 α β
2 2 4 j = 1, 2, 3 ; i = 1, 2, 4 ; det A = det 2 0 0 = 3 3 4 1 α β
2 2 4 j = 1, 2, 3 ; i = 1, 3, 4 ; det A = det 2 2 0 = 0 3 3 1 α β
2 2 4 j = 1, 2, 3 ; i = 2, 3, 4 ; det Aβα = det 0 2 0 = 2 4 3 1 u(A)+ = 2
u(A) = 0.0 + 3.3 + 0.0 + 2.2 = 3; g11 = 2 { (-1)1+1.0.
0 2 4 3
+ (-1)1+1.3.
0 0 4 1
+ (-1)1+1.0.
2 0 3 1
}=0
Dengan cara sama diperoleh g12 = 4 ; g13 = 0 ; g21 = 1 ; g22 = 0 ; g23 = 1 ; g31 = 0
; g32 = 4 ; g33 = 0 ; g41 = 1 ; g42
0 1 = 1 ;g43 = 2. Sehingga G(A) = 0 1
4 0 0 1 . 4 0 1 2
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa G(A) adalah invers Moore Penrose dari A.
(i) A G(A) A
0 2 2 2 4 1 = 2 0 2 0 0 3 4 3 1 1
4 0 2 2 2 4 0 1 2 0 2 0 4 0 3 4 3 1 1 2
2 2 2 4 = 2 0 2 0 = A 3 4 3 1
28
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 20 - 30, April 2004, ISSN : 1410-8518
0 1 (ii) G(A) A G(A) = 0 1
4 0 0 2 2 2 4 0 1 1 2 0 2 0 0 4 0 3 4 3 1 1 2 1
(iii) (A G(A))
1 0 0 = 0 1 0 = A G(A) 0 0 1
(iv) (G(A) A)
3 0 = 3 0
4 0 0 1 0 1 = 0 4 0 1 2 1
4 0 0 1 = G(A) 4 0 1 2
0 3 0 1 0 0 = G(A) A 0 3 0 0 0 1
Dari (i), (ii), (iii) dan (iv) terbukti A+ = G(A). Selanjutnya u(A) u(A)+A = 3.2.A = A Dalam hal ini u(A) u(A)+ = e(A) disebut Moore indempotent dari A.
3.
KESIMPULAN Jika A adalah matriks berukuran m x n atas ring komutatif dengan elemen
satuan dan rank A = r, maka matriks invers Moore Penrose dari A adalah G(A) = (gij(A)) dengan gij
= = u(A)+
(-1)
j( ) i( )
Qr, m Qr, n j i
u(A) =
det A det A
det A det A ij dan
mempunyai invers Moore Penrose u(A)+ di R.
Qr , m Qr , n
Syarat perlu dan cukup agar G(A) merupakan invers Moore Penrose dari A adalah u(A) u(A)+ A = A.
29
INVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING … (Titi Udjiani SRRM)
DAFTAR PUSTAKA : F.R. Gantmacher , 1960, The Theory of Matrices, Chealsea Publishing Company, New York. Jin Ho Kwak, Sung pyo Hong,1997,Linear Algebra, Birkhauser,Boston. John B Fraeleigh, 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison Wesley Publishing Company Inc, United States. R.B. Bapat, Donald W. Robinson, 1992, The Moore Penrose Inverse over a commutative Ring, Elsevier Science Publishing Co.,Inc.,New York. R.B.Bapat, K.P.S. Bhaskara Rao and K.Manjunatha Prasad, 1990, Generalized Inverses Over Integral Domain, Elsevier Science Publishing Co.,Inc.,New York.. William C.Brown, 1993, Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker Inc., New York.
30
