KAJIAN SIFAT – SIFAT GRAF PEMBAGI-NOL DARI RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN STUDY OF PROPERTIES OFZERO-DIVISOR GRAPH OF A COMMUTATIVE RING WITH UNITY
Satrio Adi Wicaksono (1209 100 069) Pembimbing: Soleha, S.Si, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2013
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Abstrak perkembangan teori graf memang sangat menarik perhatian para ilmuan, khususnya para pakar aljabar. Dalam teori aljabar konsep ring komutatif merupakan pondasi dalam mengimplementasikan graf ke bentuk aljabar atau sebaliknya. Dalam tugas akhir ini, dibahas graf pembagi-nol, yaitu graf yang simpul - simpulnya ditentukan dari anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif dan sisi - sisinya merupakan relasi pembagi-nol. Pembahasan ini penting untuk mengetahui hubungan antara graf dengan aljabar, khususnya ring, yaitu dengan menyelidiki sifat - sifat graf yang dihasilkan dari suatu bentuk ring. Sifat yang dibahas antara lain; keberhinggaan, keterhubungan, graf bintang, dan graf lengkap. Kata Kunci: Graf Bintang, Graf Lengkap, Ideal, Pembagi-nol, Ring Komutatif
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Latar Belakang Tahun 1988 Istvan Beck memperkenalkan konsep graf pembagi-nol dalam jurnalnya, “Coloring of Commutative Rings”
Penelitian beck dilanjutkan oleh Anderson dan Naseer pada tahun 1993 dan menghasilkan daftar ring berhingga dengan bilangan kromatik maksimal adalah 4 Anderson bersama dengan Livingston menyempurnakan definisi graf pembagi-nol dari penelitian sebelumnya dalam jurnalnya, “The ZeroDivisor Graph of a Commutative Ring”
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Rumusan dan Batasan Masalah Rumusan Masalah Permasalahan yang akan dikaji dalam Tugas Akhir ini antara lain: 1. Bagaimana sifat sifat graf pembagi-nol Γ(𝑅𝑅). 2. Apa saja syarat yang diperlukan ring agar graf pembagi-nolnya termasuk kategori sebuah graf lengkap atau graf bintang. Batasan Masalah Permasalahan dalam Tugas Akhir ini terbatas pada Ring 𝑅𝑅 yang bukan merupakan suatu daerah integral.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Tujuan dan Manfaat Tujuan Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini antara lain: 1. Mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol Γ(𝑅𝑅). 2. Menentukan syarat syarat yang diperlukan suatu graf pembagi-nol agar termasuk dalam graf lengkap atau graf bintang Manfaat Penulisan Tugas Akhir ini bermanfaat dalam hal hal berikut ini: 1. Memberikan pengetahuan mengenai graf khususnya graf pembagi-nol beserta sifat sifatnya. 2. Sebagai referensi penelitian selanjutnya baik dibidang aljabar-graf maupun dibidang lainnya yang terkait.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Ring Sebuah ring adalah himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian biner dengan syarat: Grup Abelian terhadap operasi penjumlahan. 1. 2. Assosiatif terhadap perkalian. 3. Distributif terhadap perkalian dan penjumlahan Sebuah ring yang dinotasikan dengan 𝑅𝑅 dikatakan komutatif jika ∀ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 maka 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 . Pembagi nol dalam sebuah ring 𝑅𝑅 , yang dinotasikan dengan 𝑍𝑍(𝑅𝑅), adalah elemen dalam 𝑅𝑅 yang membagi nol, artinya ∃𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅 sehingga 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Ring Sebuah subset tak nol 𝐼𝐼 dari ring 𝑅𝑅 dikatakan ideal kanan dari 𝑅𝑅 jika: o 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 ⇒ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 o 𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼, 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼 Dan dikatakan ideal kiri dari 𝑅𝑅 jika: o 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 ⇒ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 o 𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼, 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ 𝑟𝑟𝑟𝑟 ∈ 𝐼𝐼 Jika memenuhi keduanya baik ideal kiri maupun ideal kanan, maka dikatakan 𝐼𝐼 adalah ideal dari 𝑅𝑅.
Suatu ideal 𝑀𝑀 dari ring 𝑅𝑅, 𝑀𝑀 ⊆ 𝑅𝑅, dikatakan ideal maksimal jika terdapat ideal 𝐼𝐼 sedemikian hingga 𝑀𝑀 ⊆ 𝐼𝐼, maka 𝐼𝐼 = 𝑀𝑀 atau 𝐼𝐼 = 𝑅𝑅. Misalkan 𝐴𝐴 adalah suatu ideal pada ring 𝑅𝑅. Himpunan dari semua anggota ring, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, sedemikian hingga 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 disebut sebagai ideal penghilang dari 𝐴𝐴 dinotasikan dengan 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴).
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Definisi 2.2.1 [4] Sebuah graf 𝐺𝐺 adalah pasangan dari himpunan (𝑉𝑉, 𝐸𝐸), dimana 𝑉𝑉 adalah himpunan simpul yang tak kosong, sedangkan 𝐸𝐸 adalah himpunan sisi yang mungkin merupakan himpunan kosong.
Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop ataupun sisi ganda dan ditentukan oleh himpunan simpul dan himpunan sisi. Girth dari suatu graf 𝐺𝐺 dinotasikan 𝑔𝑔(𝐺𝐺) adalah panjang sikel terpendek dari graf 𝐺𝐺. Diameter dari suatu graf 𝐺𝐺 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐺𝐺) adalah jarak terpanjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan setiap titik pada graf tersebut. Preposisi 2.2.3 [5] setiap graf 𝐺𝐺 yang memiliki suatu sikel memenuhi 𝑔𝑔(𝐺𝐺 ) ≤ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐺𝐺 ) + 1
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Graf lengkap adalah sebuah graf sederhana yang setiap simpulnya terhubung dengan simpul yang lain. Graf lengkap dinotasikan 𝐾𝐾𝑛𝑛 , sedangkan graf lengkap bipartite adalah graf bipartite sederhana yang kedua simpulnya terhubung jika dan hanya jika keduanya berada pada himpunan partisi yang berbeda.
Gambar 1 Graf 𝐾𝐾6
Gambar 2 Graf 𝐾𝐾2,3
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Sebuah graf disebut graf bintang jika hanya ada satu simpul yang terhubung dengan s etiap simpul lainya, sedangkan simpul yang lain hanya terhubung dengan simpul tersebut. Graf bintang dinotasikan dengan 𝑆𝑆𝑘𝑘 dimana 𝑘𝑘 adalah banyaknya simpul yang mengellilingi simpul pusat.
Gambar 3 Graf 𝑆𝑆4
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol dari Ring Komutatif Diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan pembagi-nol nya adalah 𝑍𝑍(𝑅𝑅). Sebuah graf pembagi nol, Γ(𝑅𝑅) adalah graf sederhana dengan simpul simpulnya adalah anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif tersebut. Kedua simpul misalkan 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 dikatakan terhubung jika dan hanya jika 𝑥𝑥. 𝑦𝑦 = 0 dimana 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≠ 0 Dalam sebuah kasus misalnya, himpunan bilangan bulat modulo empat (ℤ4 ) dengan anggotanya {0, 1, 2, 3}, jika digambar dalam sebuah graf pembagi-nol adalah berupa sebuah titik. contoh lain, misalkan bilangan bulat modulo tiga (ℤ3 ) yang beranggotakan {0, 1, 2}, graf yang dihasilkan dari ring tersebu adalah graf kosong.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Graf Pembagi-nol dari Ring Komutatif
Gambar 3 Γ(𝑍𝑍3 × 𝑍𝑍4 )
Gambar 5 Γ(𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍6 )
Gambar 4 Γ(𝑍𝑍10 )
Daftar Pustaka
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Studi literatur Mengkaji keterhubungan graf pembagi-nol Mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol Mengkonstruksi model Ring Komutatif Penarikan Kesimpulan
Penutup
Daftar Pustaka
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Keterhubungan Graf Pembagi-nol · Setiap ring memiliki jumlah elemen pembagi-nol yang berbeda. · setiap ring komutatif yang hanya memiliki 𝑛𝑛 pembagi-nol tak nol adalah berhingga dan memiliki elemen yang tidak lebih dari (𝑛𝑛 + 1)2
Theorema 4.1.2 diberikan suatu Ring komutatif 𝑅𝑅 . Graf berhingga jika dan hanya jika 𝑅𝑅 berhingga.
Γ(𝑅𝑅) adalah
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk setiap dua simpul yang berbeda terdapat suatu lintasan yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Gambar 6
Gambar 7
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Keterhubungan Graf Pembagi-nol misalkan 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)∗ untuk 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 yang berbeda. 1. 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2. 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 ≠ 0, untuk 𝑥𝑥 2 = 0 dan 𝑦𝑦 2 = 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 untuk 𝑥𝑥 2 ≠ 0 dan 𝑦𝑦 2 = 0, terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)∗ − {𝑥𝑥, 𝑦𝑦} dengan 𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑎 = 0 jika 𝑎𝑎 ∙ 𝑦𝑦 = 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 𝑦𝑦, jika 𝑎𝑎 ∙ 𝑦𝑦 ≠ 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 untuk 𝑥𝑥 2 ≠ 0 dan 𝑦𝑦 2 ≠ 0, terdapat 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)∗ − {𝑥𝑥, 𝑦𝑦} dimana 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥 = 0 dan 𝑏𝑏 ∙ 𝑦𝑦 = 0, jika 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 , maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 atau 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 − 𝑦𝑦 , jika 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 , untuk 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 0 , maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑦𝑦, sedangkan untuk 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ≠ 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 Theorema 4.2.1 diberikan ring komutatif 𝑅𝑅, maka Γ(𝑅𝑅) terhubung dengan diameter yang tidak lebih dari tiga (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�Γ(𝑅𝑅)� ≤ 3)
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Keterhubungan Graf Pembagi-nol Berdasarkan theorema 4.2.1 bahwa jika graf terhubung Γ(𝑅𝑅) memiliki suatu sikel, maka menurut preposisi 2.2.3, graf Γ(𝑅𝑅) memiliki girth, 𝑔𝑔�Γ(R)� ≤ 7.
Selanjutnya jika 𝑅𝑅 adalah ring artinian, maka 𝑅𝑅 adalah finite direct product dari ring local artinian [7, Theorem 8.7] yang memiliki ideal maksimal 𝑀𝑀, maka 𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) dengan 𝑥𝑥 ∈ 𝑀𝑀∗ . Γ(𝑅𝑅) memiliki sikel, terdapat 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑀𝑀∗ − {𝑥𝑥} · 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧 = 0 , maka 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 , akibatnya 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� = 3 . 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧 ≠ 0 , Γ(𝑅𝑅) tidak memiliki sikel. · 𝑅𝑅 ≅ 𝑅𝑅1 × 𝑅𝑅2 , |𝑅𝑅1 | = |𝑅𝑅2 | ≥ 3 , terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 1 − {0, 1} dan 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅2 − {0, 1}, sehingga (0, 1) − (1, 0) − (0, 𝑏𝑏) − (𝑎𝑎, 0) − (0, 1), 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅 )� = 4. |𝑍𝑍(𝑅𝑅2 )| ≥ 2 , terdapat 𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 ∈ 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏1 ∙ 𝑏𝑏2 = 0 , sehingga (1, 0) − (0, 𝑏𝑏1 ) − (0, 𝑏𝑏2 ) − (1, 0), 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� = 3
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Keterhubungan Graf Pembagi-nol Theorema 4.2.2 diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif artinian. Jika Γ(𝑅𝑅) memiliki sikel, maka 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� ≤ 4
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Bintang ciri utama graf bintang adalah adanya simpul pusat, yaitu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya. Berikut adalah theorema yang menunjukan bentuk ring yang menghasilkan graf yang mempunyai suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya. Theorema 4.3.1 diberikan suatu ring komutatif 𝑅𝑅. Γ(𝑅𝑅) memiliki suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐴𝐴, dimana 𝐴𝐴 adalah Integral Domain, atau 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal penghilang
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Bintang Berdasarkan [8, hal.3] bahwa 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah gabungan dari ideal prima. 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal prima jika dan hanya jika ideal. Jika 𝑅𝑅 adalah ring noetherian, maka 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal penghilang jika dan hanya jika ideal prima [8, theorema 6 dan 82]. Ingat bahwa {0} adalah ideal prima jika dan hanya jika 𝑍𝑍(𝑅𝑅) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑅𝑅). jika dim 𝑅𝑅 = 0 , maka 𝑍𝑍(𝑅𝑅) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑅𝑅) jika dan hanya jika 𝑍𝑍(𝑅𝑅) ideal prima dari 𝑅𝑅 . Jika 𝑅𝑅 berhingga, pernyataan tersebut ekuivalen terhadap 𝑅𝑅 ring local.
Akibat 4.3.2 diberikan 𝑅𝑅 ring komutatif berhingga. Terdapat suatu simpul dalam 𝛤𝛤(𝑅𝑅) yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹, dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga atau 𝑅𝑅 adalah ring local.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Bintang Lemma 4.3.3 diberikan 𝑅𝑅, ring komutatif berhingga. Jika Γ(𝑅𝑅) memiliki tepat satu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya dan tidak ada lagi simpul lain yang berhubungan, maka 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹 , dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga dengan |𝐹𝐹 | ≥ 3, atau 𝑅𝑅 adalah ring local dengan ideal maksimanya 𝑀𝑀 memenuhi 𝑅𝑅/𝑀𝑀 ≅ 𝑍𝑍2 , 𝑀𝑀3 = 0 , dan |𝑀𝑀2 | ≤ 2 , sehingga |Γ(𝑅𝑅)| adalah 𝑝𝑝𝑛𝑛 atau 2𝑛𝑛 − 1 , untuk bilangan prima 𝑝𝑝 dan integer 𝑛𝑛 ≥ 1
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Bintang Theorema 4.3.4 diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif berhingga dengan |Γ(𝑅𝑅)| ≥ 4. Γ(𝑅𝑅) adalah graf bintang jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹, dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga. Bukti. Misalkan 𝑅𝑅 ≇ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹, dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga, maka berdasarkan akibat 4.3.2 dan lemma 4.3.3, 𝑅𝑅 adalah ring lokal dengan ideal maksimal 𝑀𝑀 . Karena 𝑀𝑀 adalah 2-grup dan |Γ(𝑅𝑅)| ≥ 4 , maka |𝑀𝑀| = 2𝑘𝑘 , untuk 𝑘𝑘 ≥ 3, dan �𝑀𝑀𝑘𝑘 � = 2. Diberikan 𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑥𝑥) , ambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 ∈ 𝑀𝑀∗ − {𝑥𝑥} yang berbeda. karena 𝑀𝑀2 = {0, 𝑥𝑥}, maka 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 dan tidak ada relasi pembagi-nol lainya, sehingga 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 Sehingga 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑, hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 adalah berbeda. Maka haruslah 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹 , dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Lengkap Γ(𝑅𝑅) adalah graf lengkap jika 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅), dengan kata lain setiap anggota dari pembagi-nol 𝑍𝑍(𝑅𝑅) selalu terhubung dengan diameter satu. Theorema berikut menjelaskan bentuk ring yang dapat di implementasikan dalam graf Γ(𝑅𝑅) yang lengkap. Theorema 4.4.1 diberikan ring komutatif 𝑅𝑅. Γ(𝑅𝑅) adalah graf lengkap jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 atau 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Lengkap Jika dalam suatu 𝑍𝑍(𝑅𝑅) setiap elemen selalu terhubung dengan setiap elemen yang lain dan 𝑅𝑅 ≇ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 , maka 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal dari 𝑅𝑅 dengan 𝑍𝑍(𝑅𝑅 )2 = 0. Oleh karena itu 𝑍𝑍 (𝑅𝑅) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑅𝑅) adalah ideal prima dari 𝑅𝑅 . Selain itu, karena elemen elemennya saling terhubung, maka elemen dari 𝑍𝑍(𝑅𝑅) mungkin dibangun oleh satu elemen, misalkan 𝑎𝑎 , selanjutnya 𝑎𝑎 adalah satu satunya maksimal ideal dari 𝑅𝑅, sehingga 𝑅𝑅 mungkin adalah ring lokal dengan ideal maksimal 𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 ≠ 0, dan 𝑎𝑎2 = 0.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Lengkap Theorema 4.4.2 diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif berhingga. Jika Γ(𝑅𝑅) merupakan graf lengkap, maka 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 atau 𝑅𝑅 adalah ring lokal dengan 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝 atau 𝑝𝑝2 dan |Γ(𝑅𝑅)| = 𝑝𝑝𝑛𝑛 − 1 untuk bilangan prima 𝑝𝑝 dan integer 𝑛𝑛 ≥ 1 Bukti. jelas bahwa Γ(𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹) lengkap jika dan hanya jika 𝐹𝐹 = 𝑍𝑍2 . Misalkan 𝑅𝑅 ≇ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 , berdasarkan akibat 4.3.2, 𝑅𝑅 adalah ring lokal dengan ideal makasimal 𝑀𝑀. Oleh karena itu 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝𝑚𝑚 , 𝑚𝑚 ≥ 1. Jika 𝑚𝑚 ≥ 3, maka akan terdapat pembagi-nol yang tidak terhubung dengan suatu pembagi-nol yang lainya dalam 𝑅𝑅. Oleh karena itu 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 = 1 dan 2. Karena 𝑀𝑀 adalah 𝑝𝑝 −grup, |Γ(𝑅𝑅)| = 𝑝𝑝𝑛𝑛 − 1. █
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Graf Pembagi-nol Lengkap Misalkan 𝑅𝑅 ≅ 𝑅𝑅1 × 𝑅𝑅2 , maka 𝑅𝑅 dapat berupa graf lengkap bipartite dengan 𝑅𝑅1 , 𝑅𝑅2 adalah integral domain. Misalkan 𝑅𝑅2 bukan merupakan integral domain, artinya terdapat 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅2 dengan 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, maka akan ada keterhubungan dalam satu partisi yang sama, yaitu (0, 𝑥𝑥) dengan (0, 𝑦𝑦).
Akibat 4.4.4 diberikan 𝑅𝑅 ring komutatif berhingga. Γ(𝑅𝑅) adalah graf lengkap bipartite dengan |Γ(𝑅𝑅)| = 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 2 jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍𝑚𝑚 × 𝑍𝑍𝑛𝑛 , dimana 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ 𝑃𝑃, 𝑃𝑃 adalah bilangan prima.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab IV, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut: 1. Suatu ring komutatif berhingga dapat diimplementasikan menjadi suatu Graf Pembagi-nol yang terhubung dan berhingga dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�Γ(𝑅𝑅)� ≤ 3 2. Ring Komutatif 𝑅𝑅 dapat berupa Graf Bintang, atau disebut Graf Pembagi-nol Bintang dengan 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹 , dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga 3. Ring Komutatif 𝑅𝑅 adalah Graf Lengkap atau Graf Prmbagi-nol Lengkap, dengan 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 atau 𝑅𝑅 adalah Ring Lokal dengan 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝 atau 𝑝𝑝2 , Sebagai contoh adalah 𝑍𝑍𝑝𝑝 2 , dimana 𝑝𝑝 adalah bilangan prima.
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
[1] Beck, I. 1988, Coloring of commutative rings, Journal of Algebra, 116, 208 226 [2] Anderson, D. D. dan M. Naseer, 1993, Beck’s coloring of a commutative rings, Journal of Algebra, 159, 500-514 [3] Anderson, D. F. dan Phillip S. Livingston, 1999, The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring, Journal of Algebra, volume 217, halaman 434 – 447, Mathematic Departement, The University of Tennessee, Knoxville [4] Hartsfied, Nora, dan Gerhard Ringel, 1994, PEARLS in GRAPH THEORY a Comprehensive Introduction, Academic Press, Inc. [5] Diestel, R. 2000, Graph Theory, Springer-Verlag, New York
Pendahuluan
Tinjauan Pustaka
Metodologi
Pembahasan
Penutup
Daftar Pustaka
[6] Ganesan, N, 1964, Properties of rings with a finite number of zerodivisor, math. Ann. 157, 215 – 218 [7] Atiyah, M. F. dan I. G. MacDonald, 1969, Introduction to Commutative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company, Inc [8] Kaplansky, I. 1974, “Commutative Rings”, rev.ed, Univ. of Chicago Press, Chicago. [9] Anderson, D.F. dkk, 2001, The zero-divisor graph of a commutative ring II, Lect. Notes Pure Appl. Math. 220, 61–72
