Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Salah
satu
struktur
aljabar
yang
harus
dikuasai
oleh
seorang
matematikawan adalah grup yaitu suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan satu operasi biner * yang memenuhi beberapa aksioma. Konsep grup kemudian dikembangkan dengan melengkapi lebih dari satu operasi biner, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu, diperoleh struktur lapangan F dan ruang vektor V. Selain daripada itu, konsep lain yang melibatkan himpunan dan fungsi kontinu adalah konsep topologi. Tulisan ini akan mengkaitkan konsep grup, ruang vektor dan topologi sehingga terkonstruksi grup topologis dan ruang vektor topologis, yaitu operasi biner kontinu pada struktur grup atau ruang vektor, yang sekaligus merupakan ruang topologis. Diperoleh pergandaan ruang topologis yang dilengkapi fungsi kontinu dan beberapa sifatnya. Dalam hal ini operasi biner pada grup dinamakan operasi perkalian. Aplikasi grup pada disiplin ilmu yang lain telah banyak ditulis, salah satunya adalah representasi. Representasi grup banyak dimanfaatkan oleh matematikawan untuk pengembangan matematika itu sendiri atau statistik, misalkan stokastik dan oleh fisikawan, misalkan kwantum dinamik maupun teknologi, seperti pengindraan jauh. Oleh karenanya sangatlah menarik meneliti lebih mendalam tentang teori representasi, khususnya representasi linear dari grup berhingga ke dalam ruang vektor. Terkait dengan adanya konsep grup topologis serta ruang vektor topologis maka selanjutnya dapat diteliti bagaimana representasi dari grup topologis ke ruang vektor topologis. Sebelum membahas lebih lanjut tentang representasi linear (belum melibatkan kontinu), diingat kembali pemahaman matriks representasi. Apabila diberikan ruang vektor V dan W atas lapangan F berdimensi hingga, berturut-turut n dan m serta T fungsi atau transformasi linear dari V ke W maka T dapat disajikan sebagai matriks berukuran m × n atas F relatif terhadap basis V dan W. Matriks demikian disebut matriks
1
representasi dari T, ditulis MB’B”(T) dengan B’ basis V dan B” basis W. Himpunan L(V,W) yaitu koleksi semua transformasi linear dari V ke W atau matriks berukuran m × n merupakan ruang vektor atas F. Jika V = W dengan dimensi n, L(V,W) = L(V,V) = L(V) merupakan koleksi semua fungsi atau operator linear dari V ke V, sehingga T dapat ditulis sebagai matriks persegi berukuran n, MBB(T) dengan B basis V, yang memenuhi sifat MBB(T1° T2) = MBB(T1) × MBB(T2) dan MBB(T-1) = (MBB(T))-1. Hal ini berarti ada pemetaan θ dari L(V) ke himpunan matriks persegi berukuran n atas lapangan F, Mn(F). Oleh karena L(V) maupun Mn(F) bukan grup maka pemetaan θ bukan homomorfisma grup. Agar supaya θ homomorfisma grup, pilih grup GL(V) sebagai himpunan bagian L(V) dan grup Inv(F) sebagai himpunan bagian Mn(F), dengan GL(V) adalah koleksi semua fungsi atau operator linear bijektif dari V ke V yang merupakan ruang bagian di dalam L(V) dan Inv(F) adalah koleksi matriks persegi atas F yang invertibel. Pada akhirnya, jika V ruang vektor berdimensi hingga maka GL(V) dapat dipandang sebagai koleksi matriks yang invertibel. diberikan
Selanjutnya, secara umum apabila
sebarang grup berhingga (G,*), fungsi Φ : G → GL(V) yang
didefinisikan untuk setiap x ∈ G, Φ ( x ) ∈ GL(V) disebut representasi linear grup berhingga G ke dalam ruang vektor V, apabila Φ suatu homomorfisma yang memenuhi sifat-sifat (i) Φ (x*y) = Φ (x) ⋅ Φ (y) (ii) Φ (x-1) = ( Φ (x))-1 dengan x -1 merupakan invers elemen x dalam G dan ⋅ perkalian matriks dalam GL(V). Jika ada Φ demikian maka V disebut (ruang) representasi dari G. Pada pembahasan lebih lanjut, x * y ditulis sebagai xy . Peneliti-peneliti yang telah membicarakan dan membahas lebih mendalam tentang representasi grup berhingga ke dalam suatu ruang vektor antara lain adalah Laderman (1965), Serre (1977), Vinberg (1989) dan Jacob pada tahun yang sama dengan Vinberg. Sampai saat sekarang penulis belum menjumpai atau menemukan suatu buku atau karya tulis penelitian tentang representasi sebarang
2
grup, khususnya grup yang dilengkapi dengan konsep topologi ke pada suatu ruang vektor yang juga dilengkapi dengan suatu topologi. 1.2 Perumusan Masalah Sebagaimana disampaikan di latar belakang di atas, bahwa penelitian yang sudah ada membahas representasi linear grup berhingga. Oleh karena itu di dalam disertasi ini dibahas representasi linear dari grup yang dilengkapi dengan topologi yang disebut grup topologis ke dalam ruang vektor yang dilengkapi juga dengan topologi yang disebut ruang vektor topologis. Diketahui V ruang vektor topologis dan GL(V) menyatakan koleksi semua fungsi linear, bijektif yang kontinu dari V ke dirinya sendiri. Selanjutnya dapat dirumuskan permasalahan penelitian S3 untuk disertasi ini sebagai berikut. 1. Jika (V,σ) ruang vektor topologis, akan ditunjukkan bahwa Lc(V) = Lc(V,V) yaitu koleksi semua fungsi linear kontinu dari V ke V merupakan ruang vektor topologis. Untuk itu, dikonstruksikan suatu topologi pada Lc(V) terkait dengan σ. Khususnya konstruksi topologi pada GLc(V), yaitu koleksi semua fungsi linear kontinu dan bijektif, sebagai ruang vektor bagian Lc(V) sehingga GLc(V) ruang vektor topologis bagian. 2. Lebih lanjut jika (G,µ) suatu grup topologis, diteliti bahwa terdapat suatu pemetaan ρ : G → GLc(V) yang memenuhi sifat-sifat (i) ρ( xy ) = ρ(x) D ρ(y) (ii) ρ( x −1 ) = (ρ(x))-1, untuk setiap x, y ∈G
(iii) homomorfisma kontinu di setiap x ∈ G dengan x -1 merupakan invers elemen x dalam G. Fungsi ρ demikian disebut representasi linear kontinu grup topologis G ke dalam (pada) ruang vektor topologis V. Penelitian ini membangun representasi linear kontinu grup
topologis ke dalam ruang vektor topologis.
3
3. Selanjutnya diteliti sifat-sifat representasi linear kontinu, representasi linear
kontinu bagian, representasi terbatas, iredusibel dan redusibel lengkap berikut aplikasinya. 1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah yang disampaikan di Subbab 1.2, maka penelitian dalam rangka penyusunan disertasi dengan judul ’’Representasi Linear Kontinu Grup Topologis ke Dalam Ruang Vektor Topologis’’
bertujuan antara lain: 1. mengembangkan konsep representasi linear suatu grup berhingga ke dalam ruang vektor, dengan melengkapi grup dan ruang vektornya, suatu topologi yang sesuai 2. hasil butir 1. memberikan konsep baru, yaitu representasi linear kontinu dari grup topologis ke dalam ruang vektor topologis 3. selanjutnya mengkaji sifat-sifat representasi linear kontinu tersebut butir 2. 4. mencari hasil aplikasi sifat yang disebut pada butir 3. Selanjutnya, manfaat yang diharapkan dari penelitian ini antara lain: 1. berpartisipasi dalam pengembangan ilmu 2. ikut serta menyumbang pengembangan ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang hubungan antara aljabar, topologi dan analisa. 1.4 Tinjauan Pustaka
Aplikasi grup pada disiplin ilmu yang lain, khususnya representasi grup banyak dimanfaatkan oleh matematikawan untuk pengembangan matematika itu sendiri atau statistik, misalkan pada stokastic, oleh fisikawan, misalkan pada kwantum dinamik maupun oleh teknolog, pada pengindraan jauh. Beberapa peneliti seperti Khrennikov, dkk (2014) membahas dinamika kwantum sebagai representasi linear dari dinamika stokastik, Dong (2014) mengaplikasikan
4
representasi untuk mengenali celah sintetik pada peta radar serta Aschbacher (2000) yang membahas pengembangan representasi dalam representasi linear primitif. Husain (1966), Dikranjan, dkk (1989) dan bab pada buku-buku teks topologi semisal Bourbaki (1966), Munkres (2000) telah mengemukakan grup topologis. Pemahaman akan grup sendiri ditulis oleh beberapa penulis, antara lain Coleman, H.J (1968), Fraleigh (2000) dan Foote dan Dummit (2004). Hubungan antar grup diberikan dalam suatu pemetaan yang mengawetkan operasi, yang disebut homomorfisma seperti berikut. Diberikan grup(G,*) dan (H,+). Suatu fungsi g: G → H disebut homomorfisma G ke dalam H jika g( x * y ) = g( x ) + g( y ) untuk setiap x, y ∈ G. Mudah dimengerti juga bahwa jika g homomorfisma dari grup G ke grup H maka g(G) merupakan grup bagian di dalam H. Khususnya jika g homomorfisma yang surjektif, yaitu g(G) = H. Sifat utama yang selalu dibawa oleh homomorfisma, disajikan oleh teorema yang dapat ditulis sebagai, jika diberikan homomorfisma g seperti ditulis di atas, maka selalu berlaku untuk setiap x ∈ G, g( x −1 ) = (g( x ))-1 dan g(eG) = eH dengan eG dan eH berturut-turut identitas di G dan H, x-1 invers elemen x∈G. Kemudian beberapa peneliti seperti Pestov (1991) membahas grup topologis abelian, sebelumnya Tkachenko (1983) membahas grup topologis lengkap, sedangkan Ahmadi (2013) meneliti grup topologis terkait dengan genetika. Heckmann, dkk (2001) dalam AMS, membangun ruang topologis eksponensiabel, sehingga menjadi salah satu inspirasi pembentukan suatu topologi. Muminov (1989) menulis tentang representasi dari grup topologis ke dalam ruang vektor topologis separabel. Sebelum Muminov meneliti representasi grup topologis, Schaefer dan Helmut (1966) membahas struktur ruang vektor, dilengkapi topologi sehingga terbentuk ruang vektor topologis. Sebelumnya, Schaefer membahas konsep ruang vektor atas lapangan bilang kompleks C dan transformasi linearnya sebagaimana berikut. Diberikan ruang vektor V dan W atas lapangan C. Suatu fungsi f : V → W disebut fungsi/transformasi linear apabila memenuhi sifat
5
f( α x + β y ) = α f( x ) + β f( y ) untuk setiap x, y ∈V dan setiap α , β ∈ C. Mudah dipahami bahwa fungsi f di atas linear jika hanya jika (i) f aditif yaitu f( x + y ) = f( x ) + f( y ) untuk x, y ∈V dan (ii) f homogen yaitu f( α x ) = α f( x ) untuk setiap x ∈ V dan α ∈ C Jika fungsi linear tersebut dari suatu ruang vektor ke dirinya sendiri, maka fungsi linear tersebut disebut operator linear. Jika L(V,W) merupakan koleksi semua fungsi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W maka L(V,W) merupakan ruang vektor pula. Ruang vektor V* = L(V, C) disebut ruang dual terhadap ruang vektor V. Jika L(V) = L(V,V) maka GL(V) yaitu koleksi semua fungsi linear dan bijektif dari V ke dirinya sendiri, merupakan ruang vektor bagian dari L(V). Lebih lanjut, Drozd, dkk (1994) meneliti bahwa L(V) merupakan aljabar. Selanjutnya pengertian homomorfisma yang mengkaitkan suatu grup (berhingga) dengan operator linear, disajikan semula oleh Ladermann (1965) dengan mengenalkan representasi linear grup berhingga ke dalam ruang vektor. Diberikan grup G dan ruang vektor H atas lapangan F. Fungsi Φ : G → GL(H) disebut representasi linear G pada ruang vektor H, jika untuk setiap x, y ∈ G, Φ ( x ), Φ (y) ∈ GL(H) memenuhi sifat sebagaimana dikemukakan pada latar belakang di atas. Selanjutnya representasi linear dari grup dibahas oleh Jacob (1989) Pestov (1991) dalam AMS, membahas grup topologis yang abelian dikaitkan dengan representasi iredusibel ke dalam ruang Banach. Sementara sebelumnya Vinberg (1989) membahas representasi linear iredusibel grup berhingga ke dalam ruang vektor. Paschke (2002) dalam journal Austral. Math. Soc. membangun representasi uniter iredusibel. Beberapa sifat representasi linear telah ditemukan atau dirumuskan oleh Ladermann, Serre dan penulis-penulis lain sebagaimana disampaikan pada Latar
6
Belakang, Subbab 1.1. Sifat-sifat tersebut antara lain stabil atau invarian, iredusibel,
redusibel
dan
sebagainya.
Representasi
linear
selanjutnya
dikembangkan oleh Pestov, Tkachenko dan Varadarajan (2000) untuk grup-grup khusus. Bahasan Vinberg (1989) tentang sifat-sifat representasi grup, yang selanjutnya menginspirasi penelitian ini dalam representasi grup topologis. Pembahasan topologi dalam penelitian disertasi ini, sebagian besar mengambil konsep topologi yang ditulis oleh Munkres (2000), disamping Hu (1964) dan Kelley (1961). Pemahaman fungsional sebagai alat untuk mengaplikasikan konsep yang diteliti dalam disertasi ini, diambil dari tulisan Berberian (1961) yang membahas khusus ruang Hilbert. Secara umum konsep fungsional yang penulis fahami, mengacu pada bahasan Brown (1970), Rudin (1973). Khusus untuk lapangan real, penulis mengacu Royden (1989). Griffel (1981) dan Cochran (1982), penulis ambil sebagai acuan aplikasi fungsional. Sejauh pengetahuan penulis, belum ada penelaahan representasi linear grup sebarang ke dalam ruang vektor, apalagi representasi linear grup topologis ke dalam ruang vektor topologis. Setelah mempelajari grup topologis dan ruang vektor topologis, sebelum konstruksi representasi grup topologis, terlebih dahulu dikaji pembentukan topologi pada ruang operator linear topologis,. Untuk ini pengetahuan dasar yang perlu dipelajari adalah Aljabar linear meliputi ruang vektor, operator linear dan sifat-sifatnya, selain Struktur Aljabar grup, homomorfisma dan sifat-sifatnya. Pengetahuan dasar berikut yang juga harus dipelajari adalah konsep topologi untuk mencapai pemahaman grup topologis dan ruang vektor topologis. 1.5 Metodologi Penelitian.
Penelitian disertasi ini dilakukan dengan metode studi literatur. Pertamatama dikaji kaitan aljabar dengan topologi sehingga diperoleh pemahaman konsep grup topologis dan ruang vektor topologis. Kemudian pemahaman ini dikembangkan kepada ruang vektor sehingga diperoleh ruang operator topologis. Setelah siap dengan ruang operator topologis, memahami pengertian dasar tentang representasi linear grup berhingga termasuk jenis dan sifat-sifatnya. Sehingga
7
dapat dikonstruksi suatu fungsi homomorfisma yang kontinu dari suatu grup topologis ke dalam ruang vektor topologis. Selanjutnya, dikaji lebih lanjut jenisjenis dan sifat-sifat representasi tersebut, apakah masih ada sifat yang bisa dipertahankan bahkan dikembangkan terhadap representasi linear grup yang tanpa dilengkapi topologi. Pada akhirnya, diaplikasikan pada ruang-ruang khusus. Berikut diberikan skema alur penelitian.
Keterangan: Bagan yang berada pada laman putih, menunjukkan dasar pengertian yang dipakai sebagai acuan. Bagan yang berada pada laman orange-peach, merupakan konsep yang penulis peroleh.
8
SKEMA ALUR PENELITIAN
GRUP BERHINGGA
RUANG VEKTOR REPRESENTASI LINEAR TOPOLOGI
GRUP TOPOLOGIS
RUANG VEKTOR TOPOLOGIS
KERNEL
ρc
REPRESENTASI LINEAR KONTINU
RUANG VEKTOR TOPOLOGIS BAGIAN
ρc
REPRESENTASI LINEAR GRUP KWOSEN TOPOLOGIS
KONTINU
ρc
REPRESENTASI LINEAR ρ cV/U
RUANG VEKTOR KWOSEN TOPOLOGIS
KONTINU KWOSEN
REPRESENTASI LINEAR ρ cU
KONTINU BAGIAN
REPRESENTASI LINEAR KONTINU REDUSIBEL LENGKAP
REPRESENTASI LINEAR KONTINU IREDUSIBEL
DEKOMPOSISI RUANG REPRESENTASI
9
1.5 Sistematika Penulisan
Disertasi ini ditulis dalam empat bab. Penyusunan tiap bab dilakukan dengan memberikan pengertian yang diperlukan untuk bab-bab selanjutnya. BAB I berisi latar belakang, perumusan
masalah, tujuan dan manfaat penelitian,
tinjauan pustaka, tujuan penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan. Selanjutnya untuk memudahkan mengikuti tulisan ini, pada BAB II disajikan pengertian-pengertian dasar yang sebagian besar diperoleh dari studi literatur. Pengertian pengertian dasar tersebut antara lain teori topologi, grup topologis dan ruang vektor topologis. Pengertian dasar tersebut sangat menunjang pembahasan bab tiga dikarenakan awal dari pembahasan representasi linear grup topologis dimulai dari perkembangan pemahaman grup topologis ke ruang operator topologis. Pada BAB III selain pembentukan topologi pada ruang operator, dibahas konstruksi representasi linear grup topologis yang merupakan pemetaan kontinu. Kemudian dibahas jenis representasi, invarian, sederhana atau iredusibel dan redusibel lengkap. Selanjutnya dibahas hubungan antara jenis-jenis representasi tersebut disamping pembahasan representasi linear kontinu dari grup kwosen topologis serta representasi ke dalam ruang vektor kwosen topologis. Berbagai bahasan representasi linear kontinu khususnya subrepresentasi dengan sifatsifatnya. Tulisan ditutup dengan BAB IV yang memuat kesimpulan dari disertasi ini sekaligus mengungkapkan masalah terbuka yang belum terselesaikan.
10
