BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Masalah
Pemodelan difusi dan sebaran temperatur pada geometri menjadi hal yang penting dalam berbagai bidang, seperti bidang fisika, kimia maupun kedokteran. Persamaan difusi atau persamaan bahang dalam penyelesaiaannya memerlukan jawaban fundamental. Jawaban ini dikenal dengan rambatan kernel bahang. Kernel bahang adalah jawaban yang mendasar untuk persamaan perambatan temperatur pada domain tertentu dengan syarat batas yang telah ditentukan. Kernel bahang juga menjadi salah satu hal yang mendasar dalam operator Laplace dan menjadi hal yang penting sepanjang fisika matematika. Kernel bahang merupakan cerminan persamaan yang menggambarkan keadaan gerak Brown yang partikelnya mengalami sebaran secara acak, gerak ini merupakan proses stokastik yang distribusinya normal. Kajian kernel bahang untuk sebarang bentuk geometri yakni pada keragaman menjadi topik yang cukup banyak diteliti. Beberapa penelitian seperti yang dilakukan sebagai berikut. Wang (1997) menjelaskan pendekatan kernel secara umum, dengan menurunkan versi umum dari pendekatan gradien sehingga diperoleh batas atas dan batas bawah kernel bahang yang memenuhi kondisi batas Neumann pada keragaman Riemannan. Moss (2000) menghitung koefisien pendekatan kernel bahang untuk fluktuasi ruang hampa dengan distribusi potensial dan kekuatan medan. Young (2003) menjelaskan keterkaitan beberapa masalah dalam beberapa cabang dalam matematika yang mencakup geometri topologi, analisis dan persamaan-persamaan diferensial partial. Penelitian ini menghasilkan kernel yang berhubungan dengan masalah swanilai dan swafungsi operator Laplace yang selanjutnya digunakan untuk menyatakan fungsi ekspansi asimtotik Minakshisundaram-Pleijel dan formula Weyl. Chung (2005) menggunakan metode kernel bahang untuk mendeteksi bagian abnormal ketebalan cortical pada 16 fungsi autis tinggi pada anak-anak. Penelitian ini dilanjutkan Chung (2006) dengan menjelaskan sebaran sinyal untuk ratio kebisingan pada cortical otak dengan mengasumsikan geometri otak serupa dengan geometri permukaan bola dengan pendekatan kernel bahang. Pada bidang matematika, kernel bahang digunakan Grigor’yan (2004) untuk menghitung sebaran pada ruang fractal. Pada bidang yang sama, Wojciechowski (2008) mengkaji adanya keunikan dari kernel bahang pa-
1
2
da batas tak hingga dengan keadaan lokal berbatas yang berhubungan dengan grafik. Nagase (2010) membahas tentang bentuk dari kernel bahang pada permukaan bola dengan menggunakan fungsi elementer dan hubungan keadaan yang berulang. Masalah kernel pada permukaan bola juga telah dikerjakan oleh Taate (2013), namun dalam kajian penelitiannya peneliti ini membahas tentang sebaran yang terjadi pada permukaan bola dengan membatasi kasusnya pada sumber bahang yang diberikan sesaat, kemudian mengamati sebarannya. Putro (2012) juga menggunakan metode kernel untuk melihat sebaran suhu pada suatu daerah, akan tetapi bentuk kernel bahang yang menerapkan kernel bahang yang diberikan oleh Gauss-Weierstrass. Berdasarkan kasus-kasus serta beberapa teori yang terkait dengan kasus sebaran serta penggunaan kernel bahang yang begitu luas, maka penelitian ini bertujuan untuk mengetahui sebaran temperatur dan bahan yang ditimbulkan oleh sebaran sumber sesaat, sebaran sumber sesaat yang periodik dan sebaran dengan adanya sumber yang tetap ataupun ketiga hal itu terjadi secara bersamaan. Mengingat bahwa peristiwa-peristiwa yang menyebabkan sebaran temperatur dan bahan banyak terjadi di belahan bumi ini. 1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan pada latar belakang maka perumusan masalah sebagai berikut. Bagaimana distribusi temperatur dan bahan pada permukaan keragaman khususnya pada permukaan bola dua dimensi sebagai fungsi waktu dengan beberapa jenis sumber dan distribusi awal? 1.3
Batasan Masalah
Ruang topologis yang ditinjau dalam penelitian ini adalah permukaan bola dua dimensi. Pada kasus ini diberikan sumber sesaat, sumber sesaat yang periodik dan sumber tetap. 1.4
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah memperoleh perumusan distribusi temperatur dan bahan pada permukaan bola dua dimensi yang bergantung terhadap waktu dengan beberapa jenis sumber sesaat, sumber sesaat yang periodik dan sumber tetap.
3
1.5
Manfaat Penelitian
Berdasarkan tujuan penelitian di atas maka manfaat keseluruhan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui sebaran temperatur dan bahan pada keragaman Riemannan pada kasus permukaan bola dua dimensi, khususnya untuk mengetahui perumusan distribusi suhu pada permukaan bumi. 1.6
Keaslian Tesis
Berdasarkan pelacakan literatur yang ada, ternyata permasalahan yang dikaji dalam tesis ini belum pernah diteliti. 1.7
Tinjauan Pustaka
Penelitian dengan menggunakan kernel sebagai solusi fundamental dan menggunakan geometri sebagai kasus tinjauannya sudah banyak dilakukan oleh peneliti. Avramidi (2001) mengkaji pendekatan kernel bahang pada teori medan kuantum. Pada pembahasannya pendekatan kernel bahang efektif untuk diterapkan pada teori medan kuantum dan gravitasi kuantum. Selanjutnya penelitian ini menggambarkan beberapa jenis cara untuk menentukan ekspansi asimtotik dari kernel bahang untuk menggunakan operator differensial partial pada untingan vektor di keragaman Riemannan. Operator Laplace pada keragaman diberikan kondisi batas secara tak langsung dan kondisi batas tak-licin. Chung (2005) menerapkan metode kernel Gaussian pada ketebalan cortical otak dengan menggunakan batasan jarak geodesik dan analisis statistik pada keragaman cortical. Metode ini diaplikasikan untuk mendeteksi bagian abnormal ketebalan cortical pada 16 fungsi autis tinggi anak-anak melalui bidang acak berdasarkan beberapa koreksi perbandingan. Chung (2006) menggunakan kernel bahang untuk mengamati difusi pertambahan perbandingan sinyal dan suara pada otak dengan melihat sebaran pada cortical. Pada mulanya pendekatan yang dipakai adalah pendekatan difusi yang dibatasi pada daerah finit dengan menggunakan komputasi nontrivial dan membuat algoritma. Hal ini mengakibatkan konvergensinya melambat, sehingga digunakanlah kernel dengan mengkonstruksi bahwa otak tersebut berbentuk permukaan bola. Wojciechowski (2008) mengkaji adanya keunikan dari kernel bahang pada daerah tak hingga serta keadaan berbatas lokal pada grafik. Pada keadaan grafik yang
4
lebih umum kernel bahang digunakan untuk melihat keunikan dan menunjukkan nilai optimal yang diberikan puncak tetap dalam bola. Selanjutnya, dengan menurunkan batas pada dasar spektrum Laplacian diskrit dapat memastikan esensial dari spektrum kosong dengan batas yang diberikan. Bordag dkk (2008) mengkaji perluasan kernel bahang pada operator Laplace pada bola D-dimensi dengan menggunakan kondisi batas Dirichlet, Neumann atau yang lebih umum dikenal dengan kondisi batas Robin. Kajian ini menggunakan kasus umum untuk menghitung koefisien kernel bahang pada setiap situasi dengan fungsi dasar diketahui. Hasil dari kajian ini memberikan koefisien B3 , ..., B10 , untuk bola D-dimensi dengan semua kondisi batas yang disebutkan dan D = 3, 4, 5. Jones (2010) mengkaji bahwa pada keragaman terbuka dengan geometri berbatas mempunyai diferensial dari kernel bahang dan nilainya unik. Pada pembahasannya kajian ini menunjukkan bentuk diferensial kernel bahang terkait dengan turunan luar dan coderivative. Hasil kajiannya membuktikan pada kondisi keragaman yang komplit dengan kelengkungan Ricci berbatas dan menggunakan hasilnya sebagai gambaran integral kernel bahang pada derajat k. Grigor’yan (2010) membahas beberapa contoh aplikasi dari penggunaan kernel bahang. Pada pembahasannya, kernel bahang dapat dipakai dalam ruang Rn dengan persamaan kernel bahang memenuhi persamaan klasik Gauss-Weierstrass |x − y|2 . pt (x, y) = n exp − 4t (4πt) 2 1
Persamaan kernel bahang tersebut dengan fungsi berbatas di Rn menghasilkan bahwa sebaran temperaturnya memenuhi u(t, .) = exp(−tL) f dengan L adalah perpanjangan self-adjoint dari −∆ pada L2 . Nagase (2010) menjelaskan kernel bahang pada permukaan bola Sn dapat dideskripsikan dengan jelas menggunakan fungsi elementer dan kernel pada lingkup dimensi permukaan bola yang berbeda memiliki hubungan khusus, sehingga dengan memeriksa fungsi elementer ditemukan hasil dari kernel asimtotik yang berbeda. Putro (2012) mengkaji distribusi bahang dengan menerapkan kernel bahang yang diberikan oleh Gauss-Weierstrass untuk mendapatkan persamaan bahang. Persamaannya ditulis dalam bentuk fungsi Bessel dan juga dalam bentuk fungsi Legendre. Pada tahun berikutnya, Taate (2013) mengkaji sebaran temperatur pada permukaan bola dengan mengamati sejumlah akumulasi awal bahang yang di tempatkan di sebarang titik, sehingga pada saat yang sama dapat diketahui sebaran dari titik-titik
5
yang lain. Dalam penelitian ini akan mengkolaborasi kedua batasan masalah tersebut dalam suatu geometri yang sama yaitu permukaan bola. Permukaan bola merupakan objek geometris yang tidak datar. Oleh karena itu, sebaran temperatur dan bahan yang terjadi dipermukaannya dipengaruhi oleh topologinya. Oleh sebab itu, dalam penelitian ini akan dikaji perolehan perumusan distribusi temperatur dan bahan pada permukaan bola dua dimensi yang bergantung terhadap waktu dengan beberapa jenis sumber sesaat, sumber sesaat yang periodik dan sumber tetap. 1.8
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat kajian teoritis matematis. Penelitian dilakukan dengan tinjauan terhadap beberapa pustaka mengenai proses distibusi temperatur dan bahan dengan menggunakan pendekatan kernel bahang yang telah dikembangkan sebelumnya serta perhitungan matematis. 1.9
Sistematika Penulisan Tesis ini tersusun atas lima bab, dengan uraian singkat berikut ini:
1. Bab I merupakan pendahuluan. 2. Bab II berisi teori dasar keragaman Riemann, geodesik, analisis pada keragaman Riemann, teorema divergensi dan formula Green, operator Laplace, gerak Brown, kernel bahang, dan persamaan geodesik di permukaan bola. 3. Bab III berisi pembahasan kernel bahang pada keragaman Riemann. 4. Bab IV berisi pembahasan sebaran temperatur dan bahan di permukaan bola. 5. Bab V berisi simpulan dan saran.
