BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Masalah
Teori tentang subhimpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965. Hal ini menginspirasi banyak peneliti lain untuk melakukan penelitian lebih lanjut, baik terkait dengan teori fuzzy maupun aplikasinya pada bidang ilmu yang lain. Teori maupun aplikasi subhimpunan fuzzy ini berkembang sangat pesat. Hal tersebut didorong oleh hasil-hasil penelitian yang menunjukkan hasil yang lebih baik jika dibanding dengan aplikasi yang didasarkan pada himpunan klasik. Aplikasi teknologi fuzzy dalam teknologi informasi (seperti teori persandian fuzzy) merupakan salah satu contoh aplikasi teori fuzzy yang sangat penting dan telah berkembang dengan cepat. Sebagai contoh lain aplikasi teori subhimpunan fuzzy adalah pada teori optimisasi dan statistik. Selain aplikasi subhimpunan fuzzy, teori subhimpunan fuzzy juga berkembang sangat pesat. Berkembangnya teori subhimpunan fuzzy ini sangat membantu dalam mengimbangi perkembangan aplikasi teori fuzzy pada berbagai bidang ilmu. Perkembangan secara teoritis sangat membantu dalam perluasan aplikasinya. Semakin luasnya teori fuzzy ini akan menjembatani aplikasi-aplikasi teori fuzzy pada bidang ilmu lain yang lebih luas. Terkait dengan penelitian teori subhimpunan fuzzy, Rosenfeld telah memperkenalkan konsep subgrup fuzzy dari suatu grup. Hasil penelitian ini telah menginspirasi banyak peneliti lain untuk meneliti dengan topik teori aljabar fuzzy seperti subring fuzzy, submodul fuzzy, subruang vektor fuzzy dan lain sebagainya. Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner yang bersifat asosiatif. Dengan demikian semigrup merupakan struktur aljabar yang lebih general dari pada grup. Seperti halnya grup, semigrup mempunyai beberapa aplikasi. Aplikasi semigrup antara lain pada persamaan reaksi difusi, persamaan diferensial parsial, teori automata (terutama pada semigrup transformasi linear dan relasi Green). Semigrup bentuk bilinear yang dinotasikan dengan S(B) merupakan semigrup yang elemennya berupa pasangan berurutan dari transformasi linear yang merupakan pasangan adjoin terhadap bentuk bilinear. Berdasarkan elemennya, maka semigrup bentuk bilinear S(B) ini merupakan salah satu semigrup transformasi linear, sehingga
1
2
diharapkan ke depannya mempunyai aplikasi yang lebih baik pada bidang automata maupun yang lainnya. Begitu banyak aplikasi teori subhimpunan fuzzy pada bidang lain yang bersinggungan dengan masalah sehari-hari. Begitu banyak juga aplikasi semigrup, khususnya semigrup transformasi linear dan relasi Green. Berdasarkan kondisi tersebut, maka disertasi ini akan meneliti tentang subsemigrup bentuk bilinear fuzzy yang diharapkan dapat menjembatani antara teori subsemigrup bilinear fuzzy dan relasi green fuzzy dengan aplikasi-aplikasinya dengan hasil yang lebih baik, seperti halnya pada aplikasi teori fuzzy bidang lain.
1.2
Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dalam Subbab 1.1. Latar Belakang Masalah tersebut, maka dalam penelitian ini dirumuskan beberapa masalah sebagai berikut: 1. Mengonstruksi definisi subsemigrup bentuk bilinear (S(B)) fuzzy. 2. Menyelidiki sifat-sifat subsemigrup bentuk bilinear (S(B)) fuzzy terkait dengan subhimpunan level juga fungsi karakteristiknya. 3. Mengonstruksi ideal utama fuzzy dari suatu semigrup. 4. Menyelidiki sifat-sifat ideal utama fuzzy dari suatu semigrup. 5. Mengonstruksi definisi relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada suatu semigrup. 6. Menyelidiki sifat-sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada semigrup. 7. Menyelidiki sifat-sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada semigrup bentuk bilinear S(B). 8. Menyelidiki sifat-sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada himpunan semua elemen idempoten pada semigrup bentuk bilinear E(S(B)).
1.3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah-masalah di atas maka cakupan tujuan penelitian ini secara rinci dapat dirumuskan sebagai berikut:
3
1. Mendefinisikan subsemigrup bentuk bilinear(S(B))fuzzy. 2. Menentukan sifat-sifat subsemigrup bentuk bilinear (S(B)) fuzzy. 3. Membangun ideal utama fuzzy dari suatu semigrup. 4. Menentukan sifat-sifat ideal utama fuzzy dari suatu semigrup. 5. Membangun definisi relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada suatu semigrup. 6. Menentukan sifat-sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada suatu semigrup. 7. Menentukan sifat-sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada semigrup bentuk bilinear S(B). 8. Menentukan sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada himpunan semua elemen idempoten semigrup bentuk bilinear E(S(B)).
1.4
Manfaat Penelitian
Dengan mengacu pada tujuan penelitian di atas, maka manfaat penelitian meliputi hal-hal sebagai berikut: 1. Telaah ini dapat menjadi salah satu acuan teoritik dalam mengkonstruksi suatu subsemigrup fuzzy tertentu ataupun pada struktur aljabar lainnya beserta penyelidikan terhadap sifat-sifatnya. 2. Selain itu telaah ini juga dapat menjadi salah satu acuan teoritik dalam membangun relasi Green fuzzy pada berbagai semigrup khusus.
1.5
Metodologi Penelitian
Pada dasarnya penelitian ini merupakan penelitian studi literatur yang bertujuan untuk mengonstruksi subsemigrup bentuk bilinear fuzzy beserta sifat-sifatnya. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk mengonstruksi definisi relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. Untuk mencapai tujuan tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
4
1. Berdasarkan definisi subgrup fuzzy yang dituliskan Kandasami [2003] dan Ajmal [1994], maupun definisi subring fuzzy pada tulisan Kandasami [2003] serta Ray dan Ali [2002], didefinisikan subsemigrup fuzzy. Selanjutnya diberikan beberapa contoh dari subsemigrup fuzzy. 2. Berdasarkan definisi ideal (kanan/kiri) fuzzy dari suatu grup yang dituliskan Kandasami [2003] dan Ajmal [1994], maupun definisi ideal(kanan/kiri) fuzzy dari suatu ring pada tulisan Kandasami [2003] serta Ray dan Ali [2002], didefinisikan ideal (kanan/kiri) fuzzy suatu semigrup beserta contoh-contohnya. 3. Berdasarkan sifat-sifat dari subgrup fuzzy, subring fuzzy dan masing-masing ideal fuzzynya, diselidiki beberapa sifat dari subsemigrup fuzzy dan ideal fuzzy semigrup dan kaitannya dengan subhimpunan level-nya. 4. Berdasarkan definisi subsemigrup fuzzy, dibangun suatu pemetaan dari semigrup hasil bagi ke interval tertutup[0,1]. Semigrup demikian yang selanjutnya disebut dengan subsemigrup hasil bagi fuzzy. 5. Untuk mendefinisikan ideal (kanan/kiri) utama fuzzy semigrup, digali beberapa sifat dan contoh-contoh tentang ideal (kanan/kiri) fuzzy semigrup. Langkah ini diambil karena literatur tentang subsemigrup fuzzy sangat terbatas dan sulit diakses. Berdasarkan definisi ideal(kanan/kiri) fuzzy ring yang diacu dari tulisan Zhang [1998], Ray dan Ali [2002] dan definisi ideal (kanan/kiri) fuzzy grup yang didefinisikan oleh Ajmal [1994], dibangun definisi ideal (kanan/kiri) fuzzy semigrup beserta contoh-contohnya. Selanjutnya diselidiki sifat-sifat ideal (kanan/kiri) fuzzy semigrup tersebut. 6. Langkah berikutnya adalah mendefinisikan ideal (kanan/kiri) utama fuzzy semigrup. Berdasarkan hasil penelitian dari Ray dan Ali [2002] serta pengertian tentang ideal (kanan/kiri) utama semigrup atas bilangan klasik, didefinisikan ideal (kanan/kiri) utama fuzzy semigrup dan contoh-contohnya. Berdasarkan definisi tersebut, dieksplorasi untuk menyelidiki sifat dari ideal (kanan/kiri) utama fuzzy semigrup. 7. Berdasarkan definisi ideal utama (kanan/kiri) fuzzy serta berdasarkan referensi terkait dengan relasi fuzzy yang ditulis oleh Mary [2011], Murali [1989], Murali [1991], didefinisikan relasi Green (kanan/kiri) fuzzy dan selanjutnya diberikan contoh-contohnya.
5
8. Menyelidiki sifat-sifat relasi Green (kanan/kiri)fuzzy pada semigrup. 9. Diinspirasi oleh pendefinisian subsemigrup fuzzy dan ideal fuzzy semigrup, didefinisikan subsemigrup bentuk bilinear (S(B))fuzzy, yang dilanjutkan dengan menyelidiki sifat-sifatnya. 10. Menyelidiki sifat relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada elemen-elemen idempoten semigrup bentuk bilinear (E(S(B))). 11. Menyelidiki sifat relasi ekuivalensi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. 12. Berdasarkan sifat relasi ekuivalensi fuzzy tersebut dan definisi relasi Green (kanan/kiri) fuzzy pada semigrup, didefinisikan generalisasi relasi Green (kanan/ kiri) fuzzy. Untuk memberikan penjelasan hubungan antara poin-poin yang dipaparkan pada metodologi penelitian tersebut, diberikan bagan metodologi penelitian yang meunjukkan urutan pengerjaan masalah-masalah dalam disertasi tersebut :
6
1.6
Tinjauan Pustaka
Konsep dasar subhimpunan fuzzy telah diperkenalkan oleh Zadeh sejak tahun 1965. Lebih lanjut, penelitian-penelitian terkait dengan subhimpunan fuzzy dapat dilihat pada Abdukhalikov dkk [1994], Akta¸s [2004], Kandasami [2003], Kim [2006], Klir dkk [1997], Mordeson dan Malik [1998], Shabir [2005] serta Zimmermann [1991]. Teori subhimpunan fuzzy mempunyai aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, misalkan bidang ilmu komputer serta teori optimisasi dan aplikasinya dengan hasil yang diperoleh lebih baik dibandingkan jika didasarkan pada teori himpunan klasik. Hal ini terjadi disebabkan dalam teori himpunan fuzzy memungkinkan untuk memasukkan faktor-faktor yang sulit dimasukkan ke dalam model matematika atas himpunan klasik. Sebagai contoh adalah faktor psikologis. Harga minyak dunia ternyata sangat dipengaruhi oleh kondisi politis negara-negara produsen. Dalam hal ini sediaan minyak tetap dan permintaan juga tetap, akan tetapi harga minyak meningkat. Hal ini disebabkan adanya faktor psikologis kekuatiran akan berkurangnya produksi minyak. Dalam pemodelan berdasarkan himpunan klasik, hal ini sangat sulit untuk mendapatkan model yang tepat dalam arti hasil pemodelan kurang mendekati dengan realita. Oleh banyak peneliti konsep subhimpunan fuzzy telah diaplikasikan dalam struktur aljabar yang selanjutnya disebut sebagai struktur aljabar fuzzy. Sebagai contoh adalah subgrup fuzzy, subgelanggang (subring) fuzzy, modul fuzzy dan sebagainya. Teori-teori tersebut dapat dilihat secara lebih detail pada hasil-hasil penelitian yang dilakukan oleh Abdukhalikov [1996], Abdukhalikov dkk [1994], Ajmal [1994], Akta¸s [2004], Asaad [1991], Kandasami [2003], Kim [2006], Mordeson dan Malik [1998], Shabir [2005] dan Zimmermann [1991]. Bahkan dalam perkembangannya, struktur aljabar fuzzy juga telah dikembangkan pada struktur aljabar yang di dalamnya didefinisikan suatu urutan parsial, di antaranya terkait dengan ring terurut parsial. Hal ini dapat dilihat pada karya ilmiah hasil pemikiran dari Kehayupulu [2012] dan Mohanraj dkk, [2011]. Subgrup fuzzy α dari grup G adalah pemetaan dari grup G ke interval tertutup [0, 1], yaitu pemetaan α : G → [0, 1] yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: (a). (∀x, y ∈ G) α(x.y) > min {α(x), α(y)}, (b). (∀x ∈ G) α(x) = α(x−1 ). Semua struktur aljabar fuzzy dikonstruksi secara analog dengan subgrup fuzzy tersebut, yaitu dimulai dengan membentuk suatu subhimpunan fuzzy yang didefinisikan sebagai pemetaan dari suatu struktur aljabar tertentu ke interval tertutup [0,1] dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Pembicaraan terkait dengan struktur subgrup fuzzy terse-
7
but tentu saja tidak hanya berhenti pada pendefinisiannya saja, akan tetapi diselidiki beberapa sifat yang berlaku pada grup apakah berlaku pada subgrup fuzzy (walaupun tidak semua sifat). Sebagai contoh seperti yang telah dilakukan oleh Asaad [1991]. Asaad memperkenalkan konsep grup ke subgrup fuzzy beserta sifat-sifatnya terkait dengan subgrup levelnya dan grup-grup dengan subgrup-subgrup fuzzynya adalah normal, serta sifat-sifat subgrup fuzzy normal. Sedangkan Akta¸s [2004] telah menyelidiki tentang relasi fuzzy dan relasi ekuivalensi fuzzy pada subgrup fuzzy, pembentukan subgrup hasil bagi fuzzy ( fuzzy quotient subgroup) beserta sifat-sifatnya. Abdukhalikov [1996] menyelidiki eksistensi basis fuzzy dari suatu subruang vektor fuzzy. Satu di antaranya berhasil diselidiki syarat bilamana suatu subruang vektor fuzzy mempunyai basis. Abdukhalikov dkk [1994] juga menyelidiki konsep dual dari suatu subruang vektor fuzzy termasuk pemetaan linear pada subruang vektor fuzzy. Homomorfisma fuzzy pada subgrup fuzzy beserta teorema-teorema yang berlaku terkait dengan homomorfisma fuzzy tersebut telah diteliti oleh Ajmal [1994]. Semigrup adalah himpunan tak kosong yang kepadanya didefinisikan suatu operasi biner yang bersifat asosiatif. Semigrup bentuk bilinear atau dinotasikan dengan S(B) merupakan semigrup khusus, yaitu suatu semigrup yang elemen-elemennya berupa pasangan berurutan yang saling adjoin relatif terhadap suatu bentuk bilinear. Misalkan X, Y ruang vektor atas lapangan K, dengan karakteristik lapangan K adalah nol. Berdasarkan ruang vektor ini dibentuk himpunan L(X) dan L(Y ), yaitu himpunan semua transformasi linear masing-masing dari X ke dirinya sendiri dan Y ke dirinya sendiri. Berdasarkan ruang vektor ini juga dapat dibentuk suatu pemetaan B : X × Y → K, yang linear terhadap kedua variabel. Pemetaan ini disebut bentuk bilinear. Rajendran dan Nambooripad [2000] telah menyelidiki pembentukan dan sifat-sifat dari semigrup S(B) ini. Jika diamati maka baik semigrup maupun grup adalah struktur aljabar yang hanya melibatkan satu operasi biner. Setiap grup adalah semigrup, tetapi tidak sebaliknya. Dengan demikian semigrup dapat dipandang sebagai bentuk generalisasi dari grup. Berdasarkan himpunannya, maka grup dapat dibawa ke subgrup fuzzy yang didefinisikan seperti di atas. Secara analog dalam buku yang ditulis oleh Kandasami [2003], struktur semigrup juga dapat dibawa ke subsemigrup fuzzy. Jika S adalah semigrup, maka subsemigrup fuzzy α pada S adalah suatu pemetaan α : S → [0, 1] yang memenuhi aksioma untuk setiap x, y ∈ S berlaku α(x.y) ≥ min{α(x), α(y)}. Dalam penelitian ini akan diselidiki apa yang telah diperoleh dalam Rajendran dan Nambooripad [2000], Karyati dan Wahyuni [2003], Karyati [2002] dalam ver-
8
si fuzzy, yaitu terkait dengan semigrup bentuk bilinear fuzzy maupun ideal fuzzy maupun relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear.
1.7
Keaslian Disertasi
Disertasi ini merupakan penelitian yang didasarkan pada hasil penelitian Rajendran dan Nambooripad [2000], yang telah dikembangkan oleh Karyati [2002], Karyati dan Wahyuni [2003], juga didasarkan pada hasil penelitian Ajmal [1994], Akta¸s [2004], Asaad [1991], Dib dan Hassan [1996], Kandasami [2003], Mordeson dan Malik [1998] serta Murali [1991]. Rajendran dan Nambooripad [2000] memperkenalkan semigrup bentuk bilinear beserta sifat-sifatnya dan mendefinisikan ulang serta menyelidiki sifat relasi Green pada himpunan elemen idempoten pada semigrup bentuk bilinear. Dalam perkembangannya, Rajendran mengembangkan penelitiannya terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini, di antaranya adalah: Biordere Structure of the Bilinear Form semigroup dan Cros Connection of the Bilinear Form semigroup. Sementara itu KSS Nambooripad merupakan peneliti yang fokus pada semigrup reguler, di antaranya: subdirect product of regular semigroup dan Coextensions of pseudoinverse semigroups by rectangular bands. Berdasarkan hasil penelitian Rajendran dan Nambooripad [2000], berhasil dilengkapi bukti dan jaminan-jaminan dalam bentuk lemma, proposisi maupun teorema yang harus dipenuhi. Selain hal tersebut, juga telah diselidiki terkait dengan bentuk bilinear yang non-degenerate. Banyak penelitian struktur aljabar yang difokuskan pada konstruksi struktur aljabar dalam versi fuzzy, termasuk subsemigrup fuzzy. Berdasarkan kajian yang telah peneliti lakukan, beberapa penelitian terkait dengan subsemigrup fuzzy banyak difokuskan pada ideal subsemigrupnya, di antaranya oleh Shabir [2005]. Kandasami [2003], selain menulis tentang definisi subsemigrup fuzzy dan sifat-sifatnya terkait dengan subsemigrup levelnya, juga mengembangkan sampai pada smarandache subsemigrup fuzzy, yaitu subsemigrup fuzzy yang memuat grup fuzzy. Akta¸s [2004] melakukan penelitian terkait dengan relasi fuzzy pada struktur grup yang dilakukan pada pertengahan 2004. Asaad [1991] maupun Ajmal [1994] meneliti tentang struktur grup fuzzy. Asaad [1991] baru memperkenalkan definisi subgrup fuzzy dan sifat-sifatnya sedangkan Ajmal [1994] menyelidiki tentang homomorfisma fuzzy pada subgrup fuzzy beserta teorema-teorema yang berlaku kepadanya.
9
Dia juga mendefinisikan tentang subgrup hasil bagi fuzzy. Murali [1989] merupakan peneliti pertama yang memberikan definisi tentang relasi fuzzy dan jenis-jenis relasi fuzzy seperti: relasi refleksif fuzzy, relasi simetris fuzzy, relasi transitif fuzzy, relasi similar fuzzy, kompatibel (kiri/kanan) fuzzy, relasi ekuivalensi fuzzy dan relasi kongruensi fuzzy pada suatu himpunan. Strutur aljabar fuzzy dikembangkan pada struktur semigrup khusus. Sebagai contoh ternary semigroup, Γ-semigroup, po-semigroup, ordered semigroup, LA-Semigroup. Dari kondisi tersebut banyak hal yang belum diselidiki terkait dengan subsemigrup fuzzy, khususnya semigrup transformasi linear relatif terhadap bentuk bilinear fuzzy atau yang selanjutnya disebut semigrup bentuk bilinear dan dinotasikan dengan S(B). Dengan demikian, penelitian ini merupakan penelitian baru di bidang struktur aljabar fuzzy.
